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(共47张PPT)
第四节　数列求和
新课标要求 真题分布
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的前n项和．
2．会利用推导等差、等比数列前n项和公式的方法求和． 2025年 全国Ⅱ卷T7
2024年 新高考Ⅰ卷T19
2023年 新高考Ⅱ卷T18
知识导图


回归教材
1.(人教B版选修三P56复习题T5改编)数列{2n＋2n－1}的前100项和S100＝(　　)
A．2100＋9 998 B．2101＋9 998
C．2100＋10 002 D．2101＋10 002
答案：B
答案：C
3．(人教A版选修二P40习题T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5－n)＝______________．






学霸笔记：一般是前面裂几项，后面就裂几项；消项后前边剩几项，后边就剩几项．


学霸笔记：(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)利用错位相减法求和时，应注意；
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式；
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1求和．




第四节　数列求和
新课标要求 真题分布
1.掌握等差、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的前n项和． 2．会利用推导等差、等比数列前n项和公式的方法求和． 2025年 全国Ⅱ卷T7
2024年 新高考Ⅰ卷T19
2023年 新高考Ⅱ卷T18
必备知识·回归教材
知识导图
【重要结论】
(1)分式型：，
＝，
＝等．
(2)指数型：＝，
＝等．
(3)根式型：＝等．
(4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1.
回归教材
1.(人教B版选修三P56复习题T5改编)数列{2n＋2n－1}的前100项和S100＝(　　)
A．2100＋9 998 B．2101＋9 998
C．2100＋10 002 D．2101＋10 002
2．(人教B版选修三P56复习题T9改编)数列的通项公式为an＝，则这个数列的前63项之和为(　　)
A． B． C． D．
3．(人教A版选修二P40习题T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5－n)＝________．
4．(人教A版选修二P40习题T3(2)改编)求和：+…+(x≠0)＝________．
多元视角·拓展教材
视角一　分组求和与并项求和
例1 (2026·吉林模拟)将函数f(x)＝sin －(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且a1＝.
(1)求ω；
(2)求数列的前n项和Sn.
学霸笔记：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列{an}，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
(3)形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
跟踪训练　已知等差数列的前n项和为Sn，且S5＝4S2，a2n＝2an－1.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nan，数列的前n项和为Tn，若＝50，求m的值．
视角二　裂项相消法求和
例2 (2026·永州多校联考)设正项数列的前n项和为Sn，满足＝(an＋1)．
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝2an＋1，cn＝，求数列的前n项和Tn.
学霸笔记：一般是前面裂几项，后面就裂几项；消项后前边剩几项，后边就剩几项．
跟踪训练　(2026·江门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝log2an，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn<，求满足条件的最大整数n.
视角三　错位相减法求和
例3 (2026·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－n(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)定义集合Mn＝{ai·aj＋ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn的元素个数为bn.
(ⅰ)求bn；
(ⅱ)设cn＝(an＋1)·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
学霸笔记：(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)利用错位相减法求和时，应注意；
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式；
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1求和．
　跟踪训练　(2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2x2，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))，n∈N*处的切线与x轴的交点为(xn＋1，0)，其中x1＝1.
(1)写出x2，x3，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，证明：Sn<4.
提示：请完成课时作业37
第四节　数列求和
必备知识·回归教材
回归教材
1.解析：数列{2n＋2n－1}的前100项和为S100＝(2＋22＋…＋2100)＋(1＋3＋5＋…＋199)＝+＝2101＋9 998.故选B.
答案：B
2. 解析：依题意，an＝·＝，所以这个数列的前63项之和S63＝＝1＝.故选C.
答案：C
3. 解析：原式＝(2＋4＋…＋2n)－3(5－1＋5－2＋…＋5－n)＝(2+2n)－3×＝+n+×.
答案：n2＋n+×
4. 解析：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；当x≠1时，Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1　①，xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn　②，①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝nxn，所以Sn＝，x≠1.故Sn＝
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)∵a1＝，∴f＝sin＝0，
即sin＝.
∵ω>0，∴>，
∵a1是最小的正零点，
∴，解得ω＝π.
(2)由(1)知ω＝π，f(x)＝sin
令f(x)＝sin＝0，
则sin，
∴πx－
解得x＝2k＋，k∈Z或x＝2k＋，k∈Z，
数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，
数列的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，
∴当n为偶数时，Sn＝××2+××2＝+
∴当n为奇数时，Sn＝××2+×+×2＝++
∴Sn＝
跟踪训练　解析：(1)设等差数列的公差为d，
则解得
所以数列的通项公式为an＝2＋(n－1)＝n＋1.
(2)bn＝(－1)nan＝(－1)n(n＋1)，Tn＝－2＋3－4＋5－…＋(－1)n(n＋1)，
若n为偶数，则Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－n＋n＋1)＝
若n为奇数，则Tn＝Tn＋1－bn＋1＝－(n＋2)＝
＝50，若m为偶数，则＝50，解得m＝100，
若m为奇数，则＝50，解得m＝97.
综上，m＝100或97.
视角二
例2　解析：(1)由＝得＋2an＋1＝4Sn，可知＋2an＋1＋1＝4Sn＋1，
两式相减得＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，
∵an>0，∴an＋1－an＝2，
∵当n＝1时，＋2a1＋1＝4a1，∴a1＝1，
则数列是首项为1，公差d＝2的等差数列，
∴数列的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)bn＝2an＋1＝22n-1+1＝4n，
cn＝＝
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＝
跟踪训练　解析：(1)由题意知Sn＝2an－2，
当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，则a1＝2；
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，
则an＝2an－1，故
所以数列{an}是首项为a1＝2，公比为2的等比数列，
故an＝2·2n-1＝2n.
(2)由bn＝log2an，可得bn＝log22n＝n，
则＝＝故Tn＝1－+…+＝1＝
由于＝1，则随着n的增大而增大，
由Tn<，可得<，结合n＝100时，＝，
可知满足条件的最大整数为99.
视角三
例3　解析：(1)证明：由题意得，当n＝1，a1＝S1＝a1－1，解得a1＝2，
因为Sn＝an－n　①，所以Sn－1＝an－1－(n－1)(n≥2)　②，
由①－②得，an＝an－1－1，
整理得3an－1＝an－2，所以an＋1＝3(an－1＋1)(n≥2)，
因为a1＋1＝3，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)(ⅰ)由(1)知，an＝3n－1，
所以ai·aj＋ai＋aj＝(3i－1)(3j－1)＋3i－1＋3j－1＝3i＋j－1，
因为i，j∈N*且i，j≤n，所以2≤i＋j≤2n，
所以bn＝2n－1.
(ⅱ)由题意得cn＝(2n－1)·3n，
Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n①，
两边同时乘3，
3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1②，
①－②得
－2Tn＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n－(2n－1)×3n＋1
＝3＋2×(32＋33＋34＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1
＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1，
解得Tn＝(n－1)·3n＋1＋3，
故数列{cn}的前n项和Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.
跟踪训练　解析：(1)由已知＝4x，则＝4xn，f(xn)＝
曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))，n∈N*处的切线方程为
又因切线与x轴的交点为(xn＋1，0)，则＝4xn(xn＋1－xn)，即＝2xnxn＋1，
因为x1＝1，所以x2＝，＝，xn≠0，得xn＋1＝，所以＝
故数列为等比数列，首项为1，公比为，所以xn＝()n－1.
(2)证明：由(1)知nxn＝则Sn＝1＋+…++
所以＝+++…++
两式相减，得＝1+++…+-＝＝2＝2
所以Sn＝4－，因为>0，则Sn<4.

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