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第七节　解三角形中的综合问题
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　多三角形问题
例1 (2026·淮安模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin (A＋C)＝2sin2，c＝2.
(1)若b＝，求AC边上的高；
(2)如图，过A作AD⊥AC，且∠ADB＝135°，记∠BAC＝θ，
①用θ表示边AD；
②若△ACD的面积为，求tanθ的大小．
学霸笔记：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
　跟踪训练　(2026·长沙模拟)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝.
(1)求∠ADB；
(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝，求CD.
视角二　三角形中的最值与范围问题
例2 (2026·临沂模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中a＝2，且满足a sin B＝b cos .
(1)求角A；
(2)求△ABC周长的取值范围；
(3)若△ABC为锐角三角形，求c－2b的取值范围．
学霸笔记：求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解．也可以利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的性质求解，此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形等．
　跟踪训练　(2026·邢台模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．
视角三　三角形中的三线问题
题型1　三角形的高线问题
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
学霸笔记：(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
(2)若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶.
　跟踪训练　在△ABC中，已知cos B(a cos C＋c cos A)＝b.若BC边上的高为BC，则cos A＝________．
题型2　三角形的角平分线问题
例4 (2026·漯河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝a－c.
(1)求角B；
(2)若BD是△ABC的一条内角平分线，b＝4，BD＝，求△ABC的周长．
学霸笔记：(1)利用角平分线定理，找边之间的关系．
(2)角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪训练　(2026·沧州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，内角A的平分线AD交BC边于点D.若b＝2，c＝1，(b＋c＋a)·(b＋c－a)＝bc，则BD＝(　　)
A． B．
C．2 D．
题型3　三角形中的中线问题
例5 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
学霸笔记：(1)可根据两角互补或面积相等用正弦、余弦定理建立方程求解．
(2)采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪训练　(2026·温州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若点D是BC的中点，且AD＝2，AB＝2，求△ABC的周长．
提示：请完成课时作业28
第七节　解三角形中的综合问题
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)因为sin (A＋C)＝2sin2，A＋B＋C＝π，
得sin(π－B)＝2sin2，
所以sinB＝2sin2，2sincos sin2，
即2sinsin －cos )＝0.
又B∈(0，π)，∈，sin ≠0，
所以cos sin ，tan ，即B＝.
在△ABC中，由正弦定理得，
即，
sin ∠ACB＝，0<∠ACB<π，所以∠ACB＝或，又>π，
所以∠ACB＝，所以∠BAC＝π－，
sin ∠BAC＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ，
所以AC边上的高为c sin ∠BAC＝2sin ∠BAC＝.
故AC边上的高为.
(2)①因为∠BAC＝θ，在△ABD中，∠ADB＝135°＝，
所以∠DAB＝－θ，∠ABD＝π－－＝θ－.
由正弦定理得，即，所以AD＝2sin .
故AD＝2sin .
②在△ABC中，∠BAC＝θ，∠ABC＝，c＝AB＝2，
所以∠ACB＝π－θ－，sin ∠ACB＝sin ＝sin ，
由正弦定理得，得AC＝，
所以S△ACD＝sin ，
所以sin ＝sin ，
即sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，
sin θ＝cos θ，所以tan θ＝2＋.
故tan θ＝2＋.
跟踪训练　解析：(1)∵tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝，
∴，
故，
由两角和的正弦公式可得，
又在△ABD中，∠ABD＋∠ADB＋∠BAD＝π，
∴sin (∠ABD＋∠ADB)＝sin (π－∠BAD)＝sin ∠BAD≠0，
∴，
故cos ∠ADB＝，由三角形内角范围知∠ADB＝.
(2)∵AD＝BD＝4，∠ADB＝，∴△ABD为边长为4的等边三角形，
在△ABC中，∠ACB＝，由正弦定理得，
∴BC＝＝8sin ∠BAC，
在△ABC中，由于∠BAC＋∠BCA＋∠ABD＋∠CBD＝π，
∴∠BAC＋＋∠CBD＝π，∴∠BAC＋∠CBD＝，
∴BC＝8sin ∠BAC＝8sin ，故BC＝8cos ∠CBD，
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD，
即CD2＝42＋BC2－8·BC·cos ∠CBD，化简得CD2＝42＋BC2－BC·BC，∴CD2＝16，即CD＝4.
视角二
例2　解析：(1)因为a sin B＝b cos ，
由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos ，
则sin A sin B＝sin Bcos A＋)＝sin B cos A＋sin B sin A．
所以sin A sin B＝sin B cos A，
又因为B∈(0，π)，可得sin B>0，
所以sin A＝cos A，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)知，A＝，由余弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
因为a＝2，所以b2＋c2＝bc＋4.
又由基本不等式，可得b2＋c2≥2bc，即bc＋4≥2bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
又因为(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝3bc＋4≤16，即0因为b＋c>a＝2，所以2所以4(3)因为a＝2且A＝，
由正弦定理得，
可得b＝sin B，c＝sin C，
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin ，
所以c－2b＝(sin C－2sin B)＝
＝cos B＋)＝cos B－)
＝4(cos B－＝4cos ，
又因为锐角△ABC中，可得即解得所以则4cos ∈，
即c－2b∈，所以c－2b的取值范围为.
跟踪训练　解析：(1)根据正弦定理＝2R，
所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，
所以，
又因为tan B＝，tan C＝，
代入化简得　①，
根据两角和的正弦公式sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
又A＋B＋C＝π，则sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，
代入①化简得 cos C＝，
因为角C∈(0，π)，所以角C＝.
(2)已知△ABC的外接圆半径为1，
由正弦定理＝2R，
可得c＝2R sin C＝2×1×，
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2ab cos C，代入c，cos C的值可得3＝a2＋b2－ab.
由基本不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，
则a2＋b2＝3＋ab≥2ab ab≤3，当且仅当a＝b＝时，ab取得最大值3.
由三角形的面积公式可得S△ABC＝ab sin C＝ab，
因为ab≤3，当且仅当a＝b＝时，ab＝3，△ABC的面积最大，
所以.
视角三
例3　解析：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理，
得BC＝×sin A＝.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，得52＝AC2＋2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，解得AC＝或AC＝2，
由(1)得，tan A＝3>，所以，
即C设AB边上的高为h，则·AC·BC sin C，
即5h＝2＝30，解得h＝6，所以AB边上的高为6.
跟踪训练　解析：由cos B(a cos C＋c cos A)＝b，根据正弦定理可得cos B(sin A cos C＋sin C cos A)＝sin B，即cos B sin B＝sin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B＝1，即cos B＝，所以B＝.设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则c·sin B＝a，即c＝a，由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2，所以b＝a，所以cos A＝.
答案：－
例4　解析：(1)由已知及正弦定理sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin C，
∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，sin A>0，
∴sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin (A＋B)＝sin A－sin A cos B－cos A sin B，
∴2sin A cos B＝sin A，∴cos B＝，∴B＝.
(2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，
可得ac sin ∠ABC＝BD·c·sin ∠ABD＋BD·a·sin ∠CBD，
又BD平分∠BAC，则∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝，
∴，
整理得3(a＋c)　①.
又由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
即a2＋c2－ac＝16，
则有16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)　②，
由①②解得a＋c＝2或a＋c＝－(舍)，
∴△ABC的周长为2＋4.
跟踪训练　解析：因为(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，所以b2＋2bc＋c2－a2＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cos A＝，又0答案：A
例5　解析：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ABD中，由余弦定理得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.在△ADC中，由余弦定理得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，所以sin B＝.所以tanB＝.
(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理得，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝
＝，解得bc＝4.
则由解得b＝c＝2.
跟踪训练　解析：(1)因为，
由正弦定理可得 c2－b2＝ac－a2 c2＋a2－b2＝ac.
又根据余弦定理cos B＝，
又B为三角形内角，所以B＝.
(2)如图，
在△ABD中AD＝2，AB＝2，
由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，
所以4＝12＋BD2－2×2 BD2－6BD＋8＝0 (BD－2)(BD－4)＝0，所以BD＝2或BD＝4.
若BD＝2，则a＝BC＝2BD＝4，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝16＋12－2×4×2＝4，所以b＝2.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2＋2；
若BD＝4，则a＝BC＝2BD＝8，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝64＋12－2×8×2＝28，所以b＝2.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2.
所以△ABC的周长为6＋2或8＋2.(共78张PPT)
第七节　解三角形中的综合问题



学霸笔记：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．



学霸笔记：求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解．也可以利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的性质求解，此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形等．


视角三　三角形中的三线问题
题型1　三角形的高线问题
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．




学霸笔记：(1)利用角平分线定理，找边之间的关系．
(2)角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
答案：A

答案：B
答案：B
答案：B
答案：B
答案：ACD
答案：ABD
7．(2026·蚌埠模拟)在△ABC中，若cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则sin C的取值范围为__________．


11．(15分)(2026·衡水模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝6，且(b＋c)·(sin B－sin C)＝－a(sin A＋sin B)．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，求线段CD长的取值范围.


(2)①因为c＝2，所以a2＋b2＝8≥2ab，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝8＋2ab≤16，即a＋b≤4，
所以a＋b＋c≤6，当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立，满足△ABC为锐角三角形，
所以△ABC周长的最大值为6.

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