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(共76张PPT)
第一节　导数的概念、运算及几何意义
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T12
2024年 新高考Ⅰ卷T13
2022年 新高考Ⅰ卷T15，
新高考Ⅱ卷T14
知识导图　
回归教材
1．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0
B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0
C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)
D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)
答案：A
解析：由函数f(x)的图象可知当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)>0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的切线斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A.
答案：D
答案：C

答案：CD
答案：D
学霸笔记：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可尽量避免使用商的求导法则，减少运算量．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
答案：A

答案：BCD
答案：A

答案：B
题型2　过某点的切线
例3 曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为______，______．
学霸笔记：(1)设切点(x0，f(x0))，则切线的斜率f′(x0)，切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)因为切线过点(a，b)，带入得b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，求x0.
(3)把求得的x0再次带入y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
跟踪训练　函数y＝(x＋1)ex过原点的切线方程为
________________________________．
题型3　已知切线方程求参数值(范围)
例4 (1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，
则a＝_____．
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________.
4
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
学霸笔记：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．
　跟踪训练　(1)(2026·南京模拟)若直线y＝2x＋a是曲线y＝ln x＋x＋
1的一条切线，则a＝________．
0
答案：BCD
题型4　公切线问题
例5 (1)(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax2与y＝ln x＋1在公共点处存在公共的切线，则a＝________．
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．

ln 2
答案：A
(2)(2026·漳州模拟)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝_____．
2

答案：B
答案：C
3．(2026·芜湖模拟)在曲线y＝x2－ln x的所有切线中，斜率为1的有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
答案：B
答案：B
答案：C
答案：B
由于函数f(x)＝ex在x＝0处的切线为y－f(0)＝f′(0)(x－0) y－1＝x y＝x＋1，而函数f(x)＝ln (x＋1)＋1在x＝0处的切线为y－f(0)＝f′(0)(x－0) y－1＝x y＝x＋1，由于两分段函数在分界点处的切线相同，所以可取公切线y＝x＋1上的点P，再作函数f(x)的另一条切线即可，根据选项分析，只有(1，2)在公切线y＝x＋1上．故选B.
7．已知过点A(a，0)作曲线y＝(2－x)ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为(　　)
A．－2或2 B．－1或3
C．3 D．－2
答案：A
8．已知曲线y＝x2与y＝e2x＋a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
答案：D
9．(2026·襄阳模拟)下列函数的图象与x轴相切于点(0，0)的是(　　)
A．y＝x3＋3x2 B．y＝ex－1
C．y＝cos x－1 D．y＝sin x
答案：AC
解析：经检验当x＝0时，y＝x3＋3x2，y＝ex－1，y＝cos x－1，y＝sin x都等于0，故只需验证在x＝0处的切线斜率是否为0即可，对于A，y′＝3x2＋6x，在x＝0处的切线斜率为0，故A正确；对于B，y′＝ex，在x＝0处的切线斜率为1，故B错误；对于C，y′＝－sin x，在x＝0处的切线斜率为0，故C正确；对于D，y′＝cos x，在x＝0处的切线斜率为1，故D错误．故选AC.

答案：AC
11．若直线y＝2x＋a是曲线y＝2ex＋x2－1的一条切线，则实数a的值
为______．
1
2
13．(13分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
14．(15分)已知函数f(x)＝ln x＋ax，其中a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线过原点，求x0的值．
(2)当a＝1时，
①判断过点(0，1)，(2，0)的切线条数，直接写出结果；
②判断过点(1，2)的切线条数并说明理由．
若切线过点(2，0)，则m＋2＋m ln m＝0，令y＝m＋2＋m ln m，则y′＝2＋ln m，
所以当0e-2时，y′>0，
则y＝m＋2＋m ln m在(0，e-2)上单调递减，在(e-2，＋∞)上单调递增，
当m＝e-2时y＝2－e-2>0，x→0时y→2，x→＋∞时y→＋∞，
所以y＝m＋2＋m ln m在(0，＋∞)上无零点，即没有过点(2，0)的切线；
②切线过点(1，2)，则1－2m＋m ln m＝0，令y＝1－2m＋m ln m，则y′＝－1＋ln m，
所以当0e时y′>0，
则y＝1－2m＋m ln m在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
当m＝e时y＝1－e<0，m→0时y→1，m→＋∞时y→＋∞，
所以y＝1－2m＋m ln m在(0，＋∞)上有2个零点，即过点(1，2)的切线有2条．
答案：C
16．(5分)若曲线C1：y＝kx2(k<0)与曲线C2：y＝ex(x>0)的图象上分别存在不同的两点A，B使得两曲线分别在A，B两点处的切线重合，则k的取值范围___________．
第一节　导数的概念、运算及几何意义
新课标要求
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想，通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T12
2024年 新高考Ⅰ卷T13
2022年 新高考Ⅰ卷T15， 新高考Ⅱ卷T14
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图　
【重要结论】
1．(1)()′＝－；
(2)[]′＝－(f(x)≠0)；
(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．
2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
回归教材
1．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0
B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0
C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)
D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)
2．(人教A版选修二P81习题T6改编)已知函数f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()＝(　　)
A． B．
C．＋1 D．＋1
3．(人教A版选修二P82习题T11改编)已知曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．－ D．－
4．(人教A版选修二P81练习T3改编)曲线y＝在点(，1)处的切线方程为____________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　导数的运算
例1 (1)(多选)(2026·镇江模拟)下列求导运算正确的是(　　)
A．(e3x)′＝3ex
B．()′＝x
C．(2sin x－3)′＝2cos x
D．(ln )′＝
(2)(2026·泰安模拟)已知函数f(x)＝，其导函数记为f′(x)，则f(2 025)＋f′(2 025)＋f(－2 025)－f′(－2 025)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
学霸笔记：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可尽量避免使用商的求导法则，减少运算量．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝2xf′()＋sin x，则f′()＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)(多选)下列函数的求导运算正确的是(　　)
A．()′＝
B．(x3－2x＋1)′＝3x2－2x ln 2
C.()′＝－
D．[sin2(2x＋)]′＝2sin(4x＋)
视角二　切线方程
题型1　在某点求切线方程
例2 设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A． B．
C． D．
跟踪训练　曲线y＝esin xcos x在x＝处的切线方程为(　　)
A．y＝e(x－) B．y＝－e(x－)
C．y＝x－ D．y＝－x＋
题型2　过某点的切线
例3 曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
学霸笔记：(1)设切点(x0，f(x0))，则切线的斜率f′(x0)，切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)因为切线过点(a，b)，带入得b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，求x0.
(3)把求得的x0再次带入y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
跟踪训练　函数y＝(x＋1)ex过原点的切线方程为________________．
题型3　已知切线方程求参数值(范围)
例4 (1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________．
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
学霸笔记：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．
　跟踪训练　(1)(2026·南京模拟)若直线y＝2x＋a是曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线，则a＝________．
(2)(多选)(2026·邢台模拟)若过点P(a，0)恰好可作曲线y＝的两条切线，则a的值可以为(　　)
A．e B．e2
C．－e D．－e2
题型4　公切线问题
例5 (1)(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax2与y＝ln x＋1在公共点处存在公共的切线，则a＝________．
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
学霸笔记：(1)共切点公切线：当y＝g(x)和y＝f(x)公切线切于同一点，设切点为P(x0，y0)，则
(2)当y＝g(x)和y＝f(x)公切线切于不同点，设切点为P(x0，y0)和Q(x1，y1)，设切线为y＝l(x)，则和
　跟踪训练　(1)已知直线y＝kx＋b是曲线y＝1＋ln x与曲线y＝ln (x＋2)的公共切线，则实数b＝(　　)
A．ln 2 B．1
C． D．ln 4
(2)(2026·漳州模拟)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝________．
提示：请完成课时作业15
第一节　导数的概念、运算及几何意义
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：由函数f(x)的图象可知当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)>0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的切线斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A.
答案：A
2．解析：f(x)＝f′sin x－cos x，则f′(x)＝f′cos x＋sin x，故f′＝f′cos ＋sin f′＋，解得f′＝1＋.故选D.
答案：D
3．解析：∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－.故选C.
答案：C
4．解析：设y＝f(x)＝，则f′(x)＝，则f′＝1，因此曲线y＝在点处的切线方程为y－1＝x－，即y＝x＋.
答案：y＝x＋
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)对于A，(e3x)′＝e3x·(3x)′＝3e3x，A错误；对于B，′＝，B错误；对于C，(2sin x－3)′＝2cos x，C正确；对于D，′＝·′＝，D正确．故选CD.
(2)因为f(x)＝＋1，令g(x)＝，则f(x)＝g(x)＋1，又因为g(－x)＝＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，所以g(2 025)＋g(－2 025)＝[f(2 025)－1]＋[f(－2 025)－1]＝0，所以f(2 025)＋f(－2 025)＝2；因为g(－x)＝－g(x)，所以－g′(－x)＝－g′(x)，即g′(－x)＝g′(x)，又f(x)＝g(x)＋1，所以f′(－x)＝f′(x)，所以f′(2 025)－f′(－2 025)＝0，所以f(2 025)＋f′(2 025)＋f(－2 025)－f′(－2 025)＝2.故选D.
答案：(1)CD　(2)D
跟踪训练　解析：(1)因为f(x)＝2xf′＋sin x，所以f′(x)＝2f′＋cos x，令x＝，则f′＝2f′＋cos ，f′＝－，令x＝，则f′＝2f′＋cos .故选A.
(2)对于A，′＝，A错误；对于B，(x3－2x＋1)′＝3x2－2x ln 2，B正确；对于C，′＝′＝－，C正确；对于D，′＝2sin·cos ·2＝2sin ，D正确．故选BCD.
答案：(1)A　(2)BCD
视角二
例2　解析：f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝.故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：设y＝f(x)＝esin xcos x，则f′(x)＝esin xcos2x＋esinx(－sin x)＝esin x(cos2x－sinx)，当x＝时，f＝cos ＝0，f′＝－sin)＝－e，所以曲线y＝esin xcos x在x＝处的切线方程为y＝－e.故选B.
答案：B
例3　解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为.若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－.
答案：y＝　y＝－
跟踪训练　解析：设切点为(t，(t＋1)et)，对函数y＝(x＋1)ex求导得y′＝(x＋2)ex，切线斜率为k＝(t＋2)et，由于切线过原点，则k＝＝(t＋2)et，整理得t2＋2t＝t＋1，即t2＋t－1＝0，解得t＝，当t＝时，切线斜率为k＝，此时切线方程为y＝x；当t＝时，切线斜率为k＝，此时切线方程为y＝x.
答案：y＝x或y＝x
例4　解析：(1)方法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4.
方法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4.
(2)设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即.整理得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
答案：(1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)
跟踪训练　解析：(1)设直线y＝2x＋a与曲线y＝ln x＋x＋1的切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x＋x＋1求导得y′＝1＋，因为直线y＝2x＋a是曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线，所以1＋＝2，解得x0＝1，所以y0＝x0＋ln x0＋1＝2，因为切点为(x0，y0)在直线y＝2x＋a上，所以a＝y0－2x0＝0.
(2)令f(x)＝，则f′(x)＝，设切点为，所以切线方程为(x－x0)，切线过点P(a，0)，代入得(a－x0)，整理得－ax0＋a＝0.因为过点P(a，0)恰好可作曲线y＝的两条切线，即方程－ax0＋a＝0有两个解，则Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4.故选BCD.
答案：(1)0　(2)BCD
例5　解析：(1)函数y＝ax2与y＝ln x＋1的导数分别为y′＝2ax与y′＝，设公共点的坐标为(x0，y0)，则所以ln x0＋1＝，又因为＝1，故ln x0＝－，所以a＝.
(2)令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝.因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令＝2，解得x＝，则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的交点坐标为，所以0＝a－ln 2，解得a＝ln 2.
答案：(1)　(2)ln 2
跟踪训练　解析：(1)取点(x1，1＋ln x1)为曲线y＝1＋ln x上一点，因为(1＋ln x)′＝，所以曲线y＝1＋ln x在x＝x1处的切线为y－(1＋ln x1)＝(x－x1)，即y＝＋ln x1.取点(x2，ln (x2＋2))为曲线y＝ln (x＋2)上一点，因为[ln (x＋2)]′＝，所以曲线y＝ln (x＋2)在x＝x2处的切线为y－ln (x2＋2)＝(x－x2)，即y＝＋ln (x2＋2)－.由公切线的概念可知 所以两曲线的公切线为y＝x＋ln 2.故b＝ln 2.故选A.
(2)令y＝f(x)＝ln x，则f(1)＝0，故切点为(1，0)，设切线斜率为k，而f′(x)＝，则k＝f′(1)＝1，则曲线在x＝1处的切线方程为y＝x－1，由题意得曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，联立方程组得到x2＋2x－1＋a＝0，则Δ＝4－4(a－1)＝0，解得a＝2.
答案：(1)A　(2)2

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