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第二十一章二次函数与反比例函数
21.3.1二次函数与一元二次方程
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法
通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力
02
复习旧知
一元一次方程与一次函数的关系：
1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3),(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_______．
2．如下图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_________．
可以看出当y取一个确定的值时，
一次函数就变成了一元一次方程.
x=4
x=-2
02
创设情境
类似地，通过观察对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？
03
新知探究
观察
观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？
y
x
–2
–1
2
1
y=x2+3x+2
两个交点
函数值y=0.
–1
–2
交点的横坐标与
一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？
x1= –1，x2= –2
03
新知探究
一元二次方程x2+3x+2=0的两个根等于二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标.
一元二次方程x2+3x+2=0，
Δ=b2–4ac＞0，有两个不相等的实数根.
二次函数y=x2+3x+2，
y=0时，图象与x轴有两个交点
一般地，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点，则交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
03
新知探究
抛物线与x轴的交点的个数、一元二次方程的根
与b2-4ac 的关系如下表：
b2-4ac的符号 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
的根的情况
图象 与x轴的交点情况 a>0 a<0
＝0
＜0
＞0
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
与x轴有两个交点
(x1,0),(x2,0)
与x轴有一个交点
( - , 0)
b
2a
与x轴没有交点
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
x=x1，x=x2
03
新知探究
例、如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
(2)球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
03
新知探究
解：(1)当 h 15 时，
t2 4t 3 0
t1 1，t2 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为15m .
(2)当 h 20 时，
t2 4t 4 0
t1 t2 2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
(3)当 h 20.5 时，
20t 5t2 20.5
t2 4t 4.1 0
∵( 4)2 4×4.1＜0 ，
∴方程无实根.
∴球的飞行高度达不到20.5m.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.二次函数y x2 2x 1的图象与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.不与x轴相交的抛物线是( )
A. y 2x2 3 B. y 2x2 3
C. y x2 3x D. y 2(x 1)2 3
B
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则 ___.
9
4. 若关于的一元二次方程 的两个根为
,，则二次函数 的图象的对称
轴为__________.
直线
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
求证：此抛物线与x轴总有两个交点.
证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点.
05
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.不与x轴相交的抛物线是 ( )
A．y＝2x2－3 B．y＝－2x2＋3
C．y＝－x2－3x D．y＝－2(x＋1)2－3
2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0，c＜0时，图象与x轴交点情况是 ( )
A．无交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．不能确定
D
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为________________．
(1，0)，(2，0)
4.二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝_____．
5
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
Thanks!
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