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第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
新课标要求
1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
真题分布
2025年 北京卷T4
2024年 新高考Ⅰ卷T7， 新高考Ⅱ卷T9
必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
　知识导图
【重要结论】
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
回归教材
1.(人教A版必修一P240习题T3(1)改编)为了得到函数y＝sin 的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上的所有点(　　)
A．横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位
B．横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位
C．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
2．(人教A版必修一P241习题T4改编)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω>0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为__________．
3．(人教A版必修一P241习题T5改编)将函数y＝3sin 的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．
4．(人教A版必修一P241习题T6)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________，t∈[0，60].
多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
例1 将函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，0<φ<π)的图象上的各点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度，然后将图象绕坐标原点顺时针旋转，最后再将图象向左平移1个单位长度，得到x＝2cos y的图象．下面说法正确的是(　　)
A．B＝－1 B．A＝1
C．φ＝ D．ω＝
学霸笔记：(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换，应利用诱导公式化为同名三角函数后求解．
跟踪训练　已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝则(　　)
A．把C1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线C2
视角二　根据图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例2 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
学霸笔记：求φ的常用方法有(1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．(2)五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
　跟踪训练　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，且f(x)的图象关于点中心对称，则f(φ)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
视角三　三角函数图象与性质的综合应用
题型1　图象与性质的综合应用
例3 (2026·衡水模拟)2025年“九·三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为f(x)＝cos .将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于x＝对称
B．函数g(x)的图象关于x＝对称
C．函数f(x)在区间上单调递减
D．函数g(x)在区间上单调递减
学霸笔记：研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
跟踪训练　(2026·周口模拟)函数f(x)＝sin (2x＋φ)，将其图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于y轴对称，若φ是使变换成立的最小正值，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
题型2　函数零点(方程根)的问题
例4 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若方程f(x)＝2m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A． B.
C． D．
学霸笔记：解决此类问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．
　跟踪训练　(2026·长沙模拟)若关于x的方程cos 2x－m sin x＝0在上有两个实数根，则m的取值范围是(　　)
A．(－1，0) B．[－1，0]
C．(0，1) D．[0，1]
题型3　三角函数模型的实际应用
例5 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K<φ<)，则(　　)
A．ω＝
B．φ＝－
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
学霸笔记：已知函数解析式利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系．
　跟踪训练　某类导弹的制导是通过导弹上的雷达接收控制方发出的回波信号来控制的，其回波信号由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)实现．我们把函数f(x)称为载波，载波的振幅A称为回波信号的强度，两个函数解析式相加称为载波的叠加．已知强度相同的两个载波f1(x)＝A sin (ωx＋α)与f2(x)＝A sin (ωx＋β)(A>0)叠加后，其回波信号的强度不变，则|α－β|的最小值为________．
提示：请完成课时作业26
第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，y＝sin x→y＝sin →y＝sin ＝A错误；对于B，y＝sin x→y＝sin →y＝＝sin ，B正确；对于C，y＝sin x→y＝sin 4x→y＝sin 4＝sin ，C错误；对于D，y＝sin x→y＝sin 4x→y＝sin 4＝sin (4x－2π)，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：由题图得A＝2，最小正周期T＝2＝π，则ω＝＝2，把代入y＝2sin (2x＋φ)得2＝，即sin ＝1，所以－＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以此函数的解析式为y＝2sin .
答案：y＝2sin
3．解析：函数y＝3sin 的图象向左平移后得到函数y＝g(x)＝3sin ＝3sin 的图象，故g(x)＝3sin .
答案：3sin
4．解析：如图所示，经过t s，秒针转过的角度为∠AOB＝·2π＝.
取AB的中点C，连接OC，则∠AOC＝∠AOB＝，所以d＝|AB|＝2|OA|sin ∠AOC＝，t∈[0，60].
答案：10sin
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：将函数x＝2cos y的图象向右平移1个单位长度，得到函数x－1＝2cos y的图象，将x－1＝2cos y逆时针旋转可得y＝2cos x＋1的图象，再将y＝2cos x＋1图象向左平移个单位长度，可得y＝2cos ＋1的图象，再将y＝2cos ＋1的图象上的各点的横坐标变为原来的，可得y＝2cos ＋1的图象，即y＝2sin [＋]＋1＝2sin ＋1的图象，又f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，0<φ<π)，所以A＝2，B＝1，ω＝2，φ＝.故ABD错误，C正确．故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：对于A，所得曲线为y＝sin 2＝＝cos ，A正确；对于B，所得曲线为y＝sin 2＝sin ＝－cos ，B错误；对于C，所得曲线为y＝sin ＝sin ＝cos ，C错误；对于D，所得曲线为y＝＝sin ＝－cos ，D错误．故选A.
答案：A
视角二
例2　解析：由题图可知，A＝1，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，此时f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝0，则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又，所以φ＝－，所以f(x)＝sin ，由题图可知，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则，即x1＋x2＝＝sin ＝sin ＝＝－sin .故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：由题图可知，A＝B＝2，又因为f(x)过点(0，3)，所以f(0)＝2sin (0＋φ)＋2＝3，解得sin φ＝，又因为0<φ<π，且(0，3)在f(x)的一个减区间上，所以φ＝，根据五点作图法可知，＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin ＋2，f(φ)＝2sin ＋2＝2sin ＋2＝4.故选A.
答案：A
视角三
例3　解析：由题意知g(x)＝f＝cos [＋]＝cos .对于A，当x＝时，2x＋，∵x＝不是y＝cos x的对称轴，∴x＝不是f(x)的对称轴，A错误；对于B，当x＝时，2x－，∵x＝不是y＝cos x的对称轴，∴x＝不是g(x)的对称轴，B错误；对于C，当x∈时，2x＋∈，∵y＝cos x在上单调递减，∴f(x)在上单调递减，C正确；对于D，当x∈时，2x－∈，∵y＝cos x在上不单调，∴g(x)在上不单调，D错误．故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：因为将函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位，可得函数g(x)＝sin ＝sin 的图象，又函数g(x)的图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，由g(0)＝±1可得＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，因为φ是使变换成立的最小正值，由k＝0时，可得φ＝.故选C.
答案：C
例4　解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ)．由函数f(x)＝2sin (2x＋φ)经过点，根据五点法作图可得2×＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.又，∴φ＝，f(x)＝2sin .令t＝2x＋，则当x∈时，t＝2x＋∈∴方程f(x)＝2m在上有两个不相等的实数根，即方程2sin t＝2m在上有两个不相等的实数根，等价于函数y＝sin t的图象与直线y＝m在上有两个交点．在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sin t，t∈的图象与直线y＝m，如图所示．
由图可知，方程f(x)＝2m在上有两个不相等的实数根时，则实数m的取值范围为m∈.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：原方程cos 2x－m sin x＝0可化为－2sin2x－m sinx＋1＝0.令t＝sin x，则t∈，所以m＝－2t＋.令g(t)＝－2t＋，t∈，又g(t)在上单调递减，所以g(t)∈[－1，0)，则m∈[－1，0)．当m＝－1时，t＝1，此时t＝sin x在上只有一个实数根，不符合条件；当m∈(－1，0)时，t∈，此时t＝sin x在上有两个实数根，符合条件．故选A.
答案：A
例5　解析：点P到水面的距离d与时间t之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K，对于A，依题意，A＝3，K＝1.5，T＝40，则ω＝，A错误；对于B，由t＝0时，得d＝3sin φ＋1.5＝0，即sin φ＝－，而－<φ<，则φ＝－，B错误；对于C，d＝3sin ＋1.5，令d＝－1.5，得3sin ＋1.5＝－1.5，解得sin ＝－1，则，解得t＝，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；对于D，由d≤0，得3sin ＋1.5≤0，即sin ≤－，则＋2kπ≤＋2kπ，k∈Z，解得40k≤t≤40＋40k，k∈Z，所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒，D正确．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：f1(x)＋f2(x)＝A sin (ωx＋α)＋A sin (ωx＋β)＝A(cos α＋cos β)sin ωx＋A(sin α＋sin β)cos ωx，叠加后强度为A·，则＝1，即cos (α－β)＝－，故.
答案：(共84张PPT)
第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
新课标要求
1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
真题分布
2025年 北京卷T4
2024年 新高考Ⅰ卷T7，新高考Ⅱ卷T9
　知识导图
答案：B
2．(人教A版必修一P241习题T4改编)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω>0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为
________________．
4．(人教A版必修一P241习题T6)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________，t∈[0，60].
答案：C
学霸笔记：(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)异名三角函数图象间的平移伸缩变换，应利用诱导公式化为同名三角函数后求解．
答案：A
答案：A
学霸笔记：求φ的常用方法有(1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．(2)五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
答案：A

答案：C
学霸笔记：研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
答案：C
答案：B
学霸笔记：解决此类问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．

答案：A
题型3　三角函数模型的实际应用
例5 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间。
答案：D
学霸笔记：已知函数解析式利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系．
跟踪训练　某类导弹的制导是通过导弹上的雷达接收控制方发出的回波信号来控制的，其回波信号由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)实现．我们把函数f(x)称为载波，载波的振幅A称为回波信号的强度，两个函数解析式相加称为载波的叠加．已知强度相同的两个载波f1(x)＝A sin (ωx＋α)与f2(x)＝A sin (ωx＋β)(A>0)叠加后，其回波信号的强度不变，则|α－β|的最小值为________．

答案：C
答案：D
答案：B
答案：C
答案：D
答案：B
答案：D
答案：D
答案：ACD
答案：AC
6

答案：C

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