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分课时学案
课题 21.3.1二次函数与一元二次方程 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法 3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力
重点 二次函数与一元二次方程的关系
难点 理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系
教学过程
导入新课 复习提问，温故孕新 一元一次方程与一次函数的关系： 1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3),(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_______． 2．如下图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_______． 可以看出当y取一个确定的值时， 一次函数就变成了一元一次方程.
新知讲解 创设情境，引入课题 类似地，通过观察对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？ 合作探究，活动领悟 思考 观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 交点的横坐标与一元二次方x2+3x+2=0的根有什么关系？ 一元二次方程x2+3x+2=0的两个根等于二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标. 一般地，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点，则交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根. 抛物线与x轴的交点的个数、一元二次方程的根与b2-4ac 的关系如下表： 师生互动，变式深化 例、如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t5t 2. (1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2.不与x轴相交的抛物线是( ) A. y2x23 B. y2x23 C. yx23x D. y2(x1)23 3. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则____. 4. 若关于的一元二次方程 的两个根为,，则二次函数 的图象的对称轴为____. 5.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． 求证：此抛物线与x轴总有两个交点.
作业布置 1.不与x轴相交的抛物线是 ( ) A．y＝2x2－3 B．y＝－2x2＋3 C．y＝－x2－3x D．y＝－2(x＋1)2－3 2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0，c＜0时，图象与x轴交点情况是 ( ) A．无交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定 3.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为_________． 4.二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝____． 5.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
答案：
复习提问，温故孕新
一元一次方程与一次函数的关系：
1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3),(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是___x=4____．
2．如下图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是___x= -2___．
可以看出当y取一个确定的值时，
一次函数就变成了一元一次方程.
课堂练习
尝试练习，巩固提高
1.二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数是( B )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.不与x轴相交的抛物线是( D )
A. y2x23 B. y2x23
C. yx23x D. y2(x1)23
3. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则 __9_.
4. 若关于的一元二次方程 的两个根为,，则二次函数 的图象的对称轴为_直线x=1___.
5.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
求证：此抛物线与x轴总有两个交点.
证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m
＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点.
作业设计
1.不与x轴相交的抛物线是 ( D )
A．y＝2x2－3 B．y＝－2x2＋3
C．y＝－x2－3x D．y＝－2(x＋1)2－3
2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0，c＜0时，图象与x轴交点情况是 ( C )
A．无交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．不能确定
3.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为____(1，0)，(2，0)_____．
4.二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝__5__．
5.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
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