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(共75张PPT)
第一节　平面向量的概念与线性运算
新课标要求 真题分布
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．理解平面向量的几何表示和基本要素．
2．掌握平面向量加、减运算及运算法则，理解其几何意义．
3．掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义，了解平面向量线性运算的性质及其几何意义． 2025年 全国Ⅰ卷T6
2024年 北京卷T5
必备知识·回归教材
知识导图
答案：ABD
答案：A




答案：D
答案：C

答案：B
学霸笔记：(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量；
(2)充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为已知向量．
答案：D
答案：B
学霸笔记：(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解．
(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解．
答案：C
答案：D
答案：A
答案：C　
答案：A
学霸笔记：已知三点共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相等向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数对应相等，利用待定系数法建立方程(组)，从而求得参数．
答案：C　
答案：D
答案：D

答案：C

答案：D
答案：A

答案：C

答案：C
答案：B
答案：C
答案：BCD
答案：BCD

12．(2026·吉安模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ－1)a＋2b的方向相同，则实数λ的值为________．
2






(3)确定点P在边BC上的位置．

答案：B
2第一节　平面向量的概念与线性运算
新课标要求 真题分布
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．理解平面向量的几何表示和基本要素． 2．掌握平面向量加、减运算及运算法则，理解其几何意义． 3．掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义，了解平面向量线性运算的性质及其几何意义． 2025年 全国Ⅰ卷T6
2024年 北京卷T5
必备知识·回归教材
知识导图
【重要结论】
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则；若G为△ABC的重心，则＝0.
2．若(λ，μ为实数)，且不共线，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
回归教材
1.(多选)(人教A版必修二P22T4改编)化简以下各式，结果为0的有(　　)
A．++
B．+
C．
D．++
2．(人教A版必修二P61复习参考题T13(1))已知a，b是不共线的向量，且＝a+5b，＝+8b，＝3(a－b)，则(　　)
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
3．(人教A版必修二P24习题T22)如图，O是平行四边形ABCD外一点，则＝________(用表示)．
4．(人教A版必修二P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，则实数t＝________.
多元视角·拓展教材
视角一　平面向量的基本概念
1．下列说法错误的是(　　)
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同
B．零向量的方向是任意的
C．若＝，则四边形ABCD不一定是平行四边形
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
2．设a与b都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a＝2b D．a∥b
学霸笔记：(1)非零向量的平行具有传递性；
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(4)是与同方向的单位向量．
视角二　平面向量的线性运算
题型1　平面向量的线性运算
例1 在 ABCD中，，记＝b，则＝(　　)
A． B．
C． D．
学霸笔记：(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量；
(2)充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为已知向量．
跟踪训练　如图，在△ABC中，，E是AD的中点，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
题型2　平面向量线性运算的几何意义
例2 已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足a＝0，则P为三角形的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
学霸笔记：(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解．
(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解．
跟踪训练　若P为△ABC内一点，且＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
视角三　共线向量定理的应用
题型1　判定向量共线、三点共线
例3 设e1，e2是平面内的一个基底，＝+，
＝，＝5e1－4e2，则共线的三点为(　　)
A．M，N，P B．M，N，Q
C．M，P，Q D．N，P，Q
学霸笔记：(1)∥ ＝ ≠)是判断两个向量共线的主要依据；
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 与共线．
跟踪训练　已知向量a，b是两个不共线的向量，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
题型2　利用共线向量定理求参数
例4 (1)已知e1，e2是平面内的一个基底，＝，＝+，＝5e1－3e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　)
A．9 B．13
C．15 D．18
(2)如图，在△ABC中，，且BF与CE交于点M，设，则x－2y＝(　　)
A．0　　B． C．　　　D．1
学霸笔记：已知三点共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相等向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数对应相等，利用待定系数法建立方程(组)，从而求得参数．
跟踪训练　(1)(2026·石家庄模拟)已知A，B，D三点共线，且对直线外任一点C，有，则实数λ为(　　)
A．　　　B． C．－　　D．－
(2)如图所示，设＝，n，线段MN与BC交于点O，且，则2m＋n＝(　　)
A．　　　B．2 C．　　　D．3
提示：请完成课时作业30
第一节　平面向量的概念与线性运算
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：对于A，＝0，故A正确；对于B，＝－＝＝0，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，＝0，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，所以∥.又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A.
答案：A
3．解析：.
答案：
4．解析：由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ，则解得t＝.
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
1．解析：对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确；对于B，零向量的方向是任意的，B正确；对于C，由＝不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确；对于D，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a，c可以不共线，即a∥c不一定成立，D错误．故选D.
答案：D
2．解析：对于A，向量a与b满足|a|＝，故A不符合题意；对于B，由a＝－b，则，故B不符合题意；对于C，由a＝2b，则向量a与b同向，所以，故C符合题意；对于D，向量a与b满足a∥b，若向量a与b反向，则，故D不符合题意．故选C.
答案：C
视角二
例1　解析：＝＝，其中＝++＝+＝+，故＝＝．故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：在△ABC中，，E是AD的中点，则＝＝＝.故选D.
答案：D
例2　解析：因为a＝0 a＋b＋＝0 (a＋b＋c)++＝0 ＝＝，所以点P在∠BAC的角平分线上．同理可得点P在∠ABC的角平分线上．所以点P为△ABC的内心．故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：由＝＝，而 ，所以可得＝，即以CA，CB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形，即△ABC是直角三角形．故选C.
答案：C
视角三
例3　解析：e1，e2是平面内的一个基底，＝，＝，＝5e1－4e2，因为≠≠≠，则与与与不共线，所以M，N，P不共线，M，N，Q不共线，M，P，Q不共线，故排除ABC，注意到2e2＝2(4e1－e2)－(5e1－4e2)＝2，即＝所以点P是线段NQ的中点，故D符合题意．故选D.
答案：D
跟踪训练　解析：因为＝a+2b，＝5a+6b，＝7a－2b，对于A，＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b，若A，B，D三点共线，则，即a＋2b＝λ(2a＋4b)，即解得λ＝，故A正确；对于B，＝－5a＋6b，若A，B，C三点共线，则，即a＋2b＝λ(－5a＋6b)，即解得λ不存在，故B错误；对于C，＝7a－2b，若B，C，D三点共线，则即－5a＋6b＝λ(7a－2b)，即解得λ不存在，故C错误；对于D，＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝－4a＋8b，＝7a－2b，若A，C，D三点共线，则，即－4a＋8b＝λ(7a－2b)，即解得λ不存在，故D错误．故选A.
答案：A
例4　解析：(1)因为＝5e1－3e2，所以＝(2e1＋ke2)－(4e1＋3e2)＝－2e1＋(k－3)e2，＝(5e1－3e2)－(4e1＋3e2)＝e1－6e2，又因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得(k－3)e2＝λ(e1－6e2)，所以解得k＝15，λ＝－2.故选C.
(2)因为B，M，F三点共线，且，所以＝(1－y).又因为C，M，E三点共线，且，所以＋(1－x)＋3(1－x)，可得(1－y)＋3(1－x)，即解得所以x－2y＝＝0.故选A.
答案：(1)C　(2)A
跟踪训练　解析：(1)因为A，B，D三点共线，则，又点C是直线外任一点，所以＝t，整理得到＝(1－t)，又，则解得λ＝－.故选C.
(2)由题意知＝＝+，又M，N，O三点共线，故m+n＝1，所以2m＋n＝3.故选D.
答案：(1)C　(2)D

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