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(共58张PPT)
培优提升五　运动学图像和追及相遇问题
1.理解x-t图像和v-t图像的截距、斜率、交点、面积等的物理意义，会利用运动图像间的转换分析解决问题。
2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　追及相遇问题
提升1　运动学图像的进一步理解
提升1　运动学图像的进一步理解
x-t图像和v-t图像
1.应用运动图像的三点注意
(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。
(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.应用运动图像解题“六看”
x-t图像 v-t图像
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
D
例1 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示;物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。根据图像作出的以下判断中正确的是(　　)
A.物体A和B均做匀变速直线运动
B.在0~3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C.t=3 s时，物体C、D的位移相同
D.在0~3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
解析　由题图甲可知，物体A和B的x-t图像都是倾斜的直线，斜率都不变，则速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误;由题图甲可知，在0~3 s的时间内，物体A的位移始终大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误;由题图乙可知，C、D两物体的v-t图像在t=3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v-t图像与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t=3 s时物体C、D的位移不相同，故C错误;由题图乙可知，在0~3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确。
三类非常规图像
1.a-t图像
由v=v0+at可知a-t图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2.-t图像
由x=v0t+at2可得=v0+at，则-t图像的纵截距表示初速度为v0，斜率为a，如图乙所示。
3.v2-x图像
由v2-=2ax可知v2=+2ax，则v2-x图像的纵截距为，斜率为2a。如图丙所示。
C
例2 (2026·山西大学附中期中)利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种数学方法。如图所示为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像(x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间)，则下列说法正确的是(　　)
A.甲图中x-t2可求出物体的加速度大小为1 m/s2
B.乙图中v2-x求出物体的加速度大小为10 m/s2
C.丙图中-t可求出物体在2 s内的位移大小为0
D.丁图中a-t图可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为6 m/s
解析　题图甲中根据x=at2，可知k=a= m/s2，解得a=2 m/s2，故A错误;题图乙中根据v2=2ax，可知k=2a=10 m/s2，所以a=5 m/s2，故B错误;题图丙中根据x=v0t+at2，得=v0+at，可得k=a= m/s2=-2 m/s2，v0=4 m/s，得2 s内的位移大小为x2=v0t2+a=0，故C正确;题图丁中由a-t图像可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为Δv=×2×3 m/s=3 m/s，故D错误。
提升2　追及相遇问题
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。
2.分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系、掌握三点技巧。
一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
三点技巧 ①抓“一图三式”，即过程示意图，时间关系式、速度关系式、位移关系式;②审关键字眼，发现隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等;③讨论分析结果，看是否符合实际
(2)常用方法
物理 分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 ①用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图像，如果两个物体的x-t图像相交，则说明两物体相遇。
②用v-t图像求解时，将两者的v-t图像画在同一坐标系中，注意比较v-t图像与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距，然后利用图像求解
数学 分析法 设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ=0，说明刚好追上或相遇;若Δ<0，说明追不上或不能相碰
例3 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车从静止以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车旁边通过。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多少
解析　画出自行车和汽车的运动示意图，如图甲所示。
(1)法一　基本公式法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设需要的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有
v1=at1=v自
所以t1==2 s
Δxm=v自t1-a=6 m。
法二　极值法或数学分析法
汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx=x1-x2=v自t1-a
代入已知数据得Δx=6t1-
由二次函数求极值的条件知当t1=2 s时，Δx最大，最大值Δxm=6 m。
法三　图像法
自行车和汽车运动的v-t图像如图乙所示，由图可知，在相遇前，t1时刻两车速度相等，追上前两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。
t1===2 s
Δxm===6 m。
答案　2 s　6 m　
(2)汽车从路口开动后，经多长时间追上自行车 追上自行车时汽车的瞬时速度是多大
解析　当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有
v自t2=a
解得t2=4 s
v2=at2=3 m/s2×4 s=12 m/s。
答案　4 s　12 m/s
总结提升
1.追及相遇问题的常见情况一(v2初速度小者 追初速度大者
v-t图像
t=t0以前(v2t=t0时(v1=v2) 两物体相距最远
t=t0以后(v2>v1) 两物体距离减小到零再逐渐增大
追及情况 能追上且只能相遇一次
2.追及相遇问题的常见情况二(v2>v1)
初速度大者追初速度小者
v-t图像
t0时刻以前 (v2>v1) 两物体距离减小
t0时刻 (v2=v1) 若Δx=x0，恰好追上
若Δx若Δx>x0，相遇两次
CD
训练1 (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v-t图像如图所示，由图可知(　　)
A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B.t=20 s时，乙追上了甲
C.t=20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离，大小为150 m
D.在t=20 s之前，甲比乙运动得快;在t=20 s之后，乙比甲运动得快
解析　由题图可知，乙在0~10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误;在v-t图像中，图线与时间轴所围图形的面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误;在10~20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t=20 s时两者距离最大，最大距离为s=10×20 m-×10×10 m=150 m，故C、D正确。
训练2 火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件
答案　a≥1.6 m/s2
解析　法一　物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，或刚好相遇但不相撞，则v1-at=v2
x1≤x2+s
其中x1=v1t-at2
x2=v2t
联立解得a≥1.6 m/s2
即a≥1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞。
法二　数学分析法
设甲减速t时间后，甲、乙恰好相撞
则有x1=x2+s
即v1t-at2=v2t+s
整理得at2-2(v1-v2)t+2s=0
若甲、乙不相撞，则以上方程不能有两个解
即判别式应满足Δ=4(v1-v2)2-8as≤0
解得a≥=1.6 m/s2。
法三　图像法
分别画出甲、乙的v-t图像，如图所示
刚好不相撞时图中阴影部分面积为s
有(v1-v2)t1=s
a=
故a=，且s=0.5 km
若要使甲、乙不相撞
则a≥=1.6 m/s2。
随堂对点自测
2
1.(运动学图像问题)(2024·甘肃卷，2)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示，此两站间的距离约为(　　)
C
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
解析　根据v-t图像与坐标轴所围图形的面积表示位移结合题图可知，x=×20 m=1 430 m，C正确。
2.(非常规图像)一质点沿直线运动，如图所示是从t=0时刻开始的质点的-t图像(x为位移)，可以推知(　　)
B
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t=2 s时的速度是1 m/s
D.t=2 s时位移是3 m
解析　由题意可得图线的函数表达式为=1+t，即x=t+t2，又因为匀变速直线运动的位移公式为x=v0t+at2，根据对应关系得v0=1 m/s，a=1 m/s2
>0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确;当t=2 s时，根据公式v=v0+at，代入数据得v2=3 m/s，故C项错误;当t=2 s时，代入表达式x=t+t2，可得位移x2=4 m，故D项错误。
3.(追及相遇问题)5月26日，自行车公开赛暨粤港澳大湾区青年自行车联赛(横琴站)在横琴粤澳深度合作区举行，吸引了竞赛组1 000名选手和业余组3 500余名选手参加。比赛中，若甲、乙两选手运动的v-t图像如图所示，在t=0时刻两车在赛道上初次相遇，则(　　)
D
A.0~t1时间内，乙的加速度越来越大
B.t1时刻，甲、乙再次相遇
C.0~t1时间内，甲、乙之间的距离先增大后减小
D.t1~t2时间内，甲、乙之间的距离先减小后增大
解析　v-t图像的图线斜率的绝对值表示加速度大小，则由题图可知0~t1时间内乙的加速度越来越小，A错误;由题图可知0~t1时间内，乙的速度大于甲的速度(t1时刻除外)，又t=0时刻甲、乙两车在赛道上初次相遇，则0~t1时间内两者的距离一直增大，乙在前、甲在后，t1时刻两者速度相等，之后甲的速度大于乙的速度，两者距离开始减小，当甲追上乙后，两者距离逐渐增大，B、C错误，D正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　运动学图像
1.(2026·湖南三新联盟高一期中)2025年9月27日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将风云三号H星发射升空。若风云三号H星在发射后的一小段时间内做初速度为零的直线运动，其x-t图像为如图所示的抛物线，则风云三号H星运动的加速度大小为(　　)
D
A. B.
C. D.
解析　风云三号H星在发射后的一小段时间内做初速度为零的直线运动，其x-t图像为题图所示的抛物线，则位移与时间的关系为 x=at2，代入(t0，x0)，解得加速度a=，故A、B、C错误，D正确。
2.水平路面上匀速行驶的汽车，因紧急情况而刹车，刹车过程中汽车做匀减速直线运动，v-t图像如图所示。已知汽车开始刹车后，第2 s内的位移为4 m，2 s后的位移为0.5 m。汽车刹车过程的加速度大小为(　　)
A
A.4 m/s2 B.3.5 m/s2
C.3 m/s2 D.2.5 m/s2
解析　设经过时间t后汽车停止运动，根据逆向思维有a(t-2)2=0.5 m，a(t-1)2=4.5 m，联立解得a=4 m/s2，A项正确。
3.(多选)我国纵横的高铁网给人们的出行带来了方便。小明绘制了某列车的一段直线运动过程，但未知是出站加速，还是进站刹车，通过图像可知(　 　)
BCD
A.小明绘制的是列车出站加速过程
B.列车的初速度为40 m/s
C.列车的加速度为-8 m/s2
D.列车前6 s内位移为100 m
解析　根据图像可知斜率和纵轴截距分别为k==40，b=-4，则有=40·-4，整理可得x=40t-4t2，结合匀变速直线运动位移时间关系x=v0t+at2，可知列车的初速度和加速度分别为v0=40 m/s，a=-8 m/s2，可知绘制的是列车进站减速过程，故A错误，B、C正确;列车停下来所用时间为t0==5 s，则列车前6 s内位移为x=t0=100 m，故D正确。
4.如图甲是港珠澳大桥中的一段，一辆小汽车在长度为L=21 m的平直桥面上提速，图乙是该车在该段的车速的平方(v2)与位移(x)的关系，则关于小汽车通过该段平直桥面的加速度和平均速度分别为(　　)
D
A.4 m/s2　6 m/s B.2 m/s2　3 m/s
C.2 m/s2　 m/s D.2 m/s2　7 m/s
解析　由匀变速直线运动位移与速度关系式v2-=2ax，得v2=+2a·x，结合图像可知a=2 m/s2，v0=4 m/s，v=10 m/s，由v=v0+at得，所用时间t=3 s，平均速度== m/s=7 m/s，故D正确，A、B、C错误。
题组二　追及相遇问题
5. (多选)A、B两物体在同一直线上运动的v-t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
BC
A.两物体从同一地点出发
B.出发时A在B前方4 m处
C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇
解析　由v-t图像与t轴所围的图形的面积表示位移可知，两物体在0~4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误;在4 s内，A的位移xA=×4×4 m=8 m，B的位移xB=×6×4 m=12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确;由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确;相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误。
6.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　)
D
解析　v-t图像的斜率表示加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v-t图像为直线，A错误;v-t图像与t轴围成图形的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误;x-t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误;D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
7.在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，有一人在车后与车相距25 m处，同时开始以6 m/s的速度匀速追车，人与车前进的方向相同，则人追车过程中，人与车的最小距离为(　　)
C
A.5 m B.6 m
C.7 m D.9 m
解析　当小车与人的速度相等时，小车与人相距最近，即v车=v人=6 m/s，又v车=at，则t==6 s，在6 s内小车行驶的距离x车=at2=18 m，人运动的距离x人=v人t=36 m，由于x车+25 m>x人，所以人不能追上车，人与车的最小距离Δs=x车+25 m-x人=7 m，故C正确。
综合提升练
8.一物体从t=0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其-t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
D
A.物体的初速度大小为3 m/s
B.物体的加速度大小为3 m/s2
C.0~2 s内物体的位移为6 m
D.3 s末物体位于出发点左侧9 m处
解析　根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x=v0t+at2，变形得到=at+v0，结合图像可知v0=
6 m/s，a=-6 m/s2，故A、B错误;根据x=v0t+at2可知，0~2 s内物体的位移为x=6×2 m+×(-6)×22 m=0，0~
3 s内物体的位移为x=6×3 m+×(-6)×32 m=-9 m，即0~2 s内物体的位移为0，3 s末物体位于出发点左侧9 m处，故D正确，C错误。
9.(多选)实验小组让甲、乙两辆电动玩具小车在同一条平直轨道上运动来研究匀变速直线运动的规律，两小车同时同地出发，甲车的速度与时间关系图像如图甲所示，乙车速度的平方与位移的关系图像如图乙所示，结合图像所给的信息，分析下列说法正确的是(　　)
BD
A.甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B.乙车的加速度大小为2 m/s2
C.乙车在前4 s内的平均速度为8 m/s
D.甲、乙两车相遇的时刻为2 s
解析　根据v-t图像的斜率表示加速度，由题图甲可得a甲== m/s2=1 m/s2，故A错误;由题图乙可知，乙车初速度为0，根据速度—位移公式有v2=2ax可知v2-x图像的斜率表示加速度的两倍，由图乙可得2a乙= m/s2，解得a乙=2 m/s2，
故B正确;乙车第4 s末的瞬时速度v4=a乙t=2×4 m/s=8 m/s，乙车前4 s的平均速度= m/s=4 m/s，故C错误;甲车的初速度为v0=1 m/s，设甲、乙两车相遇的时刻为t，根据匀变速直线运动位移—时间关系，则有v0t+a甲t2=a乙t2，解得t=2 s，故D正确。
10.货运车辆超载运输造成的破坏与损失触目惊心，有关部门不断强调严加管理。在某次监管中，一辆值勤的警车停在足够长的平直公路边(刹车但未关闭发动机)，当警员发现他旁边以大小v0=16 m/s的速度沿平直公路匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过t0=0.5 s后警车松开刹车，并以大小a=2 m/s2的加速度匀加速行驶。已知警车行驶的最大速度vm=20 m/s，警车的速度达到最大值后以该速度匀速行驶。两车均视为质点。
(1)求在警车追赶货车的过程中，两车间的最大距离smax;
(2)通过计算判断警车在加速阶段还是匀速阶段追上货车;
(3)求从警员发现货车到警车追上货车的时间。
答案　(1)72 m　(2)见解析　(3)27.5 s
解析　(1)设警车开始行驶后经过时间t1与货车共速，此时两车距离最大，则at1=v0
解得t1=8 s
两车间的最大距离smax=v0(t1+t0)-t1=72 m。
(2)当警车达到最大速度时所用时间t2==10 s
警车的位移x1=t2=100 m
此时货车的位移x2=v0(t0+t2)=168 m
可知警车追上货车在警车匀速阶段。
(3)警车达到最大速度后追上货车还需时间
t3==17 s
从警员发现货车到警车追上货车的时间
t=t0+t2+t3=0.5 s+10 s+17 s=27.5 s。
培优加强练
11.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于阻力做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2;乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求：
(1)甲物体能运动多远
(2)乙经多长时间追上甲
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少
答案　(1)9 m　(2)3 s　(3)6 m
解析　(1)甲物体做匀减速直线运动直至停止，
由=2a甲x甲得x甲===9 m。
(2)甲物体的运动时间为t==3 s
此过程中乙的位移为x乙=a乙t2=×1 m/s2×(3 s)2=4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间为t乙===3 s。
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t'=v甲-a甲t'
解得t'=2 s
在这2 s内，甲的位移为
x甲'=v甲t'-a甲t'2=8 m
乙的位移为x乙'=a乙t'2=2 m
二者间的最大距离为
Δx=x甲'-x乙'=6 m。
本节内容结束
THANKS培优提升五　运动学图像和追及相遇问题
基础对点练
题组一　运动学图像
1.(2026·湖南三新联盟高一期中)2025年9月27日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将风云三号H星发射升空。若风云三号H星在发射后的一小段时间内做初速度为零的直线运动，其x-t图像为如图所示的抛物线，则风云三号H星运动的加速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　风云三号H星在发射后的一小段时间内做初速度为零的直线运动，其x-t图像为题图所示的抛物线，则位移与时间的关系为 x=at2，代入(t0，x0)，解得加速度a=，故A、B、C错误，D正确。
2.水平路面上匀速行驶的汽车，因紧急情况而刹车，刹车过程中汽车做匀减速直线运动，v-t图像如图所示。已知汽车开始刹车后，第2 s内的位移为4 m，2 s后的位移为0.5 m。汽车刹车过程的加速度大小为(　　)
A.4 m/s2 B.3.5 m/s2
C.3 m/s2 D.2.5 m/s2
答案　A
解析　设经过时间t后汽车停止运动，根据逆向思维有a(t-2)2=0.5 m，a(t-1)2=4.5 m，联立解得a=4 m/s2，A项正确。
3.(多选)我国纵横的高铁网给人们的出行带来了方便。小明绘制了某列车的一段直线运动过程，但未知是出站加速，还是进站刹车，通过图像可知(　　)
A.小明绘制的是列车出站加速过程
B.列车的初速度为40 m/s
C.列车的加速度为-8 m/s2
D.列车前6 s内位移为100 m
答案　BCD
解析　根据图像可知斜率和纵轴截距分别为k==40，b=-4，则有=40·-4，整理可得x=40t-4t2，结合匀变速直线运动位移时间关系x=v0t+at2，可知列车的初速度和加速度分别为v0=40 m/s，a=-8 m/s2，可知绘制的是列车进站减速过程，故A错误，B、C正确;列车停下来所用时间为t0==5 s，则列车前6 s内位移为x=t0=100 m，故D正确。
4.如图甲是港珠澳大桥中的一段，一辆小汽车在长度为L=21 m的平直桥面上提速，图乙是该车在该段的车速的平方(v2)与位移(x)的关系，则关于小汽车通过该段平直桥面的加速度和平均速度分别为(　　)
A.4 m/s2　6 m/s B.2 m/s2　3 m/s
C.2 m/s2　 m/s D.2 m/s2　7 m/s
答案　D
解析　由匀变速直线运动位移与速度关系式v2-=2ax，得v2=+2a·x，结合图像可知a=2 m/s2，v0=4 m/s，v=10 m/s，由v=v0+at得，所用时间t=3 s，平均速度== m/s=7 m/s，故D正确，A、B、C错误。
题组二　追及相遇问题
5. (多选)A、B两物体在同一直线上运动的v-t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A.两物体从同一地点出发
B.出发时A在B前方4 m处
C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇
答案　BC
解析　由v-t图像与t轴所围的图形的面积表示位移可知，两物体在0~4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误;在4 s内，A的位移xA=×4×4 m=8 m，B的位移xB=×6×4 m=12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确;由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确;相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误。
6.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　v-t图像的斜率表示加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v-t图像为直线，A错误;v-t图像与t轴围成图形的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误;x-t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误;D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
7.在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，有一人在车后与车相距25 m处，同时开始以6 m/s的速度匀速追车，人与车前进的方向相同，则人追车过程中，人与车的最小距离为(　　)
A.5 m B.6 m
C.7 m D.9 m
答案　C
解析　当小车与人的速度相等时，小车与人相距最近，即v车=v人=6 m/s，又v车=at，则t==6 s，在6 s内小车行驶的距离x车=at2=18 m，人运动的距离x人=v人t=36 m，由于x车+25 m>x人，所以人不能追上车，人与车的最小距离Δs=x车+25 m-x人=7 m，故C正确。
综合提升练
8.一物体从t=0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其-t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.物体的初速度大小为3 m/s
B.物体的加速度大小为3 m/s2
C.0~2 s内物体的位移为6 m
D.3 s末物体位于出发点左侧9 m处
答案　D
解析　根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x=v0t+at2，变形得到=at+v0，结合图像可知v0=6 m/s，a=-6 m/s2，故A、B错误;根据x=v0t+at2可知，0~2 s内物体的位移为x=6×2 m+×(-6)×22 m=0，0~3 s内物体的位移为x=6×3 m+×(-6)×32 m=-9 m，即0~2 s内物体的位移为0，3 s末物体位于出发点左侧9 m处，故D正确，C错误。
9.(多选)实验小组让甲、乙两辆电动玩具小车在同一条平直轨道上运动来研究匀变速直线运动的规律，两小车同时同地出发，甲车的速度与时间关系图像如图甲所示，乙车速度的平方与位移的关系图像如图乙所示，结合图像所给的信息，分析下列说法正确的是(　　)
A.甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B.乙车的加速度大小为2 m/s2
C.乙车在前4 s内的平均速度为8 m/s
D.甲、乙两车相遇的时刻为2 s
答案　BD
解析　根据v-t图像的斜率表示加速度，由题图甲可得a甲== m/s2=1 m/s2，故A错误;由题图乙可知，乙车初速度为0，根据速度—位移公式有v2=2ax可知v2-x图像的斜率表示加速度的两倍，由图乙可得2a乙= m/s2，解得a乙=2 m/s2，故B正确;乙车第4 s末的瞬时速度v4=a乙t=2×4 m/s=8 m/s，乙车前4 s的平均速度= m/s=4 m/s，故C错误;甲车的初速度为v0=1 m/s，设甲、乙两车相遇的时刻为t，根据匀变速直线运动位移—时间关系，则有v0t+a甲t2=a乙t2，解得t=2 s，故D正确。
10.货运车辆超载运输造成的破坏与损失触目惊心，有关部门不断强调严加管理。在某次监管中，一辆值勤的警车停在足够长的平直公路边(刹车但未关闭发动机)，当警员发现他旁边以大小v0=16 m/s的速度沿平直公路匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过t0=0.5 s后警车松开刹车，并以大小a=2 m/s2的加速度匀加速行驶。已知警车行驶的最大速度vm=20 m/s，警车的速度达到最大值后以该速度匀速行驶。两车均视为质点。
(1)求在警车追赶货车的过程中，两车间的最大距离smax;
(2)通过计算判断警车在加速阶段还是匀速阶段追上货车;
(3)求从警员发现货车到警车追上货车的时间。
答案　(1)72 m　(2)见解析　(3)27.5 s
解析　(1)设警车开始行驶后经过时间t1与货车共速，此时两车距离最大，则at1=v0
解得t1=8 s
两车间的最大距离smax=v0(t1+t0)-t1=72 m。
(2)当警车达到最大速度时所用时间
t2==10 s
警车的位移x1=t2=100 m
此时货车的位移x2=v0(t0+t2)=168 m
可知警车追上货车在警车匀速阶段。
(3)警车达到最大速度后追上货车还需时间
t3==17 s
从警员发现货车到警车追上货车的时间
t=t0+t2+t3=0.5 s+10 s+17 s=27.5 s。
培优加强练
11.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于阻力做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2;乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求：
(1)甲物体能运动多远
(2)乙经多长时间追上甲
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少
答案　(1)9 m　(2)3 s　(3)6 m
解析　(1)甲物体做匀减速直线运动直至停止，
由=2a甲x甲得
x甲===9 m。
(2)甲物体的运动时间为t==3 s
此过程中乙的位移为
x乙=a乙t2=×1 m/s2×(3 s)2=4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间为
t乙===3 s。
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t'=v甲-a甲t'
解得t'=2 s
在这2 s内，甲的位移为
x甲'=v甲t'-a甲t'2=8 m
乙的位移为x乙'=a乙t'2=2 m
二者间的最大距离为
Δx=x甲'-x乙'=6 m。培优提升五　运动学图像和追及相遇问题
学习目标　1.理解x-t图像和v-t图像的截距、斜率、交点、面积等的物理意义，会利用运动图像间的转换分析解决问题。2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。
提升1　运动学图像的进一步理解
　x-t图像和v-t图像
1.应用运动图像的三点注意
(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。
(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.应用运动图像解题“六看”
x-t图像 v-t图像
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 折点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图甲所示;物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。根据图像作出的以下判断中正确的是(　　)
A.物体A和B均做匀变速直线运动
B.在0~3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C.t=3 s时，物体C、D的位移相同
D.在0~3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案　D
解析　由题图甲可知，物体A和B的x-t图像都是倾斜的直线，斜率都不变，则速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误;由题图甲可知，在0~3 s的时间内，物体A的位移始终大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错误;由题图乙可知，C、D两物体的v-t图像在t=3 s交于一点，所以此时刻C、D的速度一定相同，根据v-t图像与t轴所围面积表示位移以及物体C、D从同一地点沿同一方向运动可知，t=3 s时物体C、D的位移不相同，故C错误;由题图乙可知，在0~3 s的时间内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D正确。
　三类非常规图像
1.a-t图像
由v=v0+at可知a-t图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2.-t图像
由x=v0t+at2可得=v0+at，则-t图像的纵截距表示初速度为v0，斜率为a，如图乙所示。
3.v2-x图像
由v2-=2ax可知v2=+2ax，则v2-x图像的纵截距为，斜率为2a。如图丙所示。
例2 (2026·山西大学附中期中)利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种数学方法。如图所示为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像(x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间)，则下列说法正确的是(　　)
A.甲图中x-t2可求出物体的加速度大小为1 m/s2
B.乙图中v2-x求出物体的加速度大小为10 m/s2
C.丙图中-t可求出物体在2 s内的位移大小为0
D.丁图中a-t图可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为6 m/s
答案　C
解析　题图甲中根据x=at2，可知k=a= m/s2，解得a=2 m/s2，故A错误;题图乙中根据v2=2ax，可知k=2a=10 m/s2，所以a=5 m/s2，故B错误;题图丙中根据x=v0t+at2，得=v0+at，可得k=a= m/s2=-2 m/s2，v0=4 m/s，得2 s内的位移大小为x2=v0t2+a=0，故C正确;题图丁中由a-t图像可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为Δv=×2×3 m/s=3 m/s，故D错误。
提升2　追及相遇问题
1.追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。
2.分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系、掌握三点技巧。
一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
三点技巧 ①抓“一图三式”，即过程示意图，时间关系式、速度关系式、位移关系式;②审关键字眼，发现隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等;③讨论分析结果，看是否符合实际
(2)常用方法
物理 分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 ①用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图像，如果两个物体的x-t图像相交，则说明两物体相遇。 ②用v-t图像求解时，将两者的v-t图像画在同一坐标系中，注意比较v-t图像与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距，然后利用图像求解
数学 分析法 设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ=0，说明刚好追上或相遇;若Δ<0，说明追不上或不能相碰
例3 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车从静止以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车旁边通过。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多少
(2)汽车从路口开动后，经多长时间追上自行车 追上自行车时汽车的瞬时速度是多大
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
解析　画出自行车和汽车的运动示意图，如图甲所示。
(1)法一　基本公式法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设需要的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有
v1=at1=v自
所以t1==2 s
Δxm=v自t1-a=6 m。
法二　极值法或数学分析法
汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx=x1-x2=v自t1-a
代入已知数据得Δx=6t1-
由二次函数求极值的条件知当t1=2 s时，Δx最大，最大值Δxm=6 m。
法三　图像法
自行车和汽车运动的v-t图像如图乙所示，由图可知，在相遇前，t1时刻两车速度相等，追上前两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。
t1===2 s
Δxm===6 m。
(2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有
v自t2=a
解得t2=4 s
v2=at2=3 m/s2×4 s=12 m/s。
总结提升
1.追及相遇问题的常见情况一(v2初速度小者 追初速度大者
v-t图像
t=t0以前(v2t=t0时(v1=v2) 两物体相距最远
t=t0以后(v2>v1) 两物体距离减小到零再逐渐增大
追及情况 能追上且只能相遇一次
2.追及相遇问题的常见情况二(v2>v1)
初速度大者追初速度小者
v-t图像
t0时刻以前 (v2>v1) 两物体距离减小
t0时刻 (v2=v1) 若Δx=x0，恰好追上
若Δx若Δx>x0，相遇两次
训练1 (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v-t图像如图所示，由图可知(　　)
A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B.t=20 s时，乙追上了甲
C.t=20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离，大小为150 m
D.在t=20 s之前，甲比乙运动得快;在t=20 s之后，乙比甲运动得快
答案　CD
解析　由题图可知，乙在0~10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误;在v-t图像中，图线与时间轴所围图形的面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误;在10~20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t=20 s时两者距离最大，最大距离为s=10×20 m-×10×10 m=150 m，故C、D正确。
训练2 火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件
答案　a≥1.6 m/s2
解析　法一　物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，或刚好相遇但不相撞，则v1-at=v2
x1≤x2+s
其中x1=v1t-at2
x2=v2t
联立解得a≥1.6 m/s2
即a≥1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞。
法二　数学分析法
设甲减速t时间后，甲、乙恰好相撞
则有x1=x2+s
即v1t-at2=v2t+s
整理得at2-2(v1-v2)t+2s=0
若甲、乙不相撞，则以上方程不能有两个解
即判别式应满足Δ=4(v1-v2)2-8as≤0
解得a≥=1.6 m/s2。
法三　图像法
分别画出甲、乙的v-t图像，如图所示
刚好不相撞时图中阴影部分面积为s
有(v1-v2)t1=s
a=
故a=，且s=0.5 km
若要使甲、乙不相撞
则a≥=1.6 m/s2。
随堂对点自测
1.(运动学图像问题)(2024·甘肃卷，2)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示，此两站间的距离约为(　　)
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
答案　C
解析　根据v-t图像与坐标轴所围图形的面积表示位移结合题图可知，x=×20 m=1 430 m，C正确。
2.(非常规图像)一质点沿直线运动，如图所示是从t=0时刻开始的质点的-t图像(x为位移)，可以推知(　　)
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t=2 s时的速度是1 m/s
D.t=2 s时位移是3 m
答案　B
解析　由题意可得图线的函数表达式为=1+t，即x=t+t2，又因为匀变速直线运动的位移公式为x=v0t+at2，根据对应关系得v0=1 m/s，a=1 m/s2>0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确;当t=2 s时，根据公式v=v0+at，代入数据得v2=3 m/s，故C项错误;当t=2 s时，代入表达式x=t+t2，可得位移x2=4 m，故D项错误。
3.(追及相遇问题)5月26日，自行车公开赛暨粤港澳大湾区青年自行车联赛(横琴站)在横琴粤澳深度合作区举行，吸引了竞赛组1 000名选手和业余组3 500余名选手参加。比赛中，若甲、乙两选手运动的v-t图像如图所示，在t=0时刻两车在赛道上初次相遇，则(　　)
A.0~t1时间内，乙的加速度越来越大
B.t1时刻，甲、乙再次相遇
C.0~t1时间内，甲、乙之间的距离先增大后减小
D.t1~t2时间内，甲、乙之间的距离先减小后增大
答案　D
解析　v-t图像的图线斜率的绝对值表示加速度大小，则由题图可知0~t1时间内乙的加速度越来越小，A错误;由题图可知0~t1时间内，乙的速度大于甲的速度(t1时刻除外)，又t=0时刻甲、乙两车在赛道上初次相遇，则0~t1时间内两者的距离一直增大，乙在前、甲在后，t1时刻两者速度相等，之后甲的速度大于乙的速度，两者距离开始减小，当甲追上乙后，两者距离逐渐增大，B、C错误，D正确。

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