资源简介

第四节　三角函数的图象与性质
新课标要求
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T4， 全国Ⅱ卷T15
2024年 新高考Ⅱ卷T9
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
　知识导图
【重要结论】
1．关于奇偶性的常用结论
(1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)，f(x)为偶函数 φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)，f(x)为奇函数 φ＝kπ(k∈Z)．
2．三角函数的对称性与周期性
正弦、余弦函数的图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的对称轴间的距离为其半个周期；图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半个周期；函数取最值的点与其相邻的零点距离为个周期．
回归教材
1.(多选)(人教A版必修一P200T4改编)函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　)
A．0个　　B．1个 C．2个　　D．3个
2．(人教A版必修一P214习题T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝cos
3．(人教A版必修一P207T5改编)函数y＝3sin ，x∈[0，π]的单调递减区间为________．
4．(人教A版必修一P214习题T16改编)函数f(x)＝sin 在区间上的最大值与最小值的和为________．
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　三角函数的定义域、值域(或最值)
例1 (1)在[0，2π]内，函数f(x)＝＋ln (sin x－)的定义域是(　　)
A．(，] B．
C． D．
(2)已知函数f(x)＝2cos (－2x)，则函数f(x)在上的值域为(　　)
A．[－，1] B．[－，2]
C．[－1，2] D．[－2，2]
(3)函数y＝sin x＋cos x－4sin x cos x的最大值与最小值的和是________．
学霸笔记：(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助三角函数的图象来求解．
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：
①形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
　跟踪训练　(1)函数y＝的定义域为________________．
(2)函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域是______．
视角二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性
例2 (1)(2026·邯郸一模)若函数f(x)＝sin (2x－＋φ)为偶函数，则|φ|取得最小值时，tan ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(多选)(2026·常德模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)与函数g(x)＝cos (4x＋θ)(|θ|<)的图象的对称中心完全相同，则(　　)
A．函数f(x＋)为奇函数
B．θ＝
C．直线x＝是g(x)图象的一条对称轴
D．(，0)是g(x)图象的一个对称中心
学霸笔记：(1)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
(2)周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)与y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)对称性：①对于可化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或f(x)＝A cos (ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)图象的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．②对于可化为f(x)＝A tan (ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可．
　跟踪训练　(1)(2025·全国Ⅱ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2026·周口模拟)已知x＝是函数f(x)＝sin (2x＋φ)(|φ|<)的极大值点，若f(x)在[，a]上有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为________．
视角三　三角函数的单调性
题型1　求三角函数的单调区间
例3 (1)函数f(x)＝cos 在下列哪个区间上单调递增(　　)
A． B．
C． D．
(2)函数y＝2sin (－2x＋)，x∈[－π，0]的单调递减区间为____________．
学霸笔记：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
跟踪训练　函数y＝tan 的单调递减区间为____________．
题型2　根据单调性求参数
例4 (2026·中山模拟)已知函数f(x)＝(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．
学霸笔记：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
　跟踪训练　若函数f(x)＝cos (ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围为________．
提示：请完成课时作业25
第四节　三角函数的图象与性质
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：画出函数f(x)的图象，如图所示，
当t＜0或t≥2时，有0个交点；当t＝0或≤t＜2时，有1个交点；当0＜t＜时，有2个交点．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：y＝上单调递减，y＝cos x的最小正周期为2π，y＝tan x在区间上单调递增，y＝cos 的最小正周期为4π.故选A.
答案：A
3．解析：由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，，故此时函数的单调递减区间为.
答案：
4．解析：因为－，所以－，所以－1≤sin ，所以－sin ，即f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.故最大值与最小值的和为－.
答案：－
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)由题意得解得所以≤x<，即在[0，2π]内，函数f(x)的定义域为.故选C.
(2)因为x∈，所以－2x∈，则∈，所以f(x)＝2cos ∈.故选B.
(3)因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x，所以y＝sin x＋cos x－2[(sin x＋cos x)2－1]，令t＝sin x＋cos x＝sin ，可知t∈，则y＝－2t2＋t＋2，t∈，二次函数的图象开口向下，对称轴为t＝，当t＝，ymax＝－2×2＋，当t＝－，ymin＝－2×2－，即最大值与最小值的和是.
答案：(1)C　(2)B　(3)
跟踪训练　解析：(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0，利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示，
在[0，2π]上，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的定义域为R，
则f(x)＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，而－1≤sin x≤1，因此当sin x＝时，f(x)max＝；当sin x＝－1时，f(x)min＝－3，所以函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域是
答案：(1)
例2　解析：(1)根据正弦函数的图象和性质，若y＝sin (ωx＋θ)为偶函数，则已知函数f(x)＝sin (2x- +φ)为偶函数，则需满足＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ＋
当k＝0时，φ＝，|φ|＝；当k＝－1时，所以|φ|取得最小值
(2)由题意知，对称中心完全相同，则周期相同，所以T＝，ω＝4，所以
则所以，0)是f(x)的一个对称中心，所以，故当k＝0时，，所以g(x)＝cos，故B正确；因为＝cos 4x，函数的定义域为R，f(x+)为偶函数，故A错误；因为，所以直线x＝不是g(x)图象的对称轴，故C错误；因为，所以(，0)是g(x)图象的一个对称中心，故D正确．故选BD.
答案：(1)C　(2)BD
跟踪训练　解析：(1)根据正切函数的性质，y＝2tan (x-)的对称中心的横坐标满足，k∈Z，即y＝2tan (x-)的对称中心是k∈Z，又a>0，则k＝0时a最小，最小值是 ，即a＝.故选B.
(2)因为x＝是f(x)＝sin (2x＋φ)的极大值点，所以，k∈Z，即φ＝
2kπ－所以f当时，
上有两个零点和三条对称轴，所以，解得
答案：(1)B　(2)
视角三
例3　解析：(1)令
令k＝0可得，f(x)的一个增区间为，结合选项可得C符合题意．故选C.
(2)由题意知y＝2sin ＝－2sin ，所以函数y＝－2sin 的单调递减区间就是y＝2sin 的单调递增区间，已知y＝sin x的单调递增区间为[2kπ，]，k∈Z，得－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为，当k＝－1时，单调递增区间为，所以y＝2sin 在[－π，0]上的单调递增区间为和，即y＝2sin 在[－π，0]上的单调递减区间为和.
答案：(1)C　(2)和
跟踪训练　解析：y＝tan ＝－tan .由kπ<3x－<＋kπ(k∈Z) －答案：(k∈Z)
例4　解析：因为x∈，且ω>0，则ωx＋∈，若函数f(x)＝2 025sin (ω>0)在区间上单调递增，注意到0∈，则解得0<ω≤1，所以ω的最大值为1.故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：由x∈，得ωx＋∈.因为f(x)在上单调递增，所以(k∈Z)得(k∈Z)，则(k∈Z)，解得答案：[9，14](共80张PPT)
第四节　三角函数的图象与性质
真题分布
2025年 全国Ⅰ卷T4，
全国Ⅱ卷T15
2024年 新高考Ⅱ卷T9
　知识导图
答案：ABC
答案：A

答案：C
答案：B
(3)函数y＝sin x＋cos x－4sin x cos x的最大值与最小值的和是____．

学霸笔记：(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助三角函数的图象来求解．
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：
①形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).


答案：C
答案：BD
答案：B


答案：C

学霸笔记：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
答案：C
学霸笔记：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
[9，14]
答案：A
答案：A


答案：C
答案：D
答案：C
答案：D
答案：A
答案：B

答案：AD
答案：ABC

解析：作出函数y＝cos x的图象，如图所示，

12．(2026·长沙二模)若函数f(x)＝5sin (x＋θ)＋12cos (x＋θ)为奇函数，则tan θ＝________．
答案：B
①④
作出函数f(x)的图象如图所示，
对于①，由图可知，函数f(x)的值域为[0，1]，①正确；对于②，因为f(π)＝|sin π|＝0，f(2π)＝|cos 2π|＝1，所以f(2π)≠f(π)，所以π不是函数f(x)的周期，②错误；

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