资源简介

《圆周运动》复习课
——竖直面内非匀速圆周运动
课标分析
通过对具体情境的分析，加深对圆周运动基本物理量、向心加速度和运动与相互作用的的认识，引导学生分析竖直面内的非匀速圆周运动向心力和合外力的关系，结合过程中做功与能量的观念，培养学生分析和解决实际问题的能力，体会物理与生活实际的联系。
教材分析
《圆周运动》是鲁科版必修二第 3 章，教材以生活中的圆周运动导入，描述匀速圆周运动快慢的物理量，通过实验探究向心力和向心加速度，进而讨论生活中的离心现象及其产生原因。通过丰富且熟悉的情境，引导学生分析推理得出结论，帮助学生建立圆周运动模型。从运动与相互作用和做功与能量等不同角度分析圆周运动，体会物理科学与技术对生活的影响。
学情分析
学生基本掌握描述圆周运动的物理学参量及其关系，对匀速圆周运动的向心力和离心现象也有了初步认识，但对于竖直面内的非匀速圆周运动的分析有待进一步加强。本节复习课以此为切入点，通过受力分析、临界分析、功能关系等角度，帮助学生强化对圆周运动的认识，培养学生建模能力、综合分析能力和解决实际问题的能力，在过山车情境中体会物理与生活的联系。
教学目标
1 ．掌握竖直面内非匀速圆周运动模型特点；
2 ．会分析竖直面内非匀速圆周运动的临界问题；
3 ．提升物理建模与知识迁移能力；
4 ．综合运用动力学和能量观念解决问题；
5 ．体会物理与生活联系。
重点难点
竖直面内非匀速圆周运动的临界条件
课时安排
1 课时
教学过程
模块 教师活动 学生活动 活动目标
导入 上节课极课学情，本节课教学目标。 导入：过山车模型。 思考：如何分析竖直面内的非匀速圆周运动。 学生示范：小球在过山车模型轨道的运动。 低点释放，原路返回。 中点释放，脱离轨道。 高点释放，通过圆周。 过山车情境导入
基础回顾 回顾圆周运动基本知识： 1.描述圆周运动的物理量； 2. 匀速圆周运动的向心力的作用效果、大小和方向； 3. 离心运动和近心运动受力特点和本质 学生回答： 2. 向心力产生向心加速度，只改变速度方向，不改变速度大小。向心力始终沿半径方向指向圆心，即向心力是变力。 3. 当 F ＝0 时，物体沿切线方向飞出 ，做匀速直线运动；当 0mrω2 时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。离心运动本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 必备基础知识回顾
一、受力分析 小球在竖直光滑圆轨道上做圆周运动，忽略一切阻力，对小球受力分析。 思考：小球受哪些力？ 哪些力提供的向心力？ 学生作受力分析图 受重力和轨道的弹力 先 15，重力和弹力合力提供向心力； 再 37 ，弹力提供向心力； 后 2468，合力中指向圆心的分量提供向心力。 学生展示作图结果。 受力分析 不同位置 向心力来源 为临界问题 做好铺垫
竖直光滑双轨 思考：双轨道受力与单轨道有何不同？ 学生作图展示。 双轨圆心以上的弹力方向，可能沿半径指向圆心，可能沿半径背离圆心。 小球可能和外轨相互作用，可能和内轨相互作用。 和速度有关。 单轨的弹力只指向圆心。 类比分析两种模型比较异同
思考：合力是如何改变运动状态的？ 与圆周相切的分力产生切向加速度 ，改变线速度大小，当 a 与 v 同向时，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动；指向圆心的分力提供向心力，产生向心加速度，改变线速度的方向。 总结合外力向心力 非匀速圆周
例 1．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、 C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间 距相等，半径 R1=2m 、R2= 1.4m。一个质量为 m= 1Kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧 A 点以 V0= 12m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1=6m。小球与水平轨道间的动摩擦因数 u=0.2 ，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 g= 10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求：小球在经过 (
1
1
)学生展示分享思路 设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1 根 据 动 能 定 理 得 ： -μmgL1-2mgR1= 2 2 mv1 - mv0 2 2 小球在最高点受到重力 mg和轨道对它的作用力 F， 根据牛顿第二定律有 ： F+mg=m 解得：F= 10.0 N 过山车情境 单轨模型 解决受力问题 牛顿运动定律动能定理 综合应用
第一个圆形轨道的最高点时，小球对轨道作用力。 根据牛顿第三定律，小球对轨道作用力大小为 10 N，方向竖直向上。
练 1. 质量为 m 的小球用长为 R的轻杆相连，固定于转轴 O，不计一切阻力，分析最高点和最低点小球所受杆弹力矢量和的大小。 学生分享 mg -FA =m FB-mg=m 2mgRmvB2-mvA2 FB +FA=6mg 类比杆球模型知识迁移
方法总结： 确定好研究对象与过程主要应用哪些物理规律？ 受力分析，牛顿第二定律过程，机械能守恒（动能定理） 思路总结
二、临界问题 临界问题 思考：绳球模型中绳子最易断的位置？ 思考：绳球模型中绳子最易弯曲的位置？ （单轨模型中小球最易脱轨的位置？） 思考：绳球（单轨）模型，能完成完整圆周运动的条件是什么？ 学生思考讨论 绳球模型中绳子在最低点最易断 绳球模型中绳子在最高点最易弯曲；单轨模型中小球在最高点最易脱轨。 绳球（单轨）模型中能完成完整圆周运动的条件能通过最高点。 力的角度分析脱轨得出初步临界条件
分析：一人站在 称盘上，人拉着 一根轻绳的一 端，绳的另一端 学生思考 小球最低点，示数最大。 （正确） 小球在最高点，示数最小。 对不同位置 受力特点的 认识应用
拴着一个铅球，若让铅球在竖直平面内做圆周运动，当球运动到什么位置时，称有最大示数？最小示数可能出现在哪？ （错误） 再讨论 小球在圆心以上到最高点之间，示数最小，对称两点。
例 2．在例 1 的情境中，如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、 C 间距 L 应是多少？ 最高点临界 恰好仅由重力提供向心力 学生分享 设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2， 由小球恰能通过第二圆形轨道有：mg=m 由 动 能 定 理 得 ： -μmg(L1+L)-2mgR2 mv22- 2 mv0 解得：L= 12.5m 应用临界条件解决实际问题
练 2.质量为 m 的小球从光滑斜面上由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为 R 的光滑圆环， 学生展示 小球恰能通过圆形轨道有： mg=m 由 动 能 定 理 得 ： mv2 h=2.5R 练习检验
求小球至少从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？
思考：小球若到不了最高点会出现什么情形？ 分析：单轨（绳球）模型中，不脱轨的条件。 学生：脱轨。 学生：原路返回。 不脱轨：通过最高点或不超过圆心高度。 讨论 是否脱轨 的情形
例 3. 在满足例 2 条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 R3应满足什么条件？ 学生分享 轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道， 设在最高点的速度为 v3， -μmg(L1 + 2L) - 过山车模型 小球不脱轨 两种情况
思路： 半径较小时， 通过最高点完成圆周运动， 得到能完成圆周运动的最大半径； 半径较大时， 小球在圆心及以下位置速度减为零， 得到小球返回的最小半径，但因为轨道不重叠， 此时半径有最大值； 将两种情况结合。 2mgR3 = mv3 (2) — mv0 (2) 得R3 = 0.4m 轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3， —μmg(L1 + 2L) — mgR3 = 0 — mv0 (2) 得 R3 = 1.0m 为保证圆轨道不重叠，R3 最大值应满足 (R2 + R3)2 = L2 + (R3 — R2)2 解得：R3=27.9m 要使小球不脱离轨道，则第三圆轨道半径须满足 0 < R3 ≤ 0.4m或 1.0m ≤ R3 ≤ 27.9m
练 3. 质量为m 的小球从光滑斜面上由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为 R 的光滑圆环， 结合前两个练习 R≤h≤2.5R 应用检验
求小球从多高处由静止滑下才能不脱轨？
思考：绳球（单轨）模型中，小球运动到圆心以上但过不了最高点时会脱轨，如何确定脱轨的位置和状态？ 学生思考 脱轨处弹力恰好为 0 只 由重力沿半径的分量提供向心力。 拓展思考
例 4.一质量 m=2kg 的小球从光滑斜面上高 h=2m 处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为 mg[h — (R + Rcosθ)] = 1 2 2 mv ， 以练习为基础 进一步分析 脱轨状态
R= 1m 的 光滑圆环 ，求小球在何处脱离圆环？ 思路引导 2 mgcOSθ = m ， 联立得：cOSθ = ，即cOSθ = ， θ = arccOS处小球与圆环脱离．
判断： 由于 R＜h＜2.5R ，故球在还没有到达最高点前脱离，设脱离时圆环的位置半径与竖直方向的夹角为θ
随堂检测 1.(单选)如图，竖直平面内有一半径为 R ＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一可视为质点的小球以 v0 ＝3.5 m/s 的初速度进入轨道，g ＝10 m/s2 ，则( ) A ．小球上升高度不会超过圆心 B ．小球能通 过圆轨道最高点 C ．小球脱离轨道时的速度大小为 m/s D．小球脱离轨道的位置与圆心连线和竖直方向间的夹角为 30° 随堂检测 限时三分钟 当堂验收
总结 竖直面内圆周运动单轨（绳球）模型与双轨（杆球）模型 受力特点 做圆周运动临界条件 脱轨分析 牛顿运动定律与动能定理 将知识经验方法总结在学案上 总结整理 反思
板书设计
一、单轨（绳球）模型与双轨（杆球）模型受力特点
二、竖直面内非匀速圆周运动临界条件牛顿运动定律（状态）
做功与能量（过程）脱轨分析
评测练习
随堂检测
1.(单选)如图，竖直平面内有一半径为 R ＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一可视为质点的小球以 v0 ＝3.5 m/s 的初速度进入轨道，g ＝10 m/s2 ，则( )
A ．小球上升高度不会超过圆心
B ．小球能通过圆轨道最高点
C ．小球脱离轨道时的速度大小为 m/s
D ．小球脱离轨道的位置与圆心连线和竖直方向间的夹角为 30°
分层作业
基础落实
1.半径为 R 的内壁光滑圆环形轨道固定于水平桌面上，轨道正上方和正下方分别有质量为 mA和 mB 的小球 A 和 B，A 的质量是 B 的两倍，它们在轨道内沿逆时针方向滚动，经过最低点时速率相等；当 B 在最低点时，A 球恰好在最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为 g.则小球在最低点的速率可表示为( )
B.·\5gR
D ．2 \
2.如图，轻杆长 3L，杆两端分别固定质量均为 m 的球 A 和 B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球 A 为 L 处的 O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为 g ，则球 B 在最高点时( )
A ．球 B 的速度为零
B ．球 A 的速度大小为2gL
C ．水平转轴对杆的作用力为 1.5mg
D ．水平转轴对杆的作用力为 2.5mg
3.(多选)如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，被称为“魔力陀螺” ，其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为 R 的磁性圆轨道竖直固定，质量为 m 的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A 、B 两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指
向圆心且大小不变，重力加速度为 g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是( )
A ．铁球可能做匀速圆周运动
B ．铁球绕轨道转动时机械能守恒
C ．铁球在 A 点的速度一定大于或等于
D ．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为 5mg
强化训练
4.(多选)如图，一质量为 m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点) ，用长为 0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g ＝10 m/s2 ，下列说法正确的是( )
A ．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
B ．当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C ．若轻绳能承受的最大张力为 45 N ，小球的最大速度不能超过 4 \ m/s
D ．若轻绳能承受的最大张力为 45 N ，小球的最大速度不能超过 4 m/s
5.(多选)如图甲，质量为 m 的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点 O 在竖直平面内做圆周运动，从小球经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小 F 随杆转过角度θ的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，重力加速度大小为 g，则( )
A ．当θ =0 时，小球的速度为 0
B ．当θ = π时，力 F 的大小为 6mg
C ．当时，小球受到的合力大于 3mg
D ．当θ = π时，小球的加速度大小为 6g
效果分析
通过本节课学生进一步加深了对圆周运动的理解，掌握了竖直面内非匀速圆周运动模型特点，学会分析竖直面内非匀速圆周运动的临界问题。在解决竖直面内的非匀速圆周运动时，能够建立合适的物理模型，综合应用运动与相互作用和做功与能量的观念，对多过程问题的分析能力和知识迁移能力进一步提升，认识到了物理知识在实际生活中的应用。
课后反思
本节课以过山车模型引入，引导学生分析竖直面内非匀速圆周运动模型特点和临界问题帮助学生建立物理模型，在具体情境和问题中提升学生运用动力学和能量观念解决问题的综合思维与知识迁移能力，从而体会物理与生活联系。以过山车模型为核心，在熟悉的情境中层层深入，结合练习帮助学生进一步巩固。
本节课还有不足之处：应更多地让学生思考、提问和讨论，情境可以更丰富一些，还可以适当拓展到电场中等效重力等，深化本节课的综合性和深刻性。

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