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第2课时　力的合成和分解
1.知道力的合成与力的分解的关系。
2.会利用作图和三角函数知识求解合力或者分力。
3.能区别矢量和标量。知道矢量相加遵从平行四边形定则，标量相加遵从算术法则。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　力的分解
知识点一　力的合成
知识点三　矢量和标量
知识点一　力的合成
1.力的合成规律：两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为______作平行四边形，这两个邻边之间的_________就代表合力的大小和方向，这个规律叫作_____________________。
2.合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而______，随θ的减小而______(0°≤θ≤180°)。
(1)两分力同向(θ=______)时，合力最大，F=_________，合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ=____________)时，合力最小，F=_________，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
邻边
对角线
平行四边形定则
减小
增大
0°
F1+F2
180°
|F1-F2|
(3)合力的取值范围：|F1-F2|≤F≤________。
(4)合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力。
3.多个共点力的合力的求法
先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
F1+F2
例1 关于共点力的合成，下列说法正确的是(　　)
B
A.两个分力的合力一定比分力大
B.两个分力大小一定，夹角越大，合力越小
C.两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大
D.现有三个力，大小分别为3 N、6 N、8 N，这三个力的合力最小值为1 N
解析　两个分力的合力不一定比分力大，A错误;两个分力的合力大小为F=，分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小，保持θ不变，使其中一个力增大，合力不一定增大，如当θ=180°时，较小的分力增加，合力减小，B正确，C错误;3 N与6 N两力的合力大小范围为3 N≤F≤9 N，当两力的合力大小为8 N且与第三个8 N的力方向相反时，三个力的合力为0，D错误。
合力的大小范围的确定方法
(1)两个分力合力范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)三个分力的合力范围
①最大值：三个力方向相同时，合力最大，Fm=F1+F2+F3。
②最小值：若|F1-F2|≤F3≤F1+F2，则合力的最小值为零;若F3不在|F1-F2|~(F1+F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
例2 上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大 方向如何(计算结果保留2位有效数字)
答案　5.2×104 N　方向竖直向下
解析　法一：作图法(如图1所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。以OA、OB为邻边作平行四边形，OC即为钢索对塔柱的合力，可知合力方向竖直向下，量得OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为
F=5.2×1×104 N=5.2×104 N。
法二：计算法(如图2所示)
根据这个平行四边形是一个菱形，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD=DB、OD=OC。对于直角三角形AOD，∠AOD=30°，则有F=2F1cos 30°=2×3×104× N=5.2×104 N，方向竖直向下。
总结提升　合力的求解方法
(1)作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时，直接相加减
②两分力不共线时
求合力的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力 相互垂直 大小：
F=
方向：tan θ=
类型 作图 合力的计算
两分力等 大，夹角 为θ 大小：F=2F1cos
方向：F与F1夹角为
(当θ=120°时，F=F2=F1)
合力与 其中一 个分力 垂直 大小：F=
方向：sin θ=
训练1 两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A
A.10 N B.10 N
C.15 N D.20 N
解析　当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则可知F1=F2=10 N。当这两个力的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则可知F合'=10 N，A正确。
知识点二　力的分解
1.如图甲所示，由平行四边形定则可知，两个已知力进行合成时，这两个力的合力是唯一的。如图乙，如果将一个已知力分解成两个分力，结果是否也是唯一的呢
提示　将一个力可以分解为两个分力，如图所示，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，结果并不是唯一的。也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形。
2.按下列要求作图。
(1)已知力F及其一个分力F1，在图甲中画出另一个分力F2。
(2)已知力F及其两个分力的方向，在图乙中画出两个分力F1和F2。
提示　
1.力的分解规律：力的分解是力的合成的_______，同样遵从_________________。
2.无条件限制的力的分解
如果没有限制，同一个力F可以分解为______对大小、方向不同的分力。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无数多个(如图甲、乙所示)。
逆运算
由图乙可知，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大，两分力越大。
平行四边形定则　
无数
3.有条件限制的力的分解
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。如图1和图2所示。
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。如图3和图4所示。
(3)已知合力F以及一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时，有下面几种可能：
①当Fsin θ②当F2=Fsin θ时，F1有唯一解如图6所示;
③当F2④当F2>F时，F1有唯一解如图8所示。
例3 (2026·天津市耀华中学期中)按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力(已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)。
(1)一个分力水平向右，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向;
答案　300 N　与竖直方向成53°角斜向左下方
解析　力的分解如图
甲
甲所示，则F2==300 N
设F2与F的夹角为θ，
则tan θ==，解得θ=53°，即F2与竖直方向成53°角斜向左下方。
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，求两个分力的大小。
答案　水平方向分力的大小为60 N，斜向左下方的分力的大小为120 N
解析　力的分解如图乙所示，则
乙
F1=Ftan 30°=180× N=60 N
F2== N=120 N。
训练2 如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　)
A
A.4 N B.6 N
C.10 N D.100 N
解析　根据平行四边形定则知，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2=Fsin 37°=10×0.6 N=6 N，所以F2的大小不可能是4 N，故A正确。
知识点三　矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从_____________________的物理量。
2.标量：只有大小，没有方向，相加时遵从____________的物理量。
3.三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，如图所示。
平行四边形定则
算术法则
例4 关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　)
C
A.矢量是既有大小又有方向的物理量
B.标量只有大小没有方向
C.-10 m的位移比5 m的位移小
D.-10 ℃的温度比5 ℃的温度低
解析　由矢量和标量的定义可知，A、B正确;-10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与规定的正方向相反，C错误;温度是标量，负数表示该温度比0 ℃低，正数表示该温度比0 ℃高，故-10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确。
例5 下列各图中三角形的三边各代表一个力，以下说法正确的是(　　)
C
A.图甲中三个力的合力为零 B.图乙中三个力的合力为2F3
C.图丙中三个力的合力为2F1 D.图丁中三个力的合力为2F2
解析　根据三角形定则可知，题图甲中F1和F2的合力为F3，故三个力的合力为2F3，A错误;题图乙中F1和F3的合力为F2，故三个力的合力为2F2，B错误;题图丙中F2和F3的合力为F1，故三个力的合力为2F1，C正确;题图丁中F1和F2的合力为-F3，故三个力的合力为零，D错误。
随堂对点自测
2
1.(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　)
A
A.标量只有正值，矢量可以取负值
B.位移、速度、加速度都是矢量
C.矢量和标量遵从的运算法则不一样
D.矢量的加法满足平行四边形定则
2.(力的合成)(2025·河北秦皇岛月考)关于两共点力的合成，合力大小可以为5 N的是(　　)
A.3 N和5 N B.3 N和10 N
C.2 N和2 N D.1 N和8 N
解析　3 N和5 N的合力范围是2 N≤F≤8 N，可以为5 N，故A正确;3 N和
10 N的合力范围是7 N≤F≤13 N，不可以为5 N，故B错误;2 N和2 N的合力范围是0 N≤F≤4 N，不可以为5 N，故C错误;1 N和8 N的合力范围是7 N≤F≤9 N，不可以为5 N，故D错误。
A
3.(力的分解)已知一个力F=20 N，可分解为两个分力F1和F2，已知F1方向与F夹角为60°，则F2的最小值是(　　)
A.5 N B.10 N
C.10 N D.30 N
解析　作出力的分解，如图，
由图可知F2的最小值是
F2=Fsin 60°=20× N=30 N，故D正确。
D
4.(力的合成)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法正确的是(　　)
AC
A.当θ=120°时，F=G
B.不管θ为何值，都有F=
C.当θ=0°时，F=
D.θ越大，则F越小
解析　由力的合成可知，两分力大小相等，当θ=120°时，F合=F=G;θ=0°时，F合=2F=G，所以F=，故A、C正确，B错误;在合力一定时，两分力间的夹角θ越大，分力F越大，故D错误。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　力的合成
1.(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则(　　)
CD
A.合力一定小于每个分力
B.合力可能同时垂直于两个分力
C.合力的方向可能与一个分力的方向相反
D.两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
解析　不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误;合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个邻边，故B错误;当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C正确;两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。
2.两个力F1=8 N和F2=6 N之间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，其合力为F，以下说法正确的是(　　)
C
A.合力F比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.当F1和F2大小不变时，θ角减小，合力F一定减小
C.合力F不可能大于14 N
D.合力F不可能小于6 N
解析　根据平行四边形定则可知，合力可以比分力中的任何一个力都大，也可以比分力中的任何一个力都小，还可以等于其中任意一个分力，故A错误;当F1和F2大小不变时，θ角减小，根据平行四边形定则可知，合力F一定增大，故B错误;合力大小的变化范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，即2 N≤F≤14 N，故C正确，D错误。
3.矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
B
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
解析　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos ，故B正确。
4.(多选)(2026·辽宁本溪市高级中学期中)三只豹子正沿水平方向用大小分别为
300 N、400 N、500 N的力拖动同一猎物。若豹子的方位不确定，则这三个力的合力大小可能为(　　)
A.1 100 N B.1 400 N
C.1 500 N D.0 N
解析　当三力同向时合力最大，为Fm=300 N+400 N+500 N=1 200 N，这三力中前2个力的合力范围是100~700 N，若第3个力与前2个力的合力等大反向，则这3个力的合力为零，所以这3个力的合力范围是0~1 200 N，故A、D正确。
AD
5.(人教版教材P72问题改编)如图所示，某物体受五个共点力作用处于静止状态，其中F1、F3是一对平衡力，若F1的大小不变，方向沿顺时针旋转90°，其余四个力的大小与方向均不变，则此物体受到的合力大小变为(　　)
C
A.0 B.F1
C.F1 D.2F1
解析　由题意可知物体在五个力的作用下保持静止，则五个力的合力为零，由于F1、F3是一对平衡力，则F1、F3的大小相等，方向相反，二者的合力为零，由力的合成可知F2、F4、F5三个力的合力为零，旋转力F1前后四个力的大小与方向均不变，F2、F4、F5三个力的合力仍为零，故旋转力F1后五个力的合力等于F1、F3两个力的合力，旋转后力F1、F3大小相等，方向相互垂直，根据平行四边形定则可知合力为F合=F1，C正确。
题组二　力的分解
6.(多选)下列关于力的合成和分解的说法正确的是(　 　)
ABD
A.两个力的合力，可能比这两个分力都小
B.已知合力及一个分力的大小和方向，则求另一个分力时有唯一解
C.把一个力分解为两个分力，两个分力不能同时大于这个力的2倍
D.1 N、2 N、4 N三个共点力最大合力为7 N，最小合力为1 N
解析　由于合力与分力遵循平行四边形定则，则合力与其两个分力不在同一直线上时能够构成一个封闭的三角形，根据三角形边长关系可知，两个力的合力可能比这两个分力都小，故A正确;已知合力及一个分力的大小和方向，只能够作出一个平行四边形，可知求另一个分力时有唯一解，故B正确;根据三角形边长关系可知，把一个力分解为两个分力，两个分力能够同时大于这个力的2倍，故C错误;两个分力的合力的取值范围为|F1-F2|≤F12≤F1+F2，可知1 N、2 N的合力F12最小值为1 N，最大值为3 N，由于4 N比F12最大值3 N大，则4 N与F12的合力的最小值为4 N-3 N=1 N，4 N与F12的合力的最大值为4 N+3 N=7 N，即这三个共点力最大合力为7 N，最小合力为1 N，故D正确。
7.关于力的分解，下列说法正确的是(　　)
A
A.一个2 N的力可以分解为8 N和8 N的两个分力
B.一个3 N的力可以分解为8 N和4 N的两个分力
C.一个7 N的力可以分解为5 N和1 N的两个分力
D.一个8 N的力可以分解为4 N和3 N的两个分力
解析　8 N与8 N的两个分力的合力范围是0≤F≤16 N，合力可能为2 N，A正确;8 N与4 N的两个分力的合力范围是4 N≤F≤12 N，合力不可能为3 N，B错误;5 N与1 N的合力范围是4 N≤F≤6 N，合力不可能为7 N，C错误;3 N与4 N的两个分力的合力范围是1 N≤F≤7 N，合力不可能为8 N，D错误。
8.将F=40 N的力分解为F1和F2，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则(　　)
B
A.当F2<20 N时，F2有唯一值
B.当F2=20 N时，F1的值是20 N
C.当F2>40 N时，F2有两个值
D.当10 N解析　根据矢量三角形定则，如图所示，当F2的方向与F1垂直时，F2最小，最小值为Fmin=Fsin 30°=40× N=20 N，当F2<20 N时，无解，故A、D错误;当F2=20 N时，F1的值为F1=Fcos 30°=20 N，故B正确;当F2>40 N时，F2只能处于图中F2最小值右侧，F2只有一个值与F1的值相对应，故C错误。
综合提升练
9.F1、F2、F3是作用于同一物体上的三个共点力，已知F1>F2>F3，下列矢量图中这三个力的合力最大的是(　　)
A
解析　根据平行四边形定则或三角形定则可知，A中三个力的合力大小为2F1，B中三个力的合力为0，C中三个力的合力大小为2F3，D中三力的合力大小也为2F3，因F1>F3，故A正确。
10.如图所示，水平地面上固定着一根竖直立柱，某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端，且该端绳与水平方向夹角为30°，则柱顶所受压力大小为(　　)
B
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
解析　对柱顶受力分析如图所示，定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1=F2=100 N，柱顶所受压力大小F=2F1cos 30°=2×100× N=100 N，故选项B正确。
11.(多选)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0°≤θ≤360°)，下列说法正确的是(　　)
BC
A.合力大小的变化范围是0≤F≤10 N
B.合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N
C.这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D.这两个分力的大小分别为2 N和8 N
解析　由题图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为2 N，则有|F1-F2|=2 N，而当两分力夹角为90°时，两分力的合力为10 N，则有=10 N，联立解得这两个分力大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误;当两个分力方向相同时，合力最大，为14 N;当两个分力方向相反时，合力最小，为2 N，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A错误，B正确。
培优加强练
12.如图所示，在水平地面上放一质量为1 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6，在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1=3 N、F2=4 N，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：
(1)F1与F2的合力大小;
(2)木块受到的摩擦力大小;
(3)若将图中F1顺时针转90°，此时F1与F2的合力大小;
(4)若将图中F2顺时针转90°，此时木块受的摩擦力大小。
答案　(1)5 N　(2)5 N　(3)1 N　(4)6 N
解析　(1)根据力的平行四边形定则，可得两个拉力的合力大小F= N=5 N。
(2)木块受到的最大静摩擦力，即为滑动摩擦力，则Ffm=μFN=0.6×10 N=6 N>F，因此没拉动，可知木块受到的静摩擦力等于两个拉力的合力，即为5 N。
(3)当将题图中F1顺时针转90°时，两个拉力的合力大小为F'=F2-F1=4 N-3 N=1 N。
(4)若将题图中F2顺时针转90°，此时两个拉力的合力为F″=F1+F2=3 N+4 N=7 N>Ffm=6 N，物体开始滑动，此时木块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为6 N。
本节内容结束
THANKS第2课时　力的合成和分解
基础对点练
题组一　力的合成
1.(多选)对两个大小不等的共点力进行合成，则(　　)
A.合力一定小于每个分力
B.合力可能同时垂直于两个分力
C.合力的方向可能与一个分力的方向相反
D.两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
答案　CD
解析　不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误;合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个邻边，故B错误;当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，故C正确;两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。
2.两个力F1=8 N和F2=6 N之间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，其合力为F，以下说法正确的是(　　)
A.合力F比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.当F1和F2大小不变时，θ角减小，合力F一定减小
C.合力F不可能大于14 N
D.合力F不可能小于6 N
答案　C
解析　根据平行四边形定则可知，合力可以比分力中的任何一个力都大，也可以比分力中的任何一个力都小，还可以等于其中任意一个分力，故A错误;当F1和F2大小不变时，θ角减小，根据平行四边形定则可知，合力F一定增大，故B错误;合力大小的变化范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，即2 N≤F≤14 N，故C正确，D错误。
3.矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
答案　B
解析　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos ，故B正确。
4.(多选)(2026·辽宁本溪市高级中学期中)三只豹子正沿水平方向用大小分别为300 N、400 N、500 N的力拖动同一猎物。若豹子的方位不确定，则这三个力的合力大小可能为(　　)
A.1 100 N B.1 400 N
C.1 500 N D.0 N
答案　AD
解析　当三力同向时合力最大，为Fm=300 N+400 N+500 N=1 200 N，这三力中前2个力的合力范围是100~700 N，若第3个力与前2个力的合力等大反向，则这3个力的合力为零，所以这3个力的合力范围是0~1 200 N，故A、D正确。
5.(人教版教材P72问题改编)如图所示，某物体受五个共点力作用处于静止状态，其中F1、F3是一对平衡力，若F1的大小不变，方向沿顺时针旋转90°，其余四个力的大小与方向均不变，则此物体受到的合力大小变为(　　)
A.0 B.F1
C.F1 D.2F1
答案　C
解析　由题意可知物体在五个力的作用下保持静止，则五个力的合力为零，由于F1、F3是一对平衡力，则F1、F3的大小相等，方向相反，二者的合力为零，由力的合成可知F2、F4、F5三个力的合力为零，旋转力F1前后四个力的大小与方向均不变，F2、F4、F5三个力的合力仍为零，故旋转力F1后五个力的合力等于F1、F3两个力的合力，旋转后力F1、F3大小相等，方向相互垂直，根据平行四边形定则可知合力为F合=F1，C正确。
题组二　力的分解
6.(多选)下列关于力的合成和分解的说法正确的是(　　)
A.两个力的合力，可能比这两个分力都小
B.已知合力及一个分力的大小和方向，则求另一个分力时有唯一解
C.把一个力分解为两个分力，两个分力不能同时大于这个力的2倍
D.1 N、2 N、4 N三个共点力最大合力为7 N，最小合力为1 N
答案　ABD
解析　由于合力与分力遵循平行四边形定则，则合力与其两个分力不在同一直线上时能够构成一个封闭的三角形，根据三角形边长关系可知，两个力的合力可能比这两个分力都小，故A正确;已知合力及一个分力的大小和方向，只能够作出一个平行四边形，可知求另一个分力时有唯一解，故B正确;根据三角形边长关系可知，把一个力分解为两个分力，两个分力能够同时大于这个力的2倍，故C错误;两个分力的合力的取值范围为|F1-F2|≤F12≤F1+F2，可知1 N、2 N的合力F12最小值为1 N，最大值为3 N，由于4 N比F12最大值3 N大，则4 N与F12的合力的最小值为4 N-3 N=1 N，4 N与F12的合力的最大值为4 N+3 N=7 N，即这三个共点力最大合力为7 N，最小合力为1 N，故D正确。
7.关于力的分解，下列说法正确的是(　　)
A.一个2 N的力可以分解为8 N和8 N的两个分力
B.一个3 N的力可以分解为8 N和4 N的两个分力
C.一个7 N的力可以分解为5 N和1 N的两个分力
D.一个8 N的力可以分解为4 N和3 N的两个分力
答案　A
解析　8 N与8 N的两个分力的合力范围是0≤F≤16 N，合力可能为2 N，A正确;8 N与4 N的两个分力的合力范围是4 N≤F≤12 N，合力不可能为3 N，B错误;5 N与1 N的合力范围是4 N≤F≤6 N，合力不可能为7 N，C错误;3 N与4 N的两个分力的合力范围是1 N≤F≤7 N，合力不可能为8 N，D错误。
8.将F=40 N的力分解为F1和F2，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则(　　)
A.当F2<20 N时，F2有唯一值
B.当F2=20 N时，F1的值是20 N
C.当F2>40 N时，F2有两个值
D.当10 N答案　B
解析　根据矢量三角形定则，如图所示，当F2的方向与F1垂直时，F2最小，最小值为Fmin=Fsin 30°=40× N=20 N，当F2<20 N时，无解，故A、D错误;当F2=20 N时，F1的值为F1=Fcos 30°=20 N，故B正确;当F2>40 N时，F2只能处于图中F2最小值右侧，F2只有一个值与F1的值相对应，故C错误。
综合提升练
9.F1、F2、F3是作用于同一物体上的三个共点力，已知F1>F2>F3，下列矢量图中这三个力的合力最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　根据平行四边形定则或三角形定则可知，A中三个力的合力大小为2F1，B中三个力的合力为0，C中三个力的合力大小为2F3，D中三力的合力大小也为2F3，因F1>F3，故A正确。
10.如图所示，水平地面上固定着一根竖直立柱，某人用绳子通过柱顶的光滑定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端，且该端绳与水平方向夹角为30°，则柱顶所受压力大小为(　　)
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
答案　B
解析　对柱顶受力分析如图所示，定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1=F2=100 N，柱顶所受压力大小F=2F1cos 30°=2×100× N=100 N，故选项B正确。
11.(多选)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0°≤θ≤360°)，下列说法正确的是(　　)
A.合力大小的变化范围是0≤F≤10 N
B.合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N
C.这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D.这两个分力的大小分别为2 N和8 N
答案　BC
解析　由题图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为2 N，则有|F1-F2|=2 N，而当两分力夹角为90°时，两分力的合力为10 N，则有=10 N，联立解得这两个分力大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误;当两个分力方向相同时，合力最大，为14 N;当两个分力方向相反时，合力最小，为2 N，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A错误，B正确。
培优加强练
12.如图所示，在水平地面上放一质量为1 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6，在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1=3 N、F2=4 N，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：
(1)F1与F2的合力大小;
(2)木块受到的摩擦力大小;
(3)若将图中F1顺时针转90°，此时F1与F2的合力大小;
(4)若将图中F2顺时针转90°，此时木块受的摩擦力大小。
答案　(1)5 N　(2)5 N　(3)1 N　(4)6 N
解析　(1)根据力的平行四边形定则，可得两个拉力的合力大小F= N=5 N。
(2)木块受到的最大静摩擦力，即为滑动摩擦力，则Ffm=μFN=0.6×10 N=6 N>F，因此没拉动，可知木块受到的静摩擦力等于两个拉力的合力，即为5 N。
(3)当将题图中F1顺时针转90°时，两个拉力的合力大小为F'=F2-F1=4 N-3 N=1 N。
(4)若将题图中F2顺时针转90°，此时两个拉力的合力为F″=F1+F2=3 N+4 N=7 N>Ffm=6 N，物体开始滑动，此时木块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为6 N。第2课时　力的合成和分解
学习目标　1.知道力的合成与力的分解的关系。2.会利用作图和三角函数知识求解合力或者分力。3.能区别矢量和标量。知道矢量相加遵从平行四边形定则，标量相加遵从算术法则。
知识点一　力的合成
1.力的合成规律：两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫作平行四边形定则。
2.合力与分力的大小关系
两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大(0°≤θ≤180°)。
(1)两分力同向(θ=0°)时，合力最大，F=F1+F2，合力与分力同向。
(2)两分力反向(θ=180°)时，合力最小，F=|F1-F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。
(3)合力的取值范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(4)合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力。
3.多个共点力的合力的求法
先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。
例1 关于共点力的合成，下列说法正确的是(　　)
A.两个分力的合力一定比分力大
B.两个分力大小一定，夹角越大，合力越小
C.两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大
D.现有三个力，大小分别为3 N、6 N、8 N，这三个力的合力最小值为1 N
答案　B
解析　两个分力的合力不一定比分力大，A错误;两个分力的合力大小为F=，分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小，保持θ不变，使其中一个力增大，合力不一定增大，如当θ=180°时，较小的分力增加，合力减小，B正确，C错误;3 N与6 N两力的合力大小范围为3 N≤F≤9 N，当两力的合力大小为8 N且与第三个8 N的力方向相反时，三个力的合力为0，D错误。
合力的大小范围的确定方法
(1)两个分力合力范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(2)三个分力的合力范围
①最大值：三个力方向相同时，合力最大，Fm=F1+F2+F3。
②最小值：若|F1-F2|≤F3≤F1+F2，则合力的最小值为零;若F3不在|F1-F2|~(F1+F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。
例2 上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大 方向如何(计算结果保留2位有效数字)
答案　5.2×104 N　方向竖直向下
解析　法一：作图法(如图1所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。以OA、OB为邻边作平行四边形，OC即为钢索对塔柱的合力，可知合力方向竖直向下，量得OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为
F=5.2×1×104 N=5.2×104 N。
法二：计算法(如图2所示)
根据这个平行四边形是一个菱形，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD=DB、OD=OC。对于直角三角形AOD，∠AOD=30°，则有F=2F1cos 30°=2×3×104× N=5.2×104 N，方向竖直向下。
总结提升　合力的求解方法
(1)作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时，直接相加减
②两分力不共线时
求合力的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力 相互垂直 大小： F= 方向：tan θ=
两分力等 大，夹角 为θ 大小：F=2F1cos 方向：F与F1夹角为 (当θ=120°时，F=F2=F1)
合力与 其中一 个分力 垂直 大小：F= 方向：sin θ=
　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A.10 N B.10 N
C.15 N D.20 N
答案　A
解析　当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则可知F1=F2=10 N。当这两个力的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则可知F合'=10 N，A正确。
知识点二　力的分解
1.如图甲所示，由平行四边形定则可知，两个已知力进行合成时，这两个力的合力是唯一的。如图乙，如果将一个已知力分解成两个分力，结果是否也是唯一的呢
提示　将一个力可以分解为两个分力，如图所示，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，结果并不是唯一的。也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形。
2.按下列要求作图。
(1)已知力F及其一个分力F1，在图甲中画出另一个分力F2。
(2)已知力F及其两个分力的方向，在图乙中画出两个分力F1和F2。
提示　
1.力的分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则。
2.无条件限制的力的分解
如果没有限制，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无数多个(如图甲、乙所示)。
由图乙可知，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大，两分力越大。
3.有条件限制的力的分解
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。如图1和图2所示。
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。如图3和图4所示。
(3)已知合力F以及一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时，有下面几种可能：
①当Fsin θ②当F2=Fsin θ时，F1有唯一解如图6所示;
③当F2④当F2>F时，F1有唯一解如图8所示。
例3 (2026·天津市耀华中学期中)按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力(已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)。
(1)一个分力水平向右，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向;
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，求两个分力的大小。
答案　(1)300 N　与竖直方向成53°角斜向左下方
(2)水平方向分力的大小为60 N，斜向左下方的分力的大小为120 N
解析　(1)力的分解如图
甲
甲所示，则F2==300 N
设F2与F的夹角为θ，
则tan θ==，解得θ=53°，即F2与竖直方向成53°角斜向左下方。
(2)力的分解如图乙所示，则
乙
F1=Ftan 30°=180× N=60 N
F2== N=120 N。
训练2 如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　)
A.4 N B.6 N
C.10 N D.100 N
答案　A
解析　根据平行四边形定则知，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2=Fsin 37°=10×0.6 N=6 N，所以F2的大小不可能是4 N，故A正确。
知识点三　矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。
2.标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。
3.三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，如图所示。
例4 关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　)
A.矢量是既有大小又有方向的物理量
B.标量只有大小没有方向
C.-10 m的位移比5 m的位移小
D.-10 ℃的温度比5 ℃的温度低
答案　C
解析　由矢量和标量的定义可知，A、B正确;-10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与规定的正方向相反，C错误;温度是标量，负数表示该温度比0 ℃低，正数表示该温度比0 ℃高，故-10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确。
例5 下列各图中三角形的三边各代表一个力，以下说法正确的是(　　)
A.图甲中三个力的合力为零
B.图乙中三个力的合力为2F3
C.图丙中三个力的合力为2F1
D.图丁中三个力的合力为2F2
答案　C
解析　根据三角形定则可知，题图甲中F1和F2的合力为F3，故三个力的合力为2F3，A错误;题图乙中F1和F3的合力为F2，故三个力的合力为2F2，B错误;题图丙中F2和F3的合力为F1，故三个力的合力为2F1，C正确;题图丁中F1和F2的合力为-F3，故三个力的合力为零，D错误。
随堂对点自测
1.(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　)
A.标量只有正值，矢量可以取负值
B.位移、速度、加速度都是矢量
C.矢量和标量遵从的运算法则不一样
D.矢量的加法满足平行四边形定则
答案　A
2.(力的合成)(2025·河北秦皇岛月考)关于两共点力的合成，合力大小可以为5 N的是(　　)
A.3 N和5 N B.3 N和10 N
C.2 N和2 N D.1 N和8 N
答案　A
解析　3 N和5 N的合力范围是2 N≤F≤8 N，可以为5 N，故A正确;3 N和10 N的合力范围是7 N≤F≤13 N，不可以为5 N，故B错误;2 N和2 N的合力范围是0 N≤F≤4 N，不可以为5 N，故C错误;1 N和8 N的合力范围是7 N≤F≤9 N，不可以为5 N，故D错误。
3.(力的分解)已知一个力F=20 N，可分解为两个分力F1和F2，已知F1方向与F夹角为60°，则F2的最小值是(　　)A.5 N B.10 N
C.10 N D.30 N
答案　D
解析　作出力的分解，如图，由图可知F2的最小值是F2=Fsin 60°=20× N=30 N，故D正确。
4.(力的合成)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法正确的是(　　)
A.当θ=120°时，F=G
B.不管θ为何值，都有F=
C.当θ=0°时，F=
D.θ越大，则F越小
答案　AC
解析　由力的合成可知，两分力大小相等，当θ=120°时，F合=F=G;θ=0°时，F合=2F=G，所以F=，故A、C正确，B错误;在合力一定时，两分力间的夹角θ越大，分力F越大，故D错误。

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