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(共82张PPT)
微专题9　立体几何中的动态问题
答案：B　
解析： 考虑点Q在侧面ABE上运动时点Q的轨迹长度，如图所示，
答案：ABD
对于B，如图，连接A1B，AB1，因为动点P满足PA1＝PB，所以点P的轨迹是过A1B的中点且与A1B垂直的平面，又在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，则ABB1A1是正方形，所以AB1过A1B的中点且与A1B垂直，
学霸笔记：与立体几何有关的轨迹问题的解题方法
(1)几何法：利用几何图形的性质找满足题意的点．
(2)排除法：利用特殊位置或者特殊值进行排除．
(3)定义法：转化为平面轨迹问题，利用解析几何相关知识计算．
(4)建系法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，根据题意建立方程(组)，得出轨迹方程．
答案：A　
答案：BCD
答案：C　
解析：线段AC的中点为M，连接MB，MA1，连接AB1.
三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为2，所以四边形ABB1A1是菱形，故A1B⊥AB1.因为A1B⊥B1C，A1B⊥AB1，B1C，AB1 平面AB1C，且B1C与AB1相交于点B1，所以A1B⊥平面AB1C.因为AC 平面AB1C，所以A1B⊥AC.
答案：ACD　
答案：14π
学霸笔记：在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是：
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值；
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
答案：A　
(2)(2026·南京模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1，则AP的最小值为________．

1．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是(　　)
答案：D
答案：D
解析：由题意可得，动点P在矩形BCC1B1的内部及其边界上运动，且P到球A的球面上的点的最小距离为2，则动点P一定在以A为球心，以3为半径的球面上，再由动点P在矩形BCC1B1的内部及其边界上运动，则矩形面BCC1B1截以A为球心，以3为半径的球面可得圆弧MN，如图，
答案：C
4．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，点P，M，N分别为棱AA1，AB，A1B1的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中错误的是(　　)
A．直线C1Q与直线AB始终垂直
B．直线C1Q与直线CP始终异面
C．直线C1Q与直线CP可能垂直
D．直线C1Q与直线BP可能垂直
答案：C
解析：对于A，连接CM，因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，点P，M，N分别为棱AA1，AB，A1B1的中点，所以CM⊥AB，CC1⊥平面ABC，又因为AA1⊥平面A1B1C1，AB 平面ABC，所以CC1⊥AB，因为CM∩CC1＝C，CM，CC1 平面CMNC1，所以AB⊥平面CMNC1，又C1Q 平面CMNC1，所以C1Q⊥AB，故A正确；
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为点M，N分别为棱AB，A1B1的中点，所以MN∥AA1，又MN 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C，因为C1，P，C∈平面AA1C1C，C1 PC，Q∈MN，所以C1，P，C，Q四点不共面，所以直线C1Q与直线CP始终异面，故B正确；
答案：B
解析：如图，取AC的中点O，A1C1中点M，连接OB，
以OA，OB，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
答案：B
7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．点P在直线BC1上运动时，直线AP与直线AD所成角的大小不变
B．点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
C．点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变
D．点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变
答案：CD
解析：如图，以D为原点，建立如图空间直角坐标系．不妨设AB＝2.
答案：ABD
9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最小值为________．

10．如图，边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，将△AED，△DCF沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为________．

解析：取EF的中点G，连接PG，DG，且DG延长线过点B，因为DP⊥PF，DP⊥PE，PF∩PE＝P，所以DP⊥平面PEF，根据对称性可知P在底面EFD平面内的射影点必在GD上，记为点O，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，过点O垂直于OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，微专题9　立体几何中的动态问题
　多元视角·拓展教材　探究式精练 收获一个“赢”
视角一　动点的轨迹问题
例1 (1)(2026·青岛模拟)如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为
＝，则点Q的轨迹长度为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多选)(2026·广州模拟)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB＝AA1＝BD＝2，点G是棱A1D1的中点，若动点P满足PA1＝PB，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则(　　)
A．GB＝GC1
B．Ω为梯形
C．PA1＋PD1的最小值为2
D．PG的最小值为
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：与立体几何有关的轨迹问题的解题方法
(1)几何法：利用几何图形的性质找满足题意的点．
(2)排除法：利用特殊位置或者特殊值进行排除．
(3)定义法：转化为平面轨迹问题，利用解析几何相关知识计算．
(4)建系法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，根据题意建立方程(组)，得出轨迹方程．
　跟踪训练　(1)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，满足直线D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段DP扫过的面积的大小为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多选)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，AB的中点，P为侧面BCC1B1的一动点，下列说法正确的是(　　)
A．异面直线AC与BM所成角的余弦值为
B．若△AC1P的面积为，则动点P的轨迹为椭圆的一部分
C．若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为抛物线的一部分
D．过直线MN的平面α与平面ABCD所成角最小时，平面α截正方体所得的截面面积为3
视角二　最值(范围)问题
例2 (1)(2026·南通模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，A1B⊥B1C，则异面直线AB，A1C1间的距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为棱C1D1和面对角线B1C上的动点(含端点)，则(　　)
A．若P，Q，A1，D四点不共面，则四面体PQA1D的体积为定值
B．若P，Q，A，B四点不共面，则四面体PQAB体积的最大值为
C．若P，Q，A，C四点不共面，则四面体PQAC体积的最大值为
D．若P，Q，A，D四点不共面，则四面体PQAD体积的最大值为
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)如图，正方形ABCD的边长为4.现沿对角线BD将△ABD翻折到△A′BD的位置，使二面角A′-BD-C成直二面角．E，F分别为BC，A′D的中点，点A′，B，C，D四点都在球O的表面上，则过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值是________．
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学霸笔记：在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是：
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值；
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
　跟踪训练　(1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．
(2)(2026·南京模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1，则AP的最小值为________．
提示：请完成微专题9
微专题9　立体几何中的动态问题
多元视角·拓展教材
视角一
例1　
解析： (1)考虑点Q在侧面ABE上运动时点Q的轨迹长度，如图所示，
易知OE＝OA＝OB＝，且△ABE是边长为2的等边三角形，则三棱锥O-ABE是正三棱锥，则点O在底面ABE内的射影点G为△ABE的中心，取H为BE的中点，连接AH，OH，则AH⊥BE，因为OB＝OE＝，BE＝2，故OB2＋OE2＝BE2，则OB⊥OE，所以△OBE为等腰直角三角形，且OH＝BE＝1，AH＝＝＝，因为G为等边△ABE的中心，则AG＝AH＝，所以OG＝＝＝，因为OG⊥平面ABE，QG 平面ABE，所以OG⊥QG，则QG＝＝＝，
所以点Q的轨迹是以点G为圆心，半径为的圆在△ABE内的圆弧，如图，
设圆G与BE交于M，S两点，由于在Rt△GHM中，GM＝，GH＝，则cos ∠MGH＝，所以∠MGH＝，则∠MGS＝，所以圆G在△ABE内的一段弧的长为(2π－×3)×＝，则点Q的轨迹长度为×8＝.故选B.
解析：(2)对于A，连接GB，GB1，GC1，
由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝BD＝2，则△ABD是等边三角形，即∠B1A1D1＝∠BAD＝60°，所以∠A1D1C1＝120°，又点G是棱A1D1的中点，则GA1＝GD1＝A1D1＝1，所以由余弦定理得GC1＝＝，且GB1＝＝，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，又GB1 平面A1B1C1D1，则BB1⊥GB1，所以GB＝＝，所以GB＝GC1＝，故A正确；
对于B，如图，连接A1B，AB1，因为动点P满足PA1＝PB，所以点P的轨迹是过A1B的中点且与A1B垂直的平面，又在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，则ABB1A1是正方形，所以AB1过A1B的中点且与A1B垂直，如图，分别取D1C1和D1D的中点为E和F，连接EB1，EF，AF，在△EB1C1中，由EC1＝1，B1C1＝2，∠EC1B1＝60°，则EB1＝＝，所以B1C＝EB＋EC，即EB1⊥EC1，即EB1⊥A1B1，又BB1⊥平面A1B1C1D1，且EB1 平面A1B1C1D1，则EB1⊥BB1，又A1B1∩BB1＝B1，且A1B1，BB1 平面AA1B1B，所以EB1⊥平面AA1B1B，又A1B 平面AA1B1B，所以EB1⊥A1B，又D1C1和D1D的中点分别为E和F，则EF∥AB1，所以EF⊥A1B，由AB1⊥A1B，EB1⊥A1B且AB1∩EB1＝B1，AB1，EB1 平面AB1EF，所以A1B⊥平面AB1EF，即点P的轨迹截该四棱柱所得形状Ω是四边形AB1EF，又分别取AA1和A1B1的中点为M和N，连接MD1，D1N，则AF∥MD1，EB1∥D1N，但MD1与D1N不平行，所以AF与EB1也不平行，所以Ω为梯形，故B正确；
对于C，因为PA1＝PB，所以PA1＋PD1＝PB＋PD1，连接BD1，由BD＝DD1＝2，则BD1＝＝2，所以PA1＋PD1＝PB＋PD1≥BD1＝2，当P为BD1与平面AB1EF的交点时取“＝”，故C错误；
对于D，设点G到平面AB1EF的距离为h，则PG的最小值为h，连接GB1，GE，FB1，FG，FE，结合选项A有GD1＝D1E＝1，∠GD1E＝120°，GB1＝，EB1＝，则GE＝＝，所以△GEB1是等边三角形，即∠GB1E＝60°，则S△GEB1＝×GB1×EB1×sin 60°，结合选项B有FD1＝1，又D1B1＝DB＝2，则EF＝＝，FB1＝＝，
所以FB＝EB＋EF2，即△B1EF是直角三角形，所以S△B1EF＝×EB1×EF，又VF-GB1E＝VG-B1EF，即××GB1×EB1×sin 60°×FD1＝××EB1×EF×h，即×××××1＝××××h，解得h＝，所以PG的最小值为，故D正确．
故选ABD.
答案：(1)B　 (2)ABD
跟踪训练　解析：(1)由题意得正方体ABCD A1B1C1D1中，易得DD1∥CC1，要使直线D1P与直线CC1所成角的大小为，只需DD1与直线D1P所成角的大小为，所以D1P绕DD1以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示．
所以tan ∠DD1P＝＝，即DP＝，所以点P的轨迹是以D为圆心，为半径的四分之一圆，故线段DP扫过的面积的大小为πr2＝π×()2＝.故选A.
解析：(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，M(1，0，2)，则＝(－2，2，0)，＝(－1，－2，2)，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以A错误；设P到AC1的距离为h，则|AC1|·h＝，解得h＝1，所以点P位于以AC1为中轴线，半径为1的圆柱面上，又因为P位于平面BCC1B1上，则P位于平面BCC1B1与圆柱面的交线上，根据圆柱面与平面的位置关系，可得P的轨迹为椭圆的一部分，故B正确；点P到直线C1D1的距离等于PC1，即P到点C1与P到直线BC的距离相等，根据抛物线的定义，则动点P的轨迹为抛物线的一部分，所以C正确；取AD的中点H，则易得MH＝2，且MH⊥平面ABCD，易得当HN与平面α和底面ABCD的交线垂直时，过直线MN的平面α与平面ABCD所成角最小，可知HN⊥AC，则平面α和底面ABCD的交线与AC平行，
此时易得平面α即为图中的平面MQNEFG，其中点Q，E，F，G是所在棱的中点，可得截面图形为正六边形，边长为，所以其面积为×()2××6＝3，所以D正确．故选BCD.
答案：(1)A　 (2)BCD
视角二
例2　
解析：(1)线段AC的中点为M，连接MB，MA1，连接AB1.
三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为2，所以四边形ABB1A1是菱形，故A1B⊥AB1.因为A1B⊥B1C，A1B⊥AB1，B1C，AB1 平面AB1C，且B1C与AB1相交于点B1，所以A1B⊥平面AB1C.因为AC 平面AB1C，所以A1B⊥AC.因为BM是等边△ABC中AC边上的中线，所以BM⊥AC.又因为A1B，BM 平面A1BM，且A1B与BM相交于点B，所以AC⊥平面A1BM.因为A1M 平面A1BM，所以AC⊥A1M.即∠AMA1＝90°.由勾股定理得A1M＝＝.AB 平面ABC，A1C1 平面A1B1C1，且平面ABC∥平面A1B1C1，所以异面直线AB与A1C1的距离，即平面ABC与平面A1B1C1的距离．设该距离为d.过M作MM1⊥平面A1B1C1，垂足为M1，故d＝|MM1|≤|MA1|＝.所以异面直线AB与A1C1的距离最大值为.故选C.
解析：(2)对于A，如图，
点Q，A1，D都在平面CB1A1D上，S△QA1D＝×1＝，点P在线段C1D1上，与平面CB1A1D的距离为定值，所以V四面体PQA1D＝＝，为定值，A正确；
对于B，如图，
点P，A，B都在平面D1C1BA上，S△PAB＝×1＝，点Q在线段CB1上，与平面D1C1BA距离的最大值为，所以(V四面体PQAB)max＝＝，B错误；
对于C，如图，
点Q，A，C都在平面CB1A上，S△QAC≤×()2＝，
点P到平面CB1A距离的最大值为(当P与D1重合时取得)，所以(V四面体PQAC)max＝＝，C正确；
对于D，如图，
过点Q作GH∥BC，PM⊥DG于点O，PN⊥CD于N，设CG＝t，PD1＝s，则t，s∈[0，1]，S△ADQ＝AD×DG＝，PM＝DG＝，OM＝DM sin ∠CDG＝(t＋s)，OP＝－(s＋t)·＝，故四面体PQAD的体积为V＝＝(1－st)，其最大值为，D正确．故选ACD.
解析：(3)方法一　由四边形ABCD为正方形，得球心O即为BD的中点，所以球O的半径R＝BD＝4，又连接OA′，OC，OE，OF，则∠A′OC＝90°，OE＝OF＝2，再过E作EG⊥BD，垂足为G，过F作FH⊥BD，垂足为H，则EG＝FH＝2，GH＝4，
且由已知条件可得EF＝＝2，则在等腰△OEF中，顶点O到底边EF的距离d＝ ＝，当顶点O到底边EF的距离d即为球心O到截面圆的距离时，截面圆面积最大，此时截面圆的半径r＝＝，故最大面积为πr2＝14π.
方法二　易知球心O即为BD的中点，所以球O的半径R＝BD＝4，又连接OA′，OC，则∠A′OC＝90°，如图建立空间直角坐标系O xyz，E(2，2，0)，F(－2，0，2)，
则＝(－4，－2，2)，＝(2，2，0)，
所以点O到直线EF的距离为d＝＝，以下同方法一．
答案：(1)C　 (2)ACD　 (3)14π
跟踪训练　解析：(1)取AC的中点O，连接D′O(图略)，设∠ABC＝α，α∈(0，π)，所以D′O＝AD′cos ＝2cos ，S△ABC＝×2×2sin α＝2sin α.因为D′O⊥平面ABC，所以V四面体ABCD′＝·D′O＝sin α cos ＝sin cos2＝sin·(1－sin2)(0＜＜)．设t＝sin，则0＜t＜1，V四面体ABCD′＝(t－t3)．设f(t)＝(t－t3)，0＜t＜1，则f′(t)＝(1－3t2)，0＜t＜1.因为当0＜t＜时，f′(t)＞0，f(t)单调递增；当＜t＜1时，f′(t)＜0，f(t)单调递减．所以当t＝时，f(t)取得最大值.所以四面体ABCD′体积的最大值为.故选A.
解析：(2)在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1C1∥AC，BC1∥AD1，且A1C1，BC1 平面A1BC1，
AC，AD1 平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，AD1∥平面A1BC1.因为AC＝A，且AC，AD1 平面ACD1，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为D1P∥平面A1BC1，D1∈平面ACD1，所以D1P 平面ACD1，所以点P的轨迹是平面ACD1与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为O1.
如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，1)，所以＝＝(－2，0，2)，＝(－1，1，1)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，1，1)，所以球心O到平面ACD1的距离d＝＝＝.如图，因为正方体的内切球半径r＝1，所以圆O1的半径r1＝＝ ＝.因为＝(－1，1，1)，所以||＝，即AO＝，所以AO1＝＝ ＝，所以AP的最小值为＝＝.
答案：(1)A　 (2)

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