资源简介

第六节　余弦定理和正弦定理
新课标要求
借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T11，全国Ⅱ卷T8
2024年 新高考Ⅰ卷T15，新高考Ⅱ卷T15
2023年 新高考Ⅰ卷T17，新高考Ⅱ卷T17
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
　知识导图
【重要结论】
在△ABC中，常有以下结论：
(1)大边对大角，大角对大边，如a>b A>B sin A>sin B，cos A(2)sin (A＋B)＝sin C；
cos (A＋B)＝－cos C；
tan (A＋B)＝－tan C；
sin ＝cos ；
cos ＝sin .
(3)三角形中的射影定理．
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
回归教材
1.(人教A版必修二P44练习T2改编)在△ABC中，a＝2，b＝＋1，则最小角为(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2．(人教A版必修二P47例7改编)在△ABC中，A＝15°，B＝45°，c＝3＋，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(人教A版必修二P54习题T22改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋a sin C－b－c＝0，则A＝________；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝________．
4．(人教A版必修二P55引用“阅读与思考”：海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则该三角形的面积S＝，这就是著名的“海伦—秦九韶公式”．若△ABC的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A.
(2)若a＝2, b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
学霸笔记：(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解；
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理推论公式cos A＝等求解．
跟踪训练　(1)(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
(2)(2026·保定模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则b＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
视角二　判断三角形的形状
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c cos B＝b－c cos A，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
　跟踪训练　在△ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
视角三　与三角形面积有关的问题
例3 (2026·巴中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且cos B＝b＝2R cos A.
(1)求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为，求b的长．
学霸笔记：(1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
(2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；
(3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形．
　跟踪训练　(2026·镇江模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2cos C·(a cos C＋c cos A)＋b＝0，c＝7.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
提示：请完成课时作业27
第六节　余弦定理和正弦定理
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：因为b答案：B
2．解析：由三角形内角和定理，得C＝180°－(15°＋45°)＝120°，由正弦定理，得a＝
＝.故选C.
答案：C
3．解析：由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0.因为sin B＝sin (π－A－C)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin ＝.又0答案：　4
4．解析：∵p＝(a＋b＋c)＝×(5＋6＋7)＝9，∴S△ABC＝.
答案：6
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)方法一　由sin A＋cos A＝2可得sin A＋＝1，即sin ＝1，
由于A∈(0，π) A＋∈，故A＋，解得A＝.
方法二　由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得到4cos2A－4cosA＋3＝0 2＝0，解得cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题设条件和正弦定理
b sin C＝c sin 2B sin B sin C＝2sin C sin B cos B，
又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，
所以C＝π－A－B＝，
sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，
由正弦定理可得，，
即，
解得b＝2，
故△ABC的周长为2＋.
跟踪训练　解析：(1)由题意得cos A＝，又0°(2)因为，由正余弦定理得，即a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＝2a·2ab，化简得b＝.故选A.
答案：(1)A　(2)A
视角二
例2　解析：由c2＝a2＋b2－ab得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.由a－c cos B＝b－c cos A，根据正弦定理可得sin A－sin C cos B＝sin B－sin C cos A，又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin B cos C＝sin A cos C，又cos C≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理可得a＝b.因为a＝b，C＝，所以△ABC是等边三角形．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：cos2，则sin C＋sin C cos A＝sin B＋sin C，即sin C cos A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin C cos A，则sin A cos C＝0，由A，C∈(0，π)，则cos C＝0，故C＝，即△ABC的形状为直角三角形．故选A.
答案：A
视角三
例3　解析：(1)由a－b＝2R cos A，
结合正弦定理＝2R得，sin A－sin B＝cos A，
化简得sin ＝sin B，因为A，B∈(0，π)，且A，B不同时为钝角，
则A－∈，
所以A－＝B，又cos B＝，所以sin B＝，
因此sin A＝sin sin B＋cos B＝.
(2)由(1)知sin A＝，cos A＝cos ，
则sin C＝sin (B＋A)＝sin B cos A＋sin A cos B＝，
由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝35∶30∶31，
令a＝35k(k>0)，则b＝30k，c＝31k，
则S△ABC＝ab sin C＝，
解得k＝，
故b＝30k＝6.
跟踪训练　解析：(1)因为2cos C(a cos C＋c cos A)＋b＝0，
所以根据正弦定理得2cos C(sin A cos C＋sin C cos A)＋sin B＝0.
因为B＝π－A－C，所以等式可化简为2cos C sin (A＋C)＋sin (A＋C)＝0，
即(2cos C＋1)sin (A＋C)＝0，又sin (A＋C)≠0，
所以2cos C＋1＝0，解得cos C＝－.
又0(2)由(1)知C＝，所以sin C＝.
根据正弦定理得a＝sin A·＝3.
根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C得b2＋3b－40＝0.
解得b＝5或b＝－8(舍去)．
所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝.(共59张PPT)
第六节　余弦定理和正弦定理
新课标要求
借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T11，全国Ⅱ卷T8
2024年 新高考Ⅰ卷T15，新高考Ⅱ卷T15
2023年 新高考Ⅰ卷T17，新高考Ⅱ卷T17
　知识导图
答案：B
答案：C

4


答案：A
答案：A
视角二　判断三角形的形状
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c cos B＝b－c cos A，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案：D
学霸笔记：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
答案：A
学霸笔记：(1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
(2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；
(3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形．

答案：C
答案：A
答案：B
答案：D
答案：C

答案：D
答案：B
答案：A
答案：CD
答案：BCD

18
13．(13分)(2026·商丘模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋ac＝a2＋c2，sin A＝2sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的外接圆半径R＝2，求△ABC的面积．
14．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
15．(5分)在△ABC中，则下列条件不是A>B的充要条件的为(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．cos 2Asin 2B
答案：D

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