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(共49张PPT)
第四节　复数
新课标要求 真题分布
1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
2．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 2025年 全国Ⅰ卷T1，
全国Ⅱ卷T2
2024年 新高考Ⅰ卷T2，
新高考Ⅱ卷T1
2023年 新高考Ⅰ卷T2，
新高考Ⅱ卷T1
知识导图

答案：C

答案：D
3．(人教A版必修二P81习题T5)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则点D对应的复数为(　　)
A．3－5i B．5－3i
C．3＋5i D．5＋3i
答案：C
4．(人教A版必修二P95复习参考题T4)已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，则z＝________．
－2i
视角一　复数的有关概念
1．(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
答案：C
解析：∵(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，∴其虚部为1.故选C.
答案：D

答案：B

学霸笔记：(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可；
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

答案：A


答案：C
3．已知复数z满足(1－i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2 026的值为(　　)
A．－1 B．i C．－i D．1
答案：A
学霸笔记：(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
视角三　复数的几何意义
1．(链接·2023年新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.
答案：B
答案：A
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·江浙皖联考)在复平面内，(1＋i)(1＋3i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：依题意，(1＋i)(1＋3i)＝－2＋4i，所以(1＋i)(1＋3i)对应的点(－2，4)位于第二象限．故选B.
答案：A
答案：D
答案：C
答案：D
答案：B
答案：C
答案：B
答案：ACD
答案：BC
答案：ACD
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·廊坊模拟)若复数z＝i(2＋3i)，则在复平面内，z的对应点的坐标是________．
(－3，2)
解析：因为z＝i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，所以在复平面内，z的对应点的坐标是(－3，2)．


14．已知p，q∈R，且－2＋3i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，p＋q＝________．
34
答案：A
16第四节　复数
新课标要求 真题分布
1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 2．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 2025年 全国Ⅰ卷T1，全国Ⅱ卷T2
2024年 新高考Ⅰ卷T2，新高考Ⅱ卷T1
2023年 新高考Ⅰ卷T2，新高考Ⅱ卷T1
必备知识·回归教材　
知识导图
【重要结论】
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，其中n∈N*.该结论称为虚数单位i乘方运算的周期性，当幂指数n为整数时结论仍然成立．
3．z·＝|z|2＝＝＝|z|n.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
回归教材
1.(人教A版必修二P94复习参考题T1(2))复数的共轭复数是(　　)
A．i＋2 B．－2－i
C．i－2 D．2－i
2．(人教A版必修二P95复习参考题T1(3))当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(人教A版必修二P81习题T5)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则点D对应的复数为(　　)
A．3－5i B．5－3i
C．3＋5i D．5＋3i
4．(人教A版必修二P95复习参考题T4)已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，则z＝________．
多元视角·拓展教材
视角一　复数的有关概念
1．(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
2．(2026·安阳模拟)已知a∈R，i为虚数单位，复数z＝(3＋i)(2－ai)，若z为纯虚数，则＝(　　)
A．－6 B．6
C．－20 D．20
3．已知(1＋i)2z＝3＋2i，则z的共轭复数＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－－i D．＋i
学霸笔记：(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可；
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
视角二　复数的四则运算
1．(链接·2025年全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
2．(链接·2024年新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
3．已知复数z满足(1－i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2 026的值为(　　)
A．－1 B．i C．－i D．1
学霸笔记：(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
视角三　复数的几何意义
1．(链接·2023年新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2026·石家庄模拟)已知复数z＝，若将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转90°得到向量，则向量对应的复数z′为(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
3．(2026·黄冈模拟)已知z∈C，且|z－1|＝1，i为虚数单位，则|z－2i|的最大值是(　　)
A．＋1 B．－1
C．2 D．
学霸笔记：(1)复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b) 向量.
(2)|z－z1|＝r的几何意义是复数z，z1对应的点的距离为r，若复数z对应的点为动点，z1对应的点为定点，则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，r为半径的圆．
提示：请完成课时作业33
第四节　复数
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：＝－2－i，其共轭复数为－2＋i.故选C.
答案：C
2．解析：复数m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点是(3m－2，m－1)，∵0，m－1<0，∴复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限．故选D.
答案：D
3．解析：复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1，3)，(0，－1)，(2，1)，设D的坐标(x，y)，∵，∴(x－1，y－3)＝(2，2)，∴x－1＝2，y－3＝2，解得x＝3，y＝5，∴D(3，5)．综上所述，点D对应的复数为3＋5i.故选C.
答案：C
4．解析：设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则(z＋2)2－8i＝(2＋ai)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i.因为(z＋2)2－8i是纯虚数，则解得a＝－2.故z＝－2i.
答案：－2i
多元视角·拓展教材
视角一
1．解析：∵(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，∴其虚部为1.故选C.
答案：C
2．解析：(3＋i)(2－ai)＝(6＋a)＋(2－3a)i，∵a∈R且(3＋i)(2－ai)为纯虚数，∴∴a＝－6，∴z＝20i，∴＝|z|＝20.故选D.
答案：D
3．解析：(1＋i)2z＝3＋2i，则z＝＝＝＝1，∴i.故选B.
答案：B
视角二
1．解析：∵z＝1＋i，∴＝＝＝－i.故选A.
答案：A
2．解析：由＝1＋i，可得＝1＋i，即1＋＝1＋i，＝i，∴z－1＝＝－i，∴z＝1－i.故选C.
答案：C
3．解析：∵(1－i)z＝1＋i，∴z＝＝＝＝i，∴z2 026＝i2 026＝(i2)1 013＝(－1)1 013＝－1.故选A.
答案：A
视角三
1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.
答案：A
2．解析：根据题意，z＝＝＝＝1＋i，则复数z对应的向量＝(1，1)，将其绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量＝(1，－1)，所以z′＝1－i.故选B.
答案：B
3．解析：|z－1|＝1表示以C(1，0)为圆心，r＝1为半径的圆，则圆心C到点M(0，2)的距离d＝的最大值为d＋r＝＋1.故选A.
答案：A

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