资源简介

第八节　解三角形的应用举例
新课标要求 真题分布
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 近几年未单独考查
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
　知识导图
回归教材
1. (人教A版必修二P53T8改编)如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得∠BDC＝120°，∠BCD＝15°，CD＝20，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　)
A．20 B．20
C．30 D．30
2．(人教A版必修二P54习题T21改编)
如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15°的方向上，N在A的南偏东60°的方向上，在B点测得M在B的南偏西45°的方向上，N在B的南偏东30°的方向上，且AB＝2 km，则MN＝(　　)
A． km B． km
C． km D． km
3．(人教A版必修二P50例11改编)如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为________海里.
4．(人教A版必修二P49例9改编)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝(单位：千米)，则A，B两点的距离为________千米．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　距离问题
例1 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝120 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为(　　)
A．60 m B．120 m
C．120 m D．120 m
学霸笔记：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．
跟踪训练　某数学兴趣小组成员为测量某湖泊的宽度AB，选取了与A，B在同一水平面上的C，D两处作为测量点，D在C的正东方，且C，D相距10千米，C，D分别在A，B的正南方，且B在C的东偏北60°的方向上，A在D的北偏西60°的方向上，则该湖泊的宽度AB＝________千米．
视角二　高度问题
例2 (2026·河南平顶山期末)为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得PQ＝2 m，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为α，β，δ(α<δ<β)，则AB＝(　　)
A．
B．
C．
D．
学霸笔记：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角；
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
　跟踪训练　(2026·山东多校联考)某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔OP的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的A，B(A，B与该信号塔的塔底O在同一水平面上)两个测量点：从A点观测该信号塔塔顶P的仰角为30°，从B点观测该信号塔塔顶P的仰角为45°，且cos∠ABP＝，则这座信号塔的高度OP＝(　　)
A．40 米 B．40 米
C．40米 D．80米
视角三　角度问题
例3 (2026·温州模拟)某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚A处测得坡顶一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜程度为30°，沿土坡前进50 m到达E处，测得C对于山坡的倾斜度为60°，已知CD＝45 m，BC⊥AB，设土坡对于平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A．－1 B．－1
C． D．
学霸笔记：测量角度问题的关键是在弄清楚题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再利用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
　跟踪训练　如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ，则tan θ＝(　　)
A． B．
C． D．
提示：请完成课时作业29
第八节　解三角形的应用举例
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：在△BCD中，∠BDC＝120°，∠BCD＝15°，CD＝20，则∠CBD＝180°－120°－15°＝45°，由正弦定理得，所以BC＝sin ∠BDC＝sin 120°＝.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC tan ∠ACB＝10tan 60°＝10.故选C.
答案：C
2．解析：由题可知∠BAN＝30°，∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，∠ABN＝120°，∠MAN＝45°，
所以∠AMB＝60°，∠ANB＝30°，所以在△ANB中，BN＝AB＝2，AN＝，在△AMB中， AM＝，在△AMN中，MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝MN＝.故选C.
答案：C
3．解析：由题意及方位角可得∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，因为渔船以60海里/时的速度航行，所以AB＝30海里，由正弦定理可得，即，得BC＝10(海里)．
答案：10
4．解析：在△ACD中，∠ADC＝67.5°，∠ACD＝45°，则∠DAC＝180°－67.5°－45°＝67.5°，AC＝DC＝.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝2，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，∵，∴BC＝.在△ABC中，AC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝9，∴AB＝3.
答案：3
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：
如图，在△BCD中，CD＝120 m，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA＝120°＋15°＝135°，所以∠CBD＝30°，由正弦定理得，解得BD＝，在△ACD中，CD＝120 m，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，所以∠CAD＝15°，故AD＝CD＝120 m，所以在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝1202＋2－2×120×120×cos 135°＝1202×5，则AB＝120，即A，B两点间的距离为120.故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，CD＝10千米，则AD＝20千米．
在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，CD＝10千米，则BD＝30千米．在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝700，则AB＝10千米．
答案：10
视角二
例2　解析：由题意得PM＝MQ＝m，设AB＝x，则在△ABQ中，sin β＝，故AQ＝，同理可得AP＝，在△PAM中，由余弦定理得cos ∠PMA＝，在△QAM中，由余弦定理得cos ∠QMA＝，由于∠PMA＋∠QMA＝π，故cos ∠PMA＋cos ∠QMA＝0，
即＝0，
即2m2＋，
解得x＝.故选A.
答案：A
跟踪训练　
解析：根据题意画出图形，如图所示，
设OP＝h米，则AP＝2h米，BP＝h米，AB＝80米，在△ABP中，由余弦定理可得AP2＝AB2＋BP2－2AB·BP cos∠ABP，即4h2＝802＋2h2－2×80×，即h2＋40h－3 200＝0，解得h＝40或h＝－80(舍去)，则OP＝40米．故选C.
答案：C
视角三
例3　解析：已知∠CAD＝30°，∠CED＝60°，则∠CEA＝120°.所以∠ACE＝180°－30°－120°＝30°，即△ACE为等腰三角形．所以AE＝CE＝50 m．根据正弦定理 sin ∠CDE＝.因为BC⊥AB，所以∠ABD＝90°，△ABD为直角三角形．所以cos θ＝＝sin ∠ADB＝sin (π－∠CDE)＝sin ∠CDE＝.故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：由O为楼脚，OP长为楼高，则OP＝60，易得OA＝60，OB＝60．由，两式相加得，所以OC2＝30 800，则OC＝，故tan θ＝.故选C.
答案：C(共66张PPT)
第八节　解三角形的应用举例
新课标要求 真题分布
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 近几年未单独考查
　知识导图
答案：C
答案：C
3．(人教A版必修二P50例11改编)如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为________海里.
3
答案：D
学霸笔记：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．
视角二　高度问题
例2 (2026·河南平顶山期末)为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得PQ＝2 m.
答案：A

学霸笔记：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角；
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
答案：C
答案：D
学霸笔记：测量角度问题的关键是在弄清楚题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再利用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
答案：C
1．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50 n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是(　　)
A．62.4 n mile B．85.0 n mile
C．104.4 n mile D．116.0 n mile
答案：C
答案：B
答案：A
答案：B
答案：B
答案：C
答案：C
8．(2026·鹰潭模拟)镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正东方向找到一座高为7.5 m的建筑物AB，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°.
答案：B
答案：ABD


答案：AD
11．已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度AB，先在河岸边定好一条基线CD＝s，在点C测得山顶A的仰角为α，在点D测得山顶A的仰角为β.测得∠BCD＝γ，∠BDC＝δ.
答案：ACD
12．(2026·保定模拟)甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行(公路可看成一条线)，当甲骑行到A点时测得某地标建筑物P在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达B点时测得P在其北偏西15°方向上，则此时甲与P的距离BP＝________米．
13．如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是60°时，旗杆在山坡上的影子的长是20米，则旗杆的高为
________米．

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