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第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
新课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(±α，π±α的正弦、余弦、正切)．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T11
2024年 全国甲卷T8， 北京卷T12
2023年 全国乙卷(文)T14
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图　
【重要结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形：
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．
回归教材
1.(人教A版必修一P195习题T5)已知sin ＝，那么cos α＝(　　)
A.－ B．－
C． D．
2．(人教A版必修一P195习题T8改编)已知sin ＝，且03．(人教A版必修一P186习题T16改编)已知α为第二象限角，化简： ＝________．
4．(人教A版必修一P255复习参考题T17改编)已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，则sin 2α＝________，cos 2α＝________．
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　同角三角函数的基本关系
题型1　齐次式的计算
例1 已知tan α＝－.
(1)求的值；
(2)求sin2α－3sinαcos α＋1的值．
学霸笔记：(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求解．
　跟踪训练　(2026·沧州一模)已知直线y＝3x＋2 026的倾斜角为α，则＝(　　)
A．－2 B．－
C． D．7
题型2　和积转换求值
例2 已知sin x＋cos x＝a，求值：
(1)sin x cos x；
(2)sin3x＋cos3x；
(3)tanx.
学霸笔记：(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行转化．
(2)求sin α＋cos α，sin α－cos α的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断．
　跟踪训练　(多选)设α∈(0，π)，已知sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等式正确的是(　　)
A．m＝－
B．sin α－cos α＝
C．tan α＝
D．cos2α－sin2α＝－
视角二　诱导公式的应用
例3 (1)已知α∈，sin ＝，则的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)已知cos ＝，0<α<π，则sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
学霸笔记：常见的互余和互补的角
(1)互余的角：－α与＋α；＋α与；＋α与－α等．(2)互补的角：θ与－θ；＋θ与－θ等．
跟踪训练　(1)已知角θ的终边上有一点(1，3)，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
(2)已知<α<，cos ＝b(b≠0)，则sin ＝________．
视角三　基本关系式与诱导公式的综合应用
例4 已知函数f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)若f(x)＝6sin x，求sin4x＋cos4x的值；
(3)若α∈，且f＝，求的值．
学霸笔记：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响．
跟踪训练　(1)已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan (α＋π)＋＝________．
(2)若，则tan θ＝________．
提示：请完成课时作业23
第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：因为sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－.故选B.
答案：B
2．解析：因为00，所以0<－x<，所以cos ＝.sin＝sin [－]＝cos ＝；cos ＝cos ＝＝－.
答案：　－
3．解析：因为α为第二象限角，所以 － ＝-＝＝－2tan α.
答案：－2tan α
4．解析：将sin α－cos α＝两边平方得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，又0≤α≤π，所以α∈，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋，所以sin α＋cos α＝.联立得所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
答案：　－
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)∵tanα＝－，
∴.
(2)∵tan α＝－，
∴sin2α－3sinαcos α＋1＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝＝2.
跟踪训练　解析：由已知得tanα＝3，则.故选C.
答案：C
例2　解析：(1)由sin x＋cos x＝a可得(sin x＋cos x)2＝a2，
即1＋2sin x cos x＝a2，∴sin x cos x＝.
(2)sin3x＋cos3x＝(sinx＋cos x)(sin2x－sinx cos x＋cos2x)
＝a＝.
(3)由于sinx cos x＝，故，
∴，即(a2－1)tan2x－2tanx＋a2－1＝0，
由于a∈，故Δ＝4－4(a2－1)2＝4a2(2－a2)≥0，
故tan x＝.
跟踪训练　解析：sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则有由(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinαcos α＋cos2α，得，解得m＝，故A错误；α∈(0，π)，有sinα>0，由sin αcos α＝－<0，有cos α<0，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋，由sinα－cos α>0，所以sin α－cos α＝，故B正确；由得tan α＝故C错误；cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
视角二
例3　解析：(1)由题意结合诱导公式得sin ＝sin ＝－cos ，因为α∈，所以α＋∈，则cos >0，因为sin ＝，所以cos2＋2＝1，解得cos＝(负根舍去)，可得＝－，故B正确．故选B.
(2)因为0<α<π，所以<α＋<，
因为cos ＝，所以<α＋<，
所以sin ＝ ，
所以sin＝sin
故选A.
答案：
　解析：(1)＝＝，＝＝＝故选
(2)因为＝，所以＝＝.因为，所以，所以＝＝＝
答案：(1)D　
视角三
例4　解析：(1)式子中有根号，先考虑去根号，
＝＝
(2)由f(x)＝，可得
所以sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－2sin2x cos2x＝.
(3)当α时，α
＝，所以
所以＝
＝[()]=
所以＝.
跟踪训练　解析：(1)tan (α＋π)＋＝tan α＋.
因为sin α＝>0，且α为第二象限角，
所以cos α＝－，
所以原式＝.
(2)因为，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
答案：(1)－　(2)－3(共67张PPT)
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T11
2024年 全国甲卷T8，
北京卷T12
2023年 全国乙卷(文)T14
知识导图　
【重要结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形：
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．

答案：B


－2tan α



学霸笔记：(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求解．
答案：C



学霸笔记：(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行转化．
(2)求sin α＋cos α，sin α－cos α的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断．
答案：BD
答案：B

答案：A

答案：D




学霸笔记：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响．


－3
答案：C

答案：A

答案：D

答案：A
答案：D

答案：B

答案：B
答案：A

答案：ABD
答案：AD




答案：D
16．(5分)在角θ1，θ2，θ3，…，θ30的终边上分别有一点P1，P2，
P3，…，P30，如果点Pk的坐标为(sin (15°－k°)，sin (75°＋k°))，1≤k≤30，k∈N，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ30＝________．

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