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(共61张PPT)
培优提升二　匀变速直线运动的两个推论及应用
1.熟练掌握匀变速直线运动的平均速度公式、中间时刻和位移中点公式的应用。
2.熟练掌握匀变速直线运动的位移差公式的应用。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　位移差公式Δx=aT2的应用
提升1　平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
提升3　利用遂差法求纸带的加速度
提升1　平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.平均速度与中间时刻的速度的关系：=
(1)推导：平均速度的定义式为=
匀变速直线运动的位移与时间关系式为
x=v0t+at2
则 ==v0+a·=。
(2)结论：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度。
2.平均速度与初、末速度的关系：=。
(1)推导：平均速度==v0+a·===。
(2)结论：匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度和的一半。
【思考】 三个平均速度公式===的适用条件一样吗
提示　=适用于任何运动，==只适用于匀变速直线运动。
3.中间时刻的速度与位移中点的瞬时速度的比较
(1)做匀变速直线运动的物体，在运动一段位移中点的瞬时速度为=。
推导：由v2-=2ax得，=2a·、v2-=2a·
联立解得=。
(2)结论：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明：分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度—时间图像，如图甲、乙所示。
由图甲可知0~时间内的位移不到总位移的一半，因此位移中点的时刻>，则>;由图乙可知<，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
ABC
例1 (多选)做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为2v和10v，经历的时间为t，则下列结论正确的是(　 　)
A.物体的加速度为
B.在A、B间的平均速度为6v
C.前时间内通过的位移为2vt
D.中间位置的瞬时速度6v
解析　依题意可知a==，故A正确;在匀变速直线运动中，时间中点的速度等于全过程中的平均速度，即==6v，故B正确;由=，又=·=2vt，故C正确;设A、B两点间的距离为2L，则有=2aL，=2aL，解得vL=2v，故D错误。　　　　　　　　　　　　　　　　
B
训练 如图所示，假设运-20飞机起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则运-20飞机的加速度大小是(　　)
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
解析　第一段的平均速度===60 m/s，第二段的平均速度===120 m/s，由中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，可知v1=，v2=，由v2=v1+a，解得a===40 m/s2，故B正确。
提升2　位移差公式Δx=aT2的应用
如图所示，物体做初速度为v0的匀加速直线运动，在连续相等时间T内的位移为x1、x2、x3、x4、x5、…。
1.逐差法：公式Δx=aT2
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等，Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
2.推导
第一个时间T内的位移x1=v0T+aT2
第二个时间T内的位移x2=(v0+aT)T+aT2
第三个时间T内的位移x3=(v0+a·2T)T+aT2
……
第n个时间T内的位移
xn=[v0+a·(n-1)T]T+aT2
所以有Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
3.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δx=aT2，可求得a=。
(3)推论：xm-xn=(m-n)aT2。
【思考】 能否利用v-t图像推导Δx=aT2
提示　v-t图像如图所示
设物体的初速度为v0，第一个时间T内的位移为x1，第二个时间T内的位移为x2，第三个时间T内的位移为x3，则x2-x1、x3-x2、x4-x3、…为图中阴影部分的面积，它们的值相等且为Δx=aT2。
BC
例2 (多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得xAB=2 m，xBC=3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)
A.物体的加速度为20 m/s2 B.物体的加速度为25 m/s2
C.xCD=4 m D.xCD=5 m
解析　由匀变速直线运动的推论Δx=aT2，可得a==25 m/s2，故A错误，B正确;根据xCD-xBC=xBC-xAB，可得xCD=4 m，故C正确，D错误。
例3 从斜面上某一位置每隔0.1 s由静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB=15 cm，xBC=20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小;
答案　5 m/s2　
解析　由推论Δx=aT2可知，小球加速度为
a====5 m/s2。
(2)拍摄时小球在B点时的速度大小;
答案　1.75 m/s
解析　由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB== =1.75 m/s。
答案　0.25 m
(3)拍摄时C、D间的距离xCD;
解析　由连续相等时间内位移差恒定，可知
xCD-xBC=xBC-xAB可得
xCD=2xBC-xAB
=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m。
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案　2个
解析　设A点处小球的速度为vA
由于vA=vB-aT=1.25 m/s
所以A点处小球的运动时间为tA==0.25 s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
提升3　利用遂差法求纸带的加速度
纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm-xn=(m-n)aT2得，a1=，a2=，a3=，所以全段的平均加速度为a==。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅由两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移x123=x1+x2+x3，x456=x4+x5+x6，时间间隔Δt=3T，即
a==。
【思考】
1.如图所示，已知连续4个相同时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4，利用逐差法求加速度公式。
提示　x3-x1=2a1T2
x4-x2=2a2T2
a==。
2.若n为大于4的奇数段，应怎么处理
提示　舍去位移最小的一段或中间一段。
假设n=5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则
a=
同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则
a==
两种情况下，在保留有效数字位数相同时，计算结果一般相同。
例4 如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交流电源。
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行计算，并将数据填入下表内(单位：cm)。
x2-x1 x3-x2 x4-x3 x5-x4 x6-x5
1.58 1.57 _________ _________ _________
由此可以得出结论：小车的运动是____________。
解析　由纸带上的数据可知
x4-x3=7.52 cm-5.95 cm=1.57 cm
x5-x4=9.10 cm-7.52 cm=1.58 cm
x6-x5=10.68 cm-9.10 cm=1.58 cm
由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差相等，小车的运动是匀变速直线运动。
答案　1.57　1.58　1.58　匀变速直线运动
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt=_________s。
答案　0.1　
解析　每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔Δt=0.02 s×5=0.1 s。
(3)小车的加速度的表达式a=____________(用题中的字母表示)，加速度a=____________m/s2(结果保留3位有效数字)。
答案　　1.57
解析　小车的加速度的表达式
a=
代入题中数据解得a≈1.57 m/s2。
(4)打计数点B时小车的速度vB=____________m/s(结果保留3位有效数字)。
答案　0.517
解析　由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，打计数点B时小车的速度
vB==≈0.517 m/s。
随堂对点自测
2
1.(=的应用)一辆汽车在水平地面上沿直线行驶，在0~2t时间内做匀加速直线运动，速度由0变为v。在2t~3t时间内做匀减速直线运动，速度由v变为0，如图所示，在这两段时间内，下列说法正确的是(　　)
B
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
解析　根据v-t图像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2=∶=1∶2，故A错误;平均速度的大小之比∶=∶=1∶1，故C、D错误;位移的大小之比为x1∶x2=·2t∶t=2∶1，故B正确。
2.(=的应用)如图所示，做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB、BC的时间分别为2t和t，AB段长为L1，BC段长为L2，则物体运动的加速度为(　　)
A
A. B.
C. D.
解析　物体做匀变速直线运动，AB段中间时刻的瞬时速度等于AB段的平均速度v1=，BC段中间时刻的瞬时速度等于BC段的平均速度v2=，物体运动的加速度为a=，解得a=，故A正确，B、C、D错误。
3.(逐差法求加速度)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出，则在打B点时，小车的速度为____________ m/s，并可求得小车的加速度大小为____________ m/s2。
答案　0.26　0.4
解析　由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB== =0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2，可知加速度a===0.4 m/s2。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为(　　)
A
A. B.
C. D.
解析　由平均速度公式可知x=t，则t=，故A正确。
2.一小球沿斜面向下做匀加速直线运动，先后经过斜面上的A、B两点，其速度分别为vA=2 m/s和vB=14 m/s，经历时间为2 s。下列说法正确的是(　　)
C
A.从A到B的加速度为7 m/s2
B.经过A、B中点时速度为8 m/s
C.A、B两点之间的距离为16 m
D.从A到B中间时刻的速度为12 m/s
解析　从A到B的加速度为a===6 m/s2，故A错误;A、B中点的速度为== =10 m/s，故B错误;A、B两点之间的距离为x=t=×2 s=16 m，故C正确;A、B中间时刻的瞬时速度为 ===8 m/s，故D错误。
3.做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为x，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则(　　)
B
A.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v<
B.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v>
C.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v=
D.匀加速直线运动时，v<;匀减速直线运动时，v>
解析　t时间内物体的平均速度=，等于t时间内中间时刻的瞬时速度，即=，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，一段时间内中间时刻的速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v>，故B正确。
题组二　位移差公式Δx=aT2的应用
4.(2026·河北石家庄二中高一月考)一物体做匀加速直线运动，第2 s内的位移为
8 m，第4 s内的位移为16 m，则该质点在前4 s内的位移大小为(　　)
B
A.8 m B.40 m
C.36 m D.32 m
解析　根据匀变速直线运动推论可得x4-x2=2aT2，解得加速度大小为a== m/s2=4 m/s2，质点第1 s内的位移为x1=x2-aT2=8 m-4×12 m=4 m，质点第3 s内的位移为x3=x2+aT2=8 m+4×12 m=12 m，则该质点在前4 s内的位移大小为x=x1+x2+x3+x4=40 m，故B正确。
5.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则(　　)
AD
A.猎豹的加速度为5 m/s2
B.猎豹的加速度为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
解析　由公式Δx=aT2得x3-x2=aT2，代入数据解得猎豹的加速度a=5 m/s2，故A正确，B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s，由v=at，解得t=6 s，故C错误，D正确。
6.(多选)汽车的刹车过程可视为匀减速运动。自刹车开始第1 s内滑行的位移为32 m，第3 s内滑行的位移为16 m。已知汽车刹车后滑行的时间不小于3 s，由此可知(　　)
AC
A.汽车的加速度大小为8 m/s2 B.汽车的初速度大小为34 m/s
C.汽车刹车后滑行的时间为4.5 s D.汽车刹车后滑行的路程为80 m
解析　由xm-xn=(m-n)aT2可知，x1-x3=(3-1)aT2，代入数据解得a=8 m/s2，A正确;由匀变速直线运动位移公式有x1=v0T-aT2，解得v0=36 m/s，B错误;由v0=at解得汽车刹车后滑行的时间为t=4.5 s，C正确;汽车刹车后滑行的路程为x==81 m，D错误。
题组三　利用逐差法求加速度
7.为研究匀变速直线运动的规律，某实验小组利用智能手机的录像功能拍下小球在贴有刻度尺的斜面上做匀加速直线运动的过程，然后将在录像中时间间隔为T的连续4幅画面合成到同一张图中，如图所示。
(1)从图中读出小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=____________cm，BC间、CD间的距离分别为x2=1.40 cm、x3=1.80 cm。
(2)计算小球在B点速度大小的表达式为vB=________(用所测物理量的符号表示)。
(3)已知T=0.04 s，由测得的数据，可计算出小球运动过程中的加速度大小为___________m/s2(结果保留3位有效数字)。
答案　(1)1.00　(2)　(3)2.50
解析　(1)刻度尺精度为1 mm，读数时需要估读一位，根据题图可知小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=1.00 cm。
(2)根据匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度可得
vB=。
(3)根据逐差相等公式可得
Δx=x3-x2=x2-x1=aT2
代入数据解得
a==×10-2 m/s2=2.50 m/s2。
8.某小组在“用打点计时器测小车速度”的实验中，用电火花计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况。打点计时器接在频率为f=50 Hz的交流电源上，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，每两个相邻计数点之间还有4个点未画出。如图所示，利用刻度尺已经测量相邻点间的距离得到x1=2.78 cm，x2=3.20 cm，x3=3.59 cm，x4=3.99 cm，x5=4.42 cm，x6=4.80 cm。
(1)实验装置中所用电火花计时器应接____________V，____________(选填“交流”或“直流”)电源。
(2)CD段的平均速度大小为vCD=____________ m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD=____________ m/s(结果保留2位有效数字)。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法算出了小车运动的加速度大小为a=____________m/s2(结果保留2位有效数字)。
答案　(1)220　交流　(2)0.36　(3)0.38　(4)0.40
解析　(1)实验装置中所用电火花计时器应接220 V，交流电源。
(2)依题意，纸带上相邻计数点时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s，CD段的平均速度大小为vCD== m/s=0.36 m/s。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为
vD===×10-2 m/s=0.38 m/s。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法可得小车运动的加速度大小为
a=
=×10-2 m/s2=0.40 m/s2。
综合提升练
9.一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法正确的是(　　)
A
A.经过AB中间时刻的速度为4v
B.经过AB位移中点的速度为4v
C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少2vt
D.前时间通过的位移比后时间通过的位移少2.5vt
解析　经过AB中间时刻的速度为==4v，故A正确;经过AB位移中点的速度为==5v，故B错误;前时间通过的位移为x1=·=，后时间通过的位移为x2=·=，所以x2-x1=1.5vt，故C、D错误。
10.(2026·天津市河东区高一统考)如图所示，两个光滑斜面在B处平滑连接，小球在A点获得大小为8 m/s的速度沿斜面向上运动，到达B点时速度大小为6 m/s，到达C点时速度减为0。已知AB=BC，下列说法正确的是(　　)
B
A.小球在AB、BC段的加速度大小之比为9∶16
B.小球在AB、BC段运动时间之比为3∶7
C.小球经过BC中间位置时速度大小为3 m/s
D.小球由A运动到C平均速率为5 m/s
解析　设小球在AB、BC段的加速度大小分别为a1、a2，根据速度与位移关系式有=-2a1xAB，=-2a2xBC，得a1=，a2=，由题意知xAB=xBC，可得a1∶a2=7∶9，故A错误;根据平均速度的推论知，AB段的时间t1=，BC段运动的时间t2=，解得t1∶t2=3∶7，故B正确;BC段中间位置时小球的速度大小v== m/s=3 m/s，故C错误;小球由A运动到C的平均速率为=，解得=4.2 m/s，故D错误。
培优加强练
11.一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
(1)火车的加速度大小a;
(2)火车中点经过此路标时的速度大小v;
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。
(1)由匀加速直线运动的规律得
=2al，则a=。
(2)前一半位移为，则v2-=2a·
后一半位移为，则-v2=2a·
所以有v2-=-v2
解得v=。
(3)火车的平均速度=
故所用时间t==。
本节内容结束
THANKS培优提升二　匀变速直线运动的两个推论及应用
基础对点练
题组一　平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由平均速度公式可知x=t，则t=，故A正确。
2.一小球沿斜面向下做匀加速直线运动，先后经过斜面上的A、B两点，其速度分别为vA=2 m/s和vB=14 m/s，经历时间为2 s。下列说法正确的是(　　)
A.从A到B的加速度为7 m/s2
B.经过A、B中点时速度为8 m/s
C.A、B两点之间的距离为16 m
D.从A到B中间时刻的速度为12 m/s
答案　C
解析　从A到B的加速度为a===6 m/s2，故A错误;A、B中点的速度为== =10 m/s，故B错误;A、B两点之间的距离为x=t=×2 s=16 m，故C正确;A、B中间时刻的瞬时速度为 ===8 m/s，故D错误。
3.做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为x，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则(　　)
A.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v<
B.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v>
C.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v=
D.匀加速直线运动时，v<;匀减速直线运动时，v>
答案　B
解析　t时间内物体的平均速度=，等于t时间内中间时刻的瞬时速度，即=，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，一段时间内中间时刻的速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v>，故B正确。
题组二　位移差公式Δx=aT2的应用
4.(2026·河北石家庄二中高一月考)一物体做匀加速直线运动，第2 s内的位移为8 m，第4 s内的位移为16 m，则该质点在前4 s内的位移大小为(　　)
A.8 m B.40 m
C.36 m D.32 m
答案　B
解析　根据匀变速直线运动推论可得x4-x2=2aT2，解得加速度大小为a== m/s2=4 m/s2，质点第1 s内的位移为x1=x2-aT2=8 m-4×12 m=4 m，质点第3 s内的位移为x3=x2+aT2=8 m+4×12 m=12 m，则该质点在前4 s内的位移大小为x=x1+x2+x3+x4=40 m，故B正确。
5.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则(　　)
A.猎豹的加速度为5 m/s2
B.猎豹的加速度为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
答案　AD
解析　由公式Δx=aT2得x3-x2=aT2，代入数据解得猎豹的加速度a=5 m/s2，故A正确，B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s，由v=at，解得t=6 s，故C错误，D正确。
6.(多选)汽车的刹车过程可视为匀减速运动。自刹车开始第1 s内滑行的位移为32 m，第3 s内滑行的位移为16 m。已知汽车刹车后滑行的时间不小于3 s，由此可知(　　)
A.汽车的加速度大小为8 m/s2
B.汽车的初速度大小为34 m/s
C.汽车刹车后滑行的时间为4.5 s
D.汽车刹车后滑行的路程为80 m
答案　AC
解析　由xm-xn=(m-n)aT2可知，x1-x3=(3-1)aT2，代入数据解得a=8 m/s2，A正确;由匀变速直线运动位移公式有x1=v0T-aT2，解得v0=36 m/s，B错误;由v0=at解得汽车刹车后滑行的时间为t=4.5 s，C正确;汽车刹车后滑行的路程为x==81 m，D错误。
题组三　利用逐差法求加速度
7.为研究匀变速直线运动的规律，某实验小组利用智能手机的录像功能拍下小球在贴有刻度尺的斜面上做匀加速直线运动的过程，然后将在录像中时间间隔为T的连续4幅画面合成到同一张图中，如图所示。
(1)从图中读出小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=____________cm，BC间、CD间的距离分别为x2=1.40 cm、x3=1.80 cm。
(2)计算小球在B点速度大小的表达式为vB=____________(用所测物理量的符号表示)。
(3)已知T=0.04 s，由测得的数据，可计算出小球运动过程中的加速度大小为____________m/s2(结果保留3位有效数字)。
答案　(1)1.00　(2)　(3)2.50
解析　(1)刻度尺精度为1 mm，读数时需要估读一位，根据题图可知小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=1.00 cm。
(2)根据匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度可得
vB=。
(3)根据逐差相等公式可得Δx=x3-x2=x2-x1=aT2，代入数据解得a==×10-2 m/s2=2.50 m/s2。
8.某小组在“用打点计时器测小车速度”的实验中，用电火花计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况。打点计时器接在频率为f=50 Hz的交流电源上，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，每两个相邻计数点之间还有4个点未画出。如图所示，利用刻度尺已经测量相邻点间的距离得到x1=2.78 cm，x2=3.20 cm，x3=3.59 cm，x4=3.99 cm，x5=4.42 cm，x6=4.80 cm。
(1)实验装置中所用电火花计时器应接____________V，____________(选填“交流”或“直流”)电源。
(2)CD段的平均速度大小为vCD=____________ m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD=____________ m/s(结果保留2位有效数字)。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法算出了小车运动的加速度大小为a=____________m/s2(结果保留2位有效数字)。
答案　(1)220　交流　(2)0.36　(3)0.38　(4)0.40
解析　(1)实验装置中所用电火花计时器应接220 V，交流电源。
(2)依题意，纸带上相邻计数点时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s，CD段的平均速度大小为vCD== m/s=0.36 m/s。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为
vD===×10-2 m/s=0.38 m/s。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法可得小车运动的加速度大小为
a=
=×10-2 m/s2=0.40 m/s2。
综合提升练
9.一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法正确的是(　　)
A.经过AB中间时刻的速度为4v
B.经过AB位移中点的速度为4v
C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少2vt
D.前时间通过的位移比后时间通过的位移少2.5vt
答案　A
解析　经过AB中间时刻的速度为==4v，故A正确;经过AB位移中点的速度为==5v，故B错误;前时间通过的位移为x1=·=，后时间通过的位移为x2=·=，所以x2-x1=1.5vt，故C、D错误。
10.(2026·天津市河东区高一统考)如图所示，两个光滑斜面在B处平滑连接，小球在A点获得大小为8 m/s的速度沿斜面向上运动，到达B点时速度大小为6 m/s，到达C点时速度减为0。已知AB=BC，下列说法正确的是(　　)
A.小球在AB、BC段的加速度大小之比为9∶16
B.小球在AB、BC段运动时间之比为3∶7
C.小球经过BC中间位置时速度大小为3 m/s
D.小球由A运动到C平均速率为5 m/s
答案　B
解析　设小球在AB、BC段的加速度大小分别为a1、a2，根据速度与位移关系式有=-2a1xAB，=-2a2xBC，得a1=，a2=，由题意知xAB=xBC，可得a1∶a2=7∶9，故A错误;根据平均速度的推论知，AB段的时间t1=，BC段运动的时间t2=，解得t1∶t2=3∶7，故B正确;BC段中间位置时小球的速度大小v== m/s=3 m/s，故C错误;小球由A运动到C的平均速率为=，解得=4.2 m/s，故D错误。
培优加强练
11.一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
(1)火车的加速度大小a;
(2)火车中点经过此路标时的速度大小v;
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。
(1)由匀加速直线运动的规律得
=2al，则a=。
(2)前一半位移为，则v2-=2a·
后一半位移为，则-v2=2a·
所以有v2-=-v2
解得v=。
(3)火车的平均速度=
故所用时间t==。培优提升二　匀变速直线运动的两个推论及应用
学习目标　1.熟练掌握匀变速直线运动的平均速度公式、中间时刻和位移中点公式的应用。2.熟练掌握匀变速直线运动的位移差公式的应用。
提升1　平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.平均速度与中间时刻的速度的关系：=
(1)推导：平均速度的定义式为=
匀变速直线运动的位移与时间关系式为
x=v0t+at2
则 ==v0+a·=。
(2)结论：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度。
2.平均速度与初、末速度的关系：=。
(1)推导：平均速度==v0+a·===。
(2)结论：匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度和的一半。
【思考】 三个平均速度公式===的适用条件一样吗
提示　=适用于任何运动，==只适用于匀变速直线运动。
3.中间时刻的速度与位移中点的瞬时速度的比较
(1)做匀变速直线运动的物体，在运动一段位移中点的瞬时速度为=。
推导：由v2-=2ax得，=2a·、v2-=2a·
联立解得=。
(2)结论：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有>。
证明：分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度—时间图像，如图甲、乙所示。
由图甲可知0~时间内的位移不到总位移的一半，因此位移中点的时刻>，则>;由图乙可知<，所以>。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有>。
例1 (多选)做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为2v和10v，经历的时间为t，则下列结论正确的是(　　)
A.物体的加速度为
B.在A、B间的平均速度为6v
C.前时间内通过的位移为2vt
D.中间位置的瞬时速度6v
答案　ABC
解析　依题意可知a==，故A正确;在匀变速直线运动中，时间中点的速度等于全过程中的平均速度，即==6v，故B正确;由=，又=·=2vt，故C正确;设A、B两点间的距离为2L，则有=2aL，=2aL，解得vL=2v，故D错误。　　　　　　　　　　　　　　　　
训练 如图所示，假设运-20飞机起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则运-20飞机的加速度大小是(　　)
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
答案　B
解析　第一段的平均速度===60 m/s，第二段的平均速度===120 m/s，由中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，可知v1=，v2=，由v2=v1+a，解得a===40 m/s2，故B正确。
提升2　位移差公式Δx=aT2的应用
如图所示，物体做初速度为v0的匀加速直线运动，在连续相等时间T内的位移为x1、x2、x3、x4、x5、…。
1.逐差法：公式Δx=aT2
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等，Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
2.推导
第一个时间T内的位移x1=v0T+aT2
第二个时间T内的位移x2=(v0+aT)T+aT2
第三个时间T内的位移x3=(v0+a·2T)T+aT2
……
第n个时间T内的位移
xn=[v0+a·(n-1)T]T+aT2
所以有Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
3.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δx=aT2，可求得a=。
(3)推论：xm-xn=(m-n)aT2。
【思考】 能否利用v-t图像推导Δx=aT2
提示　v-t图像如图所示
设物体的初速度为v0，第一个时间T内的位移为x1，第二个时间T内的位移为x2，第三个时间T内的位移为x3，则x2-x1、x3-x2、x4-x3、…为图中阴影部分的面积，它们的值相等且为Δx=aT2。
例2 (多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得xAB=2 m，xBC=3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)
A.物体的加速度为20 m/s2
B.物体的加速度为25 m/s2
C.xCD=4 m
D.xCD=5 m
答案　BC
解析　由匀变速直线运动的推论Δx=aT2，可得a==25 m/s2，故A错误，B正确;根据xCD-xBC=xBC-xAB，可得xCD=4 m，故C正确，D错误。
例3 从斜面上某一位置每隔0.1 s由静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB=15 cm，xBC=20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小;
(2)拍摄时小球在B点时的速度大小;(3)拍摄时C、D间的距离xCD;
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
(4)2个
解析　(1)由推论Δx=aT2可知，小球加速度为
a===
=5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB== =1.75 m/s。
(3)由连续相等时间内位移差恒定，可知
xCD-xBC=xBC-xAB可得
xCD=2xBC-xAB
=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m。
(4)设A点处小球的速度为vA
由于vA=vB-aT=1.25 m/s
所以A点处小球的运动时间为tA==0.25 s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
提升3　利用遂差法求纸带的加速度
纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm-xn=(m-n)aT2得，a1=，a2=，a3=，所以全段的平均加速度为a==。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅由两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移x123=x1+x2+x3，x456=x4+x5+x6，时间间隔Δt=3T，即
a==。
【思考】
1.如图所示，已知连续4个相同时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4，利用逐差法求加速度公式。
提示　x3-x1=2a1T2
x4-x2=2a2T2
a==。
2.若n为大于4的奇数段，应怎么处理
提示　舍去位移最小的一段或中间一段。
假设n=5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则
a=
同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则
a==
两种情况下，在保留有效数字位数相同时，计算结果一般相同。
例4 如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交流电源。
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行计算，并将数据填入下表内(单位：cm)。
x2-x1 x3-x2 x4-x3 x5-x4 x6-x5
1.58 1.57 ______ ______ ______
由此可以得出结论：小车的运动是____________。
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt=_________s。
(3)小车的加速度的表达式a=____________(用题中的字母表示)，加速度a=____________m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)打计数点B时小车的速度vB=____________m/s(结果保留3位有效数字)。
答案　(1)1.57　1.58　1.58　匀变速直线运动
(2)0.1　(3)　1.57
(4)0.517
解析　(1)由纸带上的数据可知
x4-x3=7.52 cm-5.95 cm=1.57 cm
x5-x4=9.10 cm-7.52 cm=1.58 cm
x6-x5=10.68 cm-9.10 cm=1.58 cm
由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差相等，小车的运动是匀变速直线运动。
(2)每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔
Δt=0.02 s×5=0.1 s。
(3)小车的加速度的表达式
a=
代入题中数据解得a≈1.57 m/s2。
(4)由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，打计数点B时小车的速度
vB==≈0.517 m/s。
随堂对点自测
1.(=的应用)一辆汽车在水平地面上沿直线行驶，在0~2t时间内做匀加速直线运动，速度由0变为v。在2t~3t时间内做匀减速直线运动，速度由v变为0，如图所示，在这两段时间内，下列说法正确的是(　　)
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
答案　B
解析　根据v-t图像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2=∶=1∶2，故A错误;平均速度的大小之比∶=∶=1∶1，故C、D错误;位移的大小之比为x1∶x2=·2t∶t=2∶1，故B正确。
2.(=的应用)如图所示，做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB、BC的时间分别为2t和t，AB段长为L1，BC段长为L2，则物体运动的加速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　物体做匀变速直线运动，AB段中间时刻的瞬时速度等于AB段的平均速度v1=，BC段中间时刻的瞬时速度等于BC段的平均速度v2=，物体运动的加速度为a=，解得a=，故A正确，B、C、D错误。
3.(逐差法求加速度)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出，则在打B点时，小车的速度为____________ m/s，并可求得小车的加速度大小为____________ m/s2。
答案　0.26　0.4
解析　由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB== =0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2，可知加速度a===0.4 m/s2。

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