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专题10 电磁感应中的单棒模型
【模型一】阻尼式单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平粗糙导轨，动摩擦因数为 , 导轨间距为 ，外接电阻为 。相关分析如下：
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3. 加速度特点： 加速度随速度减小而减小， 图像如图乙；
4. 最终状态： 静止
5. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量：
（2）能量关系： 。（最终静止时， ）
外电阻产生的焦耳热的计算：
动量关系： 。（最终静止时， ） 推导如下： 安培力的冲量： ①
对导体棒分析，由动量定理有： ②
闭合电路欧姆定律 ③
平均感应电动势： ④
位移： ⑤
联立①②③④⑤得：
若为倾斜粗糙轨道，如图丙，表达式为：
【例题精讲】
【例1】（2025 广西开学）如图所示，固定在水平桌面上的足够长的两根光滑平行金属导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为L，在两根导轨的左端端点间连接一个阻值为R的定值电阻，一根质量为m、电阻为R的均匀直金属杆ab放置在两导轨上，金属杆ab的长度也为L。现给金属杆ab一个向右的初速度v0，金属杆运动一段位移后停下，金属杆与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆做匀减速直线运动
B．通过金属杆的电流方向由b指向a
C．金属杆两端最大的电压为BLv0
D．金属杆上产生的焦耳热为
【推理过程】
【答案】D
【解答】解：B、金属杆向右运动的过程中，根据右手定则可知，通过金属杆的电流方向由a指向b，故B错误；
A、对金属杆受力分析，其速度为v时，受到的安培力大小为F＝BIL＝BL
根据牛顿第二定律有，可知，随着金属杆速度的减小，其加速度也减小，所以金属杆做加速度逐渐减小的变减速直线运动，故A错误；
C、金属杆切割磁感线产生的最大电动势为Em＝BLv0，则金属杆两端最大的电压为，故C错误；
D、根据能量守恒定律可知，金属杆上产生的焦耳热为，故D正确。
故选：D。
【变式训练】
【变式训练1】（2025 湖北开学）如图所示，固定在同一水平面内的两条平行光滑金属导轨间距为d，导轨间有垂直于导轨平面，方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨左、右两侧连接有阻值均为R的定值电阻R1、R2，阻值也为R的金属棒ab跨放于导轨上，与导轨间的夹角为θ。金属棒以速度v0水平向右匀速运动，不计导轨的电阻。下列说法中正确的是（　　）
A．金属棒中的感应电流由a流向b
B．a、b两点间的电势差为
C．流过R1的电流大小为
D．导体棒所受的安培力大小为
【变式训练2】（2025 襄城区校级模拟）如图所示，顶角为60°足够长的等腰三角形金属轨道MON水平固定在方向竖直向上，磁感应强度B＝1T的匀强磁场中，沿轨道角平分线方向建立坐标轴Ox。质量m＝5kg且足够长的金属棒ab以速度v0＝2m/s进入轨道，之后在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直，与轨道始终接触良好。已知金属棒与导轨单位长度电阻值均为rΩ，不计一切摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．当金属棒ab进入轨道后，回路中将形成逆时针方向的电流
B．当金属棒ab进入轨道后，金属棒ab将做匀减速直线运动
C．当金属棒ab的速度为1m/s时，回路中的电流大小为A
D．当金属棒ab停止时，其水平方向运动的距离为x＝3m
【变式训练3】（2025 江苏模拟）某游乐园中过山车从倾斜轨道最高点无动力静止滑下后到水平直轨道停下。为保证安全，水平轨道上安装有磁力刹车装置，其简化示意图如图所示。水平直轨道右侧与定值电阻R相连，虚线PQ的右侧有竖直向上的匀强磁场，左侧无磁场。过山车的刹车金属片可等效为一根金属杆ab，其从倾斜轨道上某一位置由静止释放，最终静止在水平轨道某一位置，忽略摩擦力和空气阻力。下列关于金属棒ab运动过程中速率v、加速度大小a与运动时间t或运动路程s的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练4】（2025秋 盐池县校级期中）如图所示，在水平面内上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动。线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面。金属棒ab的质量为m，长度为L（与导线框等宽），阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计。
（1）求金属棒两端电压大小Uab；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，金属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q。
【模型二】发电式单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒在 的作用下滑上水平粗糙导轨，动摩擦因数为 , 导轨间距为 ，外接电阻为 。相关分析如下。
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度增大而增大：
3. 加速度特点： 随着的增大，加速度 逐渐减小， 图像如图乙。
4 . 最终状态： 匀速运动
5. 两个极值：
(1) 时，有最大加速度：
(2) 时，有最大速度：由 ，得
6. 稳定后的能量转化规律：
7. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量：
（2）能量关系： 。（匀速时 取 ）
（3）动量关系：由 ，得 。（匀速时 取 ）
8. 若 的作用下使导体棒做匀加速直线运动，则 随时间线性变化。
证明： 根据法拉第电磁感应定律 ①
闭合电路欧姆定律： ②
安培力： ③
由①②③得：
由牛顿第二定律： ⑤
由运动学公式：v=t⑥
联立⑤⑥得：
由⑦式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即 。
9.几种变化
（1）电路变化，如图丙；
（2）磁场方向变化，如图丁；
（3）导轨面变化（竖直或倾斜），如图戊、己。
【例题精讲】
【例1】（2024春 黔江区校级月考）如图1所示，两条相同且足够长的粗糙平行导轨水平固定在桌面上，导轨左侧连接一阻值为R的定值电阻，一细直导体杆与导轨垂直并接触良好，导体杆长度与两导轨间宽度相同，整个装置处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，导轨电阻不计。导体杆在水平向右的恒定拉力F作用下由静止开始运动；当导体杆的电阻为R、质量为m时，恒定拉力F与导体杆的最大速率v之间的关系如图2中直线①所示；其他条件不变，当导体杆电阻为R′、质量为m′时，恒定拉力F与导体杆的最大速率v之间的关系如图2中直线②所示。若两导体杆与导轨间的动摩擦因数处处相同，则下列关系正确的是（　　）
A．m′=2m, R′=2R B．m′=1m, R′=3R
C．m′=2m, R′=3R D．m′=1m, R′=2R
【推理过程】
【答案】C
【解答】解：由题知，导体杆在水平方向上受到恒定拉力F、安培力和摩擦力作用，设导体杆的电阻为R0，则其所受安培力
当导体杆达到最大速率时
由F﹣v图像知
纵截距
则
解得
R′=3R
解得
m'=2m
故ABD错误，C正确；
故选：C。
【变式训练】
【变式训练1】（2025 兰州开学）如图所示，水平绝缘地面上固定一足够长的光滑U形导轨，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将金属棒ab垂直放置在导轨上，在垂直于棒的拉力F作用下，金属棒由静止开始向右运动。若拉力F的大小保持不变，金属棒的速度达到最大速度的时。加速度大小为a1；若拉力F的功率保持不变。金属棒的速度达到最大速度的时，加速度大小为a2。已知上述两种情况下金属棒的最大速度相同，金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，电路中除金属棒以外的电阻均不计，则等于（　　）
A．1 B． C． D．
【变式训练2】（2025春 北京校级月考）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面方向向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止到下落高度为h的过程中，下列说法中不正确的是（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【变式训练3】（多选）（2025 河北三模）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，间距l＝0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R＝0.6Ω的电阻。整个金属导轨置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。将质量m＝2kg，电阻r＝0.4Ω的金属杆ab垂直放置在导轨上。金属杆ab在水平拉力F的作用下由静止开始向右做匀加速运动，开始时，水平拉力为F0＝1N，运动过程中金属杆始终垂直导轨并与导轨接触良好，则下列说法正确的是（　　）
A．4s末回路中的电流为2A
B．回路中有顺时针方向的感应电流
C．若4s内电阻R上产生的热量为6J，则水平拉力F做的功为14J
D．4s内通过电阻R电荷量为2C
【变式训练4】（多选）（2025 河南模拟）如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨竖直固定放置，导轨上端连接有电阻为R的定值电阻，水平边界a、b间，c、d间分别有垂直于导轨平面向里的匀强磁场1、2，磁场的磁感应强度大小均为B，磁场的宽度均为h，一个质量为m、长度大于L的金属棒垂直于导轨放置并在图示位置由静止释放，重力加速度为g，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，金属棒穿过两磁场的时间和穿过b、c间的时间均相等，不计金属棒的电阻，则下列说法正确的是（　　）
A．金属棒进磁场1后有可能先做加速运动
B．金属棒进入磁场1、2后均先做减速运动
C．b、c间的距离一定大于h
D．金属棒刚进入磁场1或磁场2时，受到安培力的大小F＞2mg
【模型三】无外力充电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平光滑导轨，导轨间距为 ，外接电阻为 ，电容为 ，相关分析如下。
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，电容器充电。
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度减小而减小，一定有：
3.加速度特点： 棒做加速度 减小的减速运动， 图像如图乙。
4. 最终状态： 匀速运动。电容器两端电势差： ，此时 ，棒匀速运动。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电荷量：
（2）电势差得关系：
（3） 动量关系： 由 ，得 。
【例题精讲】
【例1】（2025春 西城区校级期中）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒中的电流强度越来越大
B．金属棒的速度越来越小，直到减小为零
C．金属棒的速度越来越小，稳定后速度为v
D．电容的电荷量越来越大，最大值为q
【推理过程】
【答案】C
【解答】解：当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，金属棒ab中有充电电流，金属棒ab受到安培力的作用而减速，当金属棒ab以稳定速度v匀速运动时，电流不变且为零，电容器两端的电压等于电动势，即
E＝BLv＝UC
电容器两端的电压
对金属棒ab，以向右为正方向，由动量定理可得
其中
联立可得
故ABD错误，C正确。
故选：C。
【变式训练】
【变式训练1】（2024春 江北区校级月考）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　）
A．杆的速度越来越小，直到减小为零
B．杆的速度越来越小，稳定后速度为
C．电容的电荷量越来越大，最大值为
D．电流强度越来越大
【变式训练2】（2022 天津模拟）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（　　）
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
【变式训练3】（多选）（2023春 荔湾区校级月考）在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是（　　）
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
【模型四】无外力放电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平光滑导轨，导轨间距为 ，外接电阻为 ，电容为 ， 相关分析如下。
1. 电路特点： 电容器充电， ; 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动，
2. 安培力的特点： 安培力为动力，并随速度增大而减小，有：
3.加速度特点：棒做加速度 减小的加速运动；v-t 图像如图乙。
4. 最终状态： 匀速运动。电容器两端电势差： ，此时 ，棒匀速运动。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电结束时电荷量： ；放电结束时电荷量：
电容器放电荷量：
（2）电势差的关系：
（3）动量关系： 由 ，得
【例题精讲】
【例1】（多选）（2025 德阳二模）两根足够长的平行光滑导轨固定在水平面上，导轨左侧连接有单刀双掷开关，接头A连接充满电荷的平行板电容器C，接头B连接定值电阻R，两导轨之间有垂直导轨平面的匀强磁场（未画出），一根导体棒置于导轨上且与导轨垂直并接触良好，如图所示。现将开关掷于接头A，一段时间后掷于接头B，流过导体棒电量的绝对值q与时间t的关系图像和导体棒运动的v﹣t图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【推理过程】
【答案】AD
【解答】解：AB、当开关接A，电容器与导体棒形成回路。导体棒受安培力F＝BIL加速运动，产生反向电动势E'＝BLv。随着速度v增大，反向电动势增大，电流I逐渐减小，安培力减弱，导体棒做加速度减小的加速运动。当U＝ BLv时电流为零，导体棒匀速。电量q为电流对时间的积分，规定导体棒运动方向为正方向，对导体棒根据动量定理有BLt＝mv﹣0，qt，最终趋于q；当开关接B，导体棒与电阻R形成回路。导体棒因惯性继续运动，切割磁感线产生电流I，方向与之前相反。安培力F＝BIL阻碍运动，导体棒做加速度减小的减速运动，则通过导体棒的电流继续增加，所以在A阶段，q随时间增速逐渐减慢，曲线趋近于qA；在B阶段，q继续增加但增速再次减慢，总趋势为单调递增。正确图像应体现两阶段增速递减的特征，故A正确，B错误；
CD、根据上面的分析，可知在A阶段，v随时间曲线上升，加速度逐渐减小至零；在B阶段，导体棒做的是加速度减小的减速运动，故C错误，D正确。
故选：AD。
【变式训练】
【变式训练1】（2024春 沙坪坝区校级月考）间距为L的水平放置的平行金属光滑轨道（电阻不计），处于竖直向下的匀强磁场中，一端与电动势为E的电源相过，轨道间串联接入电容器C和定值电阻R1；质量为m、电阻不计的金属棒放置于快道上。开始时单刀双掷开关S和接线柱1接通，电容器充电完毕后，将S从1拨到2，同时让金属棒以初速度v0向右运动，最终金属棒达到稳定状态。已知轨道足够长，以下金属棒运动的速度随时间变化的图像，不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练2】（多选）（2025 五华区模拟）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R，开关闭合前电容器有一定电量（上极板带正电），闭合开关瞬间导体棒的加速度大小为a，以下说法正确的是（　　）
A．闭合开关前电容器的电荷量为
B．闭合开关瞬间导体棒两端电势差为
C．在导体棒匀速后导体棒两端电势有φa＝φb
D．导体棒运动最大速度为
【变式训练3】（多选）（2025 武功县校级模拟）如图，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平光滑且足够长的平行导轨间距为L，电源电动势为E，内阻为r，电容器电容为C，开始不带电。一长度略大于L的导体杆垂直导轨放置，与两导轨接触良好，开始处于静止状态。导体杆质量为m，导体杆在导轨间的电阻为R，导轨电阻不计。现把开关拨到1，导体杆开始加速，经过足够长时间，速度达到稳定值v1。再把开关拨到2，导体杆开始减速，经过足够长时间，速度达到稳定值v2。下列说法正确的是（　　）
A．开关拨到1瞬间，导体杆的加速度大小为
B．
C．开关拨到2瞬间，导体杆的加速度大小为
D．
【变式训练4】（多选）（2025 宜秀区校级模拟）如图，两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨（不计电阻）间距为L，处在方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨上静置一质量为m、长度为L的金属棒，金属棒与导轨始终保持良好接触且电阻均忽略不计，图中电源电动势为E、内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R，首先将开关S接1，当金属棒达到最大速度后，再将开关S接2，直到金属棒达到稳定，整个过程中金属棒始终在导轨上，下列说法正确的是（　　）
A．开关S接1的瞬间，金属棒的加速度大小为
B．开关S接1后，金属棒从静止开始至达到最大速度的过程中，R上产生的焦耳热为
C．开关S接2后，金属棒达到稳定时的速度大小为
D．开关S接2后，金属棒达到稳定时，电容器C所具有的电荷量为
【模型五】 有外力充电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒在外力 的作用下滑上水平光滑导轨。导轨间距为 ，电容为 。相关分析如下：
1. 电路特点：电容器充电， ；
2. 安培力的特点：安培力为阻力，且恒定；
3.加速度特点： 棒做加速度 恒定的加速运动； v-t 图像如图乙。
4. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电结束时的电荷量：设金属棒运动的速度大小为 ，则感应电动势为 ①
经过 速度为 ，此时感应电动势②
时间内流入电容器的电荷量 ③
（2）加速度关系：电流 ④
安培力 ⑤
由牛顿第二第定律
解得： ⑦
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
（3）能量关系：对于导体棒 ，克服安培力做多少功，就应有多少能量转化为电能，
则有： ⑧
⑨
由⑦⑧⑨式得：
所以在 秒内转化为电能的多少是：
做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：
【例题精讲】
【例1】（多选）（2025 河南开学）如图所示，足够长的光滑平行导轨PQ、MN固定在绝缘水平桌面上，间距为L，导轨左端接有阻值R的定值电阻，质量为m，电阻为r的导体棒ab垂直静置于导轨上，与导轨接触良好，其长度等于导轨间距，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，现给导体棒施加一个水平向右的恒力F，使导体棒从静止开始运动，已知导体棒最大速度为vm，导体棒从开始运动到刚好达到最大速度过程的位移为x，则下列说法正确的是（　　）
A．力F的大小等于
B．当导体棒速度为v时（v＜vm），导体棒的加速度的大小为
C．导体棒开始运动到刚好达到最大速度所用时间为
D．导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程中，电阻R产生的热量为
【推理过程】
【答案】BC
【解答】解：AB、当导体棒速度为v时，有
E＝BLv
F﹣BIL＝ma
联立可得
解得导体棒的加速度大小为
当a＝0时，导体棒的速度达到最大，可得，故A错误，B正确；
C、导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程，取向右为正方向，对导体棒，根据动量定理得
又因为
解得，故C正确；
D、导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程中，由功能关系得
则电阻R的产生的热量为，故D错误。
故选：BC。
【变式训练】
【变式训练1】（2025春 北京校级月考）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面方向向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止到下落高度为h的过程中，下列说法中不正确的是（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【变式训练2】（多选）（2025 南宁校级模拟）如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在水平桌面上，匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨电阻不计，其左侧接阻值R1＝12Ω的定值电阻。质量m＝1kg，阻值R2＝6Ω的金属杆AB置于轨道上，与轨道垂直且接触良好，杆受到水平拉力F的作用，力F随时间t变化的图像如图乙所示。杆由静止开始做匀加速直线运动，t＝2s时撤去F，关于杆从静止开始的整个运动过程，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆做匀加速运动的加速度大小为2m/s2
B．整个过程金属杆的位移为8m
C．整个过程金属杆产生的热量为
D．整个过程通过定值电阻的电量为2C
【变式训练3】（多选）（2025 厦门模拟）如图所示，一质量为M的足够长“匚”型金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。质量为m、电阻不计的导体棒PQ平行bc放置在导轨上，PQ左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨单位长度的电阻为R0，bc长为L，初始时bc与PQ间距离也为L。分界线ef与bc平行，其左侧有竖直向上的匀强磁场，右侧有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。在t＝0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨bc段中点，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，PQ与导轨间动摩擦因数为μ，且始终接触良好，则（　　）
A．回路中的电动势先增大后减小
B．运动过程中拉力F的最大值为
C．若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q
D．若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服摩擦力做功为μmgaμQ
【变式训练4】（多选）（2025 泰安一模）如图所示，水平面上固定两条光滑金属平行轨道，轨道间距为0.4m，轨道处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为25T，其左端通过导线与电容为2×10﹣3F的平行板电容器的极板A、B分别相连。将一质量为0.1kg且电阻不计的金属棒MN置于金属轨道上，并通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为0.2kg的小物块相连。现将金属棒MN和小物块同时由静止释放，经2s金属棒到达PP′处。整个过程中MN始终垂直于轨道且与轨道接触良好，电容器未被击穿，重力加速度大小取10m/s2，导线、轨道电阻均不计。则金属棒MN从释放到运动至PP′的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒MN的位移大小为8m
B．金属体MN的位移大小为
C．电容器储存的最大电能为6.4J
D．电容器储存的最大电能为12.8J
【模型六】含源电动单杆模型
【模型剖析】
如图甲，在间距为 的水平光滑导轨上，质量为 ，电阻为 的导体棒接入电路中，电源电动势为 ，内阻为 。
相关分析如下： 开关 刚闭合时， ab 杆所受安培力 ，此时 ；
速度 加速度 ，当 时， 最大，且 。
1. 电路特点： 电源放电， ；
2. 安培力的特点：安培力为动力，随速度增加而减小；
3.加速度特点：棒做加速度 减小的加速运动；v-t 图像如图乙。
4. 最终状态：匀速运动，导体棒两端电势差等于电源电动势： 。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量： 来自电源和棒，所以 不适用；可根据动量定理计算得： 。
（2）能量关系：电源输出的电能转化为动能： 为回路产生的焦耳热，匀速时 取 。
（3）动量关系： 。（匀速时 取 ）
【例题精讲】
【例1】（2025 连云港一模）如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【推理过程】
【答案】B
【解答】解：AB、开关S闭合后，导体棒在安培力的作用下向右加速运动，当导体棒的速度为v时，电路中总的电动势为
E合＝E﹣BLv
回路中的电流为
根据牛顿第二定律有
F＝BiL＝ma
导体棒的加速度大小为
由此可知，随着速度的增大，导体棒的加速度逐渐减小，感应电流也越来越小，当导体棒的加速度为零时，速度达到最大，此后做匀速直线运动，此后回路电流为零，所以v﹣t图像的斜率逐渐减小直至零，故A错误，B正确；
CD、由法拉第电磁感应定律有。开关S闭合后，导体棒由静止开始运动向右做加速运动，其速度越来越大，将越来越大，即Φ﹣t图像的斜率将越来越大。根据，随着a减小，a﹣t图像的斜率将越来越小，故CD错误。
故选：B。
【例2】（多选）（2025 云南开学）如图所示，足够长的平行光滑导轨水平放置在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小B＝3T，导轨宽度L＝1m，左端通过导线连接了电源和开关S，电源的电动势E＝6V，内阻r＝1Ω。一质量m＝0.1kg的导体棒垂直于导轨放置，并与导轨接触良好，其接入电路的阻值R＝2Ω，导体棒的中部通过绕过光滑定滑轮的绝缘轻绳连接了一质量M＝0.4kg的物块，用手托住物块保持静止且轻绳恰好处于伸直状态。t＝0时刻，释放物块并闭合开关S，取重力加速度大小g＝10m/s2，最后物块做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　）
A．导体棒向左先加速后匀速运动
B．物块做匀速直线运动时，导体棒的速度大小为1.5m/s
C．刚释放物块时，通过导体棒的电流为2A
D．刚释放物块时，导体棒的加速度大小为20m/s2
【推理过程】
【答案】AC
【解答】解：CD、刚释放物块时，通过导体棒的电流I0A＝2A
对导体棒和物块整体，由牛顿第二定律得
BI0L﹣Mg＝（M+m）a0
解得，故C正确，D错误；
AB、释放物块且闭合开关后，以向左为正方向，设导体棒的速度大小为v，通过导体棒的电流为
对导体棒和物块整体，由牛顿第二定律有BIL﹣Mg＝（M+m）a
则加速度大小
可得a＞0，随着速度的增大，加速度a逐渐减小到0，当加速度a＝0时，即BIL＝Mg时，可得，即导体棒向左先加速后匀速运动，故A正确，B错误。
故选：AC。
【变式训练】
【变式训练1】（2024 樟树市校级模拟）如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．长度为L，质量为m，电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒受到的安培力一直增大
B．导体棒受到的安培力的方向始终不变
C．导体棒能够达到的最大速度为
D．导体棒能够达到的最大速度为
【变式训练2】（多选）（2025春 厦门期末）如图所示，间距为L的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定放置，导轨平面倾角为30°，平行于底边的虚线ef下方存在垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电阻为R的导体棒垂直导轨放置于ef上方的无磁场区，导轨上端接有电动势的电源。将导体棒由静止释放后，第一次到达ef进入磁场时速度大小为v1，一段时间后再次回到ef位置时速度大小为v2，已知除导体棒外，其余电阻均不计，重力加速度大小为g，则（　　）
A．v1＜v2
B．导体棒第一次到达ef进入磁场瞬间的加速度大小
C．导体棒从第一次到达ef到再次回到ef所用的时间
D．导体棒从第一次到达ef到再次回到ef所用的时间
【变式训练3】（多选）（2025 山东模拟）如图所示，两条间距为d平行光滑金属导轨（足够长）固定在水平面上，导轨的左端接电动势为E的电源，右端接定值电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上。两端都足够长的金属棒MN斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为30°，导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计，电源的内阻与定值电阻阻值相等。当电键S1断开，电键S2闭合，给金属棒一个沿水平方向与棒垂直的恒定作用力F0，经过时间t0金属棒获得最大速度v0，定值电阻的最大功率为P0，在此过程中金属棒的最大加速度为a0，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒的质量为
B．电源的内阻为
C．0～t0时间内，流过定值电阻某一横截面的电荷量为
D．若电键S2断开，电键S1闭合，则金属棒稳定运行的速度为
【变式训练4】（多选）（2025 安徽模拟）如图所示，半径为L的光滑圆形金属轨道固定放置在绝缘水平面上，圆心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的足够长平行光滑倾斜导轨通过导线分别与圆形轨道及导体轴相连。倾斜导轨和圆形金属轨道分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。细导体棒OA在水平面内绕O点沿逆时针方向以角速度ω匀速转动时，水平放置在导轨上的导体棒CD恰好静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．C端的电势高于D端
B．CD棒的质量
C．若锁定OA棒，将CD棒由静止释放，CD棒运动的最大速度
D．若OA棒以匀速转动，CD棒由静止释放经时间t达到匀速，则这段时间内CD棒的位移
一、选择题（共8小题）
1.（2025 湖北模拟）如图所示，竖直放置的光滑导轨宽为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨的一部分处于宽度和间距均为d、磁感应强度大小均为B的4个矩形匀强磁场中。质量为m的水平金属杆ab在距离第1个磁场上边界h高度处由静止释放，金属杆进入每个磁场时的速度都相等。金属杆接入导轨间的电阻为3R，与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g，h＞d，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆从第4个磁场穿出时金属杆中产生的热量为8mgd
B．金属杆从第4个磁场穿出时的速度大小
C．金属杆穿过第1个磁场的过程，通过电阻R的电荷量
D．金属杆在第1个磁场中做加速度越来越大的减速运动
2.（2025 吉林校级三模）电磁炮的基本发射原理如图所示，宽度为L的两条平行金属导轨水平固定，磁感应强度大小为B的匀强磁场方向竖直向上，带有弹体的金属杆垂直导轨放置，现给金属导体通上恒定电流I，经过一段时间t，弹体与金属杆的整体发射出去。已知弹体与金属杆的整体质量为m，金属杆与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．弹体的加速度大小为
B．金属杆与导轨间的摩擦生热为μgBILt2μ2g2mt2
C．弹体发射出去时的速度大小为
D．若金属导轨的电阻忽略不计，发射过程中消耗掉的电能为
3.（2025 宜秀区校级模拟）如图所示，两光滑金属轨道平行固定在水平面上，右端连接阻值为R的电阻，一根电阻为r的金属棒垂直放置在轨道上与绝缘弹簧拴接在一起，弹簧另一端固定。开始时金属棒处于O位置，弹簧处于原长，如果将弹簧拉到M处由静止释放，运动到最左端N处时金属棒的速度为0。已知OM＝x0，弹簧的劲度系数为k，不计金属轨道的电阻，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒第一次运动到O处时速度最大
B．金属棒在M处加速度大小等于在N处加速度大小
C．金属棒由M向N运动的过程中通过R的电流一直增大
D．金属棒最终停下时，金属棒上产生的热量为
4.（2025 河南模拟）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上下两端用阻值均为2R的电阻相连，该装置处于磁感应强度大小为B、竖直向上的匀强磁场中。上端电阻2R两端分别与一电容器两极板相连，电容器两极板间距为d，二极管为理想二极管，电容器上极板接地。质量为M、电阻为R、长也为L的金属杆ab垂直导轨放置，由静止释放金属杆ab经时间t后做匀速直线运动，金属杆ab匀速运动时，一质量为m的带电液滴恰好悬浮在两极板间P点。在运动过程中，ab始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻及空气阻力，重力加速度为g。则（　　）
A．金属杆匀速运动时，若将电容器上极板向上移动，带电液滴将向下运动
B．金属杆匀速运动的速度大小为
C．带电液滴的电荷量为
D．金属杆匀速运动时，若将电容器下极板向上移动，则P点的电势不变
5.（2025 保定一模）如图甲所示，两根长为L、夹角为60°的光滑导轨M、N一端固定在地面上，另一端与电动势为E的电源连接，两根导轨形成倾角为30°的斜面，有匀强磁场垂直斜面。质量为m足够长的导体棒P平行于斜面底端放置，垂直斜面的视图如图乙所示，导体棒可静止在导轨的任意位置。已知两导轨的电阻与长度成正比，总电阻均为R，与电源连接处靠得很近但彼此绝缘，不计电路其余部分的电阻，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．磁场方向垂直斜面向上
B．导体棒静止在导轨的不同位置时，电流保持不变
C．导体棒静止在导轨的不同位置时，导轨对导体棒的作用力不同
D．匀强磁场的磁感应强度为
6.（2025 连云港一模）如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7.（2024 重庆模拟）如图为某同学设计的电磁弹射装置示意图，平行的足够长光滑水平导轨MN、PQ间距为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m，长度为2L导体棒ab垂直放在导轨上。单刀双掷开关先打向c，内阻不计电动势为E的电源给电容为C的电容器充电，充完电后打向d，导体棒ab在安培力的作用下发射出去。阻力不计，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒达到最大速度前，做加速度逐渐增大的加速运动
B．导体棒以最大速度发射出去后，电容器储存的电荷量为零
C．导体棒能达到的最大速度为
D．导体棒达到最大速度时，电容器放出的电荷量为
8.（2024 重庆模拟）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，其下端开口，顶部并联接入阻值R＝6Ω的两个相同定值电阻，导轨间距L＝1m，整个装置处于磁感应强度B＝2T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。一质量m＝1kg、长度L＝1m、电阻r＝1Ω的直金属棒ab垂直放置在导轨上，导轨电阻不计。金属棒ab从静止释放至达到最大速度过程中，棒上产生的总电热为0.5J，棒始终与导轨垂直并接触良好。不计空气阻力，金属棒ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则该过程中，金属棒ab沿斜面下滑的距离是（　　）
A． B．2m C．1.2m D．1m
二、多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 广东校级期末）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨光滑，AA1右侧的导轨间存在竖直向下的匀强磁场，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨间的阻值为R，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆经过BB1的速度小于
B．流过电阻R的电流方向由上到下
C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初动能加倍，则金属杆在磁场中运动的距离是原来的2倍
（多选）10．（2025秋 潍坊月考）如图所示，两组平行光滑金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和2d，分别连接电阻R1、R2，AE、BF到外侧轨道距离相等，导轨AC、BD段表面涂有一层绝缘漆，边长为d的正方形区域Ⅰ、Ⅱ存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。在磁场左边界AB处，一长为2d的均匀导体棒以速度v0向右进入磁场，导体棒运动到磁场左边界时与两组导轨同时接触，导体棒运动到MN位置时的速度大小为v，导体棒质量为m，阻值为2R，R1、R2的阻值均为R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（　　）
A．导体棒刚进入磁场时的加速度
B．导体棒运动到MN位置时的加速度
C．导体棒运动到CD位置过程中通过R2的电荷量
D．导体棒运动到CD位置处时的速度大小
（多选）11．（2025 河北模拟）如图所示，直流电源的电动势为E，内阻不计，平行金属导轨M1N1、M2N2倾斜固定，所在平面与水平面的夹角为30°，两导轨间距为L，平行板电容器PQ的电容为C，两平行导轨间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m的金属棒CD与两导轨垂直且恰好能静止在金属导轨上。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属棒加速向下运动，达到最大速度后滑离倾斜轨道。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．充电后电容器Q板带正电
B．金属棒与导轨间动摩擦因数为
C．金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为
D．金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中安培力对金属棒做的功为
三、解答题（共3小题）
12.（2024秋 沈阳期末）如图甲所示，在倾角θ＝30°的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ，导轨间距为L＝0.2m，空间分布着磁感应强度大小为B＝2T，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根始终与导轨垂直且接触良好的金属棒a、b放置在导轨上运动过程中始终不与导轨脱离。已知两棒的长度均为L，电阻均为R＝0.2Ω，质量均为m＝0.2kg，不考虑其他电阻，不计绳与滑轮间摩擦，重力加速度大小为g＝10m/s2。
（1）图甲中若给金属棒b一个沿导轨向上的初速度v0，同时静止释放金属棒a，发现释放瞬间金属棒a恰好无运动趋势，求v0大小。
（2）将金属棒a锁定，将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接，如图乙，同时由静释放金属棒b和物块c，c质量为m＝0.2kg，求金属棒b的最大速度。
（3）在第（2）问的基础上，金属棒b速度达到最大时剪断细线，同时解除a的锁定，经t＝0.32s后金属棒b到达最高点，此时金属棒a下滑了xa＝0.1m，求金属棒b沿导轨向上滑动的最大距离xb及剪断细线到金属棒b上升到最高点时间内回路产生的热量Q。
13.（2025春 虎丘区校级月考）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨M、N被固定在水平面上，导轨间距L＝1m，其左端并联接入R1和R2的电阻，其中R1＝R2＝2Ω。整个装置处在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场中。一质量：m＝4kg、电阻r＝1Ω的导体棒ab在恒力F＝5N的作用力下从静止开始沿导轨向右运动，运动了L0＝4m时导体棒ab恰好匀速运动，导体棒垂直于导轨放置且与两导轨保持良好接触，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒的最大速度；
（2）电阻R1上产生的焦耳热；
（3）此过程中通过R2的电荷量。
14.（2025 白城校级开学）如图（a）所示，宽度为L的足够长光滑金属导轨，水平固定在磁感应强度为B、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。现有一根质量为m、电阻为R的金属棒MN放置在金属导轨上，金属棒MN始终与导轨接触良好且垂直，不计导轨电阻。
（1）若金属棒MN在水平向右的力F的作用下以速度v向右匀速运动，请利用能的转化和能量守恒定律，推导证明棒MN产生的感应电动势E＝BLv。
（2）若金属棒MN在水平恒力F的作用下由静止开始运动，分析并判断金属棒MN的速度和加速度的变化情况。
（3）若给金属棒MN向右的初速度的同时施加一水平外力，使金属棒MN作匀减速直线运动。此过程中，外力随时间的变化关系图线如图（b）所示（以初速度方向为正方向），图线与横、纵坐标交点分别为t0、F0。求金属棒MN的加速度大小a和初速度v0。
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专题10 电磁感应中的单棒模型
【模型一】阻尼式单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平粗糙导轨，动摩擦因数为 , 导轨间距为 ，外接电阻为 。相关分析如下：
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3. 加速度特点： 加速度随速度减小而减小， 图像如图乙；
4. 最终状态： 静止
5. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量：
（2）能量关系： 。（最终静止时，）
外电阻产生的焦耳热的计算：
动量关系： 。（最终静止时， ） 推导如下： 安培力的冲量： ①
对导体棒分析，由动量定理有： ②
闭合电路欧姆定律 ③
平均感应电动势： ④
位移： ⑤
联立①②③④⑤得：
若为倾斜粗糙轨道，如图丙，表达式为：
【例题精讲】
【例1】（2025 广西开学）如图所示，固定在水平桌面上的足够长的两根光滑平行金属导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为L，在两根导轨的左端端点间连接一个阻值为R的定值电阻，一根质量为m、电阻为R的均匀直金属杆ab放置在两导轨上，金属杆ab的长度也为L。现给金属杆ab一个向右的初速度v0，金属杆运动一段位移后停下，金属杆与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆做匀减速直线运动
B．通过金属杆的电流方向由b指向a
C．金属杆两端最大的电压为BLv0
D．金属杆上产生的焦耳热为
【推理过程】
【答案】D
【解答】解：B、金属杆向右运动的过程中，根据右手定则可知，通过金属杆的电流方向由a指向b，故B错误；
A、对金属杆受力分析，其速度为v时，受到的安培力大小为F＝BIL＝BL
根据牛顿第二定律有，可知，随着金属杆速度的减小，其加速度也减小，所以金属杆做加速度逐渐减小的变减速直线运动，故A错误；
C、金属杆切割磁感线产生的最大电动势为Em＝BLv0，则金属杆两端最大的电压为，故C错误；
D、根据能量守恒定律可知，金属杆上产生的焦耳热为，故D正确。
故选：D。
【变式训练】
【变式训练1】（2025 湖北开学）如图所示，固定在同一水平面内的两条平行光滑金属导轨间距为d，导轨间有垂直于导轨平面，方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨左、右两侧连接有阻值均为R的定值电阻R1、R2，阻值也为R的金属棒ab跨放于导轨上，与导轨间的夹角为θ。金属棒以速度v0水平向右匀速运动，不计导轨的电阻。下列说法中正确的是（　　）
A．金属棒中的感应电流由a流向b
B．a、b两点间的电势差为
C．流过R1的电流大小为
D．导体棒所受的安培力大小为
【答案】C
【解答】解：A、根据右手定则可知，金属棒中的感应电流由b流向a，故A错误；
B、金属棒与导轨的夹角为θ，速度水平向右，其有效切割长度为导轨宽度d，则金属棒切割产生的感应电动势为E＝Bdv0
a.b两点间的电势差为路端电压，则，故B错误；
C、干路电流为，因R1＝R2，则流过R1的电流大小为，故C正确；
D、导体棒所受的安培力大小为，故D错误。
故选：C。
【变式训练2】（2025 襄城区校级模拟）如图所示，顶角为60°足够长的等腰三角形金属轨道MON水平固定在方向竖直向上，磁感应强度B＝1T的匀强磁场中，沿轨道角平分线方向建立坐标轴Ox。质量m＝5kg且足够长的金属棒ab以速度v0＝2m/s进入轨道，之后在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直，与轨道始终接触良好。已知金属棒与导轨单位长度电阻值均为rΩ，不计一切摩擦阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．当金属棒ab进入轨道后，回路中将形成逆时针方向的电流
B．当金属棒ab进入轨道后，金属棒ab将做匀减速直线运动
C．当金属棒ab的速度为1m/s时，回路中的电流大小为A
D．当金属棒ab停止时，其水平方向运动的距离为x＝3m
【答案】D
【解答】解：A、当金属棒ab进入轨道后，回路中的磁通量增加，根据楞次定律可知，回路中将形成顺时针方向的电流，故A错误；
B.设金属棒切割磁感线的有效长度为l，金属棒的速度为v
感应电动势E＝Blv
金属棒与导轨组成的回路总电阻R＝3l r
回路中的电流
安培力
又因为金属棒的位移x
所以
对金属棒由动量定理，以水平向右的方向为正方向，得﹣∑FΔt＝mv﹣mv0＝mΔv
即一
也就是
由此可知速度的变化量与位移的平方成正比，所以金属棒ab的运动不是匀减速直线运动，故B错误；
C.当金属棒ab的速度为1m/s时，根据
可得回路中的电流大小为
故C错误；
D.由B项分析可知
从金属棒进入轨道到金属棒停止下来
Δv＝0﹣v0
所以一
联立解得
故D正确
故选：D。
【变式训练3】（2025 江苏模拟）某游乐园中过山车从倾斜轨道最高点无动力静止滑下后到水平直轨道停下。为保证安全，水平轨道上安装有磁力刹车装置，其简化示意图如图所示。水平直轨道右侧与定值电阻R相连，虚线PQ的右侧有竖直向上的匀强磁场，左侧无磁场。过山车的刹车金属片可等效为一根金属杆ab，其从倾斜轨道上某一位置由静止释放，最终静止在水平轨道某一位置，忽略摩擦力和空气阻力。下列关于金属棒ab运动过程中速率v、加速度大小a与运动时间t或运动路程s的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：AB、金属棒ab在倾斜导轨上运动时，由静止开始做加速运动，根据牛顿第二定律可得：mgsinθ＝ma金属棒的速度v＝at，所以速度与时间成正比；根据v2＝2as可知，v﹣s图像是开口向下的抛物线；
进入磁场后，由于安培力方向向左，金属棒做减速运动，根据牛顿第二定律可得：ma，所以加速度减小，故A正确、B错误；
C、由于加速度与速度成正比，所以加速度随时间的变化情况与速度随时间的变化情况相同，故C错误；
D、在极短时间Δt内，取向右为正方向，对金属棒根据动量定理可得：﹣BLΔt＝﹣mΔv，即：mΔv
所以有：Δvs，速度随位移均匀减小、加速度也随位移均匀减小，故D错误。
故选：A。
【变式训练4】（2025秋 盐池县校级期中）如图所示，在水平面内上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动。线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面。金属棒ab的质量为m，长度为L（与导线框等宽），阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计。
（1）求金属棒两端电压大小Uab；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，金属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）金属棒两端电压大小Uab为；
（2）这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q为。
【解答】解：（1）此时金属棒切割产生的电动势E＝BLv
回路中的电流
则棒两端电压大小Uab
（2）这段时间内，系统能量守恒，整个电路的发热量为
解得
又因为棒中发热量
则
答：（1）金属棒两端电压大小Uab为；
（2）这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q为。
【模型二】发电式单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒在 的作用下滑上水平粗糙导轨，动摩擦因数为 , 导轨间距为 ，外接电阻为 。相关分析如下。
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度增大而增大：
3. 加速度特点： 随着的增大，加速度 逐渐减小， 图像如图乙。
4 . 最终状态： 匀速运动
5. 两个极值：
(1) 时，有最大加速度：
(2) 时，有最大速度：由 ，得
6. 稳定后的能量转化规律：
7. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量：
（2）能量关系： 。（匀速时 取 ）
（3）动量关系：由 ，得 。（匀速时 取 ）
8. 若 的作用下使导体棒做匀加速直线运动，则 随时间线性变化。
证明： 根据法拉第电磁感应定律 ①
闭合电路欧姆定律： ②
安培力： ③
由①②③得：
由牛顿第二定律： ⑤
由运动学公式：v=t⑥
联立⑤⑥得：
由⑦式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即 。
9.几种变化
（1）电路变化，如图丙；
（2）磁场方向变化，如图丁；
（3）导轨面变化（竖直或倾斜），如图戊、己。
【例题精讲】
【例1】（2024春 黔江区校级月考）如图1所示，两条相同且足够长的粗糙平行导轨水平固定在桌面上，导轨左侧连接一阻值为R的定值电阻，一细直导体杆与导轨垂直并接触良好，导体杆长度与两导轨间宽度相同，整个装置处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，导轨电阻不计。导体杆在水平向右的恒定拉力F作用下由静止开始运动；当导体杆的电阻为R、质量为m时，恒定拉力F与导体杆的最大速率v之间的关系如图2中直线①所示；其他条件不变，当导体杆电阻为R′、质量为m′时，恒定拉力F与导体杆的最大速率v之间的关系如图2中直线②所示。若两导体杆与导轨间的动摩擦因数处处相同，则下列关系正确的是（　　）
A．m′=2m, R′=2R B．m′=1m, R′=3R
C．m′=2m, R′=3R D．m′=1m, R′=2R
【推理过程】
【答案】C
【解答】解：由题知，导体杆在水平方向上受到恒定拉力F、安培力和摩擦力作用，设导体杆的电阻为R0，则其所受安培力
当导体杆达到最大速率时
由F﹣v图像知
纵截距
则
解得
R′=3R
解得
m'=2m
故ABD错误，C正确；
故选：C。
【变式训练】
【变式训练1】（2025 兰州开学）如图所示，水平绝缘地面上固定一足够长的光滑U形导轨，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将金属棒ab垂直放置在导轨上，在垂直于棒的拉力F作用下，金属棒由静止开始向右运动。若拉力F的大小保持不变，金属棒的速度达到最大速度的时。加速度大小为a1；若拉力F的功率保持不变。金属棒的速度达到最大速度的时，加速度大小为a2。已知上述两种情况下金属棒的最大速度相同，金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，电路中除金属棒以外的电阻均不计，则等于（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设金属棒的最大速度为v，匀强磁场的磁感应强度大小为B，金属棒的电阻为R，导轨间距为L。
若拉力F的大小保持不变，加速度为零时，速度最大，则有F＝BIL＝BL
金属棒的速度达到最大速度的时，根据牛顿第二定律有
F﹣F安＝ma1
即
当拉力F的功率保持不变时有
金属棒的速度达到最大速度的时有
解得，故ABC错误，D正确。
故选：D。
【变式训练2】（2025春 北京校级月考）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面方向向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止到下落高度为h的过程中，下列说法中不正确的是（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【答案】A
【解答】解：A．根据法拉第电磁感应定律可知，导体棒产生的感应电动势为U＝Bdv
电容器两端电压在Δt时间内的变化量为ΔU＝BdΔv，Δv＝aΔt
根据电容器的定义式，在Δt时间内电容器所带电荷量的变化量为ΔQ＝CΔU
根据电流的定义式，则回路中的电流为
导体棒所受安培力为F＝BId
根据牛顿第二定律可得Mg﹣F＝（M+m）a
联立解得
可知物块做匀加速直线运动，故A错误；
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功，故B正确；
C．对物块受力分析，由牛顿第二定律可知Mg﹣FT＝Ma
解得
故C正确；
D．电容器增加的电荷量为ΔQ＝CBdΔv
又v2＝2ah
联立，解得
故D正确。
本题选错误的，故选：A。
【变式训练3】（多选）（2025 河北三模）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，间距l＝0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R＝0.6Ω的电阻。整个金属导轨置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。将质量m＝2kg，电阻r＝0.4Ω的金属杆ab垂直放置在导轨上。金属杆ab在水平拉力F的作用下由静止开始向右做匀加速运动，开始时，水平拉力为F0＝1N，运动过程中金属杆始终垂直导轨并与导轨接触良好，则下列说法正确的是（　　）
A．4s末回路中的电流为2A
B．回路中有顺时针方向的感应电流
C．若4s内电阻R上产生的热量为6J，则水平拉力F做的功为14J
D．4s内通过电阻R电荷量为2C
【答案】CD
【解答】解：A．在初始时刻，由牛顿第二定律可得：F0＝ma，代入数据解得：a＝0.5m/s2
4s末时，杆ab的速度为：v＝at＝0.5×4m/s＝2m/sab
杆产生的感应电动势为：E＝Blv＝1×0.5×2V＝1V
回路电流为：I，故A错误；
B．由楞次定律可知，回路中有逆时针方向的感应电流，故B错误；
C、设拉力F所做的功为WF，由动能定理：WF﹣WA
WA为金属杆克服安培力做的总功，根据功能关系可得：Q＝WA
根据焦耳定律可得：QR联立解得：WF＝14J，故C正确；
D、4s内通过的位移
通过R的电荷量为q，
代入数据解得：q＝2C，故D正确。
故选：CD。
【变式训练4】（多选）（2025 河南模拟）如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨竖直固定放置，导轨上端连接有电阻为R的定值电阻，水平边界a、b间，c、d间分别有垂直于导轨平面向里的匀强磁场1、2，磁场的磁感应强度大小均为B，磁场的宽度均为h，一个质量为m、长度大于L的金属棒垂直于导轨放置并在图示位置由静止释放，重力加速度为g，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，金属棒穿过两磁场的时间和穿过b、c间的时间均相等，不计金属棒的电阻，则下列说法正确的是（　　）
A．金属棒进磁场1后有可能先做加速运动
B．金属棒进入磁场1、2后均先做减速运动
C．b、c间的距离一定大于h
D．金属棒刚进入磁场1或磁场2时，受到安培力的大小F＞2mg
【答案】BCD
【解答】解：AB、设金属棒进磁场1时的速度大小为v0，出磁场1时的速度大小为v1，金属棒穿过磁场1的时间为t，以向下为正方向，根据动量定理得：
mgt﹣BLmv1﹣mv0，其中： t
可得：
因金属棒穿过两磁场的时间相同，如果进磁场1后先加速运动，则有v1＞v0，可得：0，可知金属棒穿过两个磁场的过程合力的冲量均大于零，故进磁场2后也是加速运动，那么在磁场2中的平均速度较大，故穿过磁场2的时间较短，与实际矛盾，因此金属棒不可能进磁场1后先做加速运动；若金属棒进入磁场1后做匀速运动，则金属棒进入磁场2后一定先做减速运动，同理可知两次的时间不等，因此金属棒进磁场1、2后均先做减速运动，故A错误，B正确；
C、金属棒进磁场后均先做减速运动，且通过两磁场的时间、位移均相等，则金属棒进两磁场时的速度相等，出两磁场时的速度也相等，由v﹣t图像面积可知，b、c间的距离一定大于h，故C正确；
D、金属棒在磁场1或磁场2中做加速度减小的减速运动过程，比较金属棒从b到c的运动过程，金属棒在磁场中运动时必有一时刻的加速度等于g，刚进入磁场时金属棒的加速度必然大于g，根据牛顿第二定律可知金属棒受到的安培力此时大于2mg，故D正确。
故选：BCD。
【模型三】无外力充电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平光滑导轨，导轨间距为 ，外接电阻为 ，电容为 ，相关分析如下。
1. 电路特点： 导体棒相当于电源，电容器充电。
2. 安培力的特点： 安培力为阻力，并随速度减小而减小，一定有：
3.加速度特点： 棒做加速度 减小的减速运动， 图像如图乙。
4. 最终状态： 匀速运动。电容器两端电势差： ，此时 ，棒匀速运动。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电荷量：
（2）电势差得关系：
（3）动量关系： 由 ，得 。
【例题精讲】
【例1】（2025春 西城区校级期中）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒中的电流强度越来越大
B．金属棒的速度越来越小，直到减小为零
C．金属棒的速度越来越小，稳定后速度为v
D．电容的电荷量越来越大，最大值为q
【推理过程】
【答案】C
【解答】解：当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，金属棒ab中有充电电流，金属棒ab受到安培力的作用而减速，当金属棒ab以稳定速度v匀速运动时，电流不变且为零，电容器两端的电压等于电动势，即
E＝BLv＝UC
电容器两端的电压
对金属棒ab，以向右为正方向，由动量定理可得
其中
联立可得
故ABD错误，C正确。
故选：C。
【变式训练】
【变式训练1】（2024春 江北区校级月考）如图所示，足够长的固定在水平面上的光滑U形金属框架宽为L，左端连有一不带电的电容为C的电容器（金属框架电阻忽略不计）。在框架的两平行导轨上放一质量为m、长为L、电阻为R的金属棒ab，棒始终垂直于两导轨且接触良好。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒ab一个向右的水平初速度v0使棒始终沿导轨运动，则下列关于金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中的说法中正确的是（　　）
A．杆的速度越来越小，直到减小为零
B．杆的速度越来越小，稳定后速度为
C．电容的电荷量越来越大，最大值为
D．电流强度越来越大
【答案】B
【解答】解：当金属棒ab做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，电流不变且为0，电容两端电压等于电动势即
E＝BLv＝UC
电容器两端电压
对导体棒ab，设水平向右为正方向由动量定理可得
其中
解得
，，故B正确，ACD错误。
故选：B。
【变式训练2】（2022 天津模拟）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（　　）
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
【答案】B
【解答】解：A．图1中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电电流不断减小，根据F＝BIL可知安培力减小，根据牛顿第二定律可知导体棒做变减速运动，
当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，故此时ab棒向右做匀速运动，故A错误；
BD．图2中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，根据E＝BLv可知电流减小，根据F＝BIL可知安培力减小，故加速度减小，最终ab棒静止，故B正确，D错误；
C．根据
有
得
电荷量跟导体棒ab的动量变化量成正比，因为图1中导体棒的动量变化量小于图2，所以图1中通过R的电荷量小于图2中通过R的电荷量，故C错误。
故选：B。
【变式训练3】（多选）（2023春 荔湾区校级月考）在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是（　　）
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
【答案】BD
【解答】解：ABC、图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动；
图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，ab棒的动能通过电阻R转化为内能，ab棒速度减小，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止；
图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，图甲、丙中，导体棒最终将匀速运动的速度方向不同，故AC错误，B正确；
D、甲图中棒的部分动能在电阻R上转化为焦耳热，图乙中，棒的动能全部转化为焦耳热，故有Q甲＜Q乙，故D正确。
故选：BD。
【模型四】无外力放电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒以初速度 滑上水平光滑导轨，导轨间距为 ，外接电阻为 ，电容为 ， 相关分析如下。
1. 电路特点： 电容器充电， ; 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动，
2. 安培力的特点： 安培力为动力，并随速度增大而减小，有：
3.加速度特点：棒做加速度 减小的加速运动；v-t 图像如图乙。
4. 最终状态： 匀速运动。电容器两端电势差： ，此时 ，棒匀速运动。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电结束时电荷量： ；放电结束时电荷量：
电容器放电荷量：
（2）电势差的关系：
（3）动量关系： 由 ，得
【例题精讲】
【例1】（多选）（2025 德阳二模）两根足够长的平行光滑导轨固定在水平面上，导轨左侧连接有单刀双掷开关，接头A连接充满电荷的平行板电容器C，接头B连接定值电阻R，两导轨之间有垂直导轨平面的匀强磁场（未画出），一根导体棒置于导轨上且与导轨垂直并接触良好，如图所示。现将开关掷于接头A，一段时间后掷于接头B，流过导体棒电量的绝对值q与时间t的关系图像和导体棒运动的v﹣t图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【推理过程】
【答案】AD
【解答】解：AB、当开关接A，电容器与导体棒形成回路。导体棒受安培力F＝BIL加速运动，产生反向电动势E'＝BLv。随着速度v增大，反向电动势增大，电流I逐渐减小，安培力减弱，导体棒做加速度减小的加速运动。当U＝ BLv时电流为零，导体棒匀速。电量q为电流对时间的积分，规定导体棒运动方向为正方向，对导体棒根据动量定理有BLt＝mv﹣0，qt，最终趋于q；当开关接B，导体棒与电阻R形成回路。导体棒因惯性继续运动，切割磁感线产生电流I，方向与之前相反。安培力F＝BIL阻碍运动，导体棒做加速度减小的减速运动，则通过导体棒的电流继续增加，所以在A阶段，q随时间增速逐渐减慢，曲线趋近于qA；在B阶段，q继续增加但增速再次减慢，总趋势为单调递增。正确图像应体现两阶段增速递减的特征，故A正确，B错误；
CD、根据上面的分析，可知在A阶段，v随时间曲线上升，加速度逐渐减小至零；在B阶段，导体棒做的是加速度减小的减速运动，故C错误，D正确。
故选：AD。
【变式训练】
【变式训练1】（2024春 沙坪坝区校级月考）间距为L的水平放置的平行金属光滑轨道（电阻不计），处于竖直向下的匀强磁场中，一端与电动势为E的电源相过，轨道间串联接入电容器C和定值电阻R1；质量为m、电阻不计的金属棒放置于快道上。开始时单刀双掷开关S和接线柱1接通，电容器充电完毕后，将S从1拨到2，同时让金属棒以初速度v0向右运动，最终金属棒达到稳定状态。已知轨道足够长，以下金属棒运动的速度随时间变化的图像，不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：充满电后，电容器两板电压等于E，接2之后，电容器与金属杆回路电流
I
方向沿逆时针，金属杆受向左的安培力
F'=BIL＝ma
杆向右减速，v减小且UC减小，则I减小。
①若v＝0时UC＝0，v﹣t图如B，该动程对金属杆用动量定理
BILt＝mv0
且有BILt＝BLq＝BLCE
即
v0
②若v0，则当UC＝0时，v≠0且方向向右，接下来电容器被反向充电，则
I
v减小且UC增大，当I＝0时达到稳定状态，即
BLvm＝UC
该过程
BL（CE+CUC）＝mv0﹣mvm
即
vm
该过程v﹣t图如A。
③若v0，则当v＝0时，UC≠0，接下来杆向左加速
I
v增大，且UC减小。当I＝0时达到稳定状态，即
BLvm＝UC
该过程
BL（CE﹣CUC）＝mv0+mvm
即
vm
该过程v﹣t图如D。
故C错误，ABD正确。
本题选择错误选项；
故选：C。
【变式训练2】（多选）（2025 五华区模拟）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R，开关闭合前电容器有一定电量（上极板带正电），闭合开关瞬间导体棒的加速度大小为a，以下说法正确的是（　　）
A．闭合开关前电容器的电荷量为
B．闭合开关瞬间导体棒两端电势差为
C．在导体棒匀速后导体棒两端电势有φa＝φb
D．导体棒运动最大速度为
【答案】ABD
【解答】解：A、设开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压为：
开关闭合瞬间通过导体棒的电流为：
开关闭合瞬间，对导体棒由牛顿第二定律得：BIL＝ma
联立解得：，故A正确；
B、闭合开关瞬间导体棒两端电势差等于开关闭合前电容器两极板间电压为，故B正确；
C、导体棒运动过程切割磁感线产生感应电动势，当感应电动势与电容器两极板间电压相等时流过导体棒的电流为零，导体棒不再受到安培力而做匀速直线运动，在导体棒匀速后导体棒a端电势与电容器上极板电势相同，导体棒b端电势与电容器下极板电势相同，可知：φa＞φb，故C错误；
D、导体棒达到最大速度后做匀速运动，设导体棒的最大速度为v，在导体棒匀速后电容器的电荷量为Q′，以导体棒运动方向为正方向。
由动量定理得：mv﹣0，其中：ΔQ＝Q﹣Q′
由感应电动势与电容器两极板间电压相等得：BLv＝U′
联立解得：，故D正确。
故选：ABD。
【变式训练3】（多选）（2025 武功县校级模拟）如图，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。水平光滑且足够长的平行导轨间距为L，电源电动势为E，内阻为r，电容器电容为C，开始不带电。一长度略大于L的导体杆垂直导轨放置，与两导轨接触良好，开始处于静止状态。导体杆质量为m，导体杆在导轨间的电阻为R，导轨电阻不计。现把开关拨到1，导体杆开始加速，经过足够长时间，速度达到稳定值v1。再把开关拨到2，导体杆开始减速，经过足够长时间，速度达到稳定值v2。下列说法正确的是（　　）
A．开关拨到1瞬间，导体杆的加速度大小为
B．
C．开关拨到2瞬间，导体杆的加速度大小为
D．
【答案】AD
【解答】解：A、开关拨到1瞬间，导体杆的速度为零，还没有产生动生电动势，回路电流：
根据安培力的公式，导体杆受到的安培力：
导体杆加速度大小为：，故A正确；
B、导体杆做加速度逐渐减小的加速运动过程中，当加速度减小到零时，速度达到稳定值
此时导体杆产生的动生电动势等于电源电动势E，根据动生电动势公式有：BLv1＝E
变形可得：，故B错误；
C、开关拨到2，导体杆相当于电源，开始给电容充电。开关拨到2的瞬间，电容带电荷量为零，设此时电流为I2，可得：
导体杆受到的安培力：
根据牛顿第二定律，导体杆加速度大小为：，故C错误；
D、导体杆做加速度逐渐减小的减速运动过程中，当速度达到稳定值时，电容器充电的电荷量达到Q。导体杆产生的动生电动势等于电容器两端电压U2，由以上分析有：
当导体杆速度为v时，设电流为i，取一段时间微元Δt，速度变化Δv。对此过程，以向中为正，由动量定理知：﹣BiLΔt＝mΔv
全过程求和可得：﹣BLQ＝m（v2﹣v1）
结合以上其他结论联立，可得：，故D正确。
故选：AD。
【变式训练4】（多选）（2025 宜秀区校级模拟）如图，两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨（不计电阻）间距为L，处在方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨上静置一质量为m、长度为L的金属棒，金属棒与导轨始终保持良好接触且电阻均忽略不计，图中电源电动势为E、内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R，首先将开关S接1，当金属棒达到最大速度后，再将开关S接2，直到金属棒达到稳定，整个过程中金属棒始终在导轨上，下列说法正确的是（　　）
A．开关S接1的瞬间，金属棒的加速度大小为
B．开关S接1后，金属棒从静止开始至达到最大速度的过程中，R上产生的焦耳热为
C．开关S接2后，金属棒达到稳定时的速度大小为
D．开关S接2后，金属棒达到稳定时，电容器C所具有的电荷量为
【答案】ACD
【解答】解：A.开关接1的瞬间，金属棒的速度为零，由闭合电路欧姆定律可知
E＝I（R+r）
对金属棒，由牛顿第二定律有
BIL＝ma
解得
故A正确；
B.分析可知开关接1后，金属棒速度最大时有
E＝BLvm
设经过很短的一段时间Δt，金属棒的速度改变量为Δv，以水平向右的方向为正方向，由动量定理有
BILΔt＝mΔv
金属棒从开始运动到速度达到vm有
BqL＝mvm
该过程电源消耗的电能E电＝qE
对整个系统由能量守恒可知
电阻R上产生的焦耳热
联立解得
故B错误；
CD.开关接2后，金属棒产生的电动势等于电容器电压时金属棒达到稳定速度v'则
UC＝BLv'
此时电容器的电荷量
QC＝CUC
从开关S开始接2到金属棒速度达到稳定，以水平向右的方向为正方向，由动量定理有
﹣BQCL＝mv'﹣mvm
联立解得
QC
故CD正确。
故选：ACD。
【模型五】 有外力充电单杆模型
【模型剖析】
如图甲，质量为 ，电阻为 的导体棒在外力 的作用下滑上水平光滑导轨。导轨间距为 ，电容为 。相关分析如下：
1. 电路特点：电容器充电， ；
2. 安培力的特点：安培力为阻力，且恒定；
3.加速度特点： 棒做加速度 恒定的加速运动； v-t 图像如图乙。
4. 运动过程中的三个规律
（1）电容器充电结束时的电荷量：设金属棒运动的速度大小为 ，则感应电动势为 ①
经过 速度为 ，此时感应电动势 ②
时间内流入电容器的电荷量 ③
(2）加速度关系：电流 ④
安培力 ⑤
由牛顿第二第定律
解得： ⑦
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
（3）能量关系：对于导体棒 ，克服安培力做多少功，就应有多少能量转化为电能，
则有： ⑧
⑨
由⑦⑧⑨式得：
所以在 秒内转化为电能的多少是：
做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：
【例题精讲】
【例1】（多选）（2025 河南开学）如图所示，足够长的光滑平行导轨PQ、MN固定在绝缘水平桌面上，间距为L，导轨左端接有阻值R的定值电阻，质量为m，电阻为r的导体棒ab垂直静置于导轨上，与导轨接触良好，其长度等于导轨间距，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，现给导体棒施加一个水平向右的恒力F，使导体棒从静止开始运动，已知导体棒最大速度为vm，导体棒从开始运动到刚好达到最大速度过程的位移为x，则下列说法正确的是（　　）
A．力F的大小等于
B．当导体棒速度为v时（v＜vm），导体棒的加速度的大小为
C．导体棒开始运动到刚好达到最大速度所用时间为
D．导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程中，电阻R产生的热量为
【推理过程】
【答案】BC
【解答】解：AB、当导体棒速度为v时，有
E＝BLv
F﹣BIL＝ma
联立可得
解得导体棒的加速度大小为
当a＝0时，导体棒的速度达到最大，可得，故A错误，B正确；
C、导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程，取向右为正方向，对导体棒，根据动量定理得
又因为
解得，故C正确；
D、导体棒开始运动到刚好达到最大速度的过程中，由功能关系得
则电阻R的产生的热量为，故D错误。
故选：BC。
【变式训练】
【变式训练1】（2025春 北京校级月考）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面方向向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止到下落高度为h的过程中，下列说法中不正确的是（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【答案】A
【解答】解：A．根据法拉第电磁感应定律可知，导体棒产生的感应电动势为U＝Bdv
电容器两端电压在Δt时间内的变化量为ΔU＝BdΔv，Δv＝aΔt
根据电容器的定义式，在Δt时间内电容器所带电荷量的变化量为ΔQ＝CΔU
根据电流的定义式，则回路中的电流为
导体棒所受安培力为F＝BId
根据牛顿第二定律可得Mg﹣F＝（M+m）a
联立解得
可知物块做匀加速直线运动，故A错误；
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功，故B正确；
C．对物块受力分析，由牛顿第二定律可知Mg﹣FT＝Ma
解得
故C正确；
D．电容器增加的电荷量为ΔQ＝CBdΔv
又v2＝2ah
联立，解得
故D正确。
本题选错误的，故选：A。
【变式训练2】（多选）（2025 南宁校级模拟）如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨固定在水平桌面上，匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨电阻不计，其左侧接阻值R1＝12Ω的定值电阻。质量m＝1kg，阻值R2＝6Ω的金属杆AB置于轨道上，与轨道垂直且接触良好，杆受到水平拉力F的作用，力F随时间t变化的图像如图乙所示。杆由静止开始做匀加速直线运动，t＝2s时撤去F，关于杆从静止开始的整个运动过程，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆做匀加速运动的加速度大小为2m/s2
B．整个过程金属杆的位移为8m
C．整个过程金属杆产生的热量为
D．整个过程通过定值电阻的电量为2C
【答案】AD
【解答】解：杆由静止做匀加速直线运动，故有，结合a＝2m/s2，BL＝3，故A正确；
B.撤去F前，杆运动，解得x1＝4m
速度：v＝at，v＝4 m/s，撤去F后由动量定理有：x2；
解得x2＝8m，故整个过程杆的位移X为12m，故B错误；
D.整个过程磁通量变化量Δφ＝BIX
解得Δφ＝36
又由，故D正确；
C.由能量守恒，整个过程金属杆产生的热量为F做功的，若F始终为最大值4N，其做功才为Fx1＝16J，故整个过程金属杆产生的热量小于，故C错误。
故选：AD。
【变式训练3】（多选）（2025 厦门模拟）如图所示，一质量为M的足够长“匚”型金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。质量为m、电阻不计的导体棒PQ平行bc放置在导轨上，PQ左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨单位长度的电阻为R0，bc长为L，初始时bc与PQ间距离也为L。分界线ef与bc平行，其左侧有竖直向上的匀强磁场，右侧有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。在t＝0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨bc段中点，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，PQ与导轨间动摩擦因数为μ，且始终接触良好，则（　　）
A．回路中的电动势先增大后减小
B．运动过程中拉力F的最大值为
C．若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q
D．若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服摩擦力做功为μmgaμQ
【答案】CD
【解答】解：A、导轨做初速为零的匀加速运动，t时刻的速度v＝at。回路中感应电动势：E＝BLv＝BLat，可知回路中的电动势一直增大，故A错误。
B、导轨运动以后，由v＝at，，Rx＝R0 2x，，F安＝BIL，解得：。导轨受外力F、安培力F和滑动摩擦力f，其中f＝μFN＝μ（mg+F安）。
对导轨由牛顿第二定律得F﹣F安﹣f＝Ma，联立解得：。
分析可知，当，即时，力F最大，则，故B错误。
C、克服安培力做功等于产生的焦耳热，可知若t时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q，选项C正确。
D、导轨克服摩擦力做功为W＝μ（mg+F安）x，而Q＝F安x，，则有，选项D正确。
故选：CD。
【变式训练4】（多选）（2025 泰安一模）如图所示，水平面上固定两条光滑金属平行轨道，轨道间距为0.4m，轨道处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为25T，其左端通过导线与电容为2×10﹣3F的平行板电容器的极板A、B分别相连。将一质量为0.1kg且电阻不计的金属棒MN置于金属轨道上，并通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为0.2kg的小物块相连。现将金属棒MN和小物块同时由静止释放，经2s金属棒到达PP′处。整个过程中MN始终垂直于轨道且与轨道接触良好，电容器未被击穿，重力加速度大小取10m/s2，导线、轨道电阻均不计。则金属棒MN从释放到运动至PP′的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒MN的位移大小为8m
B．金属体MN的位移大小为
C．电容器储存的最大电能为6.4J
D．电容器储存的最大电能为12.8J
【答案】AC
【解答】解：AB．设金属棒的质量为m，则小物块质量为M，轨道间距为L，以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
Mg﹣BIL＝（M+m）a
根据电流的定义式，结合电容器的定义式有：
联立可得加速度a＝4m/s2
所以金属棒的位移满足：
故A正确，B错误；
CD．根据功能关系可知，v＝at
解得E＝6.4J
故C正确，D错误。
故选：AC。
【模型六】含源电动单杆模型
【模型剖析】
如图甲，在间距为 的水平光滑导轨上，质量为 ，电阻为 的导体棒接入电路中，电源电动势为 ，内阻为 。
相关分析如下： 开关 刚闭合时， ab 杆所受安培力 ，此时 ；
速度 加速度 ，当 时， 最大，且 。
1. 电路特点： 电源放电， ；
2. 安培力的特点：安培力为动力，随速度增加而减小；
3.加速度特点：棒做加速度 减小的加速运动；v-t 图像如图乙。
4. 最终状态：匀速运动，导体棒两端电势差等于电源电动势： 。
5. 运动过程中的三个规律
（1）电荷量： 来自电源和棒，所以 不适用；可根据动量定理计算得： 。
（2）能量关系：电源输出的电能转化为动能： 为回路产生的焦耳热，匀速时 取 。
（3）动量关系： 。（匀速时 取 ）
【例题精讲】
【例1】（2025 连云港一模）如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【推理过程】
【答案】B
【解答】解：AB、开关S闭合后，导体棒在安培力的作用下向右加速运动，当导体棒的速度为v时，电路中总的电动势为
E合＝E﹣BLv
回路中的电流为
根据牛顿第二定律有
F＝BiL＝ma
导体棒的加速度大小为
由此可知，随着速度的增大，导体棒的加速度逐渐减小，感应电流也越来越小，当导体棒的加速度为零时，速度达到最大，此后做匀速直线运动，此后回路电流为零，所以v﹣t图像的斜率逐渐减小直至零，故A错误，B正确；
CD、由法拉第电磁感应定律有。开关S闭合后，导体棒由静止开始运动向右做加速运动，其速度越来越大，将越来越大，即Φ﹣t图像的斜率将越来越大。根据，随着a减小，a﹣t图像的斜率将越来越小，故CD错误。
故选：B。
【例2】（多选）（2025 云南开学）如图所示，足够长的平行光滑导轨水平放置在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小B＝3T，导轨宽度L＝1m，左端通过导线连接了电源和开关S，电源的电动势E＝6V，内阻r＝1Ω。一质量m＝0.1kg的导体棒垂直于导轨放置，并与导轨接触良好，其接入电路的阻值R＝2Ω，导体棒的中部通过绕过光滑定滑轮的绝缘轻绳连接了一质量M＝0.4kg的物块，用手托住物块保持静止且轻绳恰好处于伸直状态。t＝0时刻，释放物块并闭合开关S，取重力加速度大小g＝10m/s2，最后物块做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　）
A．导体棒向左先加速后匀速运动
B．物块做匀速直线运动时，导体棒的速度大小为1.5m/s
C．刚释放物块时，通过导体棒的电流为2A
D．刚释放物块时，导体棒的加速度大小为20m/s2
【推理过程】
【答案】AC
【解答】解：CD、刚释放物块时，通过导体棒的电流I0A＝2A
对导体棒和物块整体，由牛顿第二定律得
BI0L﹣Mg＝（M+m）a0
解得，故C正确，D错误；
AB、释放物块且闭合开关后，以向左为正方向，设导体棒的速度大小为v，通过导体棒的电流为
对导体棒和物块整体，由牛顿第二定律有BIL﹣Mg＝（M+m）a
则加速度大小
可得a＞0，随着速度的增大，加速度a逐渐减小到0，当加速度a＝0时，即BIL＝Mg时，可得，即导体棒向左先加速后匀速运动，故A正确，B错误。
故选：AC。
【变式训练】
【变式训练1】（2024 樟树市校级模拟）如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．长度为L，质量为m，电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒受到的安培力一直增大
B．导体棒受到的安培力的方向始终不变
C．导体棒能够达到的最大速度为
D．导体棒能够达到的最大速度为
【答案】C
【解答】解：AB、初始时刻回路中电流沿顺时针方向，导体棒受到的安培力向右，导体棒向右加速，导体棒切割磁感线产生感应电动势，随着速度增加，回路电动势E总＝E﹣BLv逐渐减小，导体棒受到的安培力不断减小，导体棒加速度减小。当E＝BLv时，安培力为零，由于有外力，导体棒继续向右加速，动生电动势BLv大于电源的电动势E，回路电动势方向反向，电流反向，电流反向增大，导体棒受到的安培力反向不断增加，加速度继续减小，直到安培力等于外力，故AB错误；
CD、稳定时F＝BIL，E总＝BLv﹣E＝IR，解得最大速度为，故ABD错误，C正确。
故选：C。
【变式训练2】（多选）（2025春 厦门期末）如图所示，间距为L的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定放置，导轨平面倾角为30°，平行于底边的虚线ef下方存在垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电阻为R的导体棒垂直导轨放置于ef上方的无磁场区，导轨上端接有电动势的电源。将导体棒由静止释放后，第一次到达ef进入磁场时速度大小为v1，一段时间后再次回到ef位置时速度大小为v2，已知除导体棒外，其余电阻均不计，重力加速度大小为g，则（　　）
A．v1＜v2
B．导体棒第一次到达ef进入磁场瞬间的加速度大小
C．导体棒从第一次到达ef到再次回到ef所用的时间
D．导体棒从第一次到达ef到再次回到ef所用的时间
【答案】BC
【解答】解：A.因导体棒上要产生焦耳热，由能量守恒可知第一次经过ef的动能大于再回到ef时的动能，即v1＞v2，A错误；
B.由法拉第电磁感应定律可知，导体棒第一次到达ef由于切割产生的电动势为E1＝BLv1
由闭合电路欧姆定律有I
由牛顿第二定律有BIL﹣mgsin30°＝ma
联立解得导体棒第一次到达进入磁场瞬间的加速度大小a
B正确；
CD.导体棒从第一次到达ef到再次回到ef的过程中，以沿斜面向下为正方向，由动量定理有﹣BLt+mgtsin30°＝m（﹣v2）﹣mv1
联立解得导体棒从第一次到达ef到再次回到ef所用的时间t
故C正确；D错误。
故选：BC。
【变式训练3】（多选）（2025 山东模拟）如图所示，两条间距为d平行光滑金属导轨（足够长）固定在水平面上，导轨的左端接电动势为E的电源，右端接定值电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面竖直向上。两端都足够长的金属棒MN斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为30°，导线、导轨、金属棒的电阻均忽略不计，电源的内阻与定值电阻阻值相等。当电键S1断开，电键S2闭合，给金属棒一个沿水平方向与棒垂直的恒定作用力F0，经过时间t0金属棒获得最大速度v0，定值电阻的最大功率为P0，在此过程中金属棒的最大加速度为a0，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒的质量为
B．电源的内阻为
C．0～t0时间内，流过定值电阻某一横截面的电荷量为
D．若电键S2断开，电键S1闭合，则金属棒稳定运行的速度为
【答案】AC
【解答】解：A、施加外力F0瞬间，金属棒的加速度最大为a0，根据牛顿第二定律得
F0＝ma0
解得金属棒的质量为，故A正确；
B、设电源内阻为R。金属棒获得最大速度v0时处于平衡状态，则有
Fm＝F0
由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律及安培力公式有
结合
L
联立解得，故B错误；
C、金属棒从静止开始运动的一段时间t0，取恒定作用力F0的方向为正方向，由动量定理可得
结合电流的定义式
综合计算可得
q，故C正确；
D、电键S2断开，电键S1合上，金属棒稳定运行时，回路总电动势为0，即
E合＝E﹣Em＝0
又Em＝BLvm
结合
联立可得金属棒稳定运行的速度为，故D错误。
故选：AC。
【变式训练4】（多选）（2025 安徽模拟）如图所示，半径为L的光滑圆形金属轨道固定放置在绝缘水平面上，圆心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的足够长平行光滑倾斜导轨通过导线分别与圆形轨道及导体轴相连。倾斜导轨和圆形金属轨道分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。细导体棒OA在水平面内绕O点沿逆时针方向以角速度ω匀速转动时，水平放置在导轨上的导体棒CD恰好静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．C端的电势高于D端
B．CD棒的质量
C．若锁定OA棒，将CD棒由静止释放，CD棒运动的最大速度
D．若OA棒以匀速转动，CD棒由静止释放经时间t达到匀速，则这段时间内CD棒的位移
【答案】BC
【解答】解：A、由右手定则可知，A端电势高于O端电势，电流从D流向C，故D端的电势高于C端，故A错误；
B、根据题意可知，细导体棒OA在水平面内绕O点沿逆时针方向以角速度ω匀速转动时，感应电动势为：
回路中感应电流为：
对CD棒受力分析，由平衡条件有：BIL＝mgsinθ
联立解得：，故B正确；
C、锁定OA棒，CD棒静止释放，最终匀速运动，则有BI′L＝mgsinθ
又有E′＝BLvm，
联立解得
故C正确；
D、设CD棒速度为v时，经过一小段时间Δt，速度变化量为Δv，以沿斜面向下为正方向，对CD棒由动量定理有：mgsinθ Δt﹣BI″LΔt＝mΔv
又回路的总电动势为：
总电流为：
从静止释放到速度达到最大的过程，根据有：
最终匀速运动，则根据平衡条件有：
联立解得：，故D错误。
故选：BC。
一、选择题（共8小题）
1.（2025 湖北模拟）如图所示，竖直放置的光滑导轨宽为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨的一部分处于宽度和间距均为d、磁感应强度大小均为B的4个矩形匀强磁场中。质量为m的水平金属杆ab在距离第1个磁场上边界h高度处由静止释放，金属杆进入每个磁场时的速度都相等。金属杆接入导轨间的电阻为3R，与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g，h＞d，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆从第4个磁场穿出时金属杆中产生的热量为8mgd
B．金属杆从第4个磁场穿出时的速度大小
C．金属杆穿过第1个磁场的过程，通过电阻R的电荷量
D．金属杆在第1个磁场中做加速度越来越大的减速运动
【答案】C
【解答】解：AD、金属杆在第1个磁场中运动时，根据牛顿第二定律得
可知，随速度增加，加速度减小，即金属杆在磁场中先做加速度减小的减速运动，可能再做匀速直线运动，穿过一组2d区域时，有Q0＝mg 2d，全程总热量Q＝4Q0＝8mgd，金属杆中产生的热量为，故AD错误；
B、设金属杆穿出第4个磁场的速度大小为v2，全程由能量守恒得
解得，故B错误；
C、金属杆穿过第1个磁场的过程，通过电阻R的电荷量，故C正确。
故选：C。
2.（2025 吉林校级三模）电磁炮的基本发射原理如图所示，宽度为L的两条平行金属导轨水平固定，磁感应强度大小为B的匀强磁场方向竖直向上，带有弹体的金属杆垂直导轨放置，现给金属导体通上恒定电流I，经过一段时间t，弹体与金属杆的整体发射出去。已知弹体与金属杆的整体质量为m，金属杆与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．弹体的加速度大小为
B．金属杆与导轨间的摩擦生热为μgBILt2μ2g2mt2
C．弹体发射出去时的速度大小为
D．若金属导轨的电阻忽略不计，发射过程中消耗掉的电能为
【答案】B
【解答】解：AB、弹体与金属杆受到的安培力大小为F＝BIL
金属杆受到摩擦力为f＝μN＝μmg
对弹体与金属杆的整体，根据牛顿第二定律得F﹣f＝ma
解得弹体的加速度为
弹体与金属杆的整体做初速度为零的匀加速直线运动，t时间内金属杆的位移为，则金属杆与导轨间的摩擦生热为Q＝fx，联立解得，故A错误，B正确；
C、由运动学公式v＝at，解得弹体发射出去时的速度为，故C错误；
D、若金属导轨的电阻忽略不计，根据能量守恒定律可知，发射过程中消耗的电能E等于弹体与金属杆获得的动能Ek与摩擦生热Q之和。弹体与金属杆获得的动能为，则消耗的电能为，故D错误。
故选：B。
3.（2025 宜秀区校级模拟）如图所示，两光滑金属轨道平行固定在水平面上，右端连接阻值为R的电阻，一根电阻为r的金属棒垂直放置在轨道上与绝缘弹簧拴接在一起，弹簧另一端固定。开始时金属棒处于O位置，弹簧处于原长，如果将弹簧拉到M处由静止释放，运动到最左端N处时金属棒的速度为0。已知OM＝x0，弹簧的劲度系数为k，不计金属轨道的电阻，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒第一次运动到O处时速度最大
B．金属棒在M处加速度大小等于在N处加速度大小
C．金属棒由M向N运动的过程中通过R的电流一直增大
D．金属棒最终停下时，金属棒上产生的热量为
【答案】D
【解答】解：A、金属棒第一次运动到O处弹簧弹力为0，此时有向右的安培力，加速度向右，已经在做减速运动了，因此速度不是最大，故A 错误；
B、由于金属棒由M向N运动过程中安培力做功，机械能损耗，则M处弹性势能大于N处弹性势能，那么ON＜OM，又由于在M、N两处速度为0安培力为0，合力就是弹簧弹力，则金属棒在M处加速度大于在N处加速度，故B错误；
C、金属棒由M向N运动过程中先加速再减速，根据E＝BLv可知，感应电动势先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律可知，通过R的电流先增大后减小，故C错误；
D、金属棒最终停下时，弹簧处于原长。在整个过程中弹簧弹性势能全部转化为焦耳热，金属棒与电阻串联，热量与电阻成正比，则：Qr
弹簧弹力做功大小等于减小的弹性势能，则释放的弹性势能为：
解得金属棒上产生的热量为；Qr，故D正确。
故选：D。
4.（2025 河南模拟）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上下两端用阻值均为2R的电阻相连，该装置处于磁感应强度大小为B、竖直向上的匀强磁场中。上端电阻2R两端分别与一电容器两极板相连，电容器两极板间距为d，二极管为理想二极管，电容器上极板接地。质量为M、电阻为R、长也为L的金属杆ab垂直导轨放置，由静止释放金属杆ab经时间t后做匀速直线运动，金属杆ab匀速运动时，一质量为m的带电液滴恰好悬浮在两极板间P点。在运动过程中，ab始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻及空气阻力，重力加速度为g。则（　　）
A．金属杆匀速运动时，若将电容器上极板向上移动，带电液滴将向下运动
B．金属杆匀速运动的速度大小为
C．带电液滴的电荷量为
D．金属杆匀速运动时，若将电容器下极板向上移动，则P点的电势不变
【答案】B
【解答】解：A、若金属杆ab匀速向下运动时，产生的感应电动势由b指向a，电容器上板电势高，将电容器上极板向上移动，电容减小，电容器要放电，但由于二极管的单向性，电容器不能放电，所以电容器电荷量不变，场强不变，带电粒子受力不变，则带电液滴不动，故A错误；
B、金属杆匀速运动时，由平衡条件有Mgsinθ＝BILcosθ
金属杆切割磁感线产生的感应电动势为E＝BcosθLv
根据闭合电路的欧姆定律可得
联立解得匀速运动的速度大小为，故B正确；
C、带电液滴平衡时，有
根据欧姆定律可得
解得带电液滴的电荷量大小为
根据平衡条件可知，粒子带负电，故C错误；
D、金属杆匀速运动时，若将电容器下极板向上移动，电容器的电容增大，继续充电，根据Q＝CU，U不变，d减小，E增大，上极板与P点距离不变，上极板与P点间电势差增加，上极板接地电势为0，则P点电势降低，故D错误。
故选：B。
5.（2025 保定一模）如图甲所示，两根长为L、夹角为60°的光滑导轨M、N一端固定在地面上，另一端与电动势为E的电源连接，两根导轨形成倾角为30°的斜面，有匀强磁场垂直斜面。质量为m足够长的导体棒P平行于斜面底端放置，垂直斜面的视图如图乙所示，导体棒可静止在导轨的任意位置。已知两导轨的电阻与长度成正比，总电阻均为R，与电源连接处靠得很近但彼此绝缘，不计电路其余部分的电阻，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．磁场方向垂直斜面向上
B．导体棒静止在导轨的不同位置时，电流保持不变
C．导体棒静止在导轨的不同位置时，导轨对导体棒的作用力不同
D．匀强磁场的磁感应强度为
【答案】D
【解答】A、对导体棒进行受力分析，其受到重力、导轨施加的支持力以及磁场产生的安培力作用。由于导体棒能在导轨任意位置静止，重力沿斜面向下的分力必须由安培力平衡，因此安培力方向沿斜面向上。根据左手定则，电流方向与安培力方向结合，可判定磁场方向垂直斜面向下，故A错误。
B、设导体棒静止时与导轨接触的长度为 Lx。导轨电阻与长度成正比，单根导轨总电阻为 R，因此单位长度电阻为 。回路总电阻为两段导轨电阻之和，即 。由欧姆定律，电流 。由于 Lx 随位置变化，电流 I 也随之变化，故B错误。
C、导体棒静止时受三力平衡：重力 mg、导轨支持力 N、安培力 F。根据平衡条件，支持力 N 与安培力 F 的合力必须与重力 mg 等大反向（即合力大小为 mg，方向竖直向上）。该合力即为导轨对导体棒的作用力，其大小和方向均不随位置改变，故C错误。
D、由B项分析得电流 。导体棒平衡时，安培力沿斜面方向：。代入电流表达式：，简化得：，解得磁感应强度：，故D正确。
故选：D。
6.（2025 连云港一模）如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：AB、开关S闭合后，导体棒在安培力的作用下向右加速运动，当导体棒的速度为v时，电路中总的电动势为
E合＝E﹣BLv
回路中的电流为
根据牛顿第二定律有
F＝BiL＝ma
导体棒的加速度大小为
由此可知，随着速度的增大，导体棒的加速度逐渐减小，感应电流也越来越小，当导体棒的加速度为零时，速度达到最大，此后做匀速直线运动，此后回路电流为零，所以v﹣t图像的斜率逐渐减小直至零，故A错误，B正确；
CD、由法拉第电磁感应定律有。开关S闭合后，导体棒由静止开始运动向右做加速运动，其速度越来越大，将越来越大，即Φ﹣t图像的斜率将越来越大。根据，随着a减小，a﹣t图像的斜率将越来越小，故CD错误。
故选：B。
7.（2024 重庆模拟）如图为某同学设计的电磁弹射装置示意图，平行的足够长光滑水平导轨MN、PQ间距为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m，长度为2L导体棒ab垂直放在导轨上。单刀双掷开关先打向c，内阻不计电动势为E的电源给电容为C的电容器充电，充完电后打向d，导体棒ab在安培力的作用下发射出去。阻力不计，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒达到最大速度前，做加速度逐渐增大的加速运动
B．导体棒以最大速度发射出去后，电容器储存的电荷量为零
C．导体棒能达到的最大速度为
D．导体棒达到最大速度时，电容器放出的电荷量为
【答案】D
【解答】解：A、开关先打向d，则电容器放电，通过导体棒的放电电流方向从a→b，由左手定则可知导体棒ab所受安培力水平向右，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，回路中总感应电动势E总＝UC﹣BLv，随着电容器放电，电容器两端电压UC减小，导体棒速度v增大，则回路中总电动势减小，电流减小，由F＝BIL可知安培力减小，对导体棒由牛顿第二定律有：F＝ma，安培力F减小，则加速度a减小，故A错误；
B、当导体棒产生的感应电动势与电容器两端电压相等时，即UC＝BLv，回路中E总＝0，电流I＝0，导体棒所受安培力F＝0，导体棒加速度a＝0，导体棒速度达到最大，此时电容器电压不为零，则电容器电荷量不为零，故B错误；
CD、电容器开始的电荷量：Q0＝CU＝CE，设导体棒速度最大时电容器的电荷量为Q1，则Q1＝CU1，此时电路中总电动势为零，则有：U1＝BLvm
取水平向右为正方向，导体棒从静止到最大速度过程，对导体棒利用动量定理有：
这一过程中电容器放出的电荷量
联立方程可得：，，故D正确，C错误。
故选：D。
8.（2024 重庆模拟）如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，其下端开口，顶部并联接入阻值R＝6Ω的两个相同定值电阻，导轨间距L＝1m，整个装置处于磁感应强度B＝2T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。一质量m＝1kg、长度L＝1m、电阻r＝1Ω的直金属棒ab垂直放置在导轨上，导轨电阻不计。金属棒ab从静止释放至达到最大速度过程中，棒上产生的总电热为0.5J，棒始终与导轨垂直并接触良好。不计空气阻力，金属棒ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则该过程中，金属棒ab沿斜面下滑的距离是（　　）
A． B．2m C．1.2m D．1m
【答案】B
【解答】解：设金属棒ab达到的最大速度为v，由牛顿第二定律有：
从静止释放至达到最大速度过程中，设金属棒ab沿斜面下滑的距离为x，
金属棒ab中的电流为I，由题意可知金属棒上产生的总电热：Q电热＝I2rt＝0.5J
外电路（R和R并联）上产生的热量：QR3I2rt＝1.5J
产生的总电热为：Q电热+QR＝3Q电热+Q电热＝4Q电热＝1.5J+0.5J＝2.0J
由能量守恒定律有：（
联立解得：x＝2m，故ACD错误，B正确。
故选：B。
二、多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 广东校级期末）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨光滑，AA1右侧的导轨间存在竖直向下的匀强磁场，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨间的阻值为R，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．金属杆经过BB1的速度小于
B．流过电阻R的电流方向由上到下
C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初动能加倍，则金属杆在磁场中运动的距离是原来的2倍
【答案】BC
【解答】解：A、设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线时，有
金属杆在AA1B1B区域运动的过程中，取向右为正方向，根据动量定理得
则
因，可得
则
同理可得，金属杆在BB1C1C区域运动的过程中，有
解得
综上可得
即金属杆经过BB1的速度等于，故A错误；
B、在整个过程中，根据右手定则判断可知，通过R的电流方向由上到下，故B正确；
C、金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量大小为，而金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域滑行距离均为d，则金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确；
D、金属杆的初动能加倍，则，由动量定理可得，可知金属杆在磁场中运动的距离是原来的倍，故D错误。
故选：BC。
（多选）10．（2025秋 潍坊月考）如图所示，两组平行光滑金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和2d，分别连接电阻R1、R2，AE、BF到外侧轨道距离相等，导轨AC、BD段表面涂有一层绝缘漆，边长为d的正方形区域Ⅰ、Ⅱ存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。在磁场左边界AB处，一长为2d的均匀导体棒以速度v0向右进入磁场，导体棒运动到磁场左边界时与两组导轨同时接触，导体棒运动到MN位置时的速度大小为v，导体棒质量为m，阻值为2R，R1、R2的阻值均为R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（　　）
A．导体棒刚进入磁场时的加速度
B．导体棒运动到MN位置时的加速度
C．导体棒运动到CD位置过程中通过R2的电荷量
D．导体棒运动到CD位置处时的速度大小
【答案】BD
【解答】解：A、导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E1＝Bdv0
感应电流大小为
导体棒所受的安培力大小为F1＝BI1d
根据牛顿第二定律得
联立可得导体棒刚进入磁场时的加速度，故A错误；
B、导体棒运动到MN位置时产生的感应电动势E2＝Bdv
感应电流大小为
导体棒所受的安培力大小为F2＝BI2d
根据牛顿第二定律得
联立可得，故B正确；
CD、导体棒运动到CD位置过程中，磁通量变化量为ΔΦ＝Bd2
平均电流
导体棒运动到CD位置过程中通过R2的电荷量为qΔt
联立可得
导体棒运动到CD位置过程中，取向右为正方向，根据动量定理得
﹣Bd Δt＝mv1﹣mv0
结合qΔt
可得，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）11．（2025 河北模拟）如图所示，直流电源的电动势为E，内阻不计，平行金属导轨M1N1、M2N2倾斜固定，所在平面与水平面的夹角为30°，两导轨间距为L，平行板电容器PQ的电容为C，两平行导轨间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m的金属棒CD与两导轨垂直且恰好能静止在金属导轨上。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属棒加速向下运动，达到最大速度后滑离倾斜轨道。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．充电后电容器Q板带正电
B．金属棒与导轨间动摩擦因数为
C．金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为
D．金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中安培力对金属棒做的功为
【答案】BCD
【解答】解：AB、质量为m的金属棒CD与两导轨垂直且恰好能静止在金属导轨上，根据平衡条件可得：mgsin30°＝μmgcos30°
解得：μ；
电容器充电后将K置于b，金属棒加速向下运动，说明金属棒受到的安培力方向沿导轨向下，根据左手定则可知电流从C到D，则充电后电容器P板带正电，故A错误、B正确；
C、设金属棒最大速度为v，向下加速滑动过程中，重力沿导轨向下的分力与摩擦力平衡，所以合外力为安培力。
下滑过程中，沿导轨向下为正方向，根据动量定理可得：BLΔt＝mv﹣0，其中：Δt＝ΔQ＝CE﹣CBLv
联立解得：v
金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为：ΔQ
解得：ΔQ，故C正确；
D、金属棒从开始运动到滑离轨道的整个过程中，安培力对金属棒做的功为：W安
解得：W安，故D正确。
故选：BCD。
三、解答题（共3小题）
12.（2024秋 沈阳期末）如图甲所示，在倾角θ＝30°的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ，导轨间距为L＝0.2m，空间分布着磁感应强度大小为B＝2T，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将两根始终与导轨垂直且接触良好的金属棒a、b放置在导轨上运动过程中始终不与导轨脱离。已知两棒的长度均为L，电阻均为R＝0.2Ω，质量均为m＝0.2kg，不考虑其他电阻，不计绳与滑轮间摩擦，重力加速度大小为g＝10m/s2。
（1）图甲中若给金属棒b一个沿导轨向上的初速度v0，同时静止释放金属棒a，发现释放瞬间金属棒a恰好无运动趋势，求v0大小。
（2）将金属棒a锁定，将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接，如图乙，同时由静释放金属棒b和物块c，c质量为m＝0.2kg，求金属棒b的最大速度。
（3）在第（2）问的基础上，金属棒b速度达到最大时剪断细线，同时解除a的锁定，经t＝0.32s后金属棒b到达最高点，此时金属棒a下滑了xa＝0.1m，求金属棒b沿导轨向上滑动的最大距离xb及剪断细线到金属棒b上升到最高点时间内回路产生的热量Q。
【答案】（1）图甲中若给金属棒b一个沿导轨向上的初速度v0，同时静止释放金属棒a，发现释放瞬间金属棒a恰好无运动趋势，为v0大小为2.5 m/s；
（2）将金属棒a锁定，将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接，如图乙，同时由静释放金属棒b和物块c，c质量为m＝0.2kg，金属棒b的最大速度2.5 m/s、沿导轨向上。
（3）在第（2）问的基础上，金属棒b速度达到最大时剪断细线，同时解除a的锁定，经t＝0.32s后金属棒b到达最高点，此时金属棒a下滑了xa＝0.1m，金属棒b沿导轨向上滑动的最大距离xb为0.35 m，剪断细线到金属棒b上升到最高点时间内回路产生的热量Q为0.326 J。
【解答】解：（1）金属棒a恰好无运动趋势，处于平衡状态有：FA＝mgsin30°
此时安培力为：FA＝BIL
金属棒b切割磁感线，根据欧姆定律有：
联立代入数据解得：v0＝2.5m/s
（2）设物块c和金属棒b运动的加速度大小为a，速度大小为v，对物块c受力分析得：mg﹣FT＝ma
对金属棒b受力分析得：FT﹣mgsin30°﹣F安＝ma
安培力：F安＝BIL
由欧姆定律：
当加速度大小为0时，金属棒b速度达到最大值，即：mg＝mgsin30°+F安m
解得：vm＝2.5m/s
方向沿导轨向上。
（3）对金属棒b，以沿斜轨向上为正方向，由动量定理得：﹣mgtsin30°﹣BILt＝0﹣mvm
其中：BILt＝BLq
根据法拉第电磁感应定律可得：
联立解得：xb＝0.35m
对金属棒a，以沿斜轨向上为正方向，由动量定理得：﹣mgtsin30°+BILt＝﹣mva
联立解得：va＝0.7m/s
由能量守恒得：
代入数据解得：Q＝0.326J
答：（1）图甲中若给金属棒b一个沿导轨向上的初速度v0，同时静止释放金属棒a，发现释放瞬间金属棒a恰好无运动趋势，为v0大小为2.5 m/s；
（2）将金属棒a锁定，将b用轻绳通过定滑轮和物块c连接，如图乙，同时由静释放金属棒b和物块c，c质量为m＝0.2kg，金属棒b的最大速度2.5 m/s、沿导轨向上。
（3）在第（2）问的基础上，金属棒b速度达到最大时剪断细线，同时解除a的锁定，经t＝0.32s后金属棒b到达最高点，此时金属棒a下滑了xa＝0.1m，金属棒b沿导轨向上滑动的最大距离xb为0.35 m，剪断细线到金属棒b上升到最高点时间内回路产生的热量Q为0.326 J。
13.（2025春 虎丘区校级月考）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨M、N被固定在水平面上，导轨间距L＝1m，其左端并联接入R1和R2的电阻，其中R1＝R2＝2Ω。整个装置处在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场中。一质量：m＝4kg、电阻r＝1Ω的导体棒ab在恒力F＝5N的作用力下从静止开始沿导轨向右运动，运动了L0＝4m时导体棒ab恰好匀速运动，导体棒垂直于导轨放置且与两导轨保持良好接触，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒的最大速度；
（2）电阻R1上产生的焦耳热；
（3）此过程中通过R2的电荷量。
【答案】（1）导体棒的最大速度为2.5m/s；
（2）电阻R1上产生的焦耳热为1.875J；
（3）此过程中通过R2的电荷量为2C。
【解答】解：（1）当恒力F与导体棒受到的安培力平衡时，速度最大，设导体棒的最大速度为vm，则有
E＝BLvm，，，F安＝BIL
根据平衡条件得
F安＝F
联立解得
vm＝2.5m/s
（2）根据动能定理可得
又
Q总＝W安
联立解得回路产生的总焦耳热为
Q总＝7.5J
根据电路连接关系，可知电阻R1上产生的焦耳热为
Q1Q总
解得Q1＝1.875J
（3）此过程通过干路的电荷量为
qΔtΔt
解得q＝4C
则此过程中通过R2的电荷量为
q24C＝2C
答：（1）导体棒的最大速度为2.5m/s；
（2）电阻R1上产生的焦耳热为1.875J；
（3）此过程中通过R2的电荷量为2C。
14.（2025 白城校级开学）如图（a）所示，宽度为L的足够长光滑金属导轨，水平固定在磁感应强度为B、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。现有一根质量为m、电阻为R的金属棒MN放置在金属导轨上，金属棒MN始终与导轨接触良好且垂直，不计导轨电阻。
（1）若金属棒MN在水平向右的力F的作用下以速度v向右匀速运动，请利用能的转化和能量守恒定律，推导证明棒MN产生的感应电动势E＝BLv。
（2）若金属棒MN在水平恒力F的作用下由静止开始运动，分析并判断金属棒MN的速度和加速度的变化情况。
（3）若给金属棒MN向右的初速度的同时施加一水平外力，使金属棒MN作匀减速直线运动。此过程中，外力随时间的变化关系图线如图（b）所示（以初速度方向为正方向），图线与横、纵坐标交点分别为t0、F0。求金属棒MN的加速度大小a和初速度v0。
【答案】（1）设感应电流大小为I，MN移动距离s所用的时间为t。根据能得转化和能量守恒可得
W＝Fs＝EIt
根据平衡条件有
F＝F安＝BIL
由匀速直线运动有
联立可得
E＝BLv;
（2）加速度逐渐减小为零，速度逐渐增大至后不再变化；
（3）金属棒MN的加速度大小a为，和初速度v0为。
【解答】解：（1）设感应电流大小为I，MN移动距离s所用的时间为t。根据能得转化和能量守恒可得
W＝Fs＝EIt
根据平衡条件有
F＝F安＝BIL
由匀速直线运动有
联立可得
E＝BLv
（2）若金属棒MN在水平恒力F的作用下由静止开始运动，则在金属棒运动后回路中产生感应电流，金属棒MN受到与运动方向相反的安培力，根据牛顿第二定律得
F﹣F安＝ma0
又
F安＝BIL，
可得
随着金属棒MN速度的增大，安培力增大，加速度减小，当F＝F安时，加速度为零，速度达到最大vm，可得
解得最大速度为
此后金属棒MN将以速度vm做匀速直线运动，即金属棒先做加速度减小的加速直线运动，再做匀速直线运动。
（3）由牛顿第二定律得
F安﹣F＝ma
即
根据运动学公式可得
v＝v0﹣at
联立可得
由图像可得斜率的绝对值为
解得
由图像的纵轴截距可得
解得
答：（1）设感应电流大小为I，MN移动距离s所用的时间为t。根据能得转化和能量守恒可得W＝Fs＝EIt
根据平衡条件有
F＝F安＝BIL
由匀速直线运动有
联立可得
E＝BLv;
（2）加速度逐渐减小为零，速度逐渐增大至后不再变化；
（3）金属棒MN的加速度大小a为，和初速度v0为。
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