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(共77张PPT)
第一节　数列的概念
新课标要求 真题分布
了解数列的概念和表示的方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数． 2024年 全国甲卷T4
2022年 新高考Ⅰ卷T17
知识导图
答案：D
答案：C
3．(人教A版选修二P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________．
－4n＋2
解析：∵数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，∴a1＝S1＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2，显然，an＝－4n＋2对于n＝1也成立，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.


答案：D　
2n　

学霸笔记：Sn与an的关系问题转化的两个方向：
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an －1的关系式，再求解．
答案：A
学霸笔记：形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求通项，特别注意能消去多少项，保留多少项．
答案：C

答案：C
答案：C
答案：C　


跟踪训练　(1)(2026·保定模拟)已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A．2210－3 B．2211－1
C．2210＋3 D．2211＋1
答案：C　
解析：因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2(an－3)．因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n-1，所以an＝2n-1＋3，故a211＝2210＋3.故选C.

答案：A
答案：C
学霸笔记：根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项和．
答案：A
答案：C
答案：B
解析：∵数列{an}是递增数列，∴当n∈(－∞，8]时，f(n)＝(4－a)n－5单调递增，即4－a>0，则a<4，当n∈(8，＋∞)时，f(n)＝an-8单调递增，则a>1，又a9>a8，即a9-8>(4－a)×8－5，则a>27－8a，则a>3，∴a∈(3，4)．故选B.
答案：A
答案：B
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·无锡模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的第(　　)项．
A．9 B．10
C．11 D．12
答案：B
解析：由数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，令an＝120，即n2＋2n＝120，可得n2＋2n－120＝0，解得n＝10或n＝－12，即a10＝120，所以120是数列{an}的第10项．故选B.

答案：A
答案：B

答案：A
答案：C
6．已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝1，2Sn＝nan，则a25的值为(　　)
A．23 B．24
C．25 D．26
答案：B
答案：D
答案：C
答案：AD
答案：ABD
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，
则an＝______________．

12．(2026·湖北部分学校联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，四个图形中点的个数分别为1，5，12，22，这种数称为五边形数，其中第1个五边形数记作a1＝1，第2个五边形数记作a2＝5，第3个五边形数记作a3＝12，第4个五边形数记作a4＝22，…，则第n个五边形数an＝________．



14．(15分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an.
(1)求数列{an}的通项公式；

答案：A
16．(5分)如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到(0，1)，而后它接着按图示在x轴、y轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过n(n∈N*)秒时移动的位置设为Pn，那么经过2 025秒时，这个粒子所处的位置的坐标是____________.
(0，45)
解析：设粒子运动到A1，A2，…，An(其中An表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标)时所用的时间分别为a1，a2，…，an，则a1＝2，a2＝6，a3＝12，a4＝20，…，即an－an－1＝2n且n≥2，所以a2－a1＝2×2，a3－a2＝2×3，a4－a3＝2×4，…，an－an－1＝2n，相加得an－a1＝2(2＋3＋4＋…＋n)＝n2＋n－2，所以an＝n(n＋1)，显然n＝1满足，又44×45＝1 980，故1 980秒时它到点A44(44，44)，又由运动规律知A1，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，故到达A44(44，44)时向左运动44秒到达(0，44)，即运动2 024秒时，这个粒子所处的位置的坐标，再向上一秒为经过2 025秒时，这个粒子所处的位置，即(0，45)．第一节　数列的概念
新课标要求 真题分布
了解数列的概念和表示的方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数． 2024年 全国甲卷T4
2022年 新高考Ⅰ卷T17
必备知识·回归教材
知识导图
【重要结论】
1．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
2．若an＋k＝an(k为非零常数)，则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
回归教材
1.(人教A版选修二P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5为(　　)
A． B．
C． D．
2．(人教A版选修二P5例2(1)改编)数列1，，…的一个通项公式为(　　)
A．n-1 B．n
C．n-1 D．n
3．(人教A版选修二P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________．
4．(人教A版选修二P9习题T7改编)已知函数f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为________．
多元视角·拓展教材
视角一　由an与Sn的关系求通项
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝2n
C．an＝2n＋1 D．an＝
(2)已知数列{an}满足+…+an＝n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
(3)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝且当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1，则数列{an}的通项公式an＝________．
学霸笔记：Sn与an的关系问题转化的两个方向：
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an －1的关系式，再求解．
视角二　由递推关系求通项公式
题型1　累加法
例2 (2026·沧州模拟)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋ln ，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝ln n B．an＝(n－1)ln (n＋1)
C．an＝n ln n D．an＝ln n＋n－1
学霸笔记：形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求通项，特别注意能消去多少项，保留多少项．
跟踪训练　记Tn为数列{an}的前n项积，且a1＝1，Tn＋1－Tn＝2n，则a6＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
题型2　累乘法
例3 记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且＝n2，则S30＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
学霸笔记：形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝·…··a1代入求出通项．
　跟踪训练　(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＝1，，则{an}的前7项和为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
题型3　构造法
例4 (1)已知数列{an}满足an＋1＝an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝12－n-1
B．an＝n+2
C．an＝12－11×n-1
D．an＝8＋n-1
(2)在数列{an}中，已知a1＝＝an＋n+1，则an＝________．
学霸笔记：(1)形如an＋1＝pan＋q，引入参数c，构造新的等比数列{an－c}．
(2)形如an＋1＝pan＋qn+1，两边同除以qn+1，构造新的数列.
(3)形如an＋1＝，两边同时取倒数转化为的形式，化为bn＋1＝pbn＋q型．
　跟踪训练　(1)(2026·保定模拟)已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝(　　)
A．2210－3 B．2211－1
C．2210＋3 D．2211＋1
(2)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2，则a9＝(　　)
A． B．
C． D．
视角三　数列的性质
题型1　数列的周期性
例5 (2026·肇庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且anSn＋1＝an(Sn＋1)－1，则S2 025＝(　　)
A．1 012 B．2 024
C． D．2 025
学霸笔记：根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项和．
跟踪训练　已知数列{an}中，a1＝－，则a9＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．5
题型2　数列的单调性
例6 (2026·山东多校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝λn2－2n，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．
C． D．(1，＋∞)
学霸笔记：(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列；
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断；
(3)结合相应函数的图象直观判断．
　跟踪训练　(2026·贵阳模拟)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，且数列{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)
A．(1，4) B．(3，4)
C． D．
题型3　数列的最大(小)项
例7 (2026·苏州模拟)数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，数列{bn}满足bn＝an·n，则数列{bn}的最大项是第(　　)项．
A．6 B．7
C．8 D．9
学霸笔记：(1)函数法：利用相关的函数求最值．若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法；
(2)解不等式组(n≥2)确定最大项，解不等式组(n≥2)确定最小项．
跟踪训练　已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
提示：请完成课时作业34
第一节　数列的概念
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：由题意得a2＝1＋＝1+＝1+＝3，＝1+.故选D.
答案：D
2．解析：由数列1，，…可得1，，…，即这个数列为，…，故此数列的一个通项公式为an＝＝n-1.故选C.
答案：C
3．解析：∵数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，∴a1＝S1＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2，显然，an＝－4n＋2对于n＝1也成立，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.
答案：－4n＋2
4．解析：由题意得an＝.因为n为正整数，所以2n≥2，0<，所以an≥.
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1，又a1＝S1＝2，不符合上式，则an＝故选D.
(2)∵an＝n(n∈N*)，当n＝1时，a1＝1，解得a1＝2；当n≥2时，an－1＝n－1，两式相减得an＝1，即an＝2n(n≥2)，经检验当n＝1时，an＝2n也成立，∴an＝2n.
(3)当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1，则Sn－Sn－1＝－Sn·Sn－1，∴＝1，∵a1＝，∴S1＝，即＝2，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝；当n＝1时，a1＝，不满足上式，∴an＝
答案：(1)D　(2)2n　(3)
视角二
例2　解析：由已知得an＋1－an＝ln an－1＝ln n－ln (n－1)，an－1－an－2＝ln (n－1)－ln (n－2)，…，a3－a2＝ln 3－ln 2，a2－a1＝ln 2－ln 1，将上述n－1个等式相加，整理得an－a1＝ln n－ln 1＝ln n，又因为a1＝0，所以an＝ln n.故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：由题意可得T1＝1，Tn－Tn－1＝2(n－1)，…，T2－T1＝2，累加有n≥2时：Tn＝1＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝1＋2×＝n2－n＋1.经验证当n＝1时满足，故Tn＝n2－n＋1，则n≥2时，an＝＝＝，当n＝1时满足，即an＝，令n＝6可得a6＝.故选C.
答案：C
例3　解析：易得Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，故Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，化简得(n2＋2n)an＋1＝n2an，即＝nan，由a1＝1知an≠0，故，累乘可得，即an＋1＝＝，故an＝(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，故Sn＝n2an＝，故S30＝.故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：因为，a1＝1，所以，则，即an＋1＝，所以an＝(n≥2)，又a1＝1，满足上式，所以an＝＝2(n∈N*)，所以{an}的前7项和为2×＝.故选C.
答案：C
例4　解析：(1)设an＋1＋x＝(an＋x)，即an＋1＝x，所以－x＝4，解得x＝－12，所以an＋1－12＝(an－12)，所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为的等比数列，所以an－12＝－11×n-1，所以an＝12－11×n-1.故选C.
(2)因为a1＝，an＋n+1，所以2n+1an＋1＝2nan＋1，整理得2n+1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－n-1，解得an＝.
答案：(1)C　(2)
跟踪训练　解析：(1)因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2(an－3)．因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n-1，所以an＝2n-1＋3，故a211＝2210＋3.故选C.
(2)易知an≠0，从而由题意＝，即，也就是数列是以为首项，－为公比的等比数列，从而1＝×n-1＝n，所以－1＝9，解得a9＝.故选A.
答案：(1)C　(2)A
视角三
例5　解析：由anSn＋1＝an(Sn＋1)－1可得an(Sn＋1－Sn)＝an－1，故an＋1＝，由a1＝2可得a2＝1－＝＝＝1＝2，…，故数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝，故S2 025＝675(a1＋a2＋a3)＝675×.故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：因为a1＝－，所以a2＝1－＝5，所以a3＝1－，所以a4＝1－，所以a5＝1－＝5，…，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a9＝a3＝.故选A.
答案：A
例6　解析： 由数列{an}是递增数列可得an＋1>an恒成立，即λ(n＋1)2－2(n＋1)－λn2＋2n>0，整理可得λ>，该式对任意n∈N*恒成立，又因为函数y＝为(0，＋∞)上的单调递减函数，所以max＝，所以λ>.故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：∵数列{an}是递增数列，∴当n∈(－∞，8]时，f(n)＝(4－a)n－5单调递增，即4－a>0，则a<4，当n∈(8，＋∞)时，f(n)＝an-8单调递增，则a>1，又a9>a8，即a9-8>(4－a)×8－5，则a>27－8a，则a>3，∴a∈(3，4)．故选B.
答案：B
例7　解析：设数列{bn}的最大项为bn.则
即化简得
解得所以，又n∈N*，所以n＝6，即数列{bn}的最大项是第6项．故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：an＝，当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋单调递减，此时，an＝1＋>1；当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋单调递减，此时，an＝1＋＝－12，所以an取到最小值时n的值是7.故选B.
答案：B

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