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(共71张PPT)
第三节　等比数列
新课标要求 真题分布
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
3．能在具体的问题情境中发现等比数列，并解决相应的问题．
4．体会等比数列与指数函数的关系． 2025年 全国Ⅰ卷T13，
全国Ⅱ卷T9
2024年 —
2023年 新高考Ⅱ卷T8
知识导图

答案：C

答案：C
3．(人教A版选修二P34练习T1(1)改编)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数为________.
27，81
解析：设这四个数构成等比数列{an}，公比为q，则a1＝9，a4＝243，则q3＝27，q＝3，所以a2＝27，a3＝81，故在9与243中间插入27，81，使这4个数成等比数列．
4．(人教A版选修二P37练习T5)如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，则这个数列的公比为________．

答案：B　
(2)(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________．
±2
学霸笔记：(1)等比数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．解方程组时常常利用“作商”消元法．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
答案：C　


学霸笔记：等比数列的判定方法
(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法(适用于客观题)；
(4)前n项和公式法(适用于客观题)．

答案：A

学霸笔记：解决此类问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”(m，n，p，q∈N*)，可以减少运算量，提高解题速度．
答案：B
答案：D
学霸笔记：在等比数列{an}中，当q ≠－1或q＝－1且k为奇数时，涉及Sk，S2k，S3k，…，常利用Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列的性质求解，运用此性质要注意各项非零的要求及下标的特征．
答案：C
解析：由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61.故选C.
答案：ABD
学霸笔记：涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响．
答案：D
答案：B

答案：B
答案：D
答案：A
答案：A
答案：B
答案：B
答案：A
答案：AD
答案：CD
3


(2)当λ>0时，若λSn≤Tn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
答案：C
19第三节　等比数列
新课标要求 真题分布
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能在具体的问题情境中发现等比数列，并解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系． 2025年 全国Ⅰ卷T13， 全国Ⅱ卷T9
2024年 —
2023年 新高考Ⅱ卷T8
必备知识·回归教材
知识导图
【重要结论】
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列}，，{an·bn}，也是等比数列．
2．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列；
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
3．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
4．等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)．
5．三个数成等比数列通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3.
回归教材
1.(人教A版选修二P31练习T3)在等比数列中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则公比q＝(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．±6
2．(人教A版选修二P40习题T1(2))设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则S5＝(　　)
A．15 B．16
C．31 D．
3．(人教A版选修二P34练习T1(1)改编)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数为________.
4．(人教A版选修二P37练习T5)如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，则这个数列的公比为________．
多元视角·拓展教材
视角一　等比数列基本量的运算
例1 (1)已知等比数列{an}前n项和为Sn，若＋2Sn，则S8＝(　　)
A．128 B．255
C．256 D．511
(2)(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________．
学霸笔记：(1)等比数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．解方程组时常常利用“作商”消元法．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练　(1)已知各项均为正数的等比数列的前5项和为，且a1＝3a3＋4a5，则a3＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2026·周口模拟)已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则a4＝________．
视角二　等比数列的判定与证明
例2 (2026·石家庄模拟)已知数列满足an＋1－an＝t(an－an－1)(n≥2)，t≠0且t≠1.
(1)若bn＝an＋1－an，且b1＝1，求数列的通项及前n项和Sn；
(2)若a1＝1，a2≠1，则数列能否为等比数列？若能，求a2；若不能，说明理由．
学霸笔记：等比数列的判定方法
(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法(适用于客观题)；(4)前n项和公式法(适用于客观题)．
　跟踪训练　(2026·温州模拟)已知正项数列满足a1＝99，an＋1＝＋2an.
(1)求证：数列是等比数列．
(2)设bn＝，记数列的前n项和为Sn，求证：Sn<2.
视角三　等比数列的性质
题型1　项的性质
例3 等比数列{an}满足a5＝2，，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　)
A．22 B．20
C．12 D．10
学霸笔记：解决此类问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”(m，n，p，q∈N*)，可以减少运算量，提高解题速度．
　跟踪训练　(2026·武汉模拟)已知为各项均为正数的等比数列，a4和a5是方程x2－8x＋10＝0的两个根，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝(　　)
A． B．4
C． D．5
题型2　和的性质
例4 (2026·萍乡模拟)已知Sn是等比数列的前n项和，S14＝3S7，S7＋S21＝56，则S21＝(　　)
A．14 B．28
C．35 D．49
学霸笔记：在等比数列{an}中，当q ≠－1或q＝－1且k为奇数时，涉及Sk，S2k，S3k，…，常利用Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列的性质求解，运用此性质要注意各项非零的要求及下标的特征．
　跟踪训练　记Sn为等比数列的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A．81 B．71
C．61 D．51
题型3　等比数列中的最值
例5 (多选)设正项等比数列的公比为q，前n项和为Sn，前n项的积为Tn，并且满足a1<1，a2 025a2 026>1，<0，则下列结论正确的是(　　)
A．q>1
B．a2 025a2 027>1
C．Tn的最大值为T2 025
D．Sn没有最大值
学霸笔记：涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响．
　跟踪训练　已知等比数列中，a3＝4，a6＝，设数列的最大项为M，最小项为m，则M－m＝(　　)
A．6 B．8
C．12 D．24
提示：请完成课时作业36
第三节　等比数列
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：由题意得解得所以q＝±3.故选C.
答案：C
2．解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)．因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a5－a1＝15，a4－a2＝6，故联立可得＝，化简可得2q2－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2，当q＝时，a1＝－16，不符合题意，舍去；当q＝2时，a1＝1，所以S5＝＝＝31.故选C.
答案：C
3．解析：设这四个数构成等比数列{an}，公比为q，则a1＝9，a4＝243，则q3＝27，q＝3，所以a2＝27，a3＝81，故在9与243中间插入27，81，使这4个数成等比数列．
答案：27，81
4．解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，则S5＝＝10，＝＝50，即＝5，即＝5，即＝5，即1＋q5＝5，所以q＝
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：(1)设等比数列{an}的公比为q且a1≠0，q≠0，由＝a1a4，得q2＝a1·a1q3，解得q＝2，由S2n＝＋2Sn，得S2＝＋2S1，即a1＋a2＝＋2a1，而a2＝2a1，因此a1＝1，经验证符合题意，所以S8＝＝255.故选B.
(2)方法一　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝＝4，＝68，两式相除得＝，即＝17，则1＋q4＝17，解得q＝±2，所以该等比数列的公比为±2.
方法二　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝68，所以4(1＋q4)＝68，则1＋q4＝17，解得q＝±2，所以该等比数列的公比为±2.
方法三　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝68－4＝64，又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以＝＝＝16，解得q＝±2，所以该等比数列的公比为±2.
答案：(1)B　(2)±2
跟踪训练　解析：(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，由a1＝3a3＋4a5，得1＝3q2＋4q4，解得q2＝或q2＝－1(舍去)，即q＝或q＝(舍去)，又因为S5＝，得＝，解得a1＝，所以a3＝a1q2＝×＝.故选C.
(2)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，又因为数列为递减数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则0答案：(1)C　(2)
视角二
例2　解析：(1)由an＋1－an＝t(an－an－1)(n≥2)及bn＝an＋1－an，
得bn＝tbn－1(n≥2)，
所以数列是公比为t的等比数列，且b1＝1，
所以bn＝tn-1，Sn＝
(2)因为a1＝1，若是等比数列，则＝a1a3＝a3，
所以－a2＝t(a2－1)，即a2(a2－1)＝t(a2－1)，
因为a2≠1，a2－1≠0，所以a2＝t，
下面证明a2＝t时{}是等比数列：
由已知是公比为t的等比数列，
所以an＋1－an＝(t－1)tn-1，
所以n≥2时an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋(t－1)(1＋t＋t2＋…＋tn-2)＝1＋＝tn-1，
当a1＝1也满足上式，所以an＝tn-1，
＝t，又t≠1，故数列可以是首项为1，公比为t的等比数列，此时a2＝t.
跟踪训练　证明：(1)由an＋1＝＋2an，则an＋1＋1＝+2+1＝(+1)2，
由于an>0，则an＋1>0，an＋1＋1>0，所以lg (an＋1＋1)＝lg (an＋1)2＝2lg (an＋1)，则又lg (a1＋1)＝lg 100＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)得lg (an＋1)＝2n，则bn＝
因为n∈N*，所以2n－1－2n－1＝2n－1－1≥0，当且仅当n＝1时等号成立，
则2n－1≥2n－1>0，即bn＝≤，所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn≤1＋+…+＝＝2·<2.
视角三
例3　解析：等比数列{an}满足a5＝2，所以a1a9＝a3a7＝＝4，则＝＋＋＝++＝＝，所以 ++a5＋a7＋a9＝22.故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：由a4和a5是方程x2－8x＋10＝0的两个根，得a4a5＝10，又数列为各项均为正数的等比数列，则 ＝＝＝＝10，所以 +＝＝4.故选B.
答案：B
例4　解析：由Sn是等比数列的前 n项和，由题易知 ，，均不为 0，且 ，，是等比数列，因为 ＝3，所以＝2，可得 ＝2＝4S7，所以S21＝S14＋4S7＝7S7，则S7＋S21＝8S7＝56，解得S7＝7，则S21＝7×7＝49.故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61.故选C.
答案：C
例5　解析： 因为<0，所以或即或若又>0，q＝>1，又a1<1，a2 025a2 026>1，所以00，则q＝<1，又a1<1，则a2 025a2 026<1，与a2 025a2 026>1矛盾，不符合题意，所以Sn没有最大值，所以AD正确，因为前2 025项均小于1，从2 026项起均大于1，所以Tn无最大值，C错误；又由＝>1，B正确．故选ABD.
答案：ABD
跟踪训练　解析：设等比数列的公比为q，由解得所以an＝a1qn－1＝16×n－1＝25－n，(－1)nan＝(－1)n·25－n，当n为奇数时，(－1)nan＝(－1)n·25－n＝－25－n<0；当n为偶数时，(－1)nan＝(－1)n·25－n＝25－n>0.所以数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，故M＝(－1)2a2＝8，m＝(－1)a1＝－16，M－m＝24.故选D.
答案：D

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