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(共56张PPT)
培优提升九　动态平衡问题　平衡中的临界极值问题
1.进一步熟练掌握平衡问题的解法。
2.会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题。3.会处理共点力平衡中的临界问题和极值问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　平衡中的临界极值问题
提升1　动态平衡问题
提升1　动态平衡问题
1.动态平衡问题的特点
通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，而变化过程中的任何一个状态都可看成平衡状态。
2.常用方法：解析法、图解法和相似三角形法
方法一：解析法
例1 如图所示，一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中(　　)
A.F1先减小后增大 B.F1一直增大
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
C
解析　以小球为研究对象，受力分析如图所示，小球受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2，令木板与墙面的夹角为θ，根据平衡条件知FN1和FN2的合力与G等大反向，可得FN1=，FN2=，根据牛顿第三定律知小球对墙面的压力大小为F1=FN1=，小球对木板的压力大小为F2=FN2=，木板从题图所示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，则F1一直减小，F2一直减小，故C正确。
解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
方法二：图解法
(1)适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
(2)解题技巧：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图，然后根据有向线段的变化判断各个力大小、方向的变化情况。
例2 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用FT表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)
A
A.F逐渐变大，FT逐渐变大
B.F逐渐变大，FT逐渐变小
C.F逐渐变小，FT逐渐变大
D.F逐渐变小，FT逐渐变小
解析　法一　平行四边形法。
以O点为研究对象，受力分析如图甲，F与FT的合力与重力mg等大反向，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA段与竖直方向的夹角θ变大，由图可知F变大，FT变大，故A正确。
法二　矢量三角形法。
在O点左移过程中，F与FT变化情况如图乙，F变为F'、F″，FT变为FT'、FT″，F、FT均变大，故A正确。
图解法分析动态平衡问题的思路
(1)确定研究对象，作出受力分析图。
(2)明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化。
(3)将三力首尾连接，构造出矢量三角形;或将某力根据其作用效果进行分解，画出平行四边形。
(4)根据已知量的变化情况，判断有向线段(表示力)的变化，从而确定各个力的变化情况。
方法三：相似三角形法
(1)适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变;另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直。
(2)解题技巧：找到力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化。
例3 (多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R，在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN，细线的拉力FT大小变化情况是(　　)
AC
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
解析　在小球被拉至B点前的过程中，对小球进行受力分析，如图所示，小球所受重力mg、半球对小球的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似，有==，由于小球运动过程中，CO和AO的长度不变，AC减小，小球所受重力不变，所以半球对小球的弹力FN'不变，细线对小球的拉力FT变小，由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变，故A、C正确，B、D错误。
利用相似三角形解决动态平衡问题的基本思路
(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形。
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形。
(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式。
(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。
提升2　平衡中的临界极值问题
1.临界问题
(1)问题界定：当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”的问题。物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”的状态称为临界状态。
(2)问题特点：问题中常常用“刚好”“刚能”“恰好”等描述。
(3)常见的临界状态有
①两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
②绳子断与不断的临界条件为绳中拉力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中拉力为0。
③存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大值。
2.极值问题
(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)问题特点：问题中常出现求“最大值、最小值”“某某范围”满足“某某条件”的描述。极值问题与临界问题往往联系在一起。
(3)处理方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例4 (2025·河北卷，4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　)
B
A.G B.G
C.G D.G
解析　小球受力情况如图所示。
由平衡条件得2Fcos 45°+FN=G，
当凹槽底部对小球支持力FN=0时，拉力F最大，有
2Fmcos 45°=G，解得Fm=G，故B正确。
训练 (2026·华南师大附中月考)如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m，重力加速度为g，砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是(　　)
C
A. B.
C. D.
解析　工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向有F=mg+2Ff，砖夹与砖之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力时，砖夹与砖块一侧间的压力最小，为FNmin==，故C正确。
随堂对点自测
2
1.(动态平衡问题)翻斗车自卸货物的过程可以简化成如图所示模型，翻斗车始终静止在水平地面上，原来处于水平的车厢，在液压机的作用下，与水平方向的夹角θ开始缓慢增大(包括货物下滑过程中θ也在增加)。下列说法正确的是(　　)
B
A.货物受到的支持力先减小后增大
B.货物受到的支持力一直减小
C.货物受到的摩擦力一直增大
D.货物受到的摩擦力一直减小
解析　当货物相对车厢静止时，受重力mg、支持力FN和摩擦力Ff，处于平衡状态，支持力FN=mgcos θ，车厢与水平方向的夹角θ由0开始缓慢增大时，货物受到的支持力一直减小，静摩擦力Ff=mgsin θ，随夹角θ的增大而增大;当货物下滑时，货物所受支持力FN'=mgcos θ，随夹角θ增大而减小，滑动摩擦力大小为Ff'=μmgcos θ，随夹角θ增大而减小，故A、C、D错误，B正确。
2.(动态平衡问题) (多选)用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　)
AD
A.绳OA上的拉力逐渐减小
B.绳OA上的拉力先减小后增大
C.绳OB上的拉力逐渐增大
D.绳OB上的拉力先减小后增大
解析　将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知绳OA上的拉力FA逐渐减小，绳OB上的拉力FB先减小后增大，故A、D正确。
3.(平衡中的临界极值问题)如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α=60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　)
C
A.0 B.90°
C.60° D.45°
解析　根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知此时β=α=60°，故C正确。
课后巩固训练
3
基础对点练
题组一　动态平衡问题
1.(2026·湖南三新联盟高一期中)如图所示，墙壁竖直，清洗楼房玻璃的工人用一根绳索将自己悬在空中。若悬绳(质量不计)的长度增大，其他情况不变，则下列说法正确的是(　　)
D
A.悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力增大
B.悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力减小
C.悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力增大
D.悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力减小
解析　设工人所受重力为G，悬绳与竖直方向的夹角为θ，对工人受力分析如图所示，由平衡条件可得悬绳对工人的弹力大小以及墙壁对工人的弹力大小分别为FT=、F=Gtan θ，在悬绳的长度增大的过程中θ减小，则FT、F均减小，故A、B、C错误，D正确。
2.如图所示，一块木板倾斜放置，O端着地，一个物块放在木板上处于静止状态，将木板绕O点在竖直面内顺时针缓慢转动，物块相对于木板始终静止。则在转动过程中，下列说法正确的是(　　)
D
A.物块受两个力的作用
B.物块受到的合外力变大
C.物块对木板的压力大小不变
D.木板对物块的摩擦力不断增大
解析　物块受重力、弹力、摩擦力三个力的作用，A错误;物块始终静止，所受合外力始终为0，B错误;当木板倾角为θ时，物块对木板的压力大小为F=mgcos θ，转动过程中θ增大，则压力减小，C错误;当木板倾角为θ时，木板对物块的摩擦力Ff=mgsin θ，θ增大，摩擦力增大，D正确。
3.如图所示，可视为质点的小球拴接了轻质弹簧和细线，并在它们的作用下保持静止。轻质弹簧与竖直方向有一定夹角，细线处于水平状态。现保持弹簧与竖直方向夹角不变，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态，则(　　)
B
A.弹簧的长度逐渐变长
B.弹簧的长度逐渐变短
C.细线上的拉力逐渐增大
D.细线上的拉力逐渐减小
解析　由三角形定则作出小球受力的动态变化过程如图所示，可知将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态的过程中，细线上的拉力先减小后增大，弹簧的弹力一直减小，由胡克定律可知，弹簧的长度逐渐变短，A、C、D错误，B正确。
4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A
A.F减小，FN不变 B.F减小，FN减小
C.F不变，FN增大 D.F不变，FN减小
解析　小球沿圆环缓慢上移过程处于动态平衡状态，对小球受力分析，小球受重力G、细线的拉力F、圆环的支持力FN三个力，如图所示，由三角形相似有==，又F'=F，当A点上移时，半径不变，G不变，则FN不变，AB长度减小，可知F减小，故A正确，B、C、D错误。
题组二　平衡中的临界极值问题
5.(2024·山东卷，2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　)
B
A. B.
C. D.
解析　斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对在30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，故B正确。
6.如图所示，物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　　)
A
A.150 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
解析　物块沿斜面向上匀速运动，受力如图所示。
根据平衡条件有F=Ff+mgsin 30°
FN=mgcos 30°
又Ff=μFN
联立可得F=mgsin 30°+μmgcos 30°
所以m=，当F取1 500 N时，对应的m最大，解得m=150 kg，故A正确。
7.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　)
C
A.1.5 m B. m
C.2 m D.2 m
解析　设木棍与竖直方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力为F。为使木棍下端一定不发生侧滑，则有Fsin θ≤μFcos θ，即μ≥tan θ，由几何知识有tan θ=，联立解得L≤2 m，即木棍的长度最多为2 m，故C正确。
8.如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的相框对称地悬挂在墙壁上，相框上两个挂钉间的距离为0.5 m。已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为(　　)
D
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
解析　对相框受力分析如图所示，设细绳拉力的夹角为2θ，则由平衡条件可得细绳拉力的合力F合=2F·cos θ=mg=10 N，当绳子刚好不断裂时，F=Fmax=10 N，解得θ=60°，则两绳拉力的夹角是120°，由几何关系可得对应的绳子的最小长度L== m= m，故D正确。
综合提升练
9.(2026·湖北恩施高一月考)某地两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏。该景观可简化成如图所示的模型，右壁竖直，左壁倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ，球形石头与山崖间的摩擦可以忽略不计。石头质量一定，始终保持静止，由于长期的风化，θ逐渐减小，则(　　)
B
A.石头受到的合力逐渐增大
B.左壁对石头的作用力逐渐增大
C.右壁对石头的作用力逐渐减小
D.左壁对石头的作用力小于右壁对石头的作用力
解析　由于石头始终保持静止，则石头始终处于平衡状态，所受合力始终为0，A错误;设左壁对石头的作用力为FN1，右壁对石头的作用力为FN2，石头的重力为G，对石头进行受力分析，作出矢量三角形如图所示，可知FN1>FN2，D错误;由力的矢量三角形可知随着θ减小，FN1、FN2均逐渐增大，B正确，C错误。
10.如图所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ=30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是(　　)
D
A.不变 B.逐渐变小
C.逐渐变大 D.最小值为
解析　分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因工人缓慢地将油桶推到汽车上，油桶处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如图所示，可知推力F由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右的过程中，先变小后变大，最小时推力F和支持力FN垂直，即沿斜面方向，最小值为Fmin=mgsin θ=，D正确。
11.(多选)如图所示，小船被轻绳拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下列说法正确的是(　　)
AC
A.绳子的拉力F不断增大
B.绳子的拉力F不变
C.船所受的浮力不断减小
D.船所受的浮力不断增大
解析　对小船进行受力分析，如图所示。因为小船做匀速直线运动，所以小船处于平衡状态，由题图知拉力F与水平方向的夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ=Ff　①
Fsin θ+F浮=mg　②
小船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力不变，根据平衡方程①知，cos θ减小，绳子的拉力F增大，根据平衡方程②知，拉力F增大，sin θ增大，所以船所受的浮力F浮减小，故A、C正确，B、D错误。
培优加强练
12.(2026·广东惠州一中高一月考)瓦房为中国常见的一种传统建筑。如图为一瓦房屋顶结构的简化图，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间，已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，忽略瓦片厚度，重力加速度为g。则(　　)
D
A.椽子对瓦片弹力的合力方向竖直向上
B.椽子对瓦片作用力的合力大小为mgcos θ
C.仅减小椽子的倾角θ，椽子对瓦片弹力的合力变小
D.仅减小橼子间的距离d，椽子对瓦片弹力的合力不变
解析　以瓦片为研究对象，对瓦片进行受力分析，如图所示，
本节内容结束
THANKS培优提升九　动态平衡问题　平衡中的临界极值问题
基础对点练
题组一　动态平衡问题
1.(2026·湖南三新联盟高一期中)如图所示，墙壁竖直，清洗楼房玻璃的工人用一根绳索将自己悬在空中。若悬绳(质量不计)的长度增大，其他情况不变，则下列说法正确的是(　　)
A.悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力增大
B.悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力减小
C.悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力增大
D.悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力减小
答案　D
解析　设工人所受重力为G，悬绳与竖直方向的夹角为θ，对工人受力分析如图所示，由平衡条件可得悬绳对工人的弹力大小以及墙壁对工人的弹力大小分别为FT=、F=Gtan θ，在悬绳的长度增大的过程中θ减小，则FT、F均减小，故A、B、C错误，D正确。
2.如图所示，一块木板倾斜放置，O端着地，一个物块放在木板上处于静止状态，将木板绕O点在竖直面内顺时针缓慢转动，物块相对于木板始终静止。则在转动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.物块受两个力的作用
B.物块受到的合外力变大
C.物块对木板的压力大小不变
D.木板对物块的摩擦力不断增大
答案　D
解析　物块受重力、弹力、摩擦力三个力的作用，A错误;物块始终静止，所受合外力始终为0，B错误;当木板倾角为θ时，物块对木板的压力大小为F=mgcos θ，转动过程中θ增大，则压力减小，C错误;当木板倾角为θ时，木板对物块的摩擦力Ff=mgsin θ，θ增大，摩擦力增大，D正确。
3.如图所示，可视为质点的小球拴接了轻质弹簧和细线，并在它们的作用下保持静止。轻质弹簧与竖直方向有一定夹角，细线处于水平状态。现保持弹簧与竖直方向夹角不变，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态，则(　　)
A.弹簧的长度逐渐变长
B.弹簧的长度逐渐变短
C.细线上的拉力逐渐增大
D.细线上的拉力逐渐减小
答案　B
解析　由三角形定则作出小球受力的动态变化过程如图所示，可知将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态的过程中，细线上的拉力先减小后增大，弹簧的弹力一直减小，由胡克定律可知，弹簧的长度逐渐变短，A、C、D错误，B正确。
4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A.F减小，FN不变 B.F减小，FN减小
C.F不变，FN增大 D.F不变，FN减小
答案　A
解析　小球沿圆环缓慢上移过程处于动态平衡状态，对小球受力分析，小球受重力G、细线的拉力F、圆环的支持力FN三个力，如图所示，由三角形相似有==，又F'=F，当A点上移时，半径不变，G不变，则FN不变，AB长度减小，可知F减小，故A正确，B、C、D错误。
题组二　平衡中的临界极值问题
5.(2024·山东卷，2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对在30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，故B正确。
6.如图所示，物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　　)
A.150 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
答案　A
解析　物块沿斜面向上匀速运动，受力如图所示。
根据平衡条件有
F=Ff+mgsin 30°
FN=mgcos 30°
又Ff=μFN
联立可得
F=mgsin 30°+μmgcos 30°
所以m=，当F取1 500 N时，对应的m最大，解得m=150 kg，故A正确。
7.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为(　　)
A.1.5 m B. m
C.2 m D.2 m
答案　C
解析　设木棍与竖直方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力为F。为使木棍下端一定不发生侧滑，则有Fsin θ≤μFcos θ，即μ≥tan θ，由几何知识有tan θ=，联立解得L≤2 m，即木棍的长度最多为2 m，故C正确。
8.如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的相框对称地悬挂在墙壁上，相框上两个挂钉间的距离为0.5 m。已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为(　　)
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
答案　D
解析　对相框受力分析如图所示，设细绳拉力的夹角为2θ，则由平衡条件可得细绳拉力的合力F合=2F·cos θ=mg=10 N，当绳子刚好不断裂时，F=Fmax=10 N，解得θ=60°，则两绳拉力的夹角是120°，由几何关系可得对应的绳子的最小长度L== m= m，故D正确。
综合提升练
9.(2026·湖北恩施高一月考)某地两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏。该景观可简化成如图所示的模型，右壁竖直，左壁倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ，球形石头与山崖间的摩擦可以忽略不计。石头质量一定，始终保持静止，由于长期的风化，θ逐渐减小，则(　　)
A.石头受到的合力逐渐增大
B.左壁对石头的作用力逐渐增大
C.右壁对石头的作用力逐渐减小
D.左壁对石头的作用力小于右壁对石头的作用力
答案　B
解析　由于石头始终保持静止，则石头始终处于平衡状态，所受合力始终为0，A错误;设左壁对石头的作用力为FN1，右壁对石头的作用力为FN2，石头的重力为G，对石头进行受力分析，作出矢量三角形如图所示，可知FN1>FN2，D错误;由力的矢量三角形可知随着θ减小，FN1、FN2均逐渐增大，B正确，C错误。
10.如图所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ=30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是(　　)
A.不变 B.逐渐变小
C.逐渐变大 D.最小值为
答案　D
解析　分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因工人缓慢地将油桶推到汽车上，油桶处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如图所示，可知推力F由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右的过程中，先变小后变大，最小时推力F和支持力FN垂直，即沿斜面方向，最小值为Fmin=mgsin θ=，D正确。
11.(多选)如图所示，小船被轻绳拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下列说法正确的是(　　)
A.绳子的拉力F不断增大
B.绳子的拉力F不变
C.船所受的浮力不断减小
D.船所受的浮力不断增大
答案　AC
解析　对小船进行受力分析，如图所示。因为小船做匀速直线运动，所以小船处于平衡状态，由题图知拉力F与水平方向的夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ=Ff　①
Fsin θ+F浮=mg　②
小船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力不变，根据平衡方程①知，cos θ减小，绳子的拉力F增大，根据平衡方程②知，拉力F增大，sin θ增大，所以船所受的浮力F浮减小，故A、C正确，B、D错误。
培优加强练
12.(2026·广东惠州一中高一月考)瓦房为中国常见的一种传统建筑。如图为一瓦房屋顶结构的简化图，横截面为圆弧的瓦片静置在两根相互平行的椽子正中间，已知椽子间距离为d，与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，忽略瓦片厚度，重力加速度为g。则(　　)
A.椽子对瓦片弹力的合力方向竖直向上
B.椽子对瓦片作用力的合力大小为mgcos θ
C.仅减小椽子的倾角θ，椽子对瓦片弹力的合力变小
D.仅减小橼子间的距离d，椽子对瓦片弹力的合力不变
答案　D
解析　以瓦片为研究对象，对瓦片进行受力分析，如图所示，培优提升九　动态平衡问题　平衡中的临界极值问题
学习目标　1.进一步熟练掌握平衡问题的解法。2.会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题。3.会处理共点力平衡中的临界问题和极值问题。
提升1　动态平衡问题
1.动态平衡问题的特点
通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，而变化过程中的任何一个状态都可看成平衡状态。
2.常用方法：解析法、图解法和相似三角形法
方法一：解析法
例1 如图所示，一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中(　　)
A.F1先减小后增大
B.F1一直增大
C.F2一直减小
D.F2先减小后增大
答案　C
解析　以小球为研究对象，受力分析如图所示，小球受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2，令木板与墙面的夹角为θ，根据平衡条件知FN1和FN2的合力与G等大反向，可得FN1=，FN2=，根据牛顿第三定律知小球对墙面的压力大小为F1=FN1=，小球对木板的压力大小为F2=FN2=，木板从题图所示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，则F1一直减小，F2一直减小，故C正确。
解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤
(1)对物体受力分析。
(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。
(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
方法二：图解法
(1)适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
(2)解题技巧：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图，然后根据有向线段的变化判断各个力大小、方向的变化情况。
例2 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用FT表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)
A.F逐渐变大，FT逐渐变大
B.F逐渐变大，FT逐渐变小
C.F逐渐变小，FT逐渐变大
D.F逐渐变小，FT逐渐变小
答案　A
解析　法一　平行四边形法。
以O点为研究对象，受力分析如图甲，F与FT的合力与重力mg等大反向，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA段与竖直方向的夹角θ变大，由图可知F变大，FT变大，故A正确。
法二　矢量三角形法。
在O点左移过程中，F与FT变化情况如图乙，F变为F'、F″，FT变为FT'、FT″，F、FT均变大，故A正确。
图解法分析动态平衡问题的思路
(1)确定研究对象，作出受力分析图。
(2)明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化。
(3)将三力首尾连接，构造出矢量三角形;或将某力根据其作用效果进行分解，画出平行四边形。
(4)根据已知量的变化情况，判断有向线段(表示力)的变化，从而确定各个力的变化情况。
方法三：相似三角形法
(1)适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变;另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直。
(2)解题技巧：找到力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化。
例3 (多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R，在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN，细线的拉力FT大小变化情况是(　　)
A.FN不变 B.FN变小
C.FT变小 D.FT变大
答案　AC
解析　在小球被拉至B点前的过程中，对小球进行受力分析，如图所示，小球所受重力mg、半球对小球的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似，有==，由于小球运动过程中，CO和AO的长度不变，AC减小，小球所受重力不变，所以半球对小球的弹力FN'不变，细线对小球的拉力FT变小，由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变，故A、C正确，B、D错误。
利用相似三角形解决动态平衡问题的基本思路
(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形。
(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形。
(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式。
(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。
提升2　平衡中的临界极值问题
1.临界问题
(1)问题界定：当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”的问题。物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”的状态称为临界状态。
(2)问题特点：问题中常常用“刚好”“刚能”“恰好”等描述。
(3)常见的临界状态有
①两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
②绳子断与不断的临界条件为绳中拉力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中拉力为0。
③存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大值。
2.极值问题
(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)问题特点：问题中常出现求“最大值、最小值”“某某范围”满足“某某条件”的描述。极值问题与临界问题往往联系在一起。
(3)处理方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例4 (2025·河北卷，4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
答案　B
解析　小球受力情况如图所示。由平衡条件得2Fcos 45°+FN=G，当凹槽底部对小球支持力FN=0时，拉力F最大，有2Fmcos 45°=G，解得Fm=G，故B正确。
训练 (2026·华南师大附中月考)如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m，重力加速度为g，砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向有F=mg+2Ff，砖夹与砖之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力时，砖夹与砖块一侧间的压力最小，为FNmin==，故C正确。
随堂对点自测
1.(动态平衡问题)翻斗车自卸货物的过程可以简化成如图所示模型，翻斗车始终静止在水平地面上，原来处于水平的车厢，在液压机的作用下，与水平方向的夹角θ开始缓慢增大(包括货物下滑过程中θ也在增加)。下列说法正确的是(　　)
A.货物受到的支持力先减小后增大
B.货物受到的支持力一直减小
C.货物受到的摩擦力一直增大
D.货物受到的摩擦力一直减小
答案　B
解析　当货物相对车厢静止时，受重力mg、支持力FN和摩擦力Ff，处于平衡状态，支持力FN=mgcos θ，车厢与水平方向的夹角θ由0开始缓慢增大时，货物受到的支持力一直减小，静摩擦力Ff=mgsin θ，随夹角θ的增大而增大;当货物下滑时，货物所受支持力FN'=mgcos θ，随夹角θ增大而减小，滑动摩擦力大小为Ff'=μmgcos θ，随夹角θ增大而减小，故A、C、D错误，B正确。
2.(动态平衡问题) (多选)用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　)
A.绳OA上的拉力逐渐减小
B.绳OA上的拉力先减小后增大
C.绳OB上的拉力逐渐增大
D.绳OB上的拉力先减小后增大
答案　AD
解析　将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知绳OA上的拉力FA逐渐减小，绳OB上的拉力FB先减小后增大，故A、D正确。
3.(平衡中的临界极值问题)如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α=60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　)
A.0 B.90°
C.60° D.45°
答案　C
解析　根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知此时β=α=60°，故C正确。

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