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第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.能利用v-t图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式x=v0t+at2，进一步体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法。
2.能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式v2-=2ax，体会科学推理的逻辑严密性。
3.能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题，体会物理知识的实际应用价值。
4.了解v-t图像围成的面积即相应时间内的位移。提高应用数学研究物理问题的能力，体会变与不变的辩证关系。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　速度与位移的关系
知识点一　匀变速直线运动的位移
知识点三　刹车类问题
知识点一　匀变速直线运动的位移
1.如图为匀速直线运动的v-t图像，图中阴影部分的面积与物体在0~t1时间内的位移在数值上是否相等
提示　相等
2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。
提示　(1)可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示。这样每一小段内的匀变速直线运动转变成了匀速直线运动的问题。
如图甲中5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个运动过程中的位移。
甲
(2)为了精确一些，把运动过程划分更多的小段，如图乙所示，用所有这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程的位移，会更准确一些。
(3)如果把整个过程划分得非常非常细，很多很多的小矩形就看不出来了，如图丙所示，梯形的面积就能代表整个过程的位移。
v-t图像与坐标轴围成的梯形的面积为
x=(v0+v)t　①
又v=v0+at　②
联立①②式可得x=v0t+at2。
甲
1.匀变速直线运动位移与时间的关系式
v0t+at2
x=_____________。
当v0=0时，x=_________ (由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。
2.适用条件：仅适用于_________直线运动。
at2
匀变速
3.公式的矢量性：公式中x、v0、a都是______，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取___值。当物体做匀减速直线运动时，a取___值，计算结果中，位移x的正、负表示其______。
4.在v-t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负。
矢量
正
负
方向
位移与时间关系式的应用
例1 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小;
解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得物体在2 s内的位移大小为
x2=a=2 m。
答案　2 m
(2)物体在第2 s内的位移大小;
解析　第1 s末的速度(第2 s初的速度)
v1=v0+at1=0+1×1 m/s=1 m/s
故物体在第2 s内的位移大小为
xⅡ=v1t1+a=1×1 m+×1×12 m=1.5 m。
答案　1.5 m　
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
解析　第2 s末的速度
v2=v0+at2=0+1×2 m/s=2 m/s
也是物体在第二个2 s的初速度
故物体在第二个2 s内的位移大小为
x2'=v2t2'+at2'2=2×2 m+×1×22 m=6 m。
答案　6 m
应用位移与时间的关系式解题的一般步骤
(1)规定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
训练1 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0=5 m/s，加速度大小为
0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移;
(2)物体在第3 s内的位移。
答案　(1)12.75 m，方向与初速度的方向相同
(2)3.75 m，方向与初速度的方向相同
解析　(1)取初速度方向为正方向，则v0=5 m/s，a=-0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m=12.75 m，方向与初速度的方向相同。
(2)同理，物体在前2 s内的位移为
x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m
因此第3 s内物体的位移
x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m
方向与初速度的方向相同。
利用v-t图像求位移
例2 (2025·福建卷，14)某运动员进行游泳训练，他的运动为直线运动，运动的v-t图像如图所示，各阶段图像均为直线。求：
(1)运动员0~2 s内的平均速度大小;
答案　2.4 m/s　
解析　由题图可知，0~2 s内运动员做匀减速直线运动，由v-t图像与t轴所围面积表示位移可得x2=(2.8+2.0)×2× m=4.8 m
则平均速度== m/s=2.4 m/s。
(2)运动员44.2~46.2 s内的加速度大小;
答案　0.1 m/s2　
解析　由题图可知，44.2~46.2 s内运动员做匀加速直线运动，由加速度定义可得该段时间内的加速度大小为a==0.1 m/s2。
(3)运动员44.2~46.2 s内的位移大小。
答案　4.2 m
解析　v-t图像与t轴所围面积表示位移的大小，则44.2~46.2 s内运动员的位移大小为
x= m=4.2 m。
知识点二　速度与位移的关系
试由x=v0t+at2和v=v0+at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。
提示　由v=v0+at得t=
代入x=v0t+at2得v2-=2ax。
1.匀变速直线运动速度与位移的关系式：v2-=_________。
2.适用条件：仅适用于_______________运动。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先规定正方向，一般取v0方向为正方向。
(1)若是加速运动，a取___值，若是减速运动，a取___值。
(2)若计算结果x>0，表明位移的方向与正方向______，x<0表明位移的方向与正方向______。
(3)若计算结果v>0，表明速度的方向与正方向______，v<0表明速度的方向与正方向______。
2ax
匀变速直线　
正
负
相同
相反
相同
相反
例3 如图是中国空军歼-15战机在航母甲板上起飞的情形。假设起飞甲板的长度为200 m，歼-15战机起飞的最小速度为80 m/s，飞机在航母上的平均加速度为15 m/s2。
(1)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，飞机在航母上能否正常起飞
答案　飞机在航母上不能正常起飞
解析　如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动位移速度公式可得v2=2ax
解得飞机的末速度为
v== m/s=20 m/s<80 m/s
可知飞机在航母上不能正常起飞。
(2)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，为保证能起飞，飞机的加速度至少为多大
答案　16 m/s2　
解析　如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，为保证能起飞，设飞机的最小加速度为a1，根据运动学公式可得=2a1x
解得a1== m/s2=16 m/s2。
(3)飞机如果要在甲板上正常起飞，不改变飞机的加速度，也可以利用弹射装置使飞机有一定的初速度，那飞机的初速度至少是多大
答案　20 m/s
解析　设利用弹射装置使飞机有一定的初速度为v0，根据运动学公式可得=2ax
解得v0== m/s=20 m/s。
D
训练2 若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是(　　)
A.60 m B.120 m
C.140 m D.160 m
解析　列车做匀加速直线运动，由v2-=2ax可得(102-52) m2/s2=2a×30 m，(252-152) m2/s2=2ax，解得x=160 m，故D正确。
知识点三　刹车类问题
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
CD
例4 (多选)(2026·天津市河东区高一统考)在笔直的南沙港快速路前进的汽车刹车后匀减速运动，经过3.5 s停止，它在最后1 s的位移为1 m、以下说法正确的是(　　)
A.汽车刹车的加速度大小为1 m/s2
B.汽车刹车后共滑行7 m
C.汽车开始刹车时的速度为7 m/s
D.汽车刹车停止全程的平均速度为3.5 m/s
解析　采用逆向思维，根据最后1 s内的位移得x'=at'2，解得加速度大小a== m/s2=2 m/s2，故A错误;刹车后滑行的距离x=at2=×2×3.52 m=12.25m，故B错误;汽车开始刹车时的速度v0=at=2×3.5 m/s=7 m/s，故C正确;汽车刹车过程中的平均速度== m/s=3.5 m/s，故D正确。
刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。
训练3 某汽车以16 m/s的速度匀速行驶，突然发现前方有障碍物，于是立即刹车，取汽车刚开始刹车时为0时刻，刹车2 s末的速度大小为8 m/s。已知汽车刹车时做匀减速直线运动，求：
(1)汽车刹车时的加速度大小;
(2)前3 s汽车的平均速度大小;
(3)0~5 s汽车的位移大小。
答案　(1)4 m/(2)10 m/s　(3)32 m
解析　(1)汽车2 s内速度从16 m/s减速到8 m/s，由加速度公式有
a===-4 m/s2
汽车刹车时的加速度大小为4 m/s2。
(2)由位移与时间关系x=v0t+at2
代入数据解得x=30 m
则平均速度为==10 m/s。
(3)汽车刹车时间为t刹==4 s
故5 s时汽车已停止运动，0~5 s汽车的位移大小为
x5==32 m。
随堂对点自测
2
1.(位移与时间关系的应用)一汽车由静止开始做匀加速直线运动，从汽车开始运动计时，若汽车在第1 s内通过的距离为2 m，则汽车在0~5 s内通过的距离为(　　)
A.18 m B.32 m
C.50 m D.60 m
解析　设加速度为a，汽车第1 s内通过的距离x=at2
得加速度a== m/s2=4 m/s2，则汽车在0~5 s内通过的距离为x5=a=×4×52 m=50 m，故C正确。
C
2.(v2-=2ax的应用)如图所示，滑雪运动员不借助雪杖，由静止从山坡匀加速滑过x1，又在平面上匀减速滑过x2后停下，测得x1=2x2，设运动员在山坡上滑行的加速度大小为a1，在平面上滑行的加速度大小为a2，则a1∶a2为(　　)
A
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶1 D.∶1
解析　由v2-=2ax知，沿斜坡下滑时，有=2a1x1，在水平面上减速到零时，有=2a2x2，解得a1∶a2=x2∶x1=1∶2，故A正确。
3.(刹车类问题)汽车以20 m/s的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内的位移与开始刹车后6 s内的位移之比为(　　)
A.1∶1 B.3∶5
C.5∶9 D.3∶4
解析　汽车从开始刹车到停止的时间t0==4 s，则汽车开始刹车后2 s内的位移为x1=v0t1-a=30 m，汽车开始刹车后6 s内的位移等于4 s内的位移，x2==40 m，所以=，故D正确，A、B、C错误。
D
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　匀变速直线运动的位移
1.一物体由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内的位移为2x，则它在时间2t内的位移为(　　)
A.4x B.8x
C. D.
解析　物体由静止开始做匀加速直线运动，根据位移时间公式可得2x=at2，x'=a(2t)2，联立解得x'=8x，故B正确。
B
2.(多选)一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x=(10t+t2) m，则(　　)
AC
A.质点的初速度为10 m/s
B.质点的加速度大小为1 m/s2
C.质点的加速度大小为2 m/s2
D.在4 s末，质点距出发点24 m
解析　将x=(10t+t2) m与公式x=v0t+at2对比可知，质点的初速度为v0=10 m/s，加速度大小为a=2 m/s2，故A、C正确，B错误;t=4 s时，x=(10×4+42) m=56 m，故D错误。
3.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
B
A.物体运动的加速度为2 m/s2
B.物体在前2 s内的位移为8 m
C.物体在第2 s内的位移为4 m
D.物体在第2 s内的平均速度为8 m/s
解析　根据x1=a得，物体运动的加速度a==4 m/s2，故A错误;物体在前2 s内的位移为x2=a=×4×22 m=8 m，故B正确;物体在第2 s内的位移xⅡ=x2-x1=6 m，在第2 s内的平均速度==6 m/s，故C、D错误。
4.(2025·北大附中月考)某快递公司推出了用无人机配送快递的方法，某次配送时无人机从地面由静止开始竖直向上飞行，运动的v-t图像如图所示，以竖直向上为正方向，下列说法正确的是(　　)
D
A.无人机在第2 s末开始改变速度方向做减速运动
B.无人机在2 s末至4 s末竖直向下做减速运动
C.在前6 s运动过程中，第6 s末无人机离地面最高
D.无人机在前3 s内的位移大小为3 m
解析　由题图可知，第2 s末无人机开始做减速运动，速度方向没有改变，仍沿正方向，故A错误;2~3 s内无人机速度为正值，向上运动，3~4 s内无人机速度为负值，向下运动，故B错误;无人机在3 s时正向速度减为0，此时无人机离地面最高，故C错误;v-t图像与时间轴所围的面积表示位移，无人机前3 s内的位移大小为x=×2×3 m=3 m，故D正确。
题组二　速度与位移的关系
5.一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度大小为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度大小为(　　)
A.4 m/s B.5 m/s
C.6 m/s D.3 m/s
解析　设斜面长为x，根据速度与位移的关系式v2-=2ax知，小球经过斜面中点时有2a·=，小球到达底端时有2a·=v2-
代入数据得v=3 m/s，D正确。
D
6.如图所示，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的隧道，列车刚进隧道时的速度为10 m/s，完全出隧道时的速度为12 m/s。则列车通过隧道所用时间为(　　)
B
A.110 s B.100 s
C. s D. s
解析　由题意知列车完全通过隧道的位移x=1 100 m，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系v2-=2ax，可得列车的加速度为a== m/s2=0.02 m/s2，所以列车通过隧道所用时间为t== s=100 s，故B正确。
题组三　刹车类问题
7.在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以20 m/s的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5 s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为4 m/s2。下列说法正确的是(　　)
C
A.汽车在反应时间内行驶的距离为15 m
B.刹车后汽车经过2.5 s停止
C.若障碍物距离汽车45 m，则会发生碰撞
D.汽车从发现障碍物到停止时的总位移为50 m
解析　根据题意分析可知，在反应时间内，汽车做匀速运动，行驶距离为x1=v0t1=10 m，故A错误;汽车刹车过程的末速度为0，所用时间为t2==5 s，故B错误;根据逆向思维，汽车刹车后行驶的距离x2=a=×4×52 m=50 m，汽车从发现障碍物到停止的总位移x总=x1+x2=60 m，若障碍物距离汽车45 m，则会发生碰撞，故C正确，D错误。
8.(多选)有一汽车在公路上行驶，司机发现前方异常情况后紧急刹车，刹车后的位移满足x=20t-2t2，其中x的单位为m，t的单位为s，则(　　)
BD
A.汽车刹车的加速度大小为2 m/s2
B.刹车后3 s内的位移是42 m
C.刹车后6 s内的位移是48 m
D.刹车后前3 s的位移与最后3 s的位移比为7∶3
解析　结合题意和匀变速直线运动位移与时间关系式x=v0t+at2，可知汽车的初速度v0=20 m/s，加速度a=-4 m/s2，A错误;由匀变速直线运动速度与时间的关系式v=v0+at，知刹车到停车所需时间t0== s=5 s，刹车后3 s内的位移x1=v0t1+a=20×3 m-×4×9 m=42 m，B正确;刹车后6 s内的位移与刹车后5 s内的位移相同，由v2-=2ax得，刹车后6 s内的位移x2== m=50 m，C错误;汽车刹车后最后3 s内的位移x3=|a|=18 m，刹车后前3 s的位移与最后3 s的位移比为x1∶x3=7∶3，D正确。
综合提升练
9.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，则下列说法正确的是(　　)
C
A.此汽车运动的加速度大小为2 m/s2
B.此汽车经过A树时的速度大小为3.0 m/s
C.此汽车经过B树时的速度大小为6.5 m/s
D.此汽车经过B树时的速度大小为6.0 m/s
解析　设汽车经过A树时的速度为v1，加速度为a，对A、B间运动由位移与时间关系式有x=v1t1+a，对A、C间运动根据位移与时间关系式有2x=v1(t1+t2)+a(t1+t2)2，联立并代入数据解得a=1 m/s2，v1=3.5 m/s，故A、B错误;由速度与时间关系式v=v0+at得汽车经过B树时的速度为v2=v1+at1=6.5 m/s，故C正确，D错误。
10.(2026·安徽合肥八中高一月考)一辆汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻开始做匀加速直线运动，加速时间为10 s，行驶了150 m，然后以大小为2 m/s2的加速度匀减速刹车直至停止。求：
(1)汽车做匀加速直线运动的加速度大小;
(2)汽车匀加速结束时的速度大小;
(3)汽车刹车过程的位移大小。
答案　(1)1 m/s2　(2)20 m/s　(3)100 m
解析　(1)汽车做匀加速直线运动时，由位移—时间公式x=v0t1+a1
代入数据解得a1=1 m/s2。
(2)汽车匀加速运动10 s末的速度v=v0+a1t1
代入数据解得v=20 m/s。
(3)汽车刹车后做匀减速直线运动，由速度—位移公式v2=2a2x'
解得汽车刹车过程的位移大小x'=100 m。
培优加强练
11.如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。一辆货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上以v0=18 m/s的速度匀速行驶，突然货车刹车失灵，开始加速运动，此时货车的加速度大小为a1=3 m/s2，在加速前进了x1=96 m后，货车平滑冲上了倾角为53°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上的加速度大小为a2=16 m/s2。货车的整个运动过程可视为直线运动。求：
(1)货车刚冲上避险车道时速度的大小;
(2)货车在长直下坡高速路上加速运动96 m所用的时间;
(3)要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少。
答案　(1)30 m/s　(2)4 s　(3)28.125 m
解析　(1)由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2-=2a1x1
解得v=30 m/s。
(2)根据匀变速直线运动的速度与时间公式有
v=v0+a1t1，解得t1=4 s。
(3)货车进入避险车道，最终停止，因此末速度为v'=0
由匀变速直线运动速度与位移关系式有
v'2-v2=-2a2x2
解得x2=28.125 m
即要使该车能安全避险，避险车道至少长28.125 m。
本节内容结束
THANKS第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
基础对点练
题组一　匀变速直线运动的位移
1.一物体由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内的位移为2x，则它在时间2t内的位移为(　　)
A.4x B.8x
C. D.
答案　B
解析　物体由静止开始做匀加速直线运动，根据位移时间公式可得2x=at2，x'=a(2t)2，联立解得x'=8x，故B正确。
2.(多选)一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x=(10t+t2) m，则(　　)
A.质点的初速度为10 m/s
B.质点的加速度大小为1 m/s2
C.质点的加速度大小为2 m/s2
D.在4 s末，质点距出发点24 m
答案　AC
解析　将x=(10t+t2) m与公式x=v0t+at2对比可知，质点的初速度为v0=10 m/s，加速度大小为a=2 m/s2，故A、C正确，B错误;t=4 s时，x=(10×4+42) m=56 m，故D错误。
3.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A.物体运动的加速度为2 m/s2
B.物体在前2 s内的位移为8 m
C.物体在第2 s内的位移为4 m
D.物体在第2 s内的平均速度为8 m/s
答案　B
解析　根据x1=a得，物体运动的加速度a==4 m/s2，故A错误;物体在前2 s内的位移为x2=a=×4×22 m=8 m，故B正确;物体在第2 s内的位移xⅡ=x2-x1=6 m，在第2 s内的平均速度==6 m/s，故C、D错误。
4.(2025·北大附中月考)某快递公司推出了用无人机配送快递的方法，某次配送时无人机从地面由静止开始竖直向上飞行，运动的v-t图像如图所示，以竖直向上为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.无人机在第2 s末开始改变速度方向做减速运动
B.无人机在2 s末至4 s末竖直向下做减速运动
C.在前6 s运动过程中，第6 s末无人机离地面最高
D.无人机在前3 s内的位移大小为3 m
答案　D
解析　由题图可知，第2 s末无人机开始做减速运动，速度方向没有改变，仍沿正方向，故A错误;2~3 s内无人机速度为正值，向上运动，3~4 s内无人机速度为负值，向下运动，故B错误;无人机在3 s时正向速度减为0，此时无人机离地面最高，故C错误;v-t图像与时间轴所围的面积表示位移，无人机前3 s内的位移大小为x=×2×3 m=3 m，故D正确。
题组二　速度与位移的关系
5.一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度大小为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度大小为(　　)
A.4 m/s B.5 m/s
C.6 m/s D.3 m/s
答案　D
解析　设斜面长为x，根据速度与位移的关系式v2-=2ax知，小球经过斜面中点时有2a·=，小球到达底端时有2a·=v2-，代入数据得v=3 m/s，D正确。
6.如图所示，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的隧道，列车刚进隧道时的速度为10 m/s，完全出隧道时的速度为12 m/s。则列车通过隧道所用时间为(　　)
A.110 s B.100 s
C. s D. s
答案　B
解析　由题意知列车完全通过隧道的位移x=1 100 m，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系v2-=2ax，可得列车的加速度为a== m/s2=0.02 m/s2，所以列车通过隧道所用时间为t== s=100 s，故B正确。
题组三　刹车类问题
7.在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以20 m/s的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5 s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为4 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.汽车在反应时间内行驶的距离为15 m
B.刹车后汽车经过2.5 s停止
C.若障碍物距离汽车45 m，则会发生碰撞
D.汽车从发现障碍物到停止时的总位移为50 m
答案　C
解析　根据题意分析可知，在反应时间内，汽车做匀速运动，行驶距离为x1=v0t1=10 m，故A错误;汽车刹车过程的末速度为0，所用时间为t2==5 s，故B错误;根据逆向思维，汽车刹车后行驶的距离x2=a=×4×52 m=50 m，汽车从发现障碍物到停止的总位移x总=x1+x2=60 m，若障碍物距离汽车45 m，则会发生碰撞，故C正确，D错误。
8.(多选)有一汽车在公路上行驶，司机发现前方异常情况后紧急刹车，刹车后的位移满足x=20t-2t2，其中x的单位为m，t的单位为s，则(　　)
A.汽车刹车的加速度大小为2 m/s2
B.刹车后3 s内的位移是42 m
C.刹车后6 s内的位移是48 m
D.刹车后前3 s的位移与最后3 s的位移比为7∶3
答案　BD
解析　结合题意和匀变速直线运动位移与时间关系式x=v0t+at2，可知汽车的初速度v0=20 m/s，加速度a=-4 m/s2，A错误;由匀变速直线运动速度与时间的关系式v=v0+at，知刹车到停车所需时间t0== s=5 s，刹车后3 s内的位移x1=v0t1+a=20×3 m-×4×9 m=42 m，B正确;刹车后6 s内的位移与刹车后5 s内的位移相同，由v2-=2ax得，刹车后6 s内的位移x2== m=50 m，C错误;汽车刹车后最后3 s内的位移x3=|a|=18 m，刹车后前3 s的位移与最后3 s的位移比为x1∶x3=7∶3，D正确。
综合提升练
9.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s，则下列说法正确的是(　　)
A.此汽车运动的加速度大小为2 m/s2
B.此汽车经过A树时的速度大小为3.0 m/s
C.此汽车经过B树时的速度大小为6.5 m/s
D.此汽车经过B树时的速度大小为6.0 m/s
答案　C
解析　设汽车经过A树时的速度为v1，加速度为a，对A、B间运动由位移与时间关系式有x=v1t1+a，对A、C间运动根据位移与时间关系式有2x=v1(t1+t2)+a(t1+t2)2，联立并代入数据解得a=1 m/s2，v1=3.5 m/s，故A、B错误;由速度与时间关系式v=v0+at得汽车经过B树时的速度为v2=v1+at1=6.5 m/s，故C正确，D错误。
10.(2026·安徽合肥八中高一月考)一辆汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，某时刻开始做匀加速直线运动，加速时间为10 s，行驶了150 m，然后以大小为2 m/s2的加速度匀减速刹车直至停止。求：
(1)汽车做匀加速直线运动的加速度大小;
(2)汽车匀加速结束时的速度大小;
(3)汽车刹车过程的位移大小。
答案　(1)1 m/s2　(2)20 m/s　(3)100 m
解析　(1)汽车做匀加速直线运动时，由位移—时间公式x=v0t1+a1
代入数据解得a1=1 m/s2。
(2)汽车匀加速运动10 s末的速度v=v0+a1t1
代入数据解得v=20 m/s。
(3)汽车刹车后做匀减速直线运动，由速度—位移公式v2=2a2x'
解得汽车刹车过程的位移大小x'=100 m。
培优加强练
11.如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。一辆货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上以v0=18 m/s的速度匀速行驶，突然货车刹车失灵，开始加速运动，此时货车的加速度大小为a1=3 m/s2，在加速前进了x1=96 m后，货车平滑冲上了倾角为53°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上的加速度大小为a2=16 m/s2。货车的整个运动过程可视为直线运动。求：
(1)货车刚冲上避险车道时速度的大小;
(2)货车在长直下坡高速路上加速运动96 m所用的时间;
(3)要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少。
答案　(1)30 m/s　(2)4 s　(3)28.125 m
解析　(1)由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2-=2a1x1
解得v=30 m/s。
(2)根据匀变速直线运动的速度与时间公式有
v=v0+a1t1，解得t1=4 s。
(3)货车进入避险车道，最终停止，因此末速度为v'=0
由匀变速直线运动速度与位移关系式有
v'2-v2=-2a2x2
解得x2=28.125 m
即要使该车能安全避险，避险车道至少长28.125 m。第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标　1.能利用v-t图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式x=v0t+at2，进一步体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法。2.能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式v2-=2ax，体会科学推理的逻辑严密性。3.能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题，体会物理知识的实际应用价值。4.了解v-t图像围成的面积即相应时间内的位移。提高应用数学研究物理问题的能力，体会变与不变的辩证关系。
知识点一　匀变速直线运动的位移
1.如图为匀速直线运动的v-t图像，图中阴影部分的面积与物体在0~t1时间内的位移在数值上是否相等
提示　相等
2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。
提示　(1)可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示。这样每一小段内的匀变速直线运动转变成了匀速直线运动的问题。
如图甲中5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个运动过程中的位移。
甲
(2)为了精确一些，把运动过程划分更多的小段，如图乙所示，用所有这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程的位移，会更准确一些。
(3)如果把整个过程划分得非常非常细，很多很多的小矩形就看不出来了，如图丙所示，梯形的面积就能代表整个过程的位移。
v-t图像与坐标轴围成的梯形的面积为
x=(v0+v)t　①
又v=v0+at　②
联立①②式可得x=v0t+at2。
1.匀变速直线运动位移与时间的关系式
x=v0t+at2。
当v0=0时，x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。
2.适用条件：仅适用于匀变速直线运动。
3.公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取正值。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正、负表示其方向。
4.在v-t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负。
　位移与时间关系式的应用
例1 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小;
(2)物体在第2 s内的位移大小;
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
答案　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m
解析　(1)物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得物体在2 s内的位移大小为
x2=a=2 m。
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)
v1=v0+at1=0+1×1 m/s=1 m/s
故物体在第2 s内的位移大小为
xⅡ=v1t1+a=1×1 m+×1×12 m=1.5 m。
(3)第2 s末的速度
v2=v0+at2=0+1×2 m/s=2 m/s
也是物体在第二个2 s的初速度
故物体在第二个2 s内的位移大小为
x2'=v2t2'+at2'2=2×2 m+×1×22 m=6 m。
应用位移与时间的关系式解题的一般步骤
(1)规定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
训练1 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0=5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移;
(2)物体在第3 s内的位移。
答案　(1)12.75 m，方向与初速度的方向相同
(2)3.75 m，方向与初速度的方向相同
解析　(1)取初速度方向为正方向，则v0=5 m/s，a=-0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m=12.75 m，方向与初速度的方向相同。
(2)同理，物体在前2 s内的位移为
x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m
因此第3 s内物体的位移
x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m
方向与初速度的方向相同。
　利用v-t图像求位移
例2 (2025·福建卷，14)某运动员进行游泳训练，他的运动为直线运动，运动的v-t图像如图所示，各阶段图像均为直线。求：
(1)运动员0~2 s内的平均速度大小;
(2)运动员44.2~46.2 s内的加速度大小;
(3)运动员44.2~46.2 s内的位移大小。
答案　(1)2.4 m/s　(2)0.1 m/s2　(3)4.2 m
解析　(1)由题图可知，0~2 s内运动员做匀减速直线运动，由v-t图像与t轴所围面积表示位移可得x2=(2.8+2.0)×2× m=4.8 m，则平均速度== m/s=2.4 m/s。
(2)由题图可知，44.2~46.2 s内运动员做匀加速直线运动，由加速度定义可得该段时间内的加速度大小为a==0.1 m/s2。
(3)v-t图像与t轴所围面积表示位移的大小，则44.2~46.2 s内运动员的位移大小为
x= m=4.2 m。
知识点二　速度与位移的关系
试由x=v0t+at2和v=v0+at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。
提示　由v=v0+at得t=
代入x=v0t+at2得v2-=2ax。
1.匀变速直线运动速度与位移的关系式：v2-=2ax。
2.适用条件：仅适用于匀变速直线运动。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先规定正方向，一般取v0方向为正方向。
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值。
(2)若计算结果x>0，表明位移的方向与正方向相同，x<0表明位移的方向与正方向相反。
(3)若计算结果v>0，表明速度的方向与正方向相同，v<0表明速度的方向与正方向相反。
例3 如图是中国空军歼-15战机在航母甲板上起飞的情形。假设起飞甲板的长度为200 m，歼-15战机起飞的最小速度为80 m/s，飞机在航母上的平均加速度为15 m/s2。
(1)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，飞机在航母上能否正常起飞
(2)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，为保证能起飞，飞机的加速度至少为多大
(3)飞机如果要在甲板上正常起飞，不改变飞机的加速度，也可以利用弹射装置使飞机有一定的初速度，那飞机的初速度至少是多大
答案　(1)飞机在航母上不能正常起飞
(2)16 m/s2　(3)20 m/s
解析　(1)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动位移速度公式可得v2=2ax
解得飞机的末速度为v== m/s=20 m/s<80 m/s
可知飞机在航母上不能正常起飞。
(2)如果飞机从静止开始做匀加速直线运动，为保证能起飞，设飞机的最小加速度为a1，根据运动学公式可得=2a1x
解得a1== m/s2=16 m/s2。
(3)设利用弹射装置使飞机有一定的初速度为v0，根据运动学公式可得=2ax
解得v0== m/s=20 m/s。
训练2 若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是(　　)
A.60 m B.120 m
C.140 m D.160 m
答案　D
解析　列车做匀加速直线运动，由v2-=2ax可得(102-52) m2/s2=2a×30 m，(252-152) m2/s2=2ax，解得x=160 m，故D正确。
知识点三　刹车类问题
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
例4 (多选)(2026·天津市河东区高一统考)在笔直的南沙港快速路前进的汽车刹车后匀减速运动，经过3.5 s停止，它在最后1 s的位移为1 m、以下说法正确的是(　　)
A.汽车刹车的加速度大小为1 m/s2
B.汽车刹车后共滑行7 m
C.汽车开始刹车时的速度为7 m/s
D.汽车刹车停止全程的平均速度为3.5 m/s
答案　CD
解析　采用逆向思维，根据最后1 s内的位移得x'=at'2，解得加速度大小a== m/s2=2 m/s2，故A错误;刹车后滑行的距离x=at2=×2×3.52 m=12.25m，故B错误;汽车开始刹车时的速度v0=at=2×3.5 m/s=7 m/s，故C正确;汽车刹车过程中的平均速度== m/s=3.5 m/s，故D正确。
刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。
训练3 某汽车以16 m/s的速度匀速行驶，突然发现前方有障碍物，于是立即刹车，取汽车刚开始刹车时为0时刻，刹车2 s末的速度大小为8 m/s。已知汽车刹车时做匀减速直线运动，求：
(1)汽车刹车时的加速度大小;
(2)前3 s汽车的平均速度大小;
(3)0~5 s汽车的位移大小。
答案　(1)4 m/(2)10 m/s　(3)32 m
解析　(1)汽车2 s内速度从16 m/s减速到8 m/s，由加速度公式有a===-4 m/s2
汽车刹车时的加速度大小为4 m/s2。
(2)由位移与时间关系x=v0t+at2
代入数据解得x=30 m
则平均速度为==10 m/s。
(3)汽车刹车时间为t刹==4 s
故5 s时汽车已停止运动，0~5 s汽车的位移大小为
x5==32 m。
随堂对点自测
1.(位移与时间关系的应用)一汽车由静止开始做匀加速直线运动，从汽车开始运动计时，若汽车在第1 s内通过的距离为2 m，则汽车在0~5 s内通过的距离为(　　)
A.18 m B.32 m
C.50 m D.60 m
答案　C
解析　设加速度为a，汽车第1 s内通过的距离x=at2，得加速度a== m/s2=4 m/s2，则汽车在0~5 s内通过的距离为x5=a=×4×52 m=50 m，故C正确。
2.(v2-=2ax的应用)如图所示，滑雪运动员不借助雪杖，由静止从山坡匀加速滑过x1，又在平面上匀减速滑过x2后停下，测得x1=2x2，设运动员在山坡上滑行的加速度大小为a1，在平面上滑行的加速度大小为a2，则a1∶a2为(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶1 D.∶1
答案　A
解析　由v2-=2ax知，沿斜坡下滑时，有=2a1x1，在水平面上减速到零时，有=2a2x2，解得a1∶a2=x2∶x1=1∶2，故A正确。
3.(刹车类问题)汽车以20 m/s的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内的位移与开始刹车后6 s内的位移之比为(　　)
A.1∶1 B.3∶5
C.5∶9 D.3∶4
答案　D
解析　汽车从开始刹车到停止的时间t0==4 s，则汽车开始刹车后2 s内的位移为x1=v0t1-a=30 m，汽车开始刹车后6 s内的位移等于4 s内的位移，x2==40 m，所以=，故D正确，A、B、C错误。

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