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第四节　导数与函数的极值、最值
新课标要求
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
3．体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T19(1)， 全国Ⅱ卷T10，T13
2024年 新高考Ⅰ卷T10， 新高考Ⅱ卷T11，T16
2023年 新高考Ⅱ卷，T22
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准
　知识导图
【重要结论】
1．在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
2．给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
回归教材
1．(人教A版选修二P137练习T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
2．(人教A版选修二P94练习T1(3)改编)函数f(x)＝6＋12x－x3，x∈[－，3]的最大值为________，最小值为________．
3．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为________．
4．(人教A版选修二P98习题T8改编)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V最大，则边长x为________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数的极值
题型1　求函数的极值(点)
例1 (2026·潍坊模拟节选)已知函数f(x)＝ln x－x2＋1，讨论f(x)的极值．
学霸笔记：利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)解方程f ′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根；
(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值．
跟踪训练　已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax，讨论f(x)极值点的个数．
题型2　由函数的极值(点)求参数
例2 (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
(2)(2025·全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________.
学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，而是必要不充分条件．所以用待定系数法求解后必须检验．
跟踪训练　(1)(2026·广元模拟)已知函数f(x)＝x(x－a)2在x＝1处取得极大值，则a的值是(　　)
A．1 B．1或3
C．3 D．4
(2)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝e－2x＋ax2恰有两个极值点，则实数a的取值范围是________.
视角二　函数的最值
题型1　不含参函数的最值
例3 (2026·开封一模)已知函数f(x)＝sin x＋a cos x，且曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
　跟踪训练　函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin 2x在[－]上的值域为________．
题型2　含参函数的最值
例4 已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．
学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．
(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，再结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
跟踪训练　(2026·承德模拟节选)已知函数f(x)＝2－－a ln x，a∈R.若函数f(x)有最大值，且最大值为1－ln a，求a的值．
提示：请完成课时作业18
第四节　导数与函数的极值、最值
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C.
答案：C
2．解析：f(x)＝6＋12x－x3，x∈的导数为f′(x)＝12－3x2，由f′(x)＝0，可得x＝2(x＝－2舍去)，f(2)＝6＋24－8＝22，f(3)＝6＋36－27＝15，f＝6－4＋，即f(x)的最大值为22，最小值为.
答案：22　
3．解析：函数的定义域为R.f′(x)＝(x＋2)ex.由f′(x)＞0，解得x＞－2；由f′(x)＜0解得x＜－2.所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－.
答案：－
4．解析：依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a－2x的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2x，由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x得V′(x)＝12x2－8ax＋a2, 令V′(x)>0，解得0答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：函数f(x)＝ln x－x2＋1的定义域为(0，＋∞)，
对f(x)＝ln x－x2＋1求导得f′(x)＝，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f′(x)＝＝0，即1－ax2＝0，解得x＝
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因此f(x)在x＝处取得极大值，极大值为f＝ln ·2＋1＝－ln a＋(1－ln a)，无极小值．
综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极大值无极小值．
跟踪训练　解析：函数f(x)的定义域为R，
由题意知，f′(x)＝2e2x＋ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)极值点的个数为0；
当a>0时，令f′(x)＝0，t＝ex>0，可得2t2＋t－a＝0，
易知Δ＝1＋8a>0，
故解关于t的方程2t2＋t－a＝0得，t1＝<0(舍去)，t2＝>0，
即ex＝t2，则x＝ln t2，
所以当x>ln t2时，f′(x)>0，即f(x)在(ln t2，＋∞)上单调递增，
当x即f(x)极值点的个数为1.
综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0；当a>0时，f(x)极值点的个数为1.
例2　解析：(1)因为函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD.
(2)由题意有f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)，所以f′(x)＝(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)＋(x－a)(x－2)，因为2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝2(x－2)(x－1)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4)，当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意．所以f(0)＝－1×(－2)×(－a)＝－2a＝－4.
答案：(1)BCD　(2)－4
跟踪训练　解析：(1)由f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x求导，可得f′(x)＝3x2－4ax＋a2，因为函数在x＝1处取得极大值，则f′(1)＝3－4a＋a2＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，由f′(x)>0可得x<或x>1，由f′(x)<0可得0可得x<1或x>3，由f′(x)<0可得1(2)因为f(x)＝e-2x＋ax2，所以f′(x)＝－2e-2x＋2ax，a＝0时，f′(x)＝－2e-2x<0，f(x)单调递减，f(x)无极值点，不符合题意；a≠0时，f(x)恰有两个极值点，则方程＝xe2x有两个不同实根，设g(x)＝xe2x，则g′(x)＝(2x＋1)e2x＝0 x＝－，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，则＝g＝－<0，又x<0时，g(x)<0，当x→－∞时，g(x)→0，g(0)＝0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以－<<0，解得a<－2e，当a<－2e时，f′(x)有两个变号零点(在零点的左右附近导函数值变号)，符合题意．故a的取值范围为(－∞，－2e)．
答案：(1)C　(2)(－∞，－2e)
视角二
例3　解析：(1)f′(x)＝cos x－a sin x，依题意，f′＝cos －a sin ，解得a＝3.
(2)令f′(x)＝cos x－3sin x＝0，解得tan x＝，
令g(x)＝f′(x)，当x∈时g′(x)＝－sin x－3cos x<0，所以f′(x)在
记
则x∈(0，θ)，f' (x)>0，f(x)单调递增，x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝θ处取极大值，
又因为
所以
又f(0)＝sin 0＋3cos 0＝3，
比较可得，函数f(x)在区间1.
跟踪训练　解析：设t＝sin x＋cos x＝
因为sin 2x＝2sin x cos x＝
求导得
又
上的值域为.
答案：
例4　解析：(1)由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，
注意到ex>0，2ex＋1>0，
①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－ln a，
当x>－ln a，f′(x)>0；当x<－ln a，f′(x)<0；
所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
(2)由(1)知a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减，
①当－ln a≤0时，即a≥1时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝2a－2；
②当0<－ln a<1时，即在[－ln a，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(－ln a)＝1＋ln a－；
③当－ln a≥1，即0综上，当a≥1时，f(x)min＝2a－2；当当0跟踪训练　解析：f′(x)＝，x>0.
①若a≤0，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．
②若a>0，当00，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得最大值2－a＋a ln a，
则2－a＋a ln a＝1－ln a，即a ln a＋ln a－a＋1＝0，
令g(x)＝x ln x＋ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝ln x＋，
令h(x)＝ln x＋，h′(x)＝，
令h′(x)>0，解得x>1，令h′(x)<0，解得0所以h(x)＝g′(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)的最小值为g′(1)＝1，即g′(x)>0恒成立，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以要使a ln a＋ln a＋1－a＝0，则a＝1.(共79张PPT)
第四节　导数与函数的极值、最值
新课标要求
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
3．体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T19(1)，
全国Ⅱ卷T10，T13
2024年 新高考Ⅰ卷T10，
新高考Ⅱ卷T11，T16
2023年 新高考Ⅱ卷，T22
　知识导图
【重要结论】
1．在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
2．给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
回归教材
1．(人教A版选修二P137练习T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
答案：C
解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C.
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3．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为
________．
4．(人教A版选修二P98习题T8改编)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V最大，则边长x为________．

学霸笔记：利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)解方程f ′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根；
(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值．
跟踪训练　已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax，讨论f(x)极值点的个数．
即ex＝t2，则x＝ln t2，
所以当x>ln t2时，f′(x)>0，即f(x)在(ln t2，＋∞)上单调递增，
当x即f(x)极值点的个数为1.
综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0；当a>0时，f(x)极值点的个数为1.
答案：BCD
(2)(2025·全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，
则f(0)＝________.
－4
学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，而是必要不充分条件．所以用待定系数法求解后必须检验．
跟踪训练　(1)(2026·广元模拟)已知函数f(x)＝x(x－a)2在x＝1处取得极大值，则a的值是(　　)
A．1 B．1或3
C．3 D．4
答案：C
(2)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝e－2x＋ax2恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________.
(－∞，－2e)
学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．


题型2　含参函数的最值
例4 已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．
解析：(1)由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，
注意到ex>0，2ex＋1>0，
①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－ln a，
当x>－ln a，f′(x)>0；当x<－ln a，f′(x)<0；
所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
a>0时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．
(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，再结合已知求出参数，进而使问题得以解决．

答案：C

答案：C
3．(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax恰有一个极值点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]∪{－e} B．[0，＋∞)∪{－e}
C．(－∞，0) D．[0，＋∞)
答案：C
解析：由题意可得f′(x)＝ex＋a，当a≥0时，f′(x)>0在R上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去；所以必有a<0，令f′(x)＝0，得x＝ln (－a)，当xln (－a)时，f′(x)>0，即恰好有一个极小值点x＝ln (－a)，符合题意，故a的取值范围是(－∞，0)．故选C.
4．(2026·芜湖模拟)若函数f(x)＝(sin x－a)3的最小值为1，则f(x)的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．27
答案：D
答案：C
答案：C
答案：B
8．(2026·深圳模拟)若函数f(x)＝a ln x＋(x－a)2存在极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案：C
答案：AC
10．(2026·杭州模拟)已知a为常数，函数f(x)＝x(ex－ax)有且只有一个极值点x0，则(　　)
A．a≤0 B．x0∈[－1，0)
C．f(x0)为极大值点 D．f(x0)<0
答案：ABD
解析：由题意f(x)＝x(ex－ax)，f′(x)＝(x＋1)ex－2ax，由题意函数f(x)＝x(ex－ax)有且只有一个极值点x0，可得f′(x)有且仅有一个变号零点，故曲线y＝(x＋1)ex与直线y＝2ax有且只有一个穿越型交点，令g(x)＝(x＋1)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex，易知当x∈(－∞，－2)时，g′(x)<0，即g(x)在(－∞，－2)上单调递减，当x∈(－2，＋∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(－2，＋∞)上单调递增，因此g(x)在x＝－2处取得极小值，也是最小值，且x≤－1时g(x)≤g(－1)＝0，

[e，＋∞)
13．(13分)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a，
①当a>0时，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
②当a＝0时，则f′(x)＝6x2≥0，f(x)在R上单调递增；
③当a<0时，
当x∈(－∞，a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(a，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
综上，当a>0时，f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减；
当a＝0时，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减．
(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，
所以x＝a为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(a)＝2a3－3a3＋1<0，
所以a3>1，解得a>1；
当a＝0时，f(x)在R上单调递增，显然无极值点，不符合题意；
当a<0时，f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，
所以x＝0为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(0)＝1>0，不符合题意．
综上，a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．
14．(15分)(2026·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有最大值且为(a＋1)ln a－a，求a的值．

15．(5分)(2026·开封模拟)“三角换元思想”是三角函数中的基本思想．运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题．譬如：已知x2＋y2＝r2(r>0)，求x＋y的最大值．我们令x＝r cos θ，y＝r sin θ，则x＋y＝r(cos θ＋sin θ)，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题．已知A(x，y)是曲线x3＋y3－6xy＝0(x>0，y>0)上的点，则x2＋y2的最大值为(　　)
A．2 B．8
C．18 D．36
答案：C

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