资源简介

(共70张PPT)
第六节　空间向量的概念及运算
新课标要求 真题分布
1. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间的两点间的距离公式．
2．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．
3．掌握空间向量基本定义及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 一般不单独考查
知识导图
答案：A
2．(人教A版选修一P15习题T2)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　)
A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
答案：C
答案：B
4．(人教A版选修一P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′＝________．
答案：B
学霸笔记：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．
答案：D
(2)判断点M是否在平面ABC内．
答案：B　
(1)求证：四边形BB1C1C为矩形；
答案：B
答案：D
2．(2026·惠州模拟)已知a＝(2，－1，4)，b＝(－1，1，－2)，c＝(7，5，m)，若a，b，c共面，则实数m的值为(　　)
A．60 B．14
C．12 D．62
答案：B
答案：B

答案：B
答案：D
答案：A
答案：A
答案：C
答案：BC
答案：AC
11．定义：设{a1，a2，a3}是空间的一个基底，若向量p＝xa1＋ya2＋za3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p在基底{a1，a2，a3}下的坐标．已知{a，b，c}是空间的单位正交基底，若{a＋b，a－b，a＋2c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a＋b，a－b，a＋2c}下的坐标是(1，0，3)．则向量p在基底{a，b，c}下的坐标是________．
答案：(4，1，6)
解析：由向量p在基底{a＋b，a－b，a＋2c}下的坐标是(1，0，3)，所以p＝(a＋b)＋0×(a－b)＋3(a＋2c)＝4a＋b＋6c，所以向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(4，1，6)．

13．(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点M为线段AB的中点，点N是线段B1C1上靠近B1的四等分点．



14．(15分)如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝θ，∠DAA1＝∠BAA1＝60°，M，N分别是D1C1，C1B1的中点．

(2)求证：MN⊥AC1.
答案：A

第六节　空间向量的概念及运算
新课标要求 真题分布
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间的两点间的距离公式． 2．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．掌握空间向量基本定义及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 一般不单独考查
　必备知识·回归教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识导图
【重要结论】
1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．在利用证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
回归教材
1.(人教A版选修一P10习题T5)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－＋c B．－＋c
C．＋c D．＋c
2．(人教A版选修一P15习题T2)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　)
A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b
C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c
3．(人教A版选修一P8练习T1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为(　　)
A．60° B．90°
C．105° D．75°
4．(人教A版选修一P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′＝________．
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　空间向量的线性运算
例1 在四面体D-ABC中，点G是△ABC的重心，设＝c，则＝(　　)
A． B．
C． D．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．
　跟踪训练　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝c，则＝(　　)
A．＋c B．＋c
C．－＋c D．－＋c
视角二　共线、共面向量定理的应用
例2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足，
(1)判断三个向量是否共面；
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)对空间任一点O，，若x＋y＝1，则点P，A，B三点共线．
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法．
①；
②对空间任一点O，或(x＋y＋z＝1)即可．
　跟踪训练　(1)设A，B，C为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(其中O为坐标原点)(　　)
A．
B．
C．＝0
D．
(2)如图，在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，，λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且则λ，μ满足的关系式为________．
视角三　空间向量的数量积及其应用
例3 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝3，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝α，记＝c.
(1)求证：四边形BB1C1C为矩形；
(2)若α＝60°，①用a，b，c表示，并求；②求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)求夹角：设向量夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)：利用公式2＝ ·，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(3)解决垂直问题：利用⊥ ·＝0，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
　跟踪训练　如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　)
A．AC1＝6
B．⊥
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
提示：请完成课时作业43
第六节　空间向量的概念及运算
必备知识·回归教材
回归教材
1．解析：平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案：A
2．解析：因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面．对于A，因为b＝(b＋c)＋(b－c)，所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B，同理可得，向量a，a＋b，a－b共面；对于C，若a＋b，a－b，c共面，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，则a，b，c共面与向量a，b，c不共面矛盾，所以a＋b，a－b，c不共面，所以C正确；对于D，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面．故选C.
答案：C
3．解析：设BB1＝1，则AB＝.∵＝－，＝＋，∴·＝(－)·(＋)＝2－·＝1－××cos 60°＝0，∴AB1⊥BC1.∴AB1与BC1所成的角为90°.故选B.
答案：B
4．解析：因为·＝5×3×cos 60°＝，·＝5×4×cos 60°＝10，·＝3×4×cos 90°＝0，所以||＝|＋＋|＝＝＝.
答案：
多元视角·拓展教材
视角一
例1　解析：∵G是△ABC的重心，∴＝.∴＝＝(＋)＝＋＝(－)＋(－)＝＋－，∴＝＋＝＋＋－＝＋＋＝a＋b＋c.故选B.
答案：B
跟踪训练　解析：因为M为A1C1与B1D1的交点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
答案：D
视角二
例2　解析： (1)共面，理由如下：
∵＝(＋＋)，∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)可知，，共面，且共过同一点M，
∴四点M，A，B，C共面，∴点M在平面ABC内．
跟踪训练　解析：(1)空间向量共面定理：＝x＋y＋z，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，其充要条件是x＋y＋z＝1.对于A，因为1－1－1≠1，所以A，B，C，M四点不共面；对于B，因为＋－＝1，所以A，B，C，M四点共面；对于C，由＋＋＋＝0可得＝－－－，因为－1－1－1＝－3≠1，所以A，B，C，M四点不共面；对于D，由＋＋＝，可得－＋－＋－＝，即＝＋＋，因为＋＋＝≠1，所以A，B，C，M四点不共面．故选B.
(2)因为＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋＋＋)＝＋＋，所以＝＝(＋＋)，因为＝λ，＝μ，＝，所以＝＋＋，因为M，D，E，F四点共面，所以＋＋＝1，所以＋＝6.
答案：(1)B　 (2)＋＝6
视角三
例3　答案：(1)由已知四边形BB1C1C为平行四边形．
又＝c－b，＝＝a，
所以·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝3×2cos 60°－3×2cos 60°＝0，
故⊥，即BC⊥BB1，所以四边形BB1C1C为矩形．
答案： (2)①由已知＝＋＝＋，
又＝－＝c－b，故＝a＋c－b.
a·c＝a·b＝3×2cos 60°＝3，c·b＝2×2cos 60°＝2，
||＝＝＝＝.
②同理＝c－a，||＝＝＝＝，
·＝(a＋c－b)·(c－a)＝c2－a2－b·c＋a·b＝4－9－2＋3＝－4，
cos 〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为.
跟踪训练　解析：对于A，由题意可知＝＋＋＝＋＋，则2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝62＋62＋62＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 60°＝63，所以AC1＝6，故A错误；对于B，·＝(＋＋)·(－)＝·＋2＋·－2－·－·＝6×6×cos 60°＋62＋6×6×cos 60°－62－6×6×cos 60°－6×6×cos 60°＝0，所以⊥，故B正确；
对于C，·＝(＋)·＝(－)·＝·－2＝6×6×cos 60°－62＝－18，＝＝＝＝＝6，则cos 〈，〉＝＝＝－，向量与的夹角是120°，故C错误；
对于D，设BD1与AC所成的角为θ，·＝(＋1)·(＋)＝(＋－)·(＋)＝·＋·－2＋2＝6×6×cos 60°＋6×6×cos 60°－62＋62＝36，||＝|＋－|＝ ＝＝6，＝＝＝＝6，所以cos θ＝＝＝＝，故D错误．故选B.
答案：B

展开更多......

收起↑