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微专题8　数列与不等式
学霸笔记：解决与数列有关的恒成立问题，可以利用数列的单调性或者借助数列对应函数的单调性及基本不等式求解．


答案：(1)设等差数列{an}的公差为d.
方法一　转化为项项关系　因为4Sn＝an·an＋1，所以4Sn＋1＝an＋1·an＋2，两式相减得4(Sn＋1－Sn)＝an＋1·an＋2－an·an＋1，即4an＋1＝an＋1(an＋2－an)，又an＋1≠0，所以an＋2－an＝4，所以2d＝4，则d＝2.
又a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
方法二　定义法　由a2＝4，得a1＋d＝4，当n＝2时，由4S2＝a2·a3，得4(a1＋a2)＝a2a3，得4(a1＋4)＝4(a1＋2d)，得d＝2.
所以a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.

学霸笔记：(1)数列不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如用放缩法证明时，一般有两种方法：一是求和后再放缩；二是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

答案：(1)由a1＝1，且2Sn＝anan＋1(n∈N*)，当n＝1时可得2a1＝2S1＝a1a2，即a2＝2，当n≥2时，由2Sn＝anan＋1，可得2Sn－1＝an－1an，
两式相减可得2an＝anan＋1－an－1an，因为an>0，可得an＋1－an－1＝2，
即该数列的奇数项构成以a1＝1为首项公差为2的等差数列，偶数项构成以a2＝2为首项公差为2的等差数列，
即有a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，a2n＝2＋2(n－1)＝2n，
可得an＝n.

微专题8　数列与不等式
多元视角·拓展教材
视角一　数列不等式恒成立求参数问题
例1 (2026·新乡模拟)已知数列的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.
(1)求数列的通项公式．
(2)已知bn＝an＋(－1)n，若+++…+－n>λ对一切正整数n成立，求实数λ的取值范围．
学霸笔记：解决与数列有关的恒成立问题，可以利用数列的单调性或者借助数列对应函数的单调性及基本不等式求解．
跟踪训练　(2026·沧州模拟)记等差数列的前n项和为Sn，已知a3＝5，S7＝49.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足cn＝，记数列的前n项和为Tn，求Tn；
(3)若an＋1>man恒成立，求实数m的取值范围．
视角二　数列不等式的证明
例2 已知各项均非零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，an·an＋1＝4Sn.
(1)求{an}的通项公式．
(2)已知正项数列{bn}满足b1＝，且bn＋1是bn和bnbn＋1的等差中项．求数列的前n项和Tn.
(3)在(2)的条件下，记正项数列{bn}的前n项和为Mn.证明：≤Mn<.
学霸笔记：(1)数列不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如用放缩法证明时，一般有两种方法：一是求和后再放缩；二是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．
跟踪训练　(2023·新高考Ⅱ卷)已知为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
提示：请完成微专题8
微专题8　数列与不等式
多元视角·拓展教材
例1　解析：(1)当n＝1时，由an＋1＝Sn＋2，则a2＝S1＋2＝a1＋2＝2＋2＝4；当n≥2时，由an＝Sn－1＋2，则an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an；
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故an＝2×2n－1＝2n.
(2)已知bn＝an＋(－1)n＝2n＋(－1)n，设Tn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋2nb2n，则Tn＝1×2＋1×(－1)＋2×22＋2×(－1)2＋3×23＋3×(－1)3＋…＋2n·22n＋2n·(－1)2n，
设Mn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋2n×22n，2Mn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2n×22n＋1，
两式相减可得－Mn＝2＋22＋23＋…＋22n－2n×22n＋1＝－2n×22n＋1＝22n＋1－2－2n×22n＋1，所以Mn＝(2n－1)·22n＋1＋2，设Nn＝1×(－1)＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋…＋2n·(－1)2n＝－1＋2－3＋4＋…＋2n＝－(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋2＋4＋6＋…＋2n＝+＝－n2＋n＋n2＝n，综上可得Tn＝Mn＋Nn＝(2n－1)·22n＋1＋2＋n，则Tn－n＝(2n－1)·22n＋1＋2，因为b1＋2b2＋3b3＋…＋2nb2n－n>λ，所以(2n－1)·22n＋1＋2>λ，设cn＝(2n－1)·22n＋1＋2，
则cn＋1－cn＝(2n＋1)·22n＋3＋2－[(2n－1) ·22n+1＋2]=(2n＋1)·22n+3－(2n－1)·22n+1＝22n+1(6n＋5)>0，所以数列是递增数列，c1＝(2×1－1)×22×1+1＋2＝10，所以λ<10，即实数λ的取值范围是(－∞，10)．
跟踪训练　解析：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
则解得
所以数列的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由an＝2n－1，
可得cn＝，
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋…＋＝＝.
(3)因为an＋1>man，且an＝2n－1>0，
所以m<＝＝1+，
易知f(n)＝，n∈N*单调递减，
所以f(n)＝∈(0，2]，
所以＝1＋f(n)∈(1，3]，
故实数m的取值范围为(－∞，1].
视角二
例2　解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
方法一　转化为项项关系　因为4Sn＝an·an＋1，所以4Sn＋1＝an＋1·an＋2，两式相减得4(Sn＋1－Sn)＝an＋1·an＋2－an·an＋1，即4an＋1＝an＋1(an＋2－an)，
又an＋1≠0，所以an＋2－an＝4，所以2d＝4，则d＝2.
又a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
方法二　定义法　由a2＝4，得a1＋d＝4，
当n＝2时，由4S2＝a2·a3，得4(a1＋a2)＝a2a3，得4(a1＋4)＝4(a1＋2d)，得d＝2.
所以a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)因为bn＋1是bn和bnbn＋1的等差中项，所以2bn＋1＝bn＋bnbn＋1，
又bn>0，所以－1，得－1＝2，
又－1＝3－1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以－1＝2×2n-1＝2n，即bn＝.
令cn＝an，可知cn＝2n×(2n)＝n×2n+1，
则Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，
所以2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)×2n+1＋n×2n+2，
两式相减得－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n+1－n×2n+2＝－n×2n+2＝－(n－1)×2n+2－4，
所以Tn＝(n－1)×2n+2＋4.
(3)证明：由(2)可得bn＝，
由于bn＝n-1，
所以Mn≥2＋…＋n-1＝.
因为bn＝<＝n，
所以当n＝1时，M1＝<<，
当n≥2时，Mn<＋2＋3＋…＋n＝－n<.
综上，≤Mn<成立．
跟踪训练　解析：(1)设等差数列的公差为d，而bn＝k∈N*，
则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，
于是解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，
所以数列的通项公式是an＝2n＋3.
(2)证明：方法一　由(1)知，Sn＝＝+4nk∈N*，
当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
Tn＝n，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn，
当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n－5，
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)
＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn，所以当n>5时，Tn>Sn.
方法二　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝n，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn，当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝＝n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n－5，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn，所以当n>5时，Tn>Sn.

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