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(共51张PPT)
第5节　共点力的平衡
1.知道什么是共点力。
2.在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力平衡的条件：物体所受合力为0。
3.会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际问题，体会物理学知识的实际应用价值。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　静态平衡问题的分析
知识点一　共点力平衡的条件
知识点一　共点力平衡的条件
如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用 这些力的大小、方向有何关系 它们的合力有何特点
提示　受重力和悬崖对它的作用力;重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持______或__________________状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
2.共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是______为0。
3.对“平衡状态”的理解
静止
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv=0，a==0。
注意：“静止”和“v=0”的区别与联系
v=0
例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点。
匀速直线运动
合力
【思考】
一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
(1)此时灯泡受几个力
(2)试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系
(3)上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡
提示　(1)受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
(2)如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，其中一个力F在大小不变的情况下，将其方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加的力的大小为(　　)
B
A.F B.F
C.2F D.3F
解析　物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加一个大小为F的力，故B项正确。
总结提升　由平衡条件得出的三个结论
训练1 (2025·福建卷，1)如图所示，山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，关于F1和F2的大小关系，下列说法正确的是(　　)
A
A.F2大于F1
B.F1大于F2
C.F1等于F2
D.F1和F2的大小关系与风力大小有关
解析　
知识点二　静态平衡问题的分析
常用分析方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有
∑Fx=F1x+F2x+F3x+…+Fnx=0，
∑Fy=F1y+F2y+F3y+…+Fny=0
矢量三 角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
例2 用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重力为19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力大小(结果保留3位有效数字)。
解析　法一：合成法
以结点O为研究对象，受力分析如图所示，根据共点力的平衡条件有
F=FT，且FT=G
由三角函数关系得
F1=Fcos 30°=19.6× N=17.0 N
F2=Fsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N。
法二：分解法　以结点O为研究对象，根据拉力的作用效果进行分解如图所示。
由平衡条件可得FT=G，将拉力FT沿绳AO和BO方向分解，由三角函数关系得
FA=FTcos 30°=19.6× N=17.0 N
FB=FTsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N
根据牛顿第三定律可知
绳子OA的拉力F1=FA=17.0 N
绳子OB的拉力F2=FB=9.8 N。
答案　17.0 N　9.8 N
法三：正交分解法　如图所示，
建立直角坐标系，将绳子OA和OB的拉力沿x、y方向正交分解。
其中FT=G
由平衡条件，
水平方向有F1cos 60°=F2cos 30°
竖直方向有F1sin 60°+F2sin 30°=FT
联立解得F1=17.0 N，F2=9.8 N。
共点力平衡问题的解题思路
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)列平衡方程，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法(合成法、分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
训练2 (多选)如图所示，AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子，现用这两根绳子吊起一重物，O为结点，已知重物的质量m=40 kg，AO绳的拉力记为FTA，BO绳的拉力记为FTB，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
AC
A.FTA=320 N，FTB=240 N
B.FTA=240 N，FTB=320 N
C.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
解析　对结点O受力分析如图所示，则有FTA=mgcos 37°=320 N，FTB=mgsin 37°=240 N，A正确，B错误;由结点O水平方向所受合力为零可得FTAsin 37°=FTBcos 37°，所以AO绳先达到最大承受力，令FTA=720 N，则有mmaxg=，解得mmax=90 kg，C正确，D错误。
训练3 在科学研究中，人们利用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂。当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度，风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小。那么，风力的大小F跟金属球质量m、偏角θ之间有什么关系呢(重力加速度为g)
答案　F=mgtan θ
解析　以金属球为研究对象，受力分析如图所示。
水平方向上的合力Fx合和竖直方向上的合力Fy合分别等于零，即
Fx合=FTsin θ-F=0
Fy合=FTcos θ-mg=0
则有FTsin θ=F，FTcos θ=mg
两式相比得F=mgtan θ
由所得结果可知，当金属球质量m一定时，偏角θ只跟风力F有关。因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
随堂对点自测
2
1.(共点力平衡的条件) (2025·陕、晋、青、宁卷，4)如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态。钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为(　　)
D
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
解析　对钢管受力分析，其受到重力、地面的作用力和绳子拉力，又重力、绳子拉力和地面对钢管的支持力均沿竖直方向，钢管在这三个力的作用下处于静止状态，合力为零，所以地面对钢管左端的摩擦力大小为0，D正确。
2.(静态平衡问题的分析)在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水，但未将乒乓球注满，用水平U形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知U形槽的间距d=R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则U形槽侧壁顶端A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为(　　)
B
A.(M+m)g B.(M+m)g
C.(M+m)g D.2(M+m)g
解析　以乒乓球和水整体为研究对象，受力分析如图。根据平衡条件有2FNsin θ=(M+m)g，由几何关系可知θ=60°，解得A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为FN=(M+m)g，B项正确。
3.(静态平衡问题的分析) (多选)如图所示，静止斜面倾角为θ，斜面上固定着竖直挡板AB，质量为m的光滑圆球静止在斜面上，挡板对球的弹力为FN1，斜面对球的支持力为FN2，重力加速度为g，则(　　)
AD
A.FN1=mgtan θ B.FN1=mgcos θ
C.FN2= D.FN2=
解析　圆球受重力、挡板对它的弹力FN1和斜面对它的支持力FN2，受力分析如图所示，建立平面直角坐标系，根据平衡条件和几何关系可得FN1=FN2sin θ，FN2cos θ=mg，联立解得FN1=mgtan θ，FN2=，故A、D正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　共点力平衡的条件
1.物体受到共点力的作用，下列说法正确的是(　　)
C
A.在某一时刻速度等于零的物体一定处于平衡状态
B.相对于另一物体保持静止的物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为零时，一定处于平衡状态
D.物体运动时若速率不变，一定处于平衡状态
解析　处于平衡状态的物体，在运动形式上处于静止状态或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合力为零，C正确;某一时刻速度为零的物体，所受合力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A错误;某物体相对于另一物体静止时，该物体不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体不处于平衡状态，B错误;物体运动速度大小不变但方向变化时，所受合力不为零，故不处于平衡状态，D错误。
2.(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是(　 　)
ACD
A.体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B.蹦床运动员在空中上升到最高点时
C.举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D.游泳运动员仰卧在水面静止不动时
解析　物体处于平衡状态的条件是F合=0，物体处于静止或匀速直线运动状态，故A、C、D正确;B项中运动员上升到最高点时v=0，F合≠0，不会静止在最高点，不是平衡状态，故B错误。
3.如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到水平面的摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是(　　)
B
A.F和G的合力的方向可能水平向右
B.F和Ff的合力方向竖直向上
C.FN可能为零
D.F和Ff的合力可能大于G
解析　由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，选项C错误;物体受四个力的作用处于平衡状态，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，选项A错误;由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，选项B正确，D错误。
题组二　静态平衡问题的分析
4.如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为θ，则(　　)
A
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直于墙面向右
解析　将重力按作用效果分解，如图所示，则由平衡条件可得
绳对球的拉力FT=F1=
墙对球的支持力FN=F2=Gtan θ
由牛顿第三定律可知球对墙的压力大小为Gtan θ，方向垂直于墙面向左，故A正确，B、C、D错误。
5.(2026·天津市南开中学期中)不少地方将男生引体向上作为中考体育项目，如图所示，某次训练时重力为G的学生两手臂对称悬挂在单杠上并保持静止状态，两手臂间夹角为θ，则下列说法正确的是(　　)
D
A.当θ=60°时，单条手臂与单杠之间的弹力为G
B.当θ越大时，运动员受到的合力越大
C.单杠对每条手臂的作用力大小始终等于G
D.手臂对单杠的弹力大小与θ无关
解析　不论θ是多少，对人整体受力分析，竖直方向受重力和单杠的支持力而平衡，所以单条手臂与单杠之间的弹力始终等于G，与θ无关，A错误，D正确;运动员处于静止状态，合力等于零，B错误;当两手臂不平行时，单杠对每条手臂的作用力大小等于支持力与摩擦力的合力，支持力等于G，单杠对手臂沿杆方向的摩擦力不为零，此时单杠对每条手臂的作用力大小大于G，C错误。
6.如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°。重力加速度为g。则ac绳的拉力大小为(　　)
D
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析　以结点c为研究对象，受到三个拉力作用，如图所示，因为F1和F2垂直，所以ac绳中的拉力大小F1=mgcos 30°=mg，故D正确。
7.(多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是(　　)
BD
A.F1=mgcos θ B.F1=
C.F2=mgsin θ D.F2=
解析　法一　合成法
由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，
由平衡条件有F12=mg，由几何关系得F1=，F2=，故B、D正确。
法二　正交分解法
对结点O受力分析并沿水平方向、竖直方向正交分解，如图乙所示。由力的平衡条件得F2cos θ-F1=0，F2sin θ-mg=0，联立解得F2=，F1=，故B、D正确。
(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试。)
法三　矢量三角形法
对结点O受力分析，如图丙所示。再将表示三个力的有向线段平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭三角形，如图丁所示。
则由几何关系可得F1=，F2=，故B、D正确。
综合提升练
8.如图所示，一质量为m的木箱，与地面间的动摩擦因数为μ，小明同学用与水平方向成θ角的轻绳拉木箱在水平面内匀速向右运动，g为重力加速度，则下列说法正确的是(　　)
D
A.木箱运动过程中可能只受到三个力的作用：重力、拉力和摩擦力
B.仅改变前进的速度，速度越大，拉力越大
C.木箱运动过程中，地面对木箱的作用力竖直向上
D.拉力大小为
解析　由于木箱在水平地面上匀速运动，则其受重力、支持力、摩擦力、拉力四个力的作用，故A错误;仅改变前进的速度，只要仍做匀速运动，平衡状态不变，拉力F不变，故B错误;地面对木箱有竖直向上的支持力和水平向左的摩擦力，合力斜向左上方，即地面对木箱的作用力斜向左上方，故C错误;由于拉动木箱在水平面内匀速前进，木箱处于平衡状态，则有Fcos θ=μFN，Fsin θ+FN=mg，联立解得F=，故D正确。
9.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)
A
A.mg B.mg
C.2mg D.mg
解析　对B点处的小球受力分析，如图所示，
根据平衡条件有FTsin 60°=FNsin 60°
FTcos 60°+FNcos 60°=mg
联立解得FT=FN=mg，
A正确。
10.如图所示，两个竖直挡板之间，用轻绳和轻弹簧挂着一个小球(可看作质点)，小球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为37°，弹簧恰好水平。已知小球的重力G=20 N，轻弹簧的原长为12 cm，此时小球到左侧竖直挡板的水平距离为22 cm(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，求：
(1)此时轻绳的拉力大小FT;
(2)轻弹簧的劲度系数k。
答案　(1)25 N　(2)150 N/m
解析　(1)以小球为研究对象，竖直方向根据平衡条件可得FTcos 37°=G
解得此时轻绳的拉力大小为
FT== N=25 N。
(2)以小球为研究对象，水平方向根据平衡条件可得FTsin 37°=F弹
根据胡克定律可得F弹=kx
解得轻弹簧的劲度系数为
k== N/m=150 N/m。
培优加强练
11.如图所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，已知绳长为L，某人用水平作用力将沙袋缓慢拉起，使绳与竖直方向的夹角为θ=30°，且绳绷紧，在此位置静止不动。重力加速度为g。
(1)求该人对沙袋施加的水平作用力大小;
(2)若该人对沙袋施加的作用力不水平，求作用力的最小值。
答案　(1)mg　(2)mg
解析　(1)当绳与竖直方向的夹角θ=30°时，沙袋受到重力、绳子拉力和该人对沙袋施加的作用力，对沙袋进行受力分析，建立平面直角坐标系，如图甲所示。由平衡条件，水平方向有F-FTsin 30°=0，竖直方向有FTcos 30°-mg=0，联立解得F=mg。
(2)作力的矢量三角形，如图乙，分析可知当作用力F与轻绳垂直且斜向右上时F最小，则Fmin=mgsin 30°=mg。
本节内容结束
THANKS第5节　共点力的平衡
基础对点练
题组一　共点力平衡的条件
1.物体受到共点力的作用，下列说法正确的是(　　)
A.在某一时刻速度等于零的物体一定处于平衡状态
B.相对于另一物体保持静止的物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为零时，一定处于平衡状态
D.物体运动时若速率不变，一定处于平衡状态
答案　C
解析　处于平衡状态的物体，在运动形式上处于静止状态或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合力为零，C正确;某一时刻速度为零的物体，所受合力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A错误;某物体相对于另一物体静止时，该物体不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体不处于平衡状态，B错误;物体运动速度大小不变但方向变化时，所受合力不为零，故不处于平衡状态，D错误。
2.(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是(　　)
A.体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B.蹦床运动员在空中上升到最高点时
C.举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D.游泳运动员仰卧在水面静止不动时
答案　ACD
解析　物体处于平衡状态的条件是F合=0，物体处于静止或匀速直线运动状态，故A、C、D正确;B项中运动员上升到最高点时v=0，F合≠0，不会静止在最高点，不是平衡状态，故B错误。
3.如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到水平面的摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是(　　)
A.F和G的合力的方向可能水平向右
B.F和Ff的合力方向竖直向上
C.FN可能为零
D.F和Ff的合力可能大于G
答案　B
解析　由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，选项C错误;物体受四个力的作用处于平衡状态，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，选项A错误;由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，选项B正确，D错误。
题组二　静态平衡问题的分析
4.如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为θ，则(　　)
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直于墙面向右
答案　A
解析　将重力按作用效果分解，如图所示，则由平衡条件可得
绳对球的拉力FT=F1=
墙对球的支持力FN=F2=Gtan θ
由牛顿第三定律可知球对墙的压力大小为Gtan θ，方向垂直于墙面向左，故A正确，B、C、D错误。
5.(2026·天津市南开中学期中)不少地方将男生引体向上作为中考体育项目，如图所示，某次训练时重力为G的学生两手臂对称悬挂在单杠上并保持静止状态，两手臂间夹角为θ，则下列说法正确的是(　　)
A.当θ=60°时，单条手臂与单杠之间的弹力为G
B.当θ越大时，运动员受到的合力越大
C.单杠对每条手臂的作用力大小始终等于G
D.手臂对单杠的弹力大小与θ无关
答案　D
解析　不论θ是多少，对人整体受力分析，竖直方向受重力和单杠的支持力而平衡，所以单条手臂与单杠之间的弹力始终等于G，与θ无关，A错误，D正确;运动员处于静止状态，合力等于零，B错误;当两手臂不平行时，单杠对每条手臂的作用力大小等于支持力与摩擦力的合力，支持力等于G，单杠对手臂沿杆方向的摩擦力不为零，此时单杠对每条手臂的作用力大小大于G，C错误。
6.如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°。重力加速度为g。则ac绳的拉力大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案　D
解析　以结点c为研究对象，受到三个拉力作用，如图所示，因为F1和F2垂直，所以ac绳中的拉力大小F1=mgcos 30°=mg，故D正确。
7.(多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是(　　)
A.F1=mgcos θ B.F1=
C.F2=mgsin θ D.F2=
答案　BD
解析　法一　合成法
由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，
由平衡条件有F12=mg，由几何关系得F1=，F2=，故B、D正确。
法二　正交分解法
对结点O受力分析并沿水平方向、竖直方向正交分解，如图乙所示。由力的平衡条件得F2cos θ-F1=0，F2sin θ-mg=0，联立解得F2=，F1=，故B、D正确。
(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试。)
法三　矢量三角形法
对结点O受力分析，如图丙所示。再将表示三个力的有向线段平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭三角形，如图丁所示。则由几何关系可得F1=，F2=，故B、D正确。
综合提升练
8.如图所示，一质量为m的木箱，与地面间的动摩擦因数为μ，小明同学用与水平方向成θ角的轻绳拉木箱在水平面内匀速向右运动，g为重力加速度，则下列说法正确的是(　　)
A.木箱运动过程中可能只受到三个力的作用：重力、拉力和摩擦力
B.仅改变前进的速度，速度越大，拉力越大
C.木箱运动过程中，地面对木箱的作用力竖直向上
D.拉力大小为
答案　D
解析　由于木箱在水平地面上匀速运动，则其受重力、支持力、摩擦力、拉力四个力的作用，故A错误;仅改变前进的速度，只要仍做匀速运动，平衡状态不变，拉力F不变，故B错误;地面对木箱有竖直向上的支持力和水平向左的摩擦力，合力斜向左上方，即地面对木箱的作用力斜向左上方，故C错误;由于拉动木箱在水平面内匀速前进，木箱处于平衡状态，则有Fcos θ=μFN，Fsin θ+FN=mg，联立解得F=，故D正确。
9.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)
A.mg B.mg
C.2mg D.mg
答案　A
解析　对B点处的小球受力分析，如图所示，
根据平衡条件有FTsin 60°=FNsin 60°
FTcos 60°+FNcos 60°=mg
联立解得FT=FN=mg，
A正确。
10.如图所示，两个竖直挡板之间，用轻绳和轻弹簧挂着一个小球(可看作质点)，小球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为37°，弹簧恰好水平。已知小球的重力G=20 N，轻弹簧的原长为12 cm，此时小球到左侧竖直挡板的水平距离为22 cm(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，求：
(1)此时轻绳的拉力大小FT;
(2)轻弹簧的劲度系数k。
答案　(1)25 N　(2)150 N/m
解析　(1)以小球为研究对象，竖直方向根据平衡条件可得FTcos 37°=G
解得此时轻绳的拉力大小为
FT== N=25 N。
(2)以小球为研究对象，水平方向根据平衡条件可得FTsin 37°=F弹
根据胡克定律可得F弹=kx
解得轻弹簧的劲度系数为
k== N/m=150 N/m。
培优加强练
11.如图所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，已知绳长为L，某人用水平作用力将沙袋缓慢拉起，使绳与竖直方向的夹角为θ=30°，且绳绷紧，在此位置静止不动。重力加速度为g。
(1)求该人对沙袋施加的水平作用力大小;
(2)若该人对沙袋施加的作用力不水平，求作用力的最小值。
答案　(1)mg　(2)mg
解析　(1)当绳与竖直方向的夹角θ=30°时，沙袋受到重力、绳子拉力和该人对沙袋施加的作用力，对沙袋进行受力分析，建立平面直角坐标系，如图甲所示。由平衡条件，水平方向有F-FTsin 30°=0，竖直方向有FTcos 30°-mg=0，联立解得F=mg。
(2)作力的矢量三角形，如图乙，分析可知当作用力F与轻绳垂直且斜向右上时F最小，则Fmin=mgsin 30°=mg。第5节　共点力的平衡
学习目标　1.知道什么是共点力。2.在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力平衡的条件：物体所受合力为0。3.会用共点力平衡的条件，分析生活和生产中的实际问题，体会物理学知识的实际应用价值。
知识点一　共点力平衡的条件
如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用 这些力的大小、方向有何关系 它们的合力有何特点
提示　受重力和悬崖对它的作用力;重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
2.共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
3.对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv=0，a==0。
注意：“静止”和“v=0”的区别与联系
v=0
例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点。
【思考】
一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
(1)此时灯泡受几个力
(2)试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系
(3)上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡
提示　(1)受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
(2)如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，其中一个力F在大小不变的情况下，将其方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加的力的大小为(　　)
A.F B.F
C.2F D.3F
答案　B
解析　物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加一个大小为F的力，故B项正确。
总结提升　由平衡条件得出的三个结论
训练1 (2025·福建卷，1)如图所示，山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，关于F1和F2的大小关系，下列说法正确的是(　　)
A.F2大于F1
B.F1大于F2
C.F1等于F2
D.F1和F2的大小关系与风力大小有关
答案　A
解析　
知识点二　静态平衡问题的分析
常用分析方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ∑Fx=F1x+F2x+F3x+…+Fnx=0， ∑Fy=F1y+F2y+F3y+…+Fny=0
矢量三 角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
例2 用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重力为19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力大小(结果保留3位有效数字)。
答案　17.0 N　9.8 N
解析　法一：合成法
以结点O为研究对象，受力分析如图所示，根据共点力的平衡条件有
F=FT，且FT=G
由三角函数关系得
F1=Fcos 30°=19.6× N=17.0 N
F2=Fsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N。
法二：分解法　以结点O为研究对象，根据拉力的作用效果进行分解如图所示。
由平衡条件可得FT=G，将拉力FT沿绳AO和BO方向分解，由三角函数关系得
FA=FTcos 30°=19.6× N=17.0 N
FB=FTsin 30°=19.6×0.5 N=9.8 N
根据牛顿第三定律可知
绳子OA的拉力F1=FA=17.0 N
绳子OB的拉力F2=FB=9.8 N。
法三：正交分解法　如图所示，
建立直角坐标系，将绳子OA和OB的拉力沿x、y方向正交分解。
其中FT=G
由平衡条件，
水平方向有F1cos 60°=F2cos 30°
竖直方向有F1sin 60°+F2sin 30°=FT
联立解得F1=17.0 N，F2=9.8 N。
共点力平衡问题的解题思路
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)列平衡方程，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法(合成法、分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
训练2 (多选)如图所示，AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子，现用这两根绳子吊起一重物，O为结点，已知重物的质量m=40 kg，AO绳的拉力记为FTA，BO绳的拉力记为FTB，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.FTA=320 N，FTB=240 N
B.FTA=240 N，FTB=320 N
C.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
答案　AC
解析　对结点O受力分析如图所示，则有FTA=mgcos 37°=320 N，FTB=mgsin 37°=240 N，A正确，B错误;由结点O水平方向所受合力为零可得FTAsin 37°=FTBcos 37°，所以AO绳先达到最大承受力，令FTA=720 N，则有mmaxg=，解得mmax=90 kg，C正确，D错误。
训练3 在科学研究中，人们利用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂。当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度，风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小。那么，风力的大小F跟金属球质量m、偏角θ之间有什么关系呢(重力加速度为g)
答案　F=mgtan θ
解析　以金属球为研究对象，受力分析如图所示。
水平方向上的合力Fx合和竖直方向上的合力Fy合分别等于零，即
Fx合=FTsin θ-F=0
Fy合=FTcos θ-mg=0
则有FTsin θ=F，FTcos θ=mg
两式相比得F=mgtan θ
由所得结果可知，当金属球质量m一定时，偏角θ只跟风力F有关。因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
随堂对点自测
1.(共点力平衡的条件) (2025·陕、晋、青、宁卷，4)如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态。钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为(　　)
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
答案　D
解析　对钢管受力分析，其受到重力、地面的作用力和绳子拉力，又重力、绳子拉力和地面对钢管的支持力均沿竖直方向，钢管在这三个力的作用下处于静止状态，合力为零，所以地面对钢管左端的摩擦力大小为0，D正确。
2.(静态平衡问题的分析)在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水，但未将乒乓球注满，用水平U形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知U形槽的间距d=R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则U形槽侧壁顶端A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为(　　)
A.(M+m)g B.(M+m)g
C.(M+m)g D.2(M+m)g
答案　B
解析　以乒乓球和水整体为研究对象，受力分析如图。根据平衡条件有2FNsin θ=(M+m)g，由几何关系可知θ=60°，解得A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为FN=(M+m)g，B项正确。
3.(静态平衡问题的分析) (多选)如图所示，静止斜面倾角为θ，斜面上固定着竖直挡板AB，质量为m的光滑圆球静止在斜面上，挡板对球的弹力为FN1，斜面对球的支持力为FN2，重力加速度为g，则(　　)
A.FN1=mgtan θ B.FN1=mgcos θ
C.FN2= D.FN2=
答案　AD
解析　圆球受重力、挡板对它的弹力FN1和斜面对它的支持力FN2，受力分析如图所示，建立平面直角坐标系，根据平衡条件和几何关系可得FN1=FN2sin θ，FN2cos θ=mg，联立解得FN1=mgtan θ，FN2=，故A、D正确。

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