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培优提升四　自由落体和竖直上抛运动
1.进一步加深对自由落体运动性质的理解和运动规律的应用。2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。
3.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。
4.知道竖直上抛运动的对称性。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　竖直上抛运动
提升1　自由落体运动规律的应用
提升1　自由落体运动规律的应用
多物体的自由落体运动
例1 在离地面高7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g=10 m/s2)。求：
(1)两小球落地的时间差;
解析　设B球落地所需时间为t1
A球落地所需时间为t2
由h1=g得B球落地时间为
t1== s=1 s
由h2=g得A球落地时间为
t2== s=1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt=t2-t1=0.2 s。
答案　0.2 s
(2)B球落地时A球的速度大小。
解析　当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等。
即vA=vB=gt1=10×1 m/s=10 m/s。
答案　10 m/s
在研究多物体自由落体运动的问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
自由落体中的滴水问题
例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落与自家屋檐的图示，其中第2滴和3第滴之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，则：
(1)滴水的时间间隔是多少
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
(2)此屋檐离地面多高(尝试用多种方法求解)
解析　法一　公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T
由h=gt2得
第2滴水下落的位移h2=g(3T)2
第3滴水下落的位移h3=g(2T)2
且h2-h3=1 m，解得T=0.2 s。
(2)屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
解析　法二　比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n-1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，由题意知，窗高为5s，则5s=1 m，s=0.2 m
屋檐高h=s+3s+5s+7s=16s=3.2 m
设滴水的时间间隔为T，由s=gT2，得
T==0.2 s。
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析　法三　平均速度法
(1)设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为=，
其中L=1 m
雨滴在2.5T时的速度v2.5=2.5gT
由于v2.5=，所以=2.5gT，解得T=0.2 s。
(2)屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析　法四　速度与位移关系式法
(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴水的速度
v2=g·3T
第3滴v3=g·2T，L=1 m
由v2-=2ax，得=2gL
解得T=0.2 s。
(2)屋檐高为h=g(4T)2=3.2 m。
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx=aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
非质点类物体的自由落体运动
例3 如图所示，直杆长l1=0.5 m，圆筒高l2=3.7 m。直杆位于圆筒正上方h=0.8 m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10 m/s2)，求：
(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间;
答案　0.4 s　
解析　设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，
根据自由落体运动规律有h=g
解得t1== s=0.4 s。
(2)直杆穿越圆筒所用的时间。
答案　0.6 s
解析　设直杆上端离开圆筒下端的时间为t2，
根据自由落体运动规律有l1+h+l2=g
解得t2=
= s=1 s
则直杆穿越圆筒所用的时间t=t2-t1=0.6 s。
“落杆”类问题的解题关键
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助运动示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
提升2　竖直上抛运动
1.定义
将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.运动实质
初速度v0竖直向上、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
3.基本规律
4.运动特点
(1)对称性
①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等，即tAB=tBA，tOC=tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB=-vB'，vA=-vA'。
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
BCD
竖直上抛运动的理解
例4 (多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是(　 　)
A.竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度相同
B.竖直上抛运动的物体从某一点到最高点和从最高点回到该点的时间相等
C.以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h=
D.竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段
解析　竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度大小相等，方向相反，故A错误;因竖直上抛运动的加速度不变，故从某点到最高点和从最高点回到该点的时间相等，故B正确;由v2=2gh可得，以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h=，故C正确;根据物体做竖直上抛运动的性质可知，竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段，故D正确。
竖直上抛运动的有关计算
例5 气球下挂一重物，以v0=10 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面 落地前瞬间的速度多大 (空气阻力不计，g取10 m/s2)
解析　法一　分段法
绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下落。
重物上升阶段所需时间t1==1 s
由=2gh1知，h1==5 m
重物下落阶段，下落距离H=h1+175 m=180 m
设下落时间为t2，则H=g
故t2==6 s
重物落地总时间t=t1+t2=7 s
落地前瞬间的速度v=gt2=60 m/s。
法二　全程法
取初速度方向为正方向
重物全程位移h=v0t-gt2=-175 m
可解得t=7 s(t=-5 s舍去)
由v=v0-gt得，v=-60 m/s，负号表示速度方向竖直向下。
答案　7 s　60 m/s
方法总结　竖直上抛运动的处理方法
分段法 上升阶段是初速度为v0、a=-g的匀减速直线运动;下落阶段是自由落体运动
全过程 分析法 全过程看作初速度为v0、a=-g的匀变速直线运动
(1)v>0时，上升阶段;v<0时，下落阶段
(2)x>0时，物体在抛出点的上方;x<0时，物体在抛出点的下方
随堂对点自测
2
1.(多物体的自由落体运动)如图所示，物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。一同学将两个相同的铁球1、2用长L=2 m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间相差0.1 s，g=10 m/s2，则桥面该处到水面的高度大约为(　　)
B
A.25 m B.21 m
C.18 m D.16 m
解析　设桥面高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2有h=g，对铁球1有h-L=g，t2-t1=Δt，代入数据解得h≈21 m，故B正确。
2.(自由落体中的滴水问题)雨后，某人用高速相机拍下一张水滴下落的照片，如图所示，其中第4滴水刚要离开屋檐。若滴水的时间间隔相同，第1滴与第2滴水的实际间距L=1 m，重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，则拍下照片的瞬间，图中第3滴水的速度大小为(　　)
A
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
解析　设滴水间隔为T，据题意可得L=g(3T)2-g(2T)2，解得T=0.2 s，则第3滴水的速度大小v=gT=10×0.2 m/s=2 m/s，故A正确，B、C、D错误。
3.(竖直上抛运动)(多选)(2026·山东烟台高一期中)物体以初速度v0竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则对上升过程，下列说法正确的是(　　)
AD
A.物体上升的最大高度为45 m
B.物体速度改变量的大小为30 m/s，方向竖直向上
C.物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为3∶2∶1
D.物体在1 s内、2 s内、3 s内的位移大小之比为5∶8∶9
解析　根据竖直上抛可以看成反方向自由落体运动h=gt2，代入数据得h=45 m，故A正确;取竖直向上为正方向，v=v0-gt，则速度改变量Δv=v-v0=-gt=-30 m/s，负号表示方向竖直向下，故B错误;物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，所以平均速度之比为5∶3∶1，故C错误;物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，则物体在1 s内、2 s内、3 s内的位移大小之比为5∶(5+3)∶(5+3+1)=5∶8∶9，故D正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　自由落体运动规律的应用
1.四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚要开始运动时各小球相对地面的位置的是(　　)
C
解析　依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地，又因为四个小球做的都是初速度是零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，即在相等的时间间隔内位移越来越大，因此从下到上相邻两个小球之间的位移差越来越大，A、B、D错误，C正确。
2.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取
10 m/s2)(　　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
解析　悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，根据h=gt2可知该过程经历的时间为Δt==0.4 s，B正确。
B
3.一颗纽扣在距离地面10 m的高度处自由下落，某同学用手机拍下两个时刻纽扣的下落位置，两次拍摄相隔0.2 s，通过比例可知纽扣在第二次拍摄时距离地面的高度为5 m。已知重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力的影响，则两次拍摄时纽扣的高度差为(　　)
A
A.1.8 m B.2.3 m
C.3.6 m D.1.9 m
解析　设第一次拍摄的时刻为t1，则第二次拍摄的时刻为t1+0.2，由题意可知纽扣第二次拍摄时距离地面5 m，则第二次拍摄时小球下落高度为5 m，根据运动学公式可得第二次拍摄时纽扣下落高度h2=g(t1+0.2)2=5 m，解得t1=0.8 s，则第一次拍摄时纽扣的下落高度h1=g=3.2 m，则两次拍摄纽扣的高度差Δh=1.8 m，A正确。
题组二　竖直上抛运动
4.以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程的v-t图像中正确是(　　)
C
解析　因不计空气阻力，加速度恒定，设其初速度为v0，根据匀变速直线运动规律，根据题意有v=v0-gt，可知其图像为直线且斜率为负，故A、B、D错误，C正确。
5.(多选)(2026·陕西西安高新一中高一月考)一科研气球携带设备以10 m/s的速度匀速上升到离地20 m时，设备上的一个小配件脱离气球，忽略配件受到的空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则配件离开气球后(　　)
BD
A.做自由落体运动
B.做竖直上抛运动
C.上升离地的最大高度是45 m
D.上升离地的最大高度是25 m
解析　由于惯性，小配件刚脱离气球有竖直向上的初速度，所以小配件做竖直上抛运动，故A错误，B正确;上升离地的最大高度是h=20 m+=20 m+ m
=25 m，故C错误，D正确。
6.以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，则小树高约为(　　)
C
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
解析　石子竖直上升的最大高度为H==3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1==0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1=g=0.8 m，则小树高约为h=H-h1=2.4 m，故C正确。
综合提升练
7.(2026·浙江镇海中学高一期中)如图所示，一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管(杆能穿过管)，杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s(穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程)，重力加速度大小g=10 m/s2，则竖直杆AB的长度为(　　)
C
A.0.2 m B.0.4 m
C.0.6 m D.0.8 m
解析　杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h=g，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l=1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h+L+l=g，穿过管所用的时间Δt=t2-t1，联立解得L=0.6 m，故C正确。
8.一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(重力加速度为g)(　　)
A.g() B.g()
C.g() D.g(TA-TB)
A
解析　物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA=，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB=，则A、B两点的距离x=gg=g()，故A正确。
9.某同学在合肥海洋馆里观看海狮表演，海狮从水面将球以一定的初速度竖直向上顶出，该同学通过手机的录像功能测算出球被顶出又落回水面的时间为1.6 s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，海狮抛接球视为同一位置，关于小球在空中运动过程下列说法正确的是(　　)
D
A.小球被顶出的初速度为16 m/s
B.第一个0.4 s比第二个0.4 s的位移大2.4 m
C.小球在空中的速度变化量为8 m/s
D.小球在空中上升的最大高度为3.2 m
解析　小球做竖直上抛运动，根据对称性可知小球上升和下落的时间相等，均为t= s=0.8 s，则小球被顶起的初速度v0=gt=10×0.8 m/s=8 m/s，故A错误;小球上升的最大高度H=t=×0.8 m=3.2 m，第二个0.4 s上升的高度h2=gt'2=×10×0.42 m=0.8 m，则第一个0.4 s上升的高度为h1=H-h2=2.4 m，第一个0.4 s比第二个0.4 s的位移大Δh=2.4 m-0.8 m=1.6 m，故B错误，D正确;取竖直向下为正方向，小球在空中的速度变化量为Δv=gΔt=10×1.6 m/s=16 m/s，故C错误。
10.某同学让小球从距地面高度为1 m处竖直向上抛出，开始1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为4∶1，不计空气阻力，重力加速度大小为g=10 m/s2，求：
(1)小球最初1 s的平均速度大小;
(2)小球上升到最高点离地面的高度H。
答案　(1)20 m/s　(2)32.25 m
解析　(1)竖直上抛运动看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h=gt2知，小球开始1 s内下落高度h1=×10×12 m=5 m
最后1 s内下落的高度h2=4h1=20 m
最后1 s内下落的高度是小球最初1 s内上升的高度，小球最初1 s的平均速度为= m/s=20 m/s。
(2)小球从最高点自由下落到抛出点的时间为
t= s+0.5 s=2.5 s
小球上升到最高点离抛出点的高度为
h3=×10×2.52 m=31.25 m
则小球上升到最高点离地面的高度为
H=h3+1 m=32.25 m。
培优加强练
11.(2026·福建厦门高一期中)一个雨滴从高H=45 m高的屋檐静止开始下落，不计空气阻力。g取10 m/s2。求：
(1)雨滴落地时的速度大小;
(2)雨滴下落后第2 s内的位移大小;
(3)雨滴落地前最后1 s内的位移大小;
(4)雨滴下落过程中经过一个高1.8 m的窗户时，高度用时0.2 s，求屋檐离窗户上端的高度。
解析　(1)自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，由速度—位移公式，
有v2=2gH
解得v== m/s=30 m/s。
(2)由自由落体位移公式h=gt2可知
前2 s内的位移h2=×10×22 m=20 m
前1 s内的位移h1=×10×12 m=5 m
因此，第2 s内的位移Δh=h2-h1=20 m-5 m=15 m。
(3)设雨滴下落的总时间t总，由H=g得
t总== s=3 s
最后1 s内的位移为Δh'=H-h2=45 m-20 m=25 m。
(4)设屋檐离窗户上端的高度为h'，雨滴下落到窗户上端的时间为t'，则h'=gt'2
雨滴下落到窗户下端的总高度为(h'+1.8 m)
对应的时间为(t'+0.2 s)
则h'+1.8 m=g(t'+0.2 s)2
解得t'=0.8 s，h'=×10×0.82 m=3.2 m。
本节内容结束
THANKS培优提升四　自由落体和竖直上抛运动
基础对点练
题组一　自由落体运动规律的应用
1.四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚要开始运动时各小球相对地面的位置的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地，又因为四个小球做的都是初速度是零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，即在相等的时间间隔内位移越来越大，因此从下到上相邻两个小球之间的位移差越来越大，A、B、D错误，C正确。
2.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)(　　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
答案　B
解析　悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，根据h=gt2可知该过程经历的时间为Δt==0.4 s，B正确。
3.一颗纽扣在距离地面10 m的高度处自由下落，某同学用手机拍下两个时刻纽扣的下落位置，两次拍摄相隔0.2 s，通过比例可知纽扣在第二次拍摄时距离地面的高度为5 m。已知重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力的影响，则两次拍摄时纽扣的高度差为(　　)
A.1.8 m B.2.3 m
C.3.6 m D.1.9 m
答案　A
解析　设第一次拍摄的时刻为t1，则第二次拍摄的时刻为t1+0.2，由题意可知纽扣第二次拍摄时距离地面5 m，则第二次拍摄时小球下落高度为5 m，根据运动学公式可得第二次拍摄时纽扣下落高度h2=g(t1+0.2)2=5 m，解得t1=0.8 s，则第一次拍摄时纽扣的下落高度h1=g=3.2 m，则两次拍摄纽扣的高度差Δh=1.8 m，A正确。
题组二　竖直上抛运动
4.以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程的v-t图像中正确是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　因不计空气阻力，加速度恒定，设其初速度为v0，根据匀变速直线运动规律，根据题意有v=v0-gt，可知其图像为直线且斜率为负，故A、B、D错误，C正确。
5.(多选)(2026·陕西西安高新一中高一月考)一科研气球携带设备以10 m/s的速度匀速上升到离地20 m时，设备上的一个小配件脱离气球，忽略配件受到的空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则配件离开气球后(　　)
A.做自由落体运动
B.做竖直上抛运动
C.上升离地的最大高度是45 m
D.上升离地的最大高度是25 m
答案　BD
解析　由于惯性，小配件刚脱离气球有竖直向上的初速度，所以小配件做竖直上抛运动，故A错误，B正确;上升离地的最大高度是h=20 m+=20 m+ m=25 m，故C错误，D正确。
6.以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，则小树高约为(　　)
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
答案　C
解析　石子竖直上升的最大高度为H==3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1==0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1=g=0.8 m，则小树高约为h=H-h1=2.4 m，故C正确。
综合提升练
7.(2026·浙江镇海中学高一期中)如图所示，一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管(杆能穿过管)，杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s(穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程)，重力加速度大小g=10 m/s2，则竖直杆AB的长度为(　　)
A.0.2 m B.0.4 m
C.0.6 m D.0.8 m
答案　C
解析　杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h=g，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l=1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h+L+l=g，穿过管所用的时间Δt=t2-t1，联立解得L=0.6 m，故C正确。
8.一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(重力加速度为g)(　　)
A.g() B.g()
C.g() D.g(TA-TB)
答案　A
解析　物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA=，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB=，则A、B两点的距离x=gg=g()，故A正确。
9.某同学在合肥海洋馆里观看海狮表演，海狮从水面将球以一定的初速度竖直向上顶出，该同学通过手机的录像功能测算出球被顶出又落回水面的时间为1.6 s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，海狮抛接球视为同一位置，关于小球在空中运动过程下列说法正确的是(　　)
A.小球被顶出的初速度为16 m/s
B.第一个0.4 s比第二个0.4 s的位移大2.4 m
C.小球在空中的速度变化量为8 m/s
D.小球在空中上升的最大高度为3.2 m
答案　D
解析　小球做竖直上抛运动，根据对称性可知小球上升和下落的时间相等，均为t= s=0.8 s，则小球被顶起的初速度v0=gt=10×0.8 m/s=8 m/s，故A错误;小球上升的最大高度H=t=×0.8 m=3.2 m，第二个0.4 s上升的高度h2=gt'2=×10×0.42 m=0.8 m，则第一个0.4 s上升的高度为h1=H-h2=2.4 m，第一个0.4 s比第二个0.4 s的位移大Δh=2.4 m-0.8 m=1.6 m，故B错误，D正确;取竖直向下为正方向，小球在空中的速度变化量为Δv=gΔt=10×1.6 m/s=16 m/s，故C错误。
10.某同学让小球从距地面高度为1 m处竖直向上抛出，开始1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为4∶1，不计空气阻力，重力加速度大小为g=10 m/s2，求：
(1)小球最初1 s的平均速度大小;
(2)小球上升到最高点离地面的高度H。
答案　(1)20 m/s　(2)32.25 m
解析　(1)竖直上抛运动看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h=gt2知，小球开始1 s内下落高度h1=×10×12 m=5 m
最后1 s内下落的高度h2=4h1=20 m
最后1 s内下落的高度是小球最初1 s内上升的高度，小球最初1 s的平均速度为
= m/s=20 m/s。
(2)小球从最高点自由下落到抛出点的时间为
t= s+0.5 s=2.5 s
小球上升到最高点离抛出点的高度为
h3=×10×2.52 m=31.25 m
则小球上升到最高点离地面的高度为
H=h3+1 m=32.25 m。
培优加强练
11.(2026·福建厦门高一期中)一个雨滴从高H=45 m高的屋檐静止开始下落，不计空气阻力。g取10 m/s2。求：
(1)雨滴落地时的速度大小;
(2)雨滴下落后第2 s内的位移大小;
(3)雨滴落地前最后1 s内的位移大小;
(4)雨滴下落过程中经过一个高1.8 m的窗户时，高度用时0.2 s，求屋檐离窗户上端的高度。
答案　(1)30m/s　(2)15 m　(3)25 m　(4)3.2 m
解析　(1)自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，由速度—位移公式，有v2=2gH
解得v== m/s=30 m/s。
(2)由自由落体位移公式h=gt2可知
前2 s内的位移h2=×10×22 m=20 m
前1 s内的位移h1=×10×12 m=5 m
因此，第2 s内的位移Δh=h2-h1=20 m-5 m=15 m。
(3)设雨滴下落的总时间t总，由H=g得
t总== s=3 s
最后1 s内的位移为Δh'=H-h2=45 m-20 m=25 m。
(4)设屋檐离窗户上端的高度为h'，雨滴下落到窗户上端的时间为t'，则h'=gt'2
雨滴下落到窗户下端的总高度为(h'+1.8 m)
对应的时间为(t'+0.2 s)
则h'+1.8 m=g(t'+0.2 s)2
解得t'=0.8 s，h'=×10×0.82 m=3.2 m。培优提升四　自由落体和竖直上抛运动
学习目标　1.进一步加深对自由落体运动性质的理解和运动规律的应用。2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。3.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。4.知道竖直上抛运动的对称性。
提升1　自由落体运动规律的应用
　多物体的自由落体运动
例1 在离地面高7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g=10 m/s2)。求：
(1)两小球落地的时间差;
(2)B球落地时A球的速度大小。
答案　(1)0.2 s　(2)10 m/s
解析　(1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2
由h1=g得B球落地时间为
t1== s=1 s
由h2=g得A球落地时间为
t2== s=1.2 s
所以两小球落地的时间差为
Δt=t2-t1=0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等。
即vA=vB=gt1=10×1 m/s=10 m/s。
在研究多物体自由落体运动的问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
　自由落体中的滴水问题
例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落与自家屋檐的图示，其中第2滴和3第滴之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，则：
(1)滴水的时间间隔是多少
(2)此屋檐离地面多高(尝试用多种方法求解)
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析　法一　公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T
由h=gt2得
第2滴水下落的位移h2=g(3T)2
第3滴水下落的位移h3=g(2T)2
且h2-h3=1 m，解得T=0.2 s。
(2)屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
法二　比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n-1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，由题意知，窗高为5s，则5s=1 m，s=0.2 m
屋檐高h=s+3s+5s+7s=16s=3.2 m
设滴水的时间间隔为T，由s=gT2，得
T==0.2 s。
法三　平均速度法
(1)设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为=，
其中L=1 m
雨滴在2.5T时的速度v2.5=2.5gT
由于v2.5=，所以=2.5gT，解得T=0.2 s。
(2)屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
法四　速度与位移关系式法
(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴水的速度
v2=g·3T
第3滴v3=g·2T，L=1 m
由v2-=2ax，得=2gL
解得T=0.2 s。
(2)屋檐高为h=g(4T)2=3.2 m。
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx=aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
　非质点类物体的自由落体运动
例3 如图所示，直杆长l1=0.5 m，圆筒高l2=3.7 m。直杆位于圆筒正上方h=0.8 m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10 m/s2)，求：
(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间;
(2)直杆穿越圆筒所用的时间。
答案　(1)0.4 s　(2)0.6 s
解析　(1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，
根据自由落体运动规律有
h=g
解得t1== s=0.4 s。
(2)设直杆上端离开圆筒下端的时间为t2，
根据自由落体运动规律有
l1+h+l2=g
解得t2=
= s=1 s
则直杆穿越圆筒所用的时间t=t2-t1=0.6 s。
“落杆”类问题的解题关键
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助运动示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
提升2　竖直上抛运动
1.定义
将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.运动实质
初速度v0竖直向上、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
3.基本规律
基本
公式
推论
4.运动特点
(1)对称性
①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等，即tAB=tBA，tOC=tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB=-vB'，vA=-vA'。
(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
　竖直上抛运动的理解
例4 (多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是(　　)
A.竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度相同
B.竖直上抛运动的物体从某一点到最高点和从最高点回到该点的时间相等
C.以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h=
D.竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段
答案　BCD
解析　竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度大小相等，方向相反，故A错误;因竖直上抛运动的加速度不变，故从某点到最高点和从最高点回到该点的时间相等，故B正确;由v2=2gh可得，以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h=，故C正确;根据物体做竖直上抛运动的性质可知，竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段，故D正确。
　竖直上抛运动的有关计算
例5 气球下挂一重物，以v0=10 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面 落地前瞬间的速度多大 (空气阻力不计，g取10 m/s2)
答案　7 s　60 m/s
解析　法一　分段法
绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下落。
重物上升阶段所需时间t1==1 s
由=2gh1知，h1==5 m
重物下落阶段，下落距离H=h1+175 m=180 m
设下落时间为t2，则H=g
故t2==6 s
重物落地总时间t=t1+t2=7 s
落地前瞬间的速度v=gt2=60 m/s。
法二　全程法
取初速度方向为正方向
重物全程位移h=v0t-gt2=-175 m
可解得t=7 s(t=-5 s舍去)
由v=v0-gt得，v=-60 m/s，负号表示速度方向竖直向下。
方法总结　竖直上抛运动的处理方法
分段法 上升阶段是初速度为v0、a=-g的匀减速直线运动;下落阶段是自由落体运动
全过程 分析法 全过程看作初速度为v0、a=-g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段;v<0时，下落阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方;x<0时，物体在抛出点的下方
随堂对点自测
1.(多物体的自由落体运动)如图所示，物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。一同学将两个相同的铁球1、2用长L=2 m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间相差0.1 s，g=10 m/s2，则桥面该处到水面的高度大约为(　　)
A.25 m B.21 m
C.18 m D.16 m
答案　B
解析　设桥面高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2有h=g，对铁球1有h-L=g，t2-t1=Δt，代入数据解得h≈21 m，故B正确。
2.(自由落体中的滴水问题)雨后，某人用高速相机拍下一张水滴下落的照片，如图所示，其中第4滴水刚要离开屋檐。若滴水的时间间隔相同，第1滴与第2滴水的实际间距L=1 m，重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，则拍下照片的瞬间，图中第3滴水的速度大小为(　　)
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
答案　A
解析　设滴水间隔为T，据题意可得L=g(3T)2-g(2T)2，解得T=0.2 s，则第3滴水的速度大小v=gT=10×0.2 m/s=2 m/s，故A正确，B、C、D错误。
3.(竖直上抛运动)(多选)(2026·山东烟台高一期中)物体以初速度v0竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则对上升过程，下列说法正确的是(　　)
A.物体上升的最大高度为45 m
B.物体速度改变量的大小为30 m/s，方向竖直向上
C.物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为3∶2∶1
D.物体在1 s内、2 s内、3 s内的位移大小之比为5∶8∶9
答案　AD
解析　根据竖直上抛可以看成反方向自由落体运动h=gt2，代入数据得h=45 m，故A正确;取竖直向上为正方向，v=v0-gt，则速度改变量Δv=v-v0=-gt=-30 m/s，负号表示方向竖直向下，故B错误;物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，所以平均速度之比为5∶3∶1，故C错误;物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1，则物体在1 s内、2 s内、3 s内的位移大小之比为5∶(5+3)∶(5+3+1)=5∶8∶9，故D正确。

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