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(共13张PPT)
中点的遐想
团队成员： 熊志林 刘莹 杨碧珑
中点
唤醒记忆
一个中点
两个中点
三个中点
A
B
C
D
S1
S2
平分面积
S1=S2
倍长中线
特殊三角形
C
E
A
B
C
D
等腰三角形
直角三角形
A
B
C
D
A
B
C
D
三线合一
斜边中线=
1/2斜边
A
B
C
D
E
a
b
数量关系
位置关系
a//b
A
B
D
E
C
F
G
重心
性质
AG
=
CG
=
BG
=
DG
EG
GF
2
1
……
a=b
A
B
D
c
A
B
C
D
③
E
②
A
B
C
M
？
5
5
3
3
N
①
C
A
B
？
3
E
D
5
④
A
B
C
？
6
D
8
⑤
A
B
C
D
6
E
1
2
E
1
2
实效训练
？
4
2
6
2
G
？
捕捉味道
中点
例1. （2018年江西中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
解：（1）如图所示，AF即为所求
E为AB的中点
AB=2BE
AB=2CD
BE=CD
AB//CD
∠BEF=∠DCF，∠EBF=∠CDF
△BEF≌△DCF（ASA）
BF=DF
AF是△ABD的中线
F
看到一个中点
直接用中线的性质
破解之道
A
B
C
E
D
构造三角形全等
例2. （2015江西中考）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　，b＝　 　．
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　．
破解之道
C
A
E
B
F
P
30°
图2
C
A
E
B
F
P
45°
图1
c
c
破解之道
解：（1）连接EF
∵AF⊥BE，AB=2，
∠ABE=45°，
∴AP=BP=，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=AB=，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△EPA中，
∴AE=BF=，
∴AC=BC=2，
∴a=b=2，
看到两个中点
构造中位线
C
A
E
B
F
P
45°
图1
C
A
E
B
F
P
30°
图2
解：（2）如图2，连接EF，
同理可得：EF= AB= × 4=2
∵EF//AB
∴△PEF∽△ABP，
∴
在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°
∴AP=2，PB= 2，
∴PF=1，PE=
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE= ，BF= ∴a= 2 b=2，
PF
=
PE
=
EF
=
AP
PB
AB
1
2
EF∥AB，EF=AB
例3. （2017年江西中考）如图，AB=AD，AC=AE，
α+β=180°，M为DE的中点，连AM，求证：BC=2AM.
A
D
E
M
C
B
α
β
破解之道
破解之道
思路导航：倍长中线法构造全等
A
D
M
C
B
α
β
①倍长中线
延长AM至F，使得MA=MF，连接FE，
②构造全等
△MFE≌△MAD（SAS），
E
F
再证△FEA≌△BAC（SAS）,
③转移线段（角）
A
D
M
B
α
β
E
F
C
1
2
证明：延长AM至点F,使得MA=MF，
连接EF ，
在△MFE和△MAD中
∴△MFE≌△MAD(SAS)
∴∠F=∠1，FE=AD
∵α+β=180°,
∴∠1+∠2+∠BAC=180°
又∵∠F+∠2+∠FEA=180°,
∴∠FEA=∠BAC
在△FEA和△BAC中
∴△FEA≌△BAC(SAS)
∴AF=CB
∵AF=2AM
∴BC=2AM
MD=ME
∠FME=∠AMD
MF=MA
倍长中线
构造全等
转移线段（角）
破解之道
思路导航：中位线法构造全等
①中位线
延长EA至F，使得EA=AF，得AM=DF
②构造全等
ΔBAC≌ΔDAF（SAS）,
A
D
M
B
α
β
E
F
C
实战练习
③转移线段（角）
破解之道
证明：延长EA至点F,使得EA=AF，连接DF
∵M是DE的中点，A是FE的中点,
∴AM是ΔEDF的中位线.
∴DF = 2AM
∵EA=AF，EA=CA，
∴AF=AC
∵∠1+β =180°，α+β=180°
∴∠1 = α
∵∠DAF=α+∠BAF，∠BAC=∠1+∠BAF
∴∠DAF=∠BAC
在△BAC和△DAF中
∴ΔBAC≌ΔDAF ( SAS)
∴DF=BC.
∴BC= 2AM
A
D
M
B
α
β
E
F
C
构造中位线
构造全等
1
转移线段
总结归纳
三角形一边的中点
联想
直接用性质
三角形中线或
与中线有关线段
倍长中线
构造全等
三角形两边的中点
构造中位线
直角三角形＋斜边中点
构造直角三角形
斜边上的中线
等腰三角形＋底边中点
等腰三角形三线合一
中点
看
想
说
联想
联想
联想
联想

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