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(共48张PPT)
培优提升三　匀变速直线运动规律及比例式的应用
1.掌握初速度为零的匀加速直线运动比例式的应用。
2.熟悉匀变速直线运动规律的应用。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　匀变速直线运动规律的综合应用
提升1　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
提升1　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：
由v=at可得v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：
由x=at2可得
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比：
由xⅠ=x1、xⅡ=x2-x1、xⅢ=x3-x2、…、xN=xn-xn-1可得
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0)
(1)通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：
由x=at2可得t=，所以
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶
(2)通过连续相同的位移所用时间之比：
由tⅠ=t1、tⅡ=t2-t1、tⅢ=t3-t2、…、tN=tn-tn-1可得
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN=1∶(-1)∶()∶…∶()
(3)通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：
由v2=2ax，可得v=，所以
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶∶∶…∶
3.注意：(1)比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对末速度为零的匀减速直线运动，可以看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，可应用以上比例式解答，即逆向思维法。
C
例1 水平地面上一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速直线运动时(　　)
A.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B.每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…
C.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
解析　列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v=，所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…，故A错误;根据时间t=，可知每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…，故B错误;根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…=1∶3∶5∶…可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，故C正确，D错误。
ACD
例2 (多选)(2026·清华大学附中高一月考)如图所示，质点从O点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，依次通过a、b、c、d，通过时的速度分别为va、vb、vc、vd，质点通过相邻两个位置的时间间隔都相等，下列说法正确的是(　　 )
A.质点由O到达各点的距离之比xa∶xb∶xc∶xd=1∶4∶9∶16
B.质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶∶∶2
C.质点从O运动到d的平均速度=vb
D.质点从a运动到c的平均速度=vb
解析　根据初速度为0的匀加速直线运动的位移公式x=at2，可知位移与时间的平方成正比，所以质点由O到达各点的距离之比xa∶xb∶xc∶xd=1∶4∶9∶16，故A正确;根据初速度为0的匀加速直线运动的速度公式v=at，可知速度与时间成正比，所以质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶2∶3∶4，故B错误;根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于其全程的平均速度，且b点为Od的中间时刻所对的位置，所以质点从O运动到d的平均速度=vb，故C正确;同理，b点为ac的中间时刻所对的位置，所以质点从a运动到c的平均速度=vb，故D正确。
提升2　匀变速直线运动规律的综合应用
解决匀变速直线运动问题常用的六种方法
例3 (2026·湖南长沙雅礼中学期中)物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
解析　法一　基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC
由匀变速直线运动的规律可得
=2axAC，=2axAB
其中xAB=xAC
联立解得vB=
又vB=v0-at，vB=atBC
解得tBC=t。
法二　平均速度法
由匀变速直线运动的规律可得
=2axAC，=2axBC，xBC=
联立解得vB=
根据匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移内的平均速度有
===vB
可知B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC=t。
法三　比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
因为xBC∶xAB=∶=1∶3
而通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC=t。
法四　逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面，设物体从B到C所用的时间为tBC
由运动学公式得xBC=a
xAC=a(t+tBC)2
又xBC=
联立解得tBC=t。
法五　图像法
根据匀变速直线运动的规律，画出v-t图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，有=，且=，OD=t，OC=t+tBC
可得=，解得tBC=t。
(1)列车在坡上的运动时间;
(2)用多种方法求坡的长度。
答案　(1)20 s　(2)200 m
解析　(1)根据速度与时间的关系式v=v0+at
解得t===20 s。
(2)法一　利用位移与时间的关系式求解
x=v0t+at2=8 m/s×20 s+×0.2 m/s2×(20 s)2=200 m。
法二　利用速度与位移的关系式求解
x===200 m。
训练 以v0=8 m/s的速度行驶的列车开始下坡，在坡上的加速度a=0.2 m/s2，到达 坡底的速度为v=12 m/s。求：
法三　利用平均速度求解
x=t=t=×20 s=200 m。
法四　利用v-t图像求解
作出v-t图像，如图所示，梯形的“面积”表示位移，则x=×20 s=200 m。
随堂对点自测
2
1.(比例式的应用)对于初速度为0的匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　)
C
A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比是1∶3∶5
B.在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比是1∶3∶5
C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比是1∶3∶5
D.连续相邻两个1 s内的位移增量是不断增大的
解析　对于初速度为0的匀加速直线运动，根据x=at2，可知在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比是1∶4∶9，则在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，故A错误，C正确;根据v=at，可知在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，故B错误;根据匀变速直线运动推论Δx=aT2，可知连续相邻两个1 s内的位移增量保持不变，故D错误。
2.(比例式的应用)一个做匀减速直线运动的物体，经过3 s速度刚好减为零。若测得该物体在最后1 s内的位移是1 m，那么该物体初速度大小是(　　)
C
A.1 m/s B.3 m/s
C.6 m/s D.9 m/s
解析　由末速度为零的匀减速直线运动的逆过程为初速度为零的匀加速直线运动可知，物体减速第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，物体在最后1 s内的位移是1 m，则最后3 s内的位移是(5+3+1)m=9 m，平均速度==3 m/s，由=可得该物体的初速度为v0=6 m/s，故C正确。
3.(匀变速直线运动规律的综合应用)汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停止，已知汽车刹车时第1 s内的位移为13 m，最后1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
C
A.汽车在第1 s末的速度可能为10 m/s
B.汽车加速度大小可能为3 m/s2
C.汽车在第1 s末的速度一定为11 m/s
D.汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
解析　采用逆向思维法，由于最后1 s内的位移为2 m，根据x2=a得，汽车加速度大小a==4 m/s2，第1 s内的位移为13 m，根据x1=v0t1-a，代入数据解得初速度v0=15 m/s，
则汽车在第1 s末的速度v1=v0-at1=15 m/s-4×1 m/s=11 m/s，故C正确，A、B、D错误。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1.某物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内位移大小为d，则第n s内位移大小为(　　)
D
A.nd B.2nd
C.(2n+1)d D.(2n-1)d
解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n-1)，可得=，又x1=d，解得xn=(2n-1)d，故D正确。
2.(多选)如图所示的是港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则(　　)
BC
A.通过cd段的时间为t
B.通过ce段的时间为(2-)t
C.ae段的平均速度等于b点的瞬时速度
D.ac段的平均速度等于b点的瞬时速度
解析　根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1∶(-1)∶()∶(2-)，可得出通过cd段的时间为()t，故A错误;通过de段的时间为(2-)t，则通过ce段的时间为(2-)t，故B正确;通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae段的时间的中间时刻，所以通过b点的瞬时速度等于ae段的平均速度，故C正确，D错误。
3.(多选)水球可以挡住高速运动的子弹。如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹可视为在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)(　　)
BD
A.子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3=1∶1∶1
B.子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1
C.子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=3∶2∶1
D.子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=∶∶1
解析　把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。子弹从右向左通过每个水球的时间之比为1∶(-1)∶()，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1，故B正确，A错误;子弹由右向左依次穿出3个水球的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=∶∶1，故C错误，D正确。
4.(2026·河南郑州外国语学校高一月考)某次排球比赛中球员竖直向上起跳扣球，将该球员的运动看作匀变速直线运动，离地后重心上升的最大高度为H，若通过第一个所用的时间为t，则通过最后的时间为(　　)
D
A.()t B.(-2)t
C.(+)t D.(+2)t
解析　根据逆向思维法，竖直向上运动到最高点的运动可以看作倒过来的从最高点出发初速度为零的匀加速直线运动，把高度为H平均分为5份，根据通过相邻相等位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶t4∶t5=1∶(-1)∶()∶()∶()，根据题意有=，解得t'=(+2)t，故D正确。
题组二　匀变速直线运动规律的综合应用
5.如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于(　　)
C
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
解析　根据匀变速直线运动的速度—位移公式v2-=2ax知，xAB=，xAC=，所以xAB∶xAC=1∶4，则xAB∶xBC=1∶3，故C正确，A、B、D错误。
6.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5 m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，经过2 s与5 s汽车的位移之比为(　　)
A.5∶4 B.4∶5
C.3∶4 D.4∶3
解析　汽车速度减为零的时间为t0== s=4 s，刹车2 s内的位移x1=v0t+at2=20×2 m-×5×4 m=30 m，刹车5 s内的位移等于刹车4 s内的位移，即x2==40 m，所以经过2 s与5 s汽车的位移之比为3∶4，故选项C正确。
C
7. (多选)在某次冰壶比赛中，冰壶投出后做匀减速直线运动，经过20 s停止，已知倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，下列说法正确的是(　　)
BD
A.冰壶的加速度大小为0.3 m/s2
B.冰壶的加速度大小为0.4 m/s2
C.冰壶第1 s末的速度大小为5.7 m/s
D.冰壶第1 s内的位移大小为7.8 m
解析　整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动，倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，则x3=aa，代入数据解得a=0.4 m/s2，故A错误，B正确;由速度公式可知初速度为v0=at0=0.4×20 m/s=8 m/s，所以在1 s末的速度为v1=v0-at1=8 m/s-0.4×1 m/s=7.6 m/s，在第1 s内的位移x1=t=×1 m=7.8 m，故C错误，D正确。
8.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，以下说法正确的是(　　)
BD
A.第2 s内的位移是2.5 m
B.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2
D.质点的加速度是0.5 m/s2
解析　由Δx=aT2，得a==0.5 m/s2，x3-x2=x4-x3，所以第2 s内的位移x2=1.5 m，A、C错误，D正确;设第3 s末的瞬时速度为v3，由位移与时间关系式有x4=v3T+aT2，解得v3==2.25 m/s，B正确。
综合提升练
9.(多选)一颗子弹沿水平直线垂直穿过紧挨在一起的三块木板后速度刚好为零，设木板固定在地面上，子弹运动的加速度大小恒定，则下列说法正确的是(　　)
BD
A.若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为1∶2∶3
B.若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为5∶3∶1
C.若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为1∶1∶1
D.若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为()∶(-1)∶1
解析　将子弹的运动看成沿相反方向的初速度为0的匀加速直线运动，则位移公式x=at2，若子弹穿过每块木板时间相等，三块木板厚度之比为5∶3∶1，故A错误，B正确;若三块木板厚度相等，由位移公式x=at2可知，穿过三块、后边两块、最后一块的时间之比为∶∶1，则子弹穿过每块木板时间之比为()∶(-1)∶1，故C错误，D正确。
10.一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：
(1)物体在5 s内的位移;
(2)第7 s内的平均速度。
答案　(1)27.5 m　(2)13.5 m/s
解析　(1)根据题意，由逐差法可得
Δx=x7-x5=2aT2
其中Δx=4 m，T=1 s，解得加速度大小a=2 m/s2
根据题意，由运动学公式可得，物体在5 s内的位移
x=v0t+at2=0.5×5 m+×2×52 m=27.5 m。
(2)物体第6 s末的速度为v6=v0+at6=12.5 m/s
物体第7 s末的速度为v7=v0+at7=14.5 m/s
则第7 s内的平均速度为==13.5 m/s。
培优加强练
11.运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。一个运动员以4 m/s的速度投掷冰壶甲，冰壶甲做加速度大小为0.25 m/s2的匀减速直线运动。另一个运动员也以4 m/s的速度将同样的冰壶乙投出，冰壶乙滑行4 s后其队友开始在其滑行前方摩擦冰面直至冰壶停下，发现冰壶乙比甲多滑行4.5 m，求：
(1)冰壶甲能在冰面上滑行的距离;
(2)冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小;
(3)冰壶乙运动的平均速度。
答案　(1)32 m　(2)0.2 m/s2　(3)1.92 m/s
解析　(1)冰壶甲的初速度为v0=4 m/s，匀减速的加速度大小为a1=0.25 m/s2，有
0-=-2a1x
可得冰壶甲能在冰面上滑行的距离为
x==32 m。
(2)冰壶乙先在t1=4 s内做匀减速直线运动，设末速度为v1，则
v1=v0-a1t1=3 m/s
位移为x1=t1=14 m
摩擦冰面后，冰壶乙比甲多滑行4.5 m，则乙此后匀减速运动的位移为
x2=x+4.5 m-x1=22.5 m
设冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小为a2，则有
0-=-2a2x2
解得a2=0.2 m/s2。
(3)冰壶乙在摩擦冰面后的运动时间为
t2==15 s
则冰壶乙全程的平均速度为
=≈1.92 m/s。
本节内容结束
THANKS培优提升三　匀变速直线运动规律及比例式的应用
基础对点练
题组一　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1.某物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内位移大小为d，则第n s内位移大小为(　　)
A.nd B.2nd
C.(2n+1)d D.(2n-1)d
答案　D
解析　物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n-1)，可得=，又x1=d，解得xn=(2n-1)d，故D正确。
2.(多选)如图所示的是港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则(　　)
A.通过cd段的时间为t
B.通过ce段的时间为(2-)t
C.ae段的平均速度等于b点的瞬时速度
D.ac段的平均速度等于b点的瞬时速度
答案　BC
解析　根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1∶(-1)∶()∶(2-)，可得出通过cd段的时间为()t，故A错误;通过de段的时间为(2-)t，则通过ce段的时间为(2-)t，故B正确;通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae段的时间的中间时刻，所以通过b点的瞬时速度等于ae段的平均速度，故C正确，D错误。
3.(多选)水球可以挡住高速运动的子弹。如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹可视为在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)(　　)
A.子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3=1∶1∶1
B.子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1
C.子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=3∶2∶1
D.子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=∶∶1
答案　BD
解析　把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。子弹从右向左通过每个水球的时间之比为1∶(-1)∶()，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1，故B正确，A错误;子弹由右向左依次穿出3个水球的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3=∶∶1，故C错误，D正确。
4.(2026·河南郑州外国语学校高一月考)某次排球比赛中球员竖直向上起跳扣球，将该球员的运动看作匀变速直线运动，离地后重心上升的最大高度为H，若通过第一个所用的时间为t，则通过最后的时间为(　　)
A.()t B.(-2)t
C.(+)t D.(+2)t
答案　D
解析　根据逆向思维法，竖直向上运动到最高点的运动可以看作倒过来的从最高点出发初速度为零的匀加速直线运动，把高度为H平均分为5份，根据通过相邻相等位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶t4∶t5=1∶(-1)∶()∶()∶()，根据题意有=，解得t'=(+2)t，故D正确。
题组二　匀变速直线运动规律的综合应用
5.如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
答案　C
解析　根据匀变速直线运动的速度—位移公式v2-=2ax知，xAB=，xAC=，所以xAB∶xAC=1∶4，则xAB∶xBC=1∶3，故C正确，A、B、D错误。
6.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5 m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，经过2 s与5 s汽车的位移之比为(　　)
A.5∶4 B.4∶5
C.3∶4 D.4∶3
答案　C
解析　汽车速度减为零的时间为t0== s=4 s，刹车2 s内的位移x1=v0t+at2=20×2 m-×5×4 m=30 m，刹车5 s内的位移等于刹车4 s内的位移，即x2==40 m，所以经过2 s与5 s汽车的位移之比为3∶4，故选项C正确。
7. (多选)在某次冰壶比赛中，冰壶投出后做匀减速直线运动，经过20 s停止，已知倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，下列说法正确的是(　　)
A.冰壶的加速度大小为0.3 m/s2
B.冰壶的加速度大小为0.4 m/s2
C.冰壶第1 s末的速度大小为5.7 m/s
D.冰壶第1 s内的位移大小为7.8 m
答案　BD
解析　整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动，倒数第3 s内的位移大小为1.0 m，则x3=aa，代入数据解得a=0.4 m/s2，故A错误，B正确;由速度公式可知初速度为v0=at0=0.4×20 m/s=8 m/s，所以在1 s末的速度为v1=v0-at1=8 m/s-0.4×1 m/s=7.6 m/s，在第1 s内的位移x1=t=×1 m=7.8 m，故C错误，D正确。
8.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，以下说法正确的是(　　)
A.第2 s内的位移是2.5 m
B.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2
D.质点的加速度是0.5 m/s2
答案　BD
解析　由Δx=aT2，得a==0.5 m/s2，x3-x2=x4-x3，所以第2 s内的位移x2=1.5 m，A、C错误，D正确;设第3 s末的瞬时速度为v3，由位移与时间关系式有x4=v3T+aT2，解得v3==2.25 m/s，B正确。
综合提升练
9.(多选)一颗子弹沿水平直线垂直穿过紧挨在一起的三块木板后速度刚好为零，设木板固定在地面上，子弹运动的加速度大小恒定，则下列说法正确的是(　　)
A.若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为1∶2∶3
B.若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为5∶3∶1
C.若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为1∶1∶1
D.若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为()∶(-1)∶1
答案　BD
解析　将子弹的运动看成沿相反方向的初速度为0的匀加速直线运动，则位移公式x=at2，若子弹穿过每块木板时间相等，三块木板厚度之比为5∶3∶1，故A错误，B正确;若三块木板厚度相等，由位移公式x=at2可知，穿过三块、后边两块、最后一块的时间之比为∶∶1，则子弹穿过每块木板时间之比为()∶(-1)∶1，故C错误，D正确。
10.一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：
(1)物体在5 s内的位移;
(2)第7 s内的平均速度。
答案　(1)27.5 m　(2)13.5 m/s
解析　(1)根据题意，由逐差法可得
Δx=x7-x5=2aT2
其中Δx=4 m，T=1 s，解得加速度大小a=2 m/s2
根据题意，由运动学公式可得，物体在5 s内的位移x=v0t+at2=0.5×5 m+×2×52 m=27.5 m。
(2)物体第6 s末的速度为v6=v0+at6=12.5 m/s
物体第7 s末的速度为v7=v0+at7=14.5 m/s
则第7 s内的平均速度为==13.5 m/s。
培优加强练
11.运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。一个运动员以4 m/s的速度投掷冰壶甲，冰壶甲做加速度大小为0.25 m/s2的匀减速直线运动。另一个运动员也以4 m/s的速度将同样的冰壶乙投出，冰壶乙滑行4 s后其队友开始在其滑行前方摩擦冰面直至冰壶停下，发现冰壶乙比甲多滑行4.5 m，求：
(1)冰壶甲能在冰面上滑行的距离;
(2)冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小;
(3)冰壶乙运动的平均速度。
答案　(1)32 m　(2)0.2 m/s2　(3)1.92 m/s
解析　(1)冰壶甲的初速度为v0=4 m/s，匀减速的加速度大小为a1=0.25 m/s2，有
0-=-2a1x
可得冰壶甲能在冰面上滑行的距离为
x==32 m。
(2)冰壶乙先在t1=4 s内做匀减速直线运动，设末速度为v1，则
v1=v0-a1t1=3 m/s
位移为x1=t1=14 m
摩擦冰面后，冰壶乙比甲多滑行4.5 m，则乙此后匀减速运动的位移为
x2=x+4.5 m-x1=22.5 m
设冰壶乙在摩擦冰面后的加速度大小为a2，则有
0-=-2a2x2
解得a2=0.2 m/s2。
(3)冰壶乙在摩擦冰面后的运动时间为
t2==15 s
则冰壶乙全程的平均速度为
=≈1.92 m/s。培优提升三　匀变速直线运动规律及比例式的应用
学习目标　1.掌握初速度为零的匀加速直线运动比例式的应用。2.熟悉匀变速直线运动规律的应用。
提升1　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：
由v=at可得v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：
由x=at2可得
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比：
由xⅠ=x1、xⅡ=x2-x1、xⅢ=x3-x2、…、xN=xn-xn-1可得
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0)
(1)通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：
由x=at2可得t=，所以
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶
(2)通过连续相同的位移所用时间之比：
由tⅠ=t1、tⅡ=t2-t1、tⅢ=t3-t2、…、tN=tn-tn-1可得
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN=1∶(-1)∶()∶…∶()
(3)通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：
由v2=2ax，可得v=，所以
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶∶∶…∶
3.注意：(1)比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对末速度为零的匀减速直线运动，可以看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，可应用以上比例式解答，即逆向思维法。
例1 水平地面上一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速直线运动时(　　)
A.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B.每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…
C.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
答案　C
解析　列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v=，所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…，故A错误;根据时间t=，可知每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…，故B错误;根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…=1∶3∶5∶…可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，故C正确，D错误。
例2 (多选)(2026·清华大学附中高一月考)如图所示，质点从O点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，依次通过a、b、c、d，通过时的速度分别为va、vb、vc、vd，质点通过相邻两个位置的时间间隔都相等，下列说法正确的是(　　)
A.质点由O到达各点的距离之比xa∶xb∶xc∶xd=1∶4∶9∶16
B.质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶∶∶2
C.质点从O运动到d的平均速度=vb
D.质点从a运动到c的平均速度=vb
答案　ACD
解析　根据初速度为0的匀加速直线运动的位移公式x=at2，可知位移与时间的平方成正比，所以质点由O到达各点的距离之比xa∶xb∶xc∶xd=1∶4∶9∶16，故A正确;根据初速度为0的匀加速直线运动的速度公式v=at，可知速度与时间成正比，所以质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶2∶3∶4，故B错误;根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于其全程的平均速度，且b点为Od的中间时刻所对的位置，所以质点从O运动到d的平均速度=vb，故C正确;同理，b点为ac的中间时刻所对的位置，所以质点从a运动到c的平均速度=vb，故D正确。
提升2　匀变速直线运动规律的综合应用
解决匀变速直线运动问题常用的六种方法
例3 (2026·湖南长沙雅礼中学期中)物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
答案　t
解析　法一　基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC
由匀变速直线运动的规律可得
=2axAC，=2axAB
其中xAB=xAC
联立解得vB=
又vB=v0-at，vB=atBC
解得tBC=t。
法二　平均速度法
由匀变速直线运动的规律可得
=2axAC，=2axBC，xBC=
联立解得vB=
根据匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移内的平均速度有
===vB
可知B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC=t。
法三　比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
因为xBC∶xAB=∶=1∶3
而通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC=t。
法四　逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面，设物体从B到C所用的时间为tBC
由运动学公式得xBC=a
xAC=a(t+tBC)2
又xBC=
联立解得tBC=t。
法五　图像法
根据匀变速直线运动的规律，画出v-t图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，有=，且=，OD=t，OC=t+tBC
可得=，解得tBC=t。
训练 以v0=8 m/s的速度行驶的列车开始下坡，在坡上的加速度a=0.2 m/s2，到达坡底的速度为v=12 m/s。求：
(1)列车在坡上的运动时间;
(2)用多种方法求坡的长度。
答案　(1)20 s　(2)200 m
解析　(1)根据速度与时间的关系式v=v0+at
解得t===20 s。
(2)法一　利用位移与时间的关系式求解
x=v0t+at2=8 m/s×20 s+×0.2 m/s2×(20 s)2=200 m。
法二　利用速度与位移的关系式求解
x===200 m。
法三　利用平均速度求解
x=t=t=×20 s=200 m。
法四　利用v-t图像求解
作出v-t图像，如图所示，梯形的“面积”表示位移，则x=×20 s=200 m。
随堂对点自测
1.(比例式的应用)对于初速度为0的匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比是1∶3∶5
B.在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比是1∶3∶5
C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比是1∶3∶5
D.连续相邻两个1 s内的位移增量是不断增大的
答案　C
解析　对于初速度为0的匀加速直线运动，根据x=at2，可知在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比是1∶4∶9，则在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，故A错误，C正确;根据v=at，可知在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，故B错误;根据匀变速直线运动推论Δx=aT2，可知连续相邻两个1 s内的位移增量保持不变，故D错误。
2.(比例式的应用)一个做匀减速直线运动的物体，经过3 s速度刚好减为零。若测得该物体在最后1 s内的位移是1 m，那么该物体初速度大小是(　　)
A.1 m/s B.3 m/s
C.6 m/s D.9 m/s
答案　C
解析　由末速度为零的匀减速直线运动的逆过程为初速度为零的匀加速直线运动可知，物体减速第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，物体在最后1 s内的位移是1 m，则最后3 s内的位移是(5+3+1)m=9 m，平均速度==3 m/s，由=可得该物体的初速度为v0=6 m/s，故C正确。
3.(匀变速直线运动规律的综合应用)汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停止，已知汽车刹车时第1 s内的位移为13 m，最后1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A.汽车在第1 s末的速度可能为10 m/s
B.汽车加速度大小可能为3 m/s2
C.汽车在第1 s末的速度一定为11 m/s
D.汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
答案　C
解析　采用逆向思维法，由于最后1 s内的位移为2 m，根据x2=a得，汽车加速度大小a==4 m/s2，第1 s内的位移为13 m，根据x1=v0t1-a，代入数据解得初速度v0=15 m/s，则汽车在第1 s末的速度v1=v0-at1=15 m/s-4×1 m/s=11 m/s，故C正确，A、B、D错误。

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