资源简介

(共45张PPT)
微专题6　平面向量中的三大技法
答案：B
学霸笔记：利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决．
答案：B
答案：C
学霸笔记：应用奔驰定理解决的三类问题：
(1)处理有关三角形面积比问题．
(2)三角形四心问题．
(3)向量关系与几何性质综合问题．
答案：B

学霸笔记：(1)确定k＝1的等和线；
(2)平移(或旋转或伸缩)该直线，结合动点的可行域，分析在何处取得最值；
(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值．
答案：A
答案：D
答案：C
答案：B
答案：A
答案：A
答案：BCD

[1，2]
(0，4)
32
01.多元视角拓展教材
0T·SC中，1N1径XN
D
C
b
A
a
B
A
B
M
C
D
C
P
A
B
解析
D
E
C
P
A
B
D
B
0
F
C
E
解析：方法一因为圆的半径为1，BC是直径，BF=2FO,所以OF=
专，PD=0币-0示，FE-0死-0F,因为DE是直径，所以0D--0正，ODl
=0=1,则而.E=(0D-0)(0正-0)=(-0呢-0(O呢-0)
-(0正+0丽(0死-0)-|02-102-号-1=-号故选B.
方法二依题意，O为DE的中点，DE=2,因为BF=2FO,所以FO=
根据极化恒等式得F而.PE=F可2-D即-。-1=-)故益B.
A
P
B
C
Sc
SB
M SA
B
C
解析
E
F
M
B
D
A
M
B
C
A
M
B
C
A
E
M
F
B
D
C
A
R
B
P
C
解析
C
A
Q
P
0
D
B
C
e
A
B
解析：
F
C
D
P
0
A
B
E
D
C
E
A
B
解析
D、FC
E
A
B
B
解析
B
C
2
Q
4
P
A
4
D
解析：
A
D
E
O
B
C
解析
A
F
B
C
D
A
0
B
M
B
C
B.
E
A
C
D
解析
解析
A
P
B
C
A
F
E
B
D
C
延长AO,BO,CO分别与角A,B,C的对边交于点D,E,F,如图
由0A·0B=0.0C,得0B.(OA-0C)=0B.CA=0,所以OB⊥AC
同理OC LAB,OA LBC,所以O是△ABC的垂心，在四边形AEOF中
∠A十∠EOF=π，∠EOF=∠BOC,所以∠A十∠BOC=π，故B正确
由(
OA.OE=OB.0C=0C.0A,得|OA OB cos∠A0B
=
oBl|OC cos.∠B0C=|OCOA]cos∠A0C,所以1OA:IOB:IOC=cos
∠BOC:cos∠AOC cos∠AOB,由B得cos
∠BOC=一CosA,同理微专题6　平面向量中的三大技法
多元视角·拓展教材
视角一　极化恒等式
1．极化恒等式
在平面向量中，(a＋b)2＝＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2．几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即a·b＝(如图)．
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边上的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图)．
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．
例1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　)
A．(0，16) B．[0，16]
C．(0，4) D．[0，4]
学霸笔记：利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决．
跟踪训练　如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，，则＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
视角二　奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
例2已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则＝0.以下命题错误的是(　　)
A．若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B．若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·＝0
C．若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1
D．若M为△ABC的垂心，3++＝0，则cos ∠AMB＝－
学霸笔记：应用奔驰定理解决的三类问题：
(1)处理有关三角形面积比问题．
(2)三角形四心问题．
(3)向量关系与几何性质综合问题．
跟踪训练　已知点A，B，C，P在同一平面内，，则S△ABC∶S△PBC＝(　　)
A．14∶3 B．19∶4
C．24∶5 D．29∶6
视角三　等和线
等和线定理：
如图，A，B两点共线，O为直线AB外一点，CD为与AB平行的直线，且O，A，C共线，O，B，D共线，＝(k≥0)．若点Q为CD上一点，＝λ+μ，则λ＋μ＝k.
例3 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为________．
学霸笔记：(1)确定k＝1的等和线；
(2)平移(或旋转或伸缩)该直线，结合动点的可行域，分析在何处取得最值；
(3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值．
跟踪训练　如图，在四边形ABCD中，＝3E为边BC的中点，若＝λ+μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C． D．2
提示：请完成微专题6
微专题6　平面向量中的三大技法
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：取CD的中点E，连接PE，如图所示，则PE的取值范围是，即，根据极化恒等式得＝4，所以∈[0，16].故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：方法一　因为圆的半径为1，BC是直径，，所以＝，因为DE是直径，所以＝＝1，则＝·＝·＝－·＝2＝1＝.故选B.
方法二　依题意，O为DE的中点，DE＝2，因为，所以＝，根据极化恒等式得＝2＝1＝.故选B.
答案：B
视角二
例2　解析：对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则＝0，所以－，所以A，M，D三点共线，且，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，则有SA＝AB·r，所以＝0，即BC·＝0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，所以SA＝R2·sin ∠BMC＝＝R2，
SB＝R2·sin ∠AMC＝R2·sin 120°＝R2，
SC＝R2·sin ∠AMB＝R2·sin 150°＝R2，
所以SA∶SB∶SC＝2∶∶1，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为△ABC的垂心，3＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则＝4，＝3，设MD＝x，MF＝y，x，y>0，则AM＝3x，BM＝2y，所以cos ∠BMD＝＝cos ∠AMF＝，即3x2＝2y2，，所以cos ∠BMD＝，所以cos ∠AMB＝cos (π－∠BMD)＝－，故D正确．故选C.
答案：C
跟踪训练　解析：由＝可得＝，整理可得＝＝+，由＝可得，整理可得，所以－，整理得4＝0，由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.故选B.
答案：B
视角三
例3　解析：方法一　如图，作BC的平行线，与圆O相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则λ＋μ＝1，∵BC∥EF，∴设＝k，则k∈，∴，，∴x＝λk，y＝μk，∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤.
方法二　如图，过点P作BC的平行线，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设AP与BC相交于点D.由等和线定理知，当AP过圆心O，并且A，P位于O点两侧时，x＋y取得最大值，此时x＋y＝，∴2x＋2y的最大值为.
答案：
跟踪训练　解析：如图，连接DB，过点E作EB1平行BD交AB于B1，交CD于F，因为E是BC的中点，所以F是CD的中点，所以BB1＝DF＝，所以由等和线性质可知λ＋μ＝＝＝＝.故选A.
答案：A

展开更多......

收起↑