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分课时学案
课题 2.1.1锐角的正弦 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 1.理解正弦的概念，能在直角三角形中正确找出锐角的对边与斜边，求出锐角的正弦值，熟记的值。 2.经历从30°特殊角到任意锐角的探究过程，借助相似三角形证明比值为定值，体会由特殊到一般的数学思想，提升逻辑推理能力。 3.在动手画图、测量、小组探究中感受几何规律的确定性，增强合作交流意识，建立学习三角函数的自信心。
重点 1.正弦的定义：。 2.利用定义求直角三角形中锐角的正弦值，记住特殊锐角的正弦值。
难点 难点：理解“锐角固定，对边与斜边的比值是定值，与直角三角形大小无关”。
教学过程
导入新课 【复习提问，温故孕新】 1.【30°直角三角形性质】在中，，，斜边，求直角边的长度。 2.【勾股定理】直角三角形两条直角边长分别为，求斜边长度。 3.【制造探究疑问】有两个直角三角形，都含锐角：①斜边为；②斜边为。分别求出角的对边，并计算的比值，说说你的发现。 【引入思考】 做一做：画一个直角三角形（其中一个锐角为，量出角的对边长度和斜边长度，并计算：
与同学交流，看看得出的比值是否相等.
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容 探究1：探究含 30° 角的直角三角形中，30° 角对边与斜边的比值规律 如图2.1 1，图（1）和（2）分别是小婷和小楠画的直角三角形，虽然三角形的大小不一样，但 . 若把角换成任意一个锐角α，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？下面我们来进行探索. 探究2：探究任意锐角在直角三角形中，对边与斜边的比值规律，推导正弦定义 如图2.1-2，和都是直角三角形，其中，则成立吗？为什么？ 探究3：探究特殊角正弦值 【思考】如何求的值？ 如图2.1 5，画一个，使，则，从而 【议一议】如何求 的值？小芳算出 你认为她的结果对吗？ 提炼概念（本节课主要内容提炼） 1.请你归纳正弦定义： 2.性质 3.特殊角正弦值： 4.变化规律： 典例精讲 例1如图 2.1-4，在 中，， （1）求的值；（2）求sin B的值. 解 （1）的对边，斜边，于是 （2）的对边是，根据勾股定理，得 于是 因此 例2计算： . 解: 【注意】（sin 30°）2简记为
课堂练习 巩固训练 ，，，求。 2. 计算： (1) ； (2) 。 3. 如图，在平面直角坐标系内有一点 ，连接 OQ，求 OQ 与 x 轴正方向所夹锐角 β 的正弦值 4.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 17，，求 BC 和 AC 的长，并求 sin B 的值。 5. 计算： (1) ； (2) 。
课堂小结 回顾这节课你学到了什么？
课后作业 基础达标： 1.在中，，，，求、的值。 2.计算： (1) ； (2) 。 3.在平面直角坐标系内有一点，连接，求与轴正方向所夹锐角的正弦值。 4.在中，，，，求和的长，并求的值。 能力提升： 5.计算： (1) ； (2) 。 6.在中，，，，求、的值。 7.计算：。 8.已知等腰三角形中，，底边，求底角的正弦值。 9.在中，，，，求和的长度。 10.计算：。
答案：
复习提问，温故孕新
1.【30°直角三角形性质】在中，，，斜边，求直角边的长度。
解答：直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，。
2.【勾股定理】直角三角形两条直角边长分别为，求斜边长度。
解答：由勾股定理，斜边。
3.【制造探究疑问】有两个直角三角形，都含锐角：①斜边为；②斜边为。分别求出角的对边，并计算的比值，说说你的发现。
解答：
①对边，比值；
②对边，比值；
发现：只要锐角是，无论直角三角形大小，该角对边与斜边的比值永远不变。
【总结】
1.求：，，则。设，，由勾股定理。
。
2.求：等腰直角三角形，两锐角均为，设直角边长为，斜边。
，课本中小芳的计算结果正确。
3.特殊角正弦值汇总
4.观察数值：，可得规律：在内，锐角角度越大，正弦值越大。
课堂练习
，，，求。
解答：，。
2. 计算：
(1) ；
(2) 。
解析
(1) ，；，；
(2) ，，；
3.如图，在平面直角坐标系内有一点 ，连接 OQ，求 OQ 与 x 轴正方向所夹锐角β的正弦值
解析
点 Q 到原点 O 的距离：
正弦值为纵坐标与距离之比：
4.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 17，，求 BC 和 AC 的长，并求 sin B 的值。
解析
，所以 。
由勾股定理：
5. 计算：
(1) ；
(2) 。
解析
(1) ，；
(2) ，；
课后作业
基础达标：
1.在中，，，，求、的值。
解析：
由勾股定理求斜边：
的对边为，故
的对边为，故
2.计算：
(1) ；
(2) 。
解析：
(1) ，；，
原式
(2) ，，
原式
3.在平面直角坐标系内有一点，连接，求与轴正方向所夹锐角的正弦值。
解析：
点到原点的距离：
锐角的对边为点的纵坐标，故
4.在中，，，，求和的长，并求的值。
解析：
由，代入，得
由勾股定理：
能力提升：
5.计算：
(1) ；
(2) 。
解析：
(1) ，
原式
(2) 代入数值计算（可利用平方差公式简化）：
原式
6.在中，，，，求、的值。
解析：
先求斜边：
的对边是，故
的对边是，故
7.计算：。
解析：
，，
原式
8.已知等腰三角形中，，底边，求底角的正弦值。
解析：
过点作于点，由等腰三角形三线合一，得
在中，由勾股定理：
的对边为，斜边为，故
拓展迁移：
9.在中，，，，求和的长度。
解析：
由，设，（）
代入勾股定理：，即
化简得，解得
故，
10.计算：。
解析：
代入特殊角数值：
，；，；
原式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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