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专题1.3不等式的性质及一元二次不等式
【考点1：利用不等式的性质比较大小】 2
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 2
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 3
【考点4：解一元二次不等式（含参）】 3
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 4
【考点6：一元二次不等式的应用】 4
【考点7：其他不等式】 6
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 7
【考点9：基本不等式的应用】 7
【考点1：利用不等式的性质比较大小】
1．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________.
2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______
3．（2026高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接）
4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空）
5．（25-26高三上·全国·一轮复习）若，，则与的大小关系为______.（用“”连接）
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】
1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________．
2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________
3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______
9．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______.
10．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________．
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】
1．（25-26高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________.
2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________
3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）若，，则_____________.
4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________.
5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________.
【考点4：解一元二次不等式（含参）】
1．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______.
2．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________．
3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是_____．
4．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________
5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求已知关于的不等式的解集．
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】
1．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
5．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______.
【考点6：一元二次不等式的应用】
1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
2．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．
3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？
4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．
(1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率；
(2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金．
5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为
(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？
(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？
【考点7：其他不等式】
1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·河北保定·期中）设p：，q：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________．
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】
1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________
4．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________．
5．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的最小值为________.
【考点9：基本不等式的应用】
1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．
2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元．
(1)求出与的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小 最小费用是多少
一、单选题
1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．9 D．18
6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________.
10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________.
四、解答题
11．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围．
（2）已知，，比较与的大小
12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．
(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？
(3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值．专题1.1集合（必考点分类集训）
【考点1：元素与集合的关系】 2
【考点2：集合中元素的个数】 4
【考点3：求集合的子集（真子集）】 6
【考点4：集合间基本关系的判断】 8
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 10
【考点6：集合的基本运算】 12
【考点7：与集合运算有关的参数问题】 14
【考点8：集合的新定义】 16
【考点1：元素与集合的关系】
1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数，
对于A，由，所以，所以A错误；
对于B，由且，所以，所以B正确；
对于C，由且，所以，所以C不正确；
对于D，由，所以，所以D不正确.
2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD.
【详解】对于A选项，当时，，故A错误；
对于B选项，令，解得，故，即B错误；
对于C选项，当时，，故C正确；
对于D选项，令，解得，故，即D 错误；
3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得．
【详解】由题意设，，其中都是整数，
则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴.
4．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（ ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】BD
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】由，，
若时，或，
当时，集合不符合题意舍去，
当时，集合符合题意，
若时，则，此时集合不符合题意舍去，
若时，即，解得：或，
当时，集合符合题意，
当时，集合不符合题意舍去，
综上所述：或，
故选：BD.
5．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____．
【答案】
【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论.
【详解】因为，，
所以，或，或，
若，则，所以，解得或，
当时，，符合题意，当时，，不符合题意；
若，则，又，方程无解；
若，则，解得或，
当时，，不符合题意，当时，，符合题意；
综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为.
故答案为：.
【考点2：集合中元素的个数】
1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【详解】数集表示的是自然数集，
，，
， ，
中元素的个数是.
2．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得.
【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有
当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.
故集合的元素个数是4.
故选：B
3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可.
【详解】集合，，则集合，
所以集合中的元素个数是7.
故选：C
4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为集合中恰有两个整数，
所以，解得，
当时，集合中的两个整数分别为、，
则，解得；
当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意，
综上所述，实数的取值范围是.
5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
(1)若，则集合中还有其他两个元素；
(2)集合不可能是单元素集合．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解；
（2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证.
【详解】（1）若，则，若，则，
若，则，
当时，集合中必含有另两个元素、；
（2）假设集合中只有一个元素，由题意可知，
集合为单元素集合，，
即，而，则此方程无实数解，
假设不成立，集合不可能是单元素集合．
【考点3：求集合的子集（真子集）】
1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】先求集合，进而求解.
【详解】由题意得：，解得，又，
所以，所以，所以，
所以集合的真子集的个数为.
2．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案.
方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可.
【详解】方法一：因为集合，，
所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个．
方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素，
故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集，
因为集合的真子集的个数为，
所以满足条件的集合C有
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ， 则符合条件的集合B的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况.
【详解】集合，，
所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确．
4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为．
（1）若，则这样的集合共有________个；
（2）若为偶数，则这样的集合共有________个．
【答案】 2 13
【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可.
【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个；
（2）集合的子集共有个，
其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．
5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合
(1)求的真子集
(2)若，求的值．
【答案】(1)，，
(2)，或
【分析】（1）解方程得集合，再求真子集；
（2）因为，所以，分和进行求解.
【详解】（1）解方程得，或
因此集合，
其真子集为，，，共3个．
（2）因为，所以，
①当时，，此时符合题意
②当时，因为，此时易知
要使得，即或，解得，或．
综上所述，要使得，则，或.
【考点4：集合间基本关系的判断】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知集合，
因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足，
即，，所以集合，集合M中的元素是一个点.
集合，集合N中的元素是两个数0和1.
所以集合M与集合N没有公共元素，即.
2．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解．
【详解】，
，
则，，故B正确；A、C错误；
，故D错误；
故选：B．
3．（2027高三·全国·专题练习）已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过证明和，来判断与的相等关系．
【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以；
对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以．
综上所述，有．
故选：C．
4．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系.
【详解】由题意得,
显然仅表示奇数，而表示整数，
因此集合是集合的子集，即，
故选：B
5．（多选）（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】，解得，集合，
中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确；
中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误；
等于集合，是集合A的子集，故C正确；
中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确．
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.
【详解】当时，方程无解，即，满足；
当时，由方程，解得，即，
因为，可得或，解得或，
所以由实数组成的集合为.
2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可.
【详解】由，得，
所以或或，解得或或或.
当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当时，，，符合题意.
当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.
故.
3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】，则集合中元素都在集合中，
若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若，方程无解；
由题意知，则必有，
此时，若，则，方程无实数根，
，则或，
当时，，此时；
当时，，此时；
综上可得，．
4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，解得或，所以.
因为，所以或，解得或或.
经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数的取值集合为.
5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即，
化简集合由得，即；
根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于，
要让区间完全落在内，只需满足：解得，
即的取值范围为.
【考点6：集合的基本运算】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 解不等式可得或，
解得或，即，又已知.
对选项A：，故A错误.
对选项B： 取，但，故，故B错误.
对选项C： 对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确.
对选项D：，取，且，故，故D错误.
2．（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，解得，
；
，解得，
；
，
．
3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可.
【详解】因为，，所以.
4．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，.
5．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算即可求解．
【详解】由题可得，，，
所以，则．
【考点7：与集合运算有关的参数问题】
1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______
【答案】
【分析】由补集和交集的概念可得出答案.
【详解】已知，则，
，且，
所以.
故答案为：
2．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可．
【详解】或，
又，
所以①当，，解得；
②当，，解得；
综上，时，实数m的取值范围为．
故答案为：．
3．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得.
【详解】，.
由，可分为和两种情况讨论：
当时，得.
当时，或，解得：或.
综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为.
故答案为：
4．（25-26高一上·天津·期末）设集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解；
（2）根据条件得，进而可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
或
或
所以或
（2）因为，所以.
①当时，有，
②当时，有，即
综上可得，
故实数的取值范围
5．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一个整数，
由图知，，且，
解得，所以实数的取值范围是．
【考点8：集合的新定义】
1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】根据定义先求，进而求解.
【详解】由题意得：，所以.
2．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ）
A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环
C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环
【答案】C
【详解】由数环的定义可知，设，则，则，，
故0是任何数环的元素，A正确；
偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确；
设，则，
因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误；
设，因为为数环，则，又为数环，
则，所以，D正确．故选C．
3．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足：
①，；
②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________．
【答案】8
【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解.
【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍；
当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3，
其和，故舍；
当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍；
当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3，
需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给，
无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍；
当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6，
此时和为，故舍；
当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍；
当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6，
需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给，
取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件，
故的最小值为8.
4．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______.
【答案】 /0.4
【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值.
【详解】当，时，，，
所以；
由，得，由，得，
因此，，则，
所以的最大值为.
故答案为：；
5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”.
(1)当时，写出集合的所有“同形点”；
(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
(3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)21.
【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可；
（2）分、、以及讨论即可；
（3）讨论存在和恒成立的情况即可.
【详解】（1），
当“同形点”为时，取，
此时，显然其与交集所含元素个数为0
当“同形点”为时，取，
此时，显然其与交集所含元素个数为0，
故其“同形点”为.
（2）的＂同形点＂的个数为．证明如下：
设，由题：取集合．
若为的＂同形点＂，应有，且．
①当时，若且，取为，
则与的交集元素个数为0，
此时为的＂同形点＂，共有个；
②当时，同理可得中除外，
其余元素都是的＂同形点＂，共有个；
③当时，同理可得中除外，
其余元素都是的＂同形点＂，共有个；
④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个．
综上可得的＂同形点＂的个数为．
（3）的最小值为21．
证明如下：
首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11，
对于，设的元素个数为，
若存在，因为，所以存在，有，
不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂；
若恒成立，因为，所以存在，
有，因为，
所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂．
其次当时，不妨设；
①若，则，取可得其无＂同形点＂；
②若，则，
取，
可得其无＂同形点＂；
综上的最小值为21．
一、单选题
1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据所给关系图（Venn图），可知是求 ,由此可求得答案.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，
故，
故选:C.
2．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断．
【详解】0不属于空集，故①错误，是整数，故②正确，，故，③正确，
是正整数集，不是其子集，故④错误，
是点集，不是其子集，故⑤错误，，故⑥错误，
故选：B
3．（2026·天津和平·三模）设全集，集合，，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由，可得，，故，
故选：B
4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，，若，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】求出或，利用，得.
【详解】集合，或，
，
，
的值不可能为.
故选：A.
【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.
5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解.
【详解】由，
可得，
所以，即，
所以，
当时，不符合元素互异性，舍去；
当时，符合题意，
所以.
故选：B
6．（2026高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【详解】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
二、多选题
7．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据，可得或或，进而可求出的值．
【详解】因为，
所以或或，
则或或，
解得或或.
故选：ACD.
8．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）
A．有理数集是一个数域
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集必为数域
D．数域必为无限集
【答案】AD
【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.
【详解】对于A，若，则，所以有理数集是一个数域，故A正确；
对于B，因为所以，所以整数集不是数域，故B不正确；
对于C，令数集，则但，故C不正确；
对于D，根据定义，如果在数域中，那么（为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D正确.
故选：AD.
填空题
9．（25-26高一下·上海·期中）已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________.
【答案】2560
【分析】利用A集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和.
【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是，
则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为
.
10．（25-26高二下·重庆·期中）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________
【答案】16
【分析】设四个变量中1的个数为，-1的个数为，由总和为1，得，对可行的值分类讨论，用组合数计算每类元素个数后求和即可.
【详解】设中有个取值为1，个取值为-1，
则剩余个取值为0，其中均为非负整数且满足.
由，得 ，即.
当时，，只需从4个位置中选1个放置1，其余均为0，共有种情况；
当时，，先从4个位置中选2个放置1，再从剩余2个位置中选1个放置-1，最后1个位置为0，共有种情况；
当时，，此时，无符合条件的组合.
综上所述，满足条件的元素总个数为.
四、解答题
11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可.
（2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得，
所以，
当时，，
，
（2），，
①若，则，解得；
②若，要使，则应满足．
，即，解得，
综上所述，所求实数a的取值范围是．
12．（山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题）已知集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解不等式，得．
当时，，故．
因此．
（2）“”是“”的必要不充分条件．
由题意得：，列不等式组：，解得，
所以实数m的取值范围为．
（3）由，解得或，
命题p为真或，
即或得：或．专题2.4 函数的单调性
【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 2
【考点2：求函数的单调区间】 4
【考点3：根据函数的单调性求参数值】 5
【考点4：根据图像判断函数单调性】 7
【考点5：复合函数的单调性】 9
【考点6：根据函数的单调性解不等式】 9
【考点7：比较函数值的大小关系】 11
【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】
1．（3.1.2函数的单调性（第1课时）随堂检测）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
2．（重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】）函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.
3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，.
(1)求
(2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域.
4．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数.
(1)求函数的解析式；
(2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
【考点2：求函数的单调区间】
1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）（多选）设函数，则（ ）
A．的递增区间是 B．的递减区间是
C．的值域是 D．的值域是
3．（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________.
4．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间.
5．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
(1)画出的图像；
(2)求的解析式；
(3)写出函数的单调递增区间和单调递减区间.（不需要说明理由）
【考点3：根据函数的单调性求参数值】
1．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________
2．（江西吉安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数与．
(1)若，求k的值；
(2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围．
4．（25-26高一上·广东江门·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间 上单调递减，求实数的取值范围.
5．（25-26高一上·上海·期末）已知为常数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若函数为单调函数，求实数的取值范围.
【考点4：根据图像判断函数单调性】
1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
2．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（多选）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的单调递增区间
B．是函数的单调递减区间
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
3．（25-26高二上·新疆喀什·期末）（多选）如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A．
B．是的一个零点
C．在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数
D．
4．（25-26高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上不是单调函数
5．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______.
【考点5：复合函数的单调性】
1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______．
4．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）函数的单调递增区间是________.
5．（25-26高一下·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________；
（2）的单调递减区间为__________.
【考点6：根据函数的单调性解不等式】
1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________．
3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数，函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
4．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明；
(3)解不等式： .
【考点7：比较函数值的大小关系】
1．（25-26高二下·天津河西·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·湖北·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数，则是（ ）
A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数
C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数
4．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．在上单调递增 D．在上单调递减
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
10．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．
四、解答题
11．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
12．（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在时的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并证明；
(3)对，恒成立，且，求的取值范围.专题2.1 函数定义域
【考点1：具体函数的定义域】 2
【考点2：抽象函数的定义域】 3
【考点3：复合函数的定义域】 3
【考点4：已知函数的定义域求参数】 4
【考点5：实际问题中的定义域】 5
【考点1：具体函数的定义域】
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27高一·全国·初升高衔接）函数中自变量的取值范围是__________．
4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数，则的定义域为__________.用区间表示
5．（26-27高一·全国·暑假作业）求函数的定义域．
6．（26-27高一·全国·暑假作业）求下列函数的定义域：
(1)
(2)；
(3)
(4)；
【考点2：抽象函数的定义域】
1．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C．[1，3] D．(1，3]
3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．
【考点3：复合函数的定义域】
1．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2．（2026高一上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（ ）
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16]
3．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
6．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【考点4：已知函数的定义域求参数】
1．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
2．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）（多选）若函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的定义域为
3．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________．
5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______．
6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.
(1)若定义域为，求实数的取值范围；
(2)若定义域为，求实数的值；
【考点5：实际问题中的定义域】
1．（25-26高一上·安徽六安·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积.
(1)求关于的函数；
(2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．

(1)设m，试用x表示AP，并求x的取值范围；
(2)当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？
3．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）某人准备在一块占地面积为1200平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中
(1)试用表示，并标明的取值范围；
(2)求的最大值，并求出取最大值时的值.
4．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围：
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？
5．（25-26高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
6．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）一日，龟兔约定赛跑．已知赛程为米，它们从同一起点同时出发，乌龟速度为米/秒，兔子速度为2米/秒．太阳当头照，秒后，骄傲的兔子回头，不见乌龟的影子，擦了把汗，倚着大树做起了美梦．乌龟依旧前行，又过了分钟，刚睡醒的兔子还是没见乌龟的影子，跑到了终点，却发现乌龟已在那儿……
(1)试建立乌龟所经路程（米）与时间（秒）的函数关系式，并写出定义域；
(2)当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，兔子已经睡了多少秒？
(3)兔子到终点时总用时多少秒？
一、单选题
1．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
二、多选题
7．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的定义域为
8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）给出下列结论，其中正确的结论有（ ）
A．函数的定义域为
B．若函数，不存在实数，使的定义域为
C．若的定义域为，则的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
9．（24-25高一上·天津·期末）函数的定义域为___________．
10．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______.
四、解答题
11．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.
(1)若定义域为，求实数的取值范围；
(2)若定义域为，求实数的值；专题2.4 函数的单调性
【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 2
【考点2：求函数的单调区间】 5
【考点3：根据函数的单调性求参数值】 9
【考点4：根据图像判断函数单调性】 13
【考点5：复合函数的单调性】 16
【考点6：根据函数的单调性解不等式】 19
【考点7：比较函数值的大小关系】 23
【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】
1．（3.1.2函数的单调性（第1课时）随堂检测）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
【答案】在上是增函数，证明见解析
【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】对于，
令，得，
故猜想在上是增函数，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
因此在上是增函数.
2．（重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】）函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.
【答案】证明见解析
【分析】由结合单调性的定义证明．
【详解】设，且，则，，
因为，所以，即为减函数
3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，.
(1)求
(2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，在上的值域为
【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式；
（2）利用定义法证明的单调性，并求解值域.
【详解】（1）令，则，将其代入得
，将替换为，得；
（2）任取，且，则
因为，所以，因为，所以，即
分母恒成立，
因此，即，所以在上单调递减。
由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得：
最小值在右端点处取得：
所以在上的值域为.
4．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数.
(1)求函数的解析式；
(2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
【答案】(1)
(2)
函数在区间上单调递减.
证明：任取，，且.
则，
又因为，所以，，
则，
∴，即，
∴函数在区间上单调递减.
【分析】（1）利用换元法即可求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解.
【详解】（1）令，则，
∴，
∴，即，
∴.
（2）函数在区间上单调递减.
证明：任取，，且.
则，
又因为，所以，，
则，
∴，即，
∴函数在区间上单调递减.
5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
【答案】(1)
(2)函数在区间上单调递减，证明见解析
【分析】（1）由函数是奇函数得，结合，建立方程计算即可求解；
（2）根据函数单调性的定义，即可证明.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数是奇函数，所以，
因为，则，解得，
所以函数的解析式为；
（2）函数在区间上单调递减，证明如下：
设，且，
，
因为，且，
所以，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减.
【考点2：求函数的单调区间】
1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解.
【详解】，
作出函数图象，如图：
所以函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）（多选）设函数，则（ ）
A．的递增区间是 B．的递减区间是
C．的值域是 D．的值域是
【答案】AC
【分析】先确定函数定义域为，分和两段求导分析单调性，再结合单调性求值域，逐项判断即可.
【详解】由题意得的定义域为.
当时，，求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以在处取得最小值，
所以当时，.
当时，，求导得，
所以在上单调递减.
当时，，，则，
当时，，，则，
所以当时，，
综上，可得的递增区间为，A正确；
的递减区间是和，B错误；
的值域为，C正确，D错误.
3．（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________.
【答案】，
【分析】根据二次函数的性质求出函数在上的单调性，再由偶函数的性质求出函数在上的单调性，即可得解.
【详解】因为当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
又函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增；
综上可得的单调减区间为，
故答案为：，
4．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)图象见解析；.
【分析】（1）根据分段函数计算函数值；
（2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间.
【详解】（1）；
（2）
由图象知函数的单调递增区间为.
5．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
(1)画出的图像；
(2)求的解析式；
(3)写出函数的单调递增区间和单调递减区间.（不需要说明理由）
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)单调递增区间为，，单调递减区间为，.
【分析】（1）利用偶函数的像关于轴对称可画出的图像；
（2）利用根据偶函数的定义可求解析式；
（3）利用函数的图像与的图像的关系可求得函数的单调递增区间和单调递减区间.
【详解】（1）由偶函数的图像关于轴对称画出的图像如图所示：
（2）因为函数是定义在上的偶函数，所以，
令，则，所以，
所以；
（3）由（2）可得
可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
【考点3：根据函数的单调性求参数值】
1．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围．
【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为，
令，其对称轴为，结合函数定义域可知，
在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减，
则函数也要在区间上单调递减，且，
所以，所以
2．（江西吉安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】要使分段函数在上单调递增，需要满足三个条件：
（1）在上单调递增，
当时，，因为在上单调递增，
所以要使在上单调递增，须满足；
（2）在上单调递增，
当时，，
，
，要使在上单调递增，
必须满足在时恒成立，
即：，，
因为，所以，所以，即；
（3）为了保证函数在整个上单调递增，必须满足处的左极限小于等于处的右极限，
当时，，
需满足，
解得：；
综上所述：.
3．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数与．
(1)若，求k的值；
(2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可；
（2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
又所以，所以，
解得或（舍去），所以；
（2）对于函数，它是二次函数，开口向下，
对称轴为，
因为在区间上是增函数，所以且；
对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的，
当时，在和上单调递减；
当时，在和上单调递增；
由在区间上是增函数，所以；
综上所述：实数k的取值范围为.
4．（25-26高一上·广东江门·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间 上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）当时，有，故可代入中，结合奇函数的性质即可得时函数解析式，又定义域为，故，即可得函数在上的解析式；
（2）求出函数在时的单调性，由为奇函数，即可得时单调性，即可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，有，又为定义在上的奇函数，故，
故，
即当时，，
即；
（2）当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又为奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，
若函数在区间 上单调递减，
则或，即或.
5．（25-26高一上·上海·期末）已知为常数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若函数为单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值 .
（2）化函数为分段函数，按分类求出的单调区间，再结合已知求出参数范围.
【详解】（1）函数的定义域为R，由是偶函数，得，
则，即，整理得，而不恒为0，
所以.
（2），
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上单调，则或，因此或；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上单调，则或，因此；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
显然，函数在上单调递增，因此，
所以实数的取值范围是或.
【考点4：根据图像判断函数单调性】
1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【答案】AD
【分析】利用数形结合思想即可判断.
【详解】由图可知函数在区间和上单调递增，
在区间和上单调递减．故AD选项正确．
2．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（多选）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的单调递增区间
B．是函数的单调递减区间
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可.
【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确，
对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确，
由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．.
故选：ABD.
3．（25-26高二上·新疆喀什·期末）（多选）如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A．
B．是的一个零点
C．在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数
D．
【答案】BC
【分析】根据函数的图象进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，图象没有给出的值，所以A选项错误.
B选项，由图可知，所以是的一个零点，所以B选项正确.
C选项，由图可知在区间上是增函数，
在区间[1，4]上是减函数，所以C选项正确
D选项，由图可知，所以，所以D选项错误.
故选：BC
4．（25-26高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上不是单调函数
【答案】ABD
【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项.
【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确；
对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确；
对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，
但是，所以函数在区间上不是单调递减的，
故C项错误；
对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减，
所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确.
故选：ABD.
5．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______.
【答案】
【分析】根据题意，由函数的图像和对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由函数的图像，可得在上单调递减，在上单调递增，
令，可得在上单调递增，
要使得函数单调递减，则满足或，
因为，解得或，所以函数的单调递减区间.
【考点5：复合函数的单调性】
1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】函数有意义，则，解得.
令，开口向下，对称轴为.
则函数在上单调递增，在上单调递减.
函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间，
即.
2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间.
【详解】由，
由定义域可知：，
结合二次函数的对称轴，
可知：在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以函数的单调递减区间为.
故选：D
3．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______．
【答案】和.
【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案.
【详解】令，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，
函数在上单调递减，
在上单调递增，
当时，
函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为和.
4．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）函数的单调递增区间是________.
【答案】
【分析】由对数函数的真数大于0求得函数定义域，再利用复合函数的单调性原理得答案．
【详解】由，得或．
函数的定义域为．
令，其图象开口向上且对称轴方程为，且在上为减函数，
而函数是定义域内的减函数，
函数的单调递增区间是．
5．（25-26高一下·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________；
（2）的单调递减区间为__________.
【答案】 和
【详解】（1）因为，
令，解得，
则的单调递减区间为，
令，，则，
所以在上的单调递减区间为和.
（2）令，解得，
可知的定义域为，
因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，
在内单调递减，
可得在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递减区间为.
【考点6：根据函数的单调性解不等式】
1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可.
【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数，
则，解得，
因为，当时，有,
所以函数在区间上单调递减，则由，得,
解得，即，所以不等式的解集是
2．（25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得.
【详解】记，定义域为，
因为，所以为偶函数，
因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增，
又在上单调递增，所以在上单调递增，
则不等式，
平方得，解得，即.
3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数，函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过求解，并验证即可；
（2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解.
【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数，
由，得，则，
经检验是奇函数，满足题意，故．
（2）
由解析式可知在上单调递增，且为奇函数，
∴由恒成立，得，
所以，时恒成立，即在上恒成立，
令，，则
又，当且仅当，即时取等号，
所以实数的取值范围为．
4．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递减
(3)
【分析】（1）利用对数运算即可求解；
（2）根据复合函数的单调性直接判断即可；
（3）结合函数单调性直接求解恒成立的不等式即可.
【详解】（1）由题知，，
则，所以.
（2）由（1）可知，，
则定义域为，
令，，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减.
（3）因为不等式恒成立，
又由（2）知，在上单调递减，
所以恒成立，即，
设，令，可知，
则可得，
当，即时，最小值为，
所以．
5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明；
(3)解不等式： .
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
证明如下：任取且，
，
，且，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，则，
又，则.
.
（2）略
（3）在上是奇函数且单调递增，
由得 ，
，解得： ，
不等式的解集为.
【考点7：比较函数值的大小关系】
1．（25-26高二下·天津河西·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解.
【详解】因为，，
，
所以.
2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】已知，故是偶函数，则，
又，，且，都有，
故在上单调递减，
又，则，即．
3．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系．
【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数，
所以为上的单调递增函数，
计算得，，
由零点存在性定理可得方程得解，
由，得，所以，
又为上的单调递减函数， 在上单调递增，
所以，，
所以．
4．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性比较其大小.
【详解】设，则，令，得.
当时，，所以在上单调递减，
由，且，
所以，即.
令，所以，
设，，令，得，
当时，，所以在上单调递减，
因为，所以.
又为增函数，所以，
即，所以.
5．（25-26高二下·湖北·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数确定单调性并比较大小.
【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，
则，即当时，，因此，即；
令函数，求导得，
令函数，求导得，
而函数在上均单调递减，则函数在上单调递减，
，于是存在，使得，
当时，；当时，，
函数，即在上单调递增，在上单调递减，
而，，因此，函数在上单调递增，
因此，即，即，所以.
一、单选题
1．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数，
当时，单调递增，符合题意；
对于C，在上单调递减，不符合题意；
对于D，在上单调递减，不符合题意.
2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数函数与对数函数的单调性以及中间值0，1进行比较即可.
【详解】因为，，，所以.
3．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数，则是（ ）
A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数
C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数
【答案】D
【详解】函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，
又，
因为在上是增函数且，所以在上是增函数，
所以在上是减函数，所以在上是减函数，
4．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值
【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大，
因为，且，
所以.
又因为，所以.
因为，所以，
因此，故B选项正确.
5．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解.
【详解】设，因为对任意，都有成立，
所以对任意，都有成立，
即对任意，都有成立．
因为，
所以函数，在上单调递减，
所以，
解得，即实数的取值范围是．
6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集.
【详解】由，得，
因为，，所以，即，
设，则在上单调递减，
而，则，解得；
因为为上的奇函数，所以，
则为上的偶函数，故在上单调递增，
而，则，解得；
当时，，故该点不在解集内.
综上，原不等式的解集为.
二、多选题
7．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】AC
【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误；
因为函数和函数在上均为增函数，
所以在上单调递增，故C正确，D错误.
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解.
【详解】令，则.
由已知可得，即在上单调递减．
所以，
故，，即C、D选项正确．
选项B，因为，所以，
若为负，则，
所以不等式不成立.
选项A，由，
可得，
无法推出，因此选项A错误.
三、填空题
9．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】通过求导，确定函数单调性，由单调性将不等式转换成，求解即可.
【详解】由，定义域为R，
求导得：恒成立，
即在R上单调递增，
所以等价于，
即，解得，
故不等式的解集为.
10．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可.
【详解】令，则函数可看成由
与复合而成，
因为对数的底数且，所以是单调递减函数，
又因为函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到，
又在区间上，作为的真数要大于0恒成立，
所以，所以，
综上所述实数的取值范围为.
四、解答题
11．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递减
(3)
【分析】（1）利用对数运算即可求解；
（2）根据复合函数的单调性直接判断即可；
（3）结合函数单调性直接求解恒成立的不等式即可.
【详解】（1）由题知，，
则，所以.
（2）由（1）可知，，
则定义域为，
令，，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减.
（3）因为不等式恒成立，
又由（2）知，在上单调递减，
所以恒成立，即，
设，令，可知，
则可得，
当，即时，最小值为，
所以．
12．（25-26高一下·云南红河·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在时的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并证明；
(3)对，恒成立，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，证明如下：
设，则，即，
所以函数在上单调递增；
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）应用单调性的定义证明单调性；
（3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得.
【详解】（1）
因为是奇函数，故有，且时，，
当时，，则，所以，
因此函数在时的解析式为；
（2）略
（3）
因为，所以，
因为，代入得，
由（2）得在上单调递增，则恒成立，
即恒成立，令，，
令，所以，则的最大值为，
因此，所以的取值范围为.专题1.1集合（必考点分类集训）
【考点1：元素与集合的关系】 2
【考点2：集合中元素的个数】 2
【考点3：求集合的子集（真子集）】 3
【考点4：集合间基本关系的判断】 4
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 5
【考点6：集合的基本运算】 5
【考点7：与集合运算有关的参数问题】 6
【考点8：集合的新定义】 7
【考点1：元素与集合的关系】
1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个
4．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（ ）
A． B．
C．2 D．4
5．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____．
【考点2：集合中元素的个数】
1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个
3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
(1)若，则集合中还有其他两个元素；
(2)集合不可能是单元素集合．
【考点3：求集合的子集（真子集）】
1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ， 则符合条件的集合B的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为．
（1）若，则这样的集合共有________个；
（2）若为偶数，则这样的集合共有________个．
5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合
(1)求的真子集
(2)若，求的值．
【考点4：集合间基本关系的判断】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2027高三·全国·专题练习）已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（ ）
A． B． C． D．
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点6：集合的基本运算】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【考点7：与集合运算有关的参数问题】
1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______
2．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________．
3．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______．
4．（25-26高一上·天津·期末）设集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
5．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【考点8：集合的新定义】
1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
2．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ）
A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环
C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环
3．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足：
①，；
②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________．
4．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______.
5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”.
(1)当时，写出集合的所有“同形点”；
(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
(3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值.
一、单选题
1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2026·天津和平·三模）设全集，集合，，（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，，若，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．3
5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2026高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
7．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，则可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）
A．有理数集是一个数域
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集必为数域
D．数域必为无限集
填空题
9．（25-26高一下·上海·期中）已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________.
10．（25-26高二下·重庆·期中）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________
四、解答题
11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
12．（山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题）已知集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．专题1.2常用逻辑用语与充分必要条件
【考点1：充分、必要条件的判断】 2
【考点2：已知条件关系求参数范围】 2
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 4
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】 4
【考点5：根据命题的真假求参】 5
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】 6
【考点1：充分、必要条件的判断】
1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026·天津·一模）“或，（）”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（多选）（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（ ）
A．的充要条件是
B．的必要条件是
C．不是的子集的必要条件是
D．的充要条件是．
【考点2：已知条件关系求参数范围】
1．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______．
2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
3．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________.
4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合.
(1)若是的必要条件，求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数m，使是的充要条件.
5．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题
2．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题，，命题，，则（ ）
A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题
3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（多选）（25-26高一上·广东汕尾·期末）（多选）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．必有算术平方根 B．是无理数
C．为奇数 D．是无理数
5．（多选）（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．和q都是真命题
C．p和都是真命题
D．和都是真命题
3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（25-26高一上·北京西城·期末）已知命题，，则（ ）
A．，，且为真命题
B．，，且为假命题
C．，，且为真命题
D．，，且为假命题
5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知p：，，则（ ）
A．p是真命题，且：， B．p是真命题，且：，
C．p是假命题，且：， D．p是假命题，且：，
【考点5：根据命题的真假求参】
1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____.
3．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________．
4．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．
5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若命题“，”是真命题，求的取值范围.
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】
1．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
2．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
3．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
4．（25-26高一上·天津河北·期中）已知全集，集合，，.
(1)当时，求，；
(2)若是的充分条件，求实数m的取值范围.
5．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值．
一、单选题
1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026·浙江宁波·三模）在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2026·河南·一模）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列命题说法错误的是（ ）
A．
B．
C．的充要条件是
D．若，且，则中至少有一个大于1
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（ ）
A． B．的图象关于原点对称
C．，使得 D．
三、填空题
9．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
10．（25-26高二下·天津南开·期中）“，”是假命题，则实数的最大值为_______．
四、解答题
11．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
12．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．专题2.3 求函数的值域
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 2
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 4
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 4
【考点4：抽象函数的值域】 6
【考点5：复合函数的值域】 7
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】
1．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）填空：
（1）已知，，求值域_____；
（2）已知，，求值域_____；
（3）已知求值域_____.
3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)；
(2).
4．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
6．（3.1.1函数及其表示方法（第1课时）课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，
(3)；
(4)；
7．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)，．
8．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】
1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______.
2．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________.
3．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________
4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__.
5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.
6．（模型1具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺），，则的值域为__________．
7．（第05章综合问题百战谋略【提升版】）函数的值域为______．
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】
1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
2．（25-26高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数在定义域上的值域为，则实数n可以取值有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ）
A． B．1 C．7 D．
4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________．
5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．
6．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________.
7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值．
8．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数．
(1)当时，若，求的值；
(2)若的值域为，求实数的取值范围．
【考点4：抽象函数的值域】
1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高二下·广东茂名·期末）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
5．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．是增函数
8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域 值域分别为，函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的定义域为
C．的值域为 D．的值域为
【考点5：复合函数的值域】
1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和无法确定 B．和无法确定
C．和 D．和
3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·湖北·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A． B．是函数的一个单调区间
C． D．存在，满足
5．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知函数（，，）的图象如图所示．
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)，求的值域．
6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若时，的最小值为，求函数的解析式．
7．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围.
8．（25-26高一下·广东广州·期中）设函数同时满足条件和对任意都有成立．
(1)求的解析式；
(2)求的定义域和值域；
(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．
一、单选题
1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．0 C． D．
2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多选题
7．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（ ）
A．的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数在的值域为
D．函数的值域为
8．（25-26高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
10．（25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为___________．
四、解答题
11．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在上的值域．
12．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若时，的最小值为，求函数的解析式．专题2.2 求函数的解析式
【考点1：已知函数类型求解析式】 1
【考点2：配凑法求解析式】 2
【考点3：换元法求解析式】 3
【考点4：解方程组法求解析式】 3
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 3
【考点1：已知函数类型求解析式】
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______．
2．（2025高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____.
3．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________．
4．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式.
【考点2：配凑法求解析式】
6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·广东·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
10．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（ ）.
A． B．
C． D．
【考点3：换元法求解析式】
11．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（ ）
A．14 B．1 C．0 D．13
12．（25-26高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知，则___________________．
14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________．
15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________.
【考点4：解方程组法求解析式】
16．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
17．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______
18．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________．
19．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____.
20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式．
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】
21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
22．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____．
23．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求；
24．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)画出函数的简图并求出该函数的值域．
25．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．

(1)求的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出的图象；
(3)讨论函数（）的零点个数．
一、单选题
1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（ ）
A． B．1 C．5 D．9
5．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（ ）.
A．， B．
C． D．
6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（ ）
A．若一次函数满足，则函数的解析式为
B．若，则函数的定义域为
C．若，则函数的解析式为
D．若函数满足关系式，则
三、填空题
9．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________．
10．（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则______.
四、解答题
11．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
12．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，，
(1)当时，若，求实数的值；
(2)已知，且，求的解集．专题2.2 求函数的解析式
【考点1：已知函数类型求解析式】 1
【考点2：配凑法求解析式】 4
【考点3：换元法求解析式】 5
【考点4：解方程组法求解析式】 7
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 9
【考点1：已知函数类型求解析式】
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______．
【答案】或
【详解】设，则.
又，所以.
即，解得，或.
所以或 ．
2．（2025高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____.
【答案】
【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出.
【详解】由，
可得：
代入，
所以.
故答案为：
3．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________．
【答案】
【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
【详解】设，
根据题意得，解得，
所以 ．
故答案为：．
4．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论.
【详解】依题意可设，
由可得，
因此可得，解得或；
又因为，所以，即，即A正确，B错误；
又可得，
令，所以，因此，
所以，可得C错误，D错误.
故选：A.
5．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案.
【详解】由题意设，
则，
所以，
解得或，
所以的函数解析式为或.
【考点2：配凑法求解析式】
6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式.
【详解】，所以．
故选：D.
7．（24-25高一上·广东·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得.
【详解】因为函数，所以函数.
故选：A
8．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法即可解答.
【详解】因为，且，
所以.
故选：A
9．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式.
【详解】，且，
所以，
故选：B
10．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用配凑法求函数解析式．
【详解】因为，
所以，则.
故选：C
【考点3：换元法求解析式】
11．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（ ）
A．14 B．1 C．0 D．13
【答案】A
【详解】换元求解
【点睛】令，则，
12．（25-26高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令，则，
因为，所以，
由，
可得，
所以．
13．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知，则___________________．
【答案】
【分析】利用换元法求函数的解析式，即可得出的表达式.
【详解】令，则,
由，得,
所以，即.
14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________．
【答案】
【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域.
【详解】令，则，
可得，
所以.
15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________.
【答案】，
【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式.
【详解】设，那么，则
，
所以，.
【考点4：解方程组法求解析式】
16．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解.
【详解】因为，①
所以用代替得．②
①②得．
设．当时，；
当时，可转化为函数．
又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2，
所以当时，，则，
因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值，
当时，，则，
综上，当时，取得最大值，为．
所以当时，取得最大值，为．
故选：A．
17．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______
【答案】
【分析】应用方程组法计算求解解析式.
【详解】因为函数满足，
所以，解得.
故答案为：
18．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________．
【答案】
【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解．
【详解】∵，①
∴，②
由得
解得：．
故答案为：．
19．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____.
【答案】1
【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值.
【详解】由得，
解方程组得，
因为的定义域为，所以
等号成立时.
所以的最小值为1.
故答案为：
20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式．
【答案】且
【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可.
【详解】，①
将①中的用代换得②
再将①中的用代换得③
则由得且．
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】
21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【详解】由题意得：当时，，
所以，
则.
22．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____．
【答案】
【分析】分情况写出函数解析式，然后求得.讨论的范围，由函数解析式，求得.
【详解】过作轴交轴于，过作轴交轴于，
∴，即，∴.
①当时，如图，，
②当时，如图，，
③当时，如图，，
∴，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
∴，
故答案为：，
23．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求；
【答案】.
【分析】根据分段函数的定义域和值域求解.
【详解】由题设知：时，
时，
时，
又因为，
所以.
24．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)画出函数的简图并求出该函数的值域．
【答案】(1)
(2)
值域.
【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案.
（2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可.
【详解】（1）由题意，设，
则，
整理得，即，
则，解得，
又，所以.
（2）由（1）得，定义域为R，
当时，，单调递减，所以；
当时，，单调递增，所以，
综上，的值域为，
的图象如图，
25．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．

(1)求的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出的图象；
(3)讨论函数（）的零点个数．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；
（2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数
【详解】（1）设，则
因为，
故，
所以，解得，
因此；
（2）当时，，
当时，，则，
为偶函数，故，
故，
综上，，
画出函数图象如下：

（3）由图可知，，，
当时，函数没有零点，
当时，函数只有两个零点，
当时，函数有四个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点
一、单选题
1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令，则，
所以，所以.
故选：D
2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解.
【详解】令，则，
因为，所以，
又，即，解得，
所以的值为2.
故选：B
3．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法即可解答.
【详解】因为，且，
所以.
故选：A
4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（ ）
A． B．1 C．5 D．9
【答案】C
【分析】应用赋值法计算求解.
【详解】令得，
令得，
联立解得.
故选：C.
5．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（ ）.
A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式.
【详解】因为函数满足，
即，
令，则，故.
故选：C.
6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案.
【详解】，①．
则交换可得，,
化为②
由①②可得③，
③中令可得，
化简可得，当时等号成立，
所以的最大值等于．
故选：A
二、多选题
7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】对各选项解析式分别求出即可判断.
【详解】对于A：，则，故A正确；
对于B：，则，故B错误；
对于C：，则，而，
所以，故C错误；
对于D：，则，故D正确.
故选：AD
8．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（ ）
A．若一次函数满足，则函数的解析式为
B．若，则函数的定义域为
C．若，则函数的解析式为
D．若函数满足关系式，则
【答案】BCD
【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误.
【详解】对于A，设，则，
因为，所以，解得或，
故函数的解析式为或，A错误；
对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确；
对于C，，
且的取值范围是R，所以，C正确；
对于D，由，得，联立解得，D正确．
三、填空题
9．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________．
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式.
【详解】设，则，且.
所以，.
所以.
故答案为：
10．（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则______.
【答案】
【分析】令，利用换元法求解.
【详解】令，则，
因为，所以，
故.
故答案为：.
四、解答题
11．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式；
（2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得.
【详解】（1）设，由可得：
，
即得，解得，故得，
又的图象经过点，则，
故；
（2）由可得，
依题意，对，不等式恒成立，
故，解得，
即实数的取值范围为.
12．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，，
(1)当时，若，求实数的值；
(2)已知，且，求的解集．
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【分析】（1）由中对应项系数相等可得；
（2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论．
【详解】（1）当时，，
，
得，；
（2），，，
由可得，
整理并代入得，
即，
已知，若，即时，或，
若，即时，，
若，即时，或，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.专题2.3 求函数的值域
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 2
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 8
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 12
【考点4：抽象函数的值域】 17
【考点5：复合函数的值域】 21
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】
1．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．
【答案】ABC
【分析】分别求出各函数的值域即可判断.
【详解】因为，
所以函数值域为，故A符合题意；
因为时，，故B符合题意；
因为时，函数的值域为集合，
不是区间，故C符合题意；
因为，所以函数的值域为，故D不符合题意.
故选：ABC．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）填空：
（1）已知，，求值域_____；
（2）已知，，求值域_____；
（3）已知求值域_____.
【答案】
【详解】（1）函数，在上单调递增，
由，得，
所以函数，的值域.
（2）函数，，由二次函数的性质可知，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值为，
所以函数，的值域为.
（3），
当时，，由反比例函数的性质可知，
当时，，则，有，即，.
的值域为
3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解，
（2）利用换元法可得，利用单调性求解即可.
【详解】（1）设，则，
所以，
故在区间单调递增，所以，
所以原函数值域为.
法二：函数定义域为，
函数与函数均在区间均单调递减，
则在区间单调递减，
当时，，
所以，即原函数值域为.
（2）设，则，
所以
因为在区间，单调递减，又，
所以.
所以原函数值域为.
4．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可.
【详解】（1），
，所以，
故函数的值域为．
（2）令（），则，
则（），
结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4，
所以函数的值域为.
（3）∵，
则，即原函数值域为，
（4），
因为,
即函数值域为．
5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解；
（2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为.
（2）由函数，因为，可得，
所以函数的值域为．
6．（3.1.1函数及其表示方法（第1课时）课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即得.
（2）根据不等式性质推理计算即得.
（3）利用二次根式的意义求出值域.
（4）利用二次函数的性质求出值域.
【详解】（1）由，且，则，
所以函数的值域为.
（2）因为，则，可得，
所以在的值域为.
（3）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为.
（4）函数图象的对称轴为，当时，，
所以函数的值域为．
7．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可；
（2）利用二次根式的意义求出值域；
（3）利用二次函数的性质求出值域；
（4）根据不等式性质运算求解即可．
【详解】（1），且，则．
所以函数的值域为．
（2）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为．
（3）函数图象的对称轴为，
当时，，
所以函数的值域为．
（4）因为，则，可得，
所以在的值域为．
8．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用一次函数代入计算求解即可；
（2）利用二次函数的单调性求解即可；
（3）利用换元法结合二次函数的单调性求解即可；
（4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可；
【详解】（1）因为，，所以值域为.
（2）因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时最小值为2，所以函数的值域为.
（3）因为，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时最小值为，
所以函数的值域为.
（4）的定义域是，
由于，所以，
所以值域为.
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】
1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______.
【答案】
【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域.
【详解】因的定义域为，
令，所以，整理得
所以关于的方程有实数解，
当时，原式为，解得，满足；
当时，所以，整理得，
解得，
此时，且，
∴综上，函数的值域为，
2．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________.
【答案】
【分析】法一：设，利用辅助角公式转化为求解；法二：由，转化为点到单位圆上一点连线的斜率求解.
【详解】法一：设，则，
由辅助角公式得，
所以.
解得.
法二：函数，
函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率，
如图所示：
设直线方程为：，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
故.
3．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________
【答案】
【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得.
【详解】因为函数，
当时，，所以函数的值域为；
当时，，由基本不等式,
即，所以，因此，
当且仅当时等号成立，所以函数的值域为.
因此，函数的值域为.
4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__.
【答案】
【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解.
【详解】当时，函数
，
当且仅当，即时，等号成立，
即函数的值域为.
5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.
【答案】
【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可.
【详解】令，则可得，即，
可得，
当时，取得最大值，即.
所以其值域为.
6．（模型1具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺），，则的值域为__________．
【答案】
【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域.
【详解】由题意得，．
令，则，则可化为．
∵函数，在上均为增函数，
∴在上为增函数，
∵时，，时，，
∴的值域为．
故答案为：.
7．（第05章综合问题百战谋略【提升版】）函数的值域为______．
【答案】
【分析】通过换元，令，将求函数的值域转化为求函数，的值域，再根据当时，的单调性求解即可.
【详解】设，则， 因为，所以．
函数可化为，，
因为当时是减函数，又，
所以函数在上是减函数，
于是，即，
所以函数的值域是．
故答案为：.
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解.
【详解】构造函数，
因为恒成立，所以，
则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍.
构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图，
此时直线的方程为：，即，
联立方程得，易得交点分别为，
于是当点重合于交点或时，取得最小值.
从而的最小值为4．
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】
1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】BCD
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则；
综上，．
故选：BCD
2．（25-26高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数在定义域上的值域为，则实数n可以取值有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BCD
【分析】求出原函数的对称轴，分析可知f（﹣1）＝3，f（1）＝﹣1，然后根据x≥1时，函数为增函数求得使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]的实数n的取值范围．
【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x≥1时，函数为增函数，
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故选：BCD．
3．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ）
A． B．1 C．7 D．
【答案】AC
【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数.
【详解】因为，所以，
当时，有解，
当不是0时，，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故选：AC
4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解.
【详解】因为当时，，此时，即，
所以在时，的值域为，
函数为，令，则在时为，且增大时减小，
在时单调递增，所以单调递减，
因此在上单调递增，
此时：当时，，当时，，
所以在时，的值域为，
所以要使函数的值域为，则，
解得：，则a的取值范围是
5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．
【答案】1或
【分析】变形给定等式并构造函数，将问题转化为两个函数值域的包含关系，并按分类求解即得.
【详解】方程，
记集合，,
由任意的，都有满足方程，得，
①当时，，，则，解得，
由唯一，得，解得，符合题意，因此；
②当时，，，则，解得，
由唯一，得，解得，符合题意，因此，
所以的取值为或.
故答案为：或
6．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可.
【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得，
由，总，使成立，可知，解得；
当时，函数在上单调递减，可得，
同理可知，解得.
综上，或.
所以实数的取值范围是.
7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值．
【答案】
【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果.
【详解】将式子变形为；
当时，；即；
所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得；
将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意.
综上，．
8．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数．
(1)当时，若，求的值；
(2)若的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，令，当时，令求解；
（2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解；
【详解】（1）当时，令，符合题意．
当时，令，，解得不符合，舍去．
综上．
（2）当时，，
所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含
则当时，令，
当时，可得，
因为在上的上取值范围包含，
所以，结合可得；
当时，在上是增函数，
所以，不满足在上的上取值范围包含，
综上
【考点4：抽象函数的值域】
1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域.
【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为.
由，对的取值范围各减2，得，即.
故选：B
2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.
【详解】因为函数的值域是，
所以，
所以，
所以，
所以，
故函数的值域是.
故选：C.
3．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，由可得，，故A错误；
对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
4．（25-26高二下·广东茂名·期末）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得，令，可得，得到在上的值域，进而即得.
【详解】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，
令，则，所以；
令，，则，所以，
由于，所以，则，即在上的值域为；
所以函数在R上的值域为．
故选：C.
5．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
令，则，
由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
则，即函数的值域是.
故选：B.
6．（2026综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【答案】D
【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误.
7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．是增函数
【答案】D
【分析】取，代入计算，即可判断A，取代入计算，即可判断B，取代入计算，结合基本不等即可判断C，举出反例，取，即可判断D.
【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即，
又因为值域为，所有，故，故A正确；
对于B，取，则，即，故B正确，
对于C，令，则，即，
注意到，所以，
所以，当取得等号，故C正确；
对于D，取，则，
符合题意，但此时是减函数，故D错误．
故选：D．
8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域 值域分别为，函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的定义域为
C．的值域为 D．的值域为
【答案】BD
【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域.
【详解】由，得，则的定义域为，
由，得，则的值域为，
故选：BD.
【考点5：复合函数的值域】
1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设，
则，值域.
，所以A错误，B正确；
集合之间不用连接，所以CD错误.
2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和无法确定 B．和无法确定
C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得，
所以函数的定义域为，由的值域得的值域为．
故选：D.
3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解.
【详解】，
由，则，
当时，则，
则，
由任意的，均存在，使得，
则有，即.
故选：C.
4．（25-26高二下·湖北·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A． B．是函数的一个单调区间
C． D．存在，满足
【答案】ABD
【分析】对A，代入计算化简即可；对B，是复合函数，先求出单调区间，再结合的单调区间分析即可；对C，根据单调性求出最值即可；对D，化简方程，构建新函数，分析是否存在满足题意.
【详解】，则A正确；
，则是单调递增函数，因为是函数的一个单调递增区间，
由复合函数的单调性可知，是函数的一个单调递增区间，B正确；
，C错误；
因为，即只要判断是否成立即可，
令，
即D正确．
5．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知函数（，，）的图象如图所示．
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)，求的值域．
【答案】(1)
最小正周期，
(2)
【分析】（1）根据图象及特殊角三角函数，结合题意，可确定函数的解析式；
（2）求得的解析式，结合二倍角公式，利用二次函数给定区间上的值域的求法可求得的值域.
【详解】（1）由图可知的最大值为，最小值为，所以.
由图象过，得.
因为，且在的减区间上，所以.
因为在距离原点最近的增区间上，所以.
所以.
所以的最小正周期为，解析式为；
（2）
.
因为，所以当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为；
所以的值域为．
6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若时，的最小值为，求函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式.
【详解】（1）若，则.
因为，所以，
所以，所以，
所以若，则的值域为.
（2）.
令，.
当时，在上单调递增，
因为是增函数，所以在上单调递增.
所以.
当时，在上单调递减，
因为是增函数，所以在上单调递减.
所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
因为是增函数，
所以当时，取得最小值，即.
综上，.
7．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于的二次函数后即可求值域；
（2）把看作一个整体，函数为关于的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式即可.
【详解】（1）.
，即的值域为.
（2）由题知：不等式对任意实数恒成立，.
，令，.
设，
由二次函数的单调性可知：当时，取得最小值，即，
，即，，
即，解得，
实数的取值范围为.
8．（25-26高一下·广东广州·期中）设函数同时满足条件和对任意都有成立．
(1)求的解析式；
(2)求的定义域和值域；
(3)若，求使得成立的整数的取值的集合．
【答案】(1)；
(2)定义域为，值域为．
(3)．
【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式；
（2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域；
（3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合.
【详解】（1）由得，解得，故，
又得，即，
上式对任意都成立，故且，所以，
故．
（2）由解得，
故定义域为；
当时，，则，则，
所以值域为．
（3）若，则，
所以时或，
所以若，则或，
所以或即，或即，
综上，整数的取值集合为．
一、单选题
1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【详解】由于对数函数的定义域是，因此集合，
因为，所以，故C正确.
2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则．
因为，所以，
所以，所以的值域为．
3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】图像如图．
设 则．
所以， ，，
设 ，则．所以在上单调递增． ， ．
所以时，．
4．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设，
则，值域.
，所以A错误，B正确；
集合之间不用连接，所以CD错误.
5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案.
【详解】由题意得，解得，即的定义域为，
令，则，所以，且，
则原函数转化为，
因为与在上均为单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以的最大值为，的最小值为，
所以的值域为，即原函数的值域为.
6．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，，,
令函数，
则，
所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称，
因函数在对称区间上的值域为，故．
二、多选题
7．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（ ）
A．的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数在的值域为
D．函数的值域为
【答案】ABC
【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D.
【详解】对于A，的定义域为，则在中，，
解得，即的定义域为，A正确；
对于B，函数，
当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确；
对于C，在上递减，，
则函数在的值域为，C正确；
对于D，函数，函数的值域为，D错误.
8．（25-26高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由即可判断，对于B，由，再结合对数函数单调性即可判断，对于C，通过分离常数，即可判断，对于D，通过余弦二倍角公式，结合二次函数性质即可判断.
【详解】对于A，，则的值域为.A符合题意，
对于B，，则，
则的值域为. B符合题意，
对于C，，
因为，所以，则的值域为. C不符合题意，
对于D，，
因为，所以，
即，则的值域为.D符合题意.
故选：ABD
三、填空题
9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由函数的值域为，分三种情况结合对勾函数性质求解即可.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
10．（25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为___________．
【答案】/1.125
【分析】设，结合同角三角函数的基本关系化简可得，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】函数的定义域为，设，则同号，
则
，
则时，，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
11．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由幂函数的概念得，进而或，再根据可得；
（2）具体函数根据定义域求值域.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．
当时，，此时，则符合题意；
当时，，此时，则不符合题意．
故．
（2）由（1）可知，则．
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，即在上的值域为．
12．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若时，的最小值为，求函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式.
【详解】（1）若，则.
因为，所以，
所以，所以，
所以若，则的值域为.
（2）.
令，.
当时，在上单调递增，
因为是增函数，所以在上单调递增.
所以.
当时，在上单调递减，
因为是增函数，所以在上单调递减.
所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
因为是增函数，
所以当时，取得最小值，即.
综上，.专题1.3不等式的性质及一元二次不等式
【考点1：利用不等式的性质比较大小】 4
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 4
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 4
【考点4：解一元二次不等式（含参）】 4
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 4
【考点6：一元二次不等式的应用】 4
【考点7：其他不等式】 4
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 4
【考点9：基本不等式的应用】 4
【考点1：利用不等式的性质比较大小】
1．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________.
【答案】
【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可.
【详解】由，，
则，
则，
又，
则.
故答案为：
2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______
【答案】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】因为
，
所以.
故答案为：
3．（2026高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接）
【答案】
【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断；
【详解】方法一（作商法）：因为，
所以，
所以．
方法二（作差法）：，即．
故答案为：
4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空）
【答案】 > >
【分析】利用作差法得到结论.
【详解】，
∴，
，
∴，
故答案为：>，>.
5．（25-26高三上·全国·一轮复习）若，，则与的大小关系为______.（用“”连接）
【答案】
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
【详解】
，
因为，，则，，
所以.
故答案为：.
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】
1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数在上单调递减，
由得，
，解得.
所以的取值范围是.
2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________
【答案】
【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
即的取值范围为．
故答案为：
3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______
【答案】
【分析】利用不等式待定系数配凑求解
【详解】设
展开得
对比系数列方程得，解得
所以
因为，
所以，即
，两不等式相加得，即
9．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，所以中一个为正，两个为负，
不妨设，所以，
又，
当且仅当即时等号成立，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
10．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________．
【答案】
【分析】利用的范围，以及条件，可得到的值，利用取等情况可得答案.
【详解】由已知条件，，，
可得：当时，取到最大值，
；
当时，取到最小值为，
.
因此，而题设给出，
故必有，当且仅当或时成立.
当时，，，，；
当时，，，，.
因此，的值为.
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】
1．（25-26高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________.
【答案】
【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 .
因式分解得，因此原不等式等价于 .
令 ，解得两根为 和 .
由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，

因此 解集为.
2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________
【答案】
【详解】要使函数有意义，
需使，即，
所以，即或.
故函数的定义域是.
3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）若，，则_____________.
【答案】
【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算与的交集.
【详解】首先求解集合：
对不等式因式分解得，解得，即.
已知，所以 .
4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________.
【答案】
【详解】由可得，解得，
所以，
所以.
5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数.
所以不等式等价于，
整理得，解得或.
故该不等式的解集为.
【考点4：解一元二次不等式（含参）】
1．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出．
【详解】关于的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解；
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
2．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果．
【详解】由，得，得或，
所以的解集为，
由，得，
当，即时，得，
所以的解集为，此解集中不含，不符合题意；
当，即时，化为，
所以的解集为空集，不符合题意；
当，即时，得，
所以的解集为，
因为不等式组的解集中所含整数解只有，
结合数轴分析可知，得．
3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解．
【详解】由可得，
又，
，
当时，，由可得或，所以；
当时，，满足；
当时，，由可得或，所以；
综上，实数的取值范围是．
4．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以有，
所以，或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求已知关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为
【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值；
(2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论.
【详解】（1）因为不等式的解集为，所以，
且 和 是方程 的两个实根，
可得，，
解得 ，；
（2）当 ，不等式为 ，即
① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ；
② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为；
若 ，则 ，不等式为 ，解集为；
若 ，则 ，不等式解集为 ；
③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 .
综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为 .
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】
1．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可.
【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题．
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，结合.
综上，．
2．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
【详解】由，使得为假命题，
则，都有为真命题，
当，则，满足，
当，则，满足，
综上，.
3．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可.
【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，结合得，；
当时，，恒成立，满足条件；
当时，在上单调递减，所以，解得，
所以只需考虑的情况，的对称轴为，
若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件；
若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件；
综上所述，a的取值范围是.
4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；
当时，对任意恒成立，需满足：
，解得，
综上可得．
5．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，.
∵二次函数，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
分以下三种情况讨论：
（i）当，即时，函数在区间上单调递增，
∴，
∴，即，解得或，
∵，∴.
（ii）当，即时，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，即，
∵二次项系数大于0且，∴不等式无解.
（iii）当，即时，函数在区间上单调递减，
∴，
∴，即，解得：或，
∵，∴.
综上可知，实数的取值范围为.
【考点6：一元二次不等式的应用】
1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
【答案】
【详解】设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【答案】(1)，定义域为
(2)
【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域.
（2）列出关于的不等式，计算得解.
【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元，
销售量增加成后售出商品的数量为件，
则．
因为售价不能低于成本价，所以．
所以，定义域为．
（2）由题意得，化简得，
解得，所以的取值范围是．
3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知平均成本；
要使平均成本不超过售价50元则有；
∵，所以两边同乘以得；
化简得，解得；
∵，
∴至少生产2件产品.
（2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润，
即，
要使利润不低于100元，则有；
解得不等式的解集为，
∴至少需要生产件产品.
4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．
(1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率；
(2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金．
【答案】(1)
(2)当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多；
当时，，两种方式得到的奖金一样多；
当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多．
【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率；
（2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策；
【详解】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语，
所以甲得10元奖金的概率为.
（2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30，
．
所以的期望
记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30，
.
所以的期望
故
当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多；
当时，，两种方式得到的奖金一样多；
当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多．
5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为
(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？
(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？
【答案】(1)第年
(2)第年
【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论；
（2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论.
【详解】（1）令，整理可得，解得，
因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元.
（2）该新能源汽车的年平均利润为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大.
【考点7：其他不等式】
1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得，解得，即，
故.
故选：C.
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】，
故，解得或，
故该不等式的解集为.
3．（25-26高二下·河北保定·期中）设p：，q：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由可得，解得；
由可得，解得；
因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件.
4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.
【详解】由，解得：或，
对于A，因为，所以，
由，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，由，故C正确；
对于D，由，故D正确．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________．
【答案】
【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解.
【详解】当时，，
令，解得，与矛盾，故方程无解；
当时，，
等式恒成立，所以都是方程的解；
当时，，
令，解得，与矛盾，故方程无解，
所以.
因为等价于，即，
用穿根法可得不等式组的解为或，
所以.
因为，，
所以.
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】
1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.
【详解】∵，
，
当且仅当，即，时等号成立.
的取值范围是.
2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.
【详解】因为，，且，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
即，得，因为，所以.
由代入，解得，
因此当，的最小值为.
3．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________
【答案】2
【详解】因为，所以.
，当且仅当时等号成立.
4．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最小值为.
5．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的最小值为________.
【答案】
【详解】，.
由于，，则，
当且仅当时取等号.
【考点9：基本不等式的应用】
1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
等号成立时，
故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元.
故答案为：；
2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

【答案】
【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.
【详解】设，，则，所以，
所以
，
，即，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.
故答案为：.
3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
【答案】(1)10米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为元，
依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，
则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.
（2）由题意可知，，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
当且仅当，即时，取最小值36.
所以，即的取值范围是.
4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），
则屋子前面新建墙体长为，
所以
即，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；
（2）由题意可知，当对任意的恒成立，
即，所以，即，
因为，
当且仅当，，即时，的最小值为12，
即，所以的取值范围是.
5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元．
(1)求出与的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小 最小费用是多少
【答案】(1)，.
(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.
【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案；
（2）利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题意设，，其中，
当时，，解得，，解得，
所以，.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.
一、单选题
1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，得，又，
所以；
因为得，所以，
则.故选项C正确.
2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】选项A，因为，所以，所以成立.
选项B，若，则不成立.
选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以，
因此，成立.
选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此.
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】因关于的不等式的解集为，
则，即，
则，即，
所以，解得或．
4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.
【详解】因为，，且，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
即，得，因为，所以.
由代入，解得，
因此当，的最小值为.
5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．9 D．18
【答案】B
【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值.
【详解】由换底公式可得 ，
原式化为 ，所以 ，
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，取等号成立.
所以的最小值是.
6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以，
根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
又，所以的最小值为.
二、多选题
7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D.
【详解】由时，满足，此时，A错，
由，有，当且仅当时取等号，B对，
由，当且仅当时取等号，C对，
由，则，当且仅当，即时取等号，D对.
8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ABC
【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确；
对于B，，由基本不等式，
故，当且仅当时等号成立，
所以最小值为，故B正确；
对于C，，由选项A知，
故，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确；
对于D，，由选项A知，故，
则，
即最小值为，不是，故D错误.
三、填空题
9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称，
因为，根据正态分布的对称性性质得
化简得，所以
所以
根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立，
此时结合 ，，得, ,
所以，当且仅当, , 等号成立，
所以 的最小值为 .
10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】设点，由已知等式可得到点在以点为圆心，2为半径的圆上，将整理为，看到和的平方和为1，故设，则，结合图形得到，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围.
【详解】由，可得，
设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上，
所以，
根据几何意义设，则，
过点作圆的切线，与圆交于点，
此时，
故，
所以，
因为，所以，即
所以，所以，
故最大值为.
四、解答题
11．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围．
（2）已知，，比较与的大小
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）利用不等式的性质求解；
（2）利用作差法比较大小.
【详解】（1）由①，②，得，
由②得：③，
由①+③得：，
由②得：④，
由①④得：．
故，，.
（2）
因为，，则，故．
12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．
(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？
(3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值．
【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
(2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大．
(3)．
【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可.
（2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可.
（3）结合，求的最小值.
【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为．
因为，
当且仅当时，即，时等号成立．
所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
（2）由题意得，，菜园面积为．
因为，
当且仅当时，即，时等号成立．
所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大．
（3）由题意得，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．专题1.4 基本不等式
【考点1：由基本不等式比较大小】 2
【考点2：由基本不等式证明不等关系】 2
【考点3：基本不等式求积的最大值】 3
【考点4：基本不等式求和的最小值】 3
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 4
【考点6：基本不等式的恒成立问题】 4
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 5
【考点8：基本不等式的实际应用】 6
【考点1：由基本不等式比较大小】
1．（25-26高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（ ）
A．2ab B． C． D．
3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【考点2：由基本不等式证明不等关系】
1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证：
【考点3：基本不等式求积的最大值】
1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）设是满足的正数，则的最大值为______．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________．
3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________．
4．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______.
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________.
【考点4：基本不等式求和的最小值】
1．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________．
2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】
1．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________．
2．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的最小值．
3．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____．
4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点6：基本不等式的恒成立问题】
1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】
1．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______．
2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______.
3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）若，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
【考点8：基本不等式的实际应用】
1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．
2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元．
(1)求出与的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小 最小费用是多少
4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
一、单选题
1．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（ ）
A．16 B．18 C．20 D．不能确定
2．（25-26高一上·广东·月考）已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知且，则下列不等式中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
4．（25-26高一·全国·单元测试）设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
5．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．函数的最小值为3
6．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最小值为 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
8．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
三、填空题
9．（2025·福建·一模）若正数满足，则的最小值为_______．
10．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）若，则的最小值为__________.
四、解答题
11．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式．
(1)若，求上述关于的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
12．（25-26高一下·上海浦东新·期末）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．
(1)求观赏通道的长；
(2)若，求折线段通道的最大值（即最大）．专题1.2常用逻辑用语与充分必要条件
【考点1：充分、必要条件的判断】 2
【考点2：已知条件关系求参数范围】 4
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 6
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】 8
【考点5：根据命题的真假求参】 10
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】 13
【考点1：充分、必要条件的判断】
1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立
2．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】取，此时，但，故充分性不成立；
取，此时，但，故必要性不成立，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
3．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，
因当且仅当，即时取等，
显然不能全都为0，故，则由可得；
反之，当时，必有成立.
故得“”是“”的充要条件.
4．（2026·天津·一模）“或，（）”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】化简三角函数等式结合命题的判断解题
【详解】，
当 时，，当 时， 成立，
因为，所以或，
当时，成立，但 且，
故选：A
5．（多选）（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（ ）
A．的充要条件是
B．的必要条件是
C．不是的子集的必要条件是
D．的充要条件是．
【答案】AB
【分析】对于A，利用推导即可；对于B，根据包含关系的意义可分析得解；对于CD，举例子排除即可.
【详解】对于A，因为等价于，
又，
所以等价于，
故的充要条件是，故A正确；
对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故，
所以，故B正确；
对于C，令，显然不是的子集，此时，
故C错误；
对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误；
【考点2：已知条件关系求参数范围】
1．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】命题对应集合，
命题对应集合或，
若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
则有或，解得或，即，
又，故的取值范围为.
2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
因为，可得，所以，
由不等式，可得，所以集合．
又因为“”是“”的充分条件，可得，
则满足，即，解得或，
所以实数的取值范围是．
3．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________.
【答案】
【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案.
【详解】由，得或，故；
由，得：，故；
“ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ，
或 ，
解得：或.
故答案为：
4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合.
(1)若是的必要条件，求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数m，使是的充要条件.
【答案】(1).
(2)不存在
【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解；
（2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断.
【详解】（1）∵是的必要条件，故，
∴，解得，
即所求实数m的取值范围是.
（2）∵若是的充要条件，则，
∴，由于该方程组无解，
即不存在实数m，使是的充要条件.
5．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再分与两种情况讨论即可求解；
（2）由必要不充分条件可知 ，进而可得不等式组，解不等式组即可.
【详解】（1），
由，得，
当时，，解得；
当时，不等式组无解，
故实数的取值范围为．
（2）因为是的必要不充分条件，所以 ，
或，解得或，
综上可得，故实数的取值范围为．
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题；
对于命题，解不等式，得，所以为真命题．
2．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题，，命题，，则（ ）
A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题
【答案】B
【分析】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可.
【详解】对于命题，存在，，所以命题p是真命题；
对于命题q，当时，，所以命题q是假命题.
故选：B.
3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可.
【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误；
选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误；
选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确；
选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误.
故选：C.
4．（多选）（25-26高一上·广东汕尾·期末）（多选）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．必有算术平方根 B．是无理数
C．为奇数 D．是无理数
【答案】AD
【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD；
【详解】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确；
对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误；
对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数，
所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误；
对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确；
故选：AD.
5．（多选）（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BCD
【分析】对于A，根据指数函数的值域进行判断；对于B，通过举例子说明；对于C，利用恒成立进行判断；对于D，根据对数的性质进行判断.
【详解】对于A，因为恒成立，所以A错误；
对于B，当时，，所以B正确；
对于C，恒成立，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定，
因此命题“，”的否定为命题“，”.
2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．和q都是真命题
C．p和都是真命题
D．和都是真命题
【答案】C
【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题，
当时，，故命题是假命题，是真命题．
3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】全称命题的否定为特称命题，否定时需将全称量词替换为存在量词，同时否定原命题的结论，变量的取值范围保持不变.
【详解】原命题为，则 为.
4．（25-26高一上·北京西城·期末）已知命题，，则（ ）
A．，，且为真命题
B．，，且为假命题
C．，，且为真命题
D．，，且为假命题
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定定义写出，再配方判断命题的真假.
【详解】由题意可知，，，
因为，所以为真命题，为假命题.
故选：D
5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知p：，，则（ ）
A．p是真命题，且：， B．p是真命题，且：，
C．p是假命题，且：， D．p是假命题，且：，
【答案】D
【分析】举出反例得到p是假命题，且全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】当时，，不满足，，故p是假命题，
且：，.
故选：D
【考点5：根据命题的真假求参】
1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由，可得，
因为 ，
故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是，
故选：B.
2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由命题“，使得”是假命题，
可得命题的否定：“，使得”是真命题，
设，则在上恒成立，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
3．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可.
【详解】因为命题p：“，”是假命题，
所以命题p的否定“，”是真命题，
则方程无解，即，解得；
又因为命题q：，是真命题，所以，
对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值，
当时最小值为，即
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
4．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围.
【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题．
所以对任意实数，方程都有实数解．
故而对任意固定的实数都有解．
即关于的不等式对任意固定的实数都有解．
对不等式分情况讨论：
①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解.
当时,关于的二次函数开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意.
②.若,即.关于的二次函数开口向下,
其最大值为.
要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意.
因此，的取值范围是．
故答案为：
5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若命题“，”是真命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将先求出集合，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可；
（2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围.
【详解】（1）由，.
若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集.
所以，解得，
当时，，符合题意，
故的取值范围是.
（2）因为“，”是真命题，所以.
当时，因为，所以或，解得或.
所以当时，的取值范围是.
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】
1．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】（1）已知，或，若，
则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ，
解得，即m的取值范围为；
（2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B，
因此有两种情况： ① ，此时，解得；
② ，此时，解得，
综上，m的取值范围是或.
2．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若，则，得；
若，则，
因为，所以或，得或，则，
综上，实数的取值范围为；
（2）因为，所以，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
则，且等号不同时成立，得，
故实数的取值范围为.
3．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集运算即可；
（2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可.
【详解】（1）当时，，
则；
（2）因为，
由是的必要不充分条件，得 ，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.
4．（25-26高一上·天津河北·期中）已知全集，集合，，.
(1)当时，求，；
(2)若是的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；或．
(2)
【分析】（1）利用集合的运算求解；
（2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解.
【详解】（1）当时，.
因为，
所以；
因为或，
所以或．
（2）因为是的充分条件，
所以，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是．
5．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出；
（2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当 时，集合，
分式不等式等价于：，
解得：，即 ，
因为集合 ，
由 ，
解得： 或 ，即 ，
因此：.
（2）因为，则，
解得：，即 ，
则，
由题意，“”是“”的必要不充分条件，
即 ，且 ，则，
因此：，
解得：，所以
一、单选题
1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解．
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：.
故选：C
2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为，且均是锐角，所以，所以，所以，
所以均为锐角，能推出，
反之，，且均为锐角，则或，
所以或，所以或，
所以均是锐角，推不出，
因此均为锐角，是的充分不必要条件.
3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】C
【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意；
对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意.
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系
【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入，
根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来，
所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立；
若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来），
所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立．
综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件．
5．（2026·浙江宁波·三模）在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将其转化为函数，结合图像即可求解
【详解】考虑为到的斜率，
因为，
因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示，
若，则，而 同号，由图及单调性可得；
若，则必定成立，故为充要条件．
6．（2026·河南·一模）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断．
【详解】已知，，且为等差数列，设其公差为.
若为常数列，则（常数），即.
此时：，
为常数，故是公差为的等差数列，即.
若为等差数列，则为常数，设为.
，
又，则，
因此：，
由于是等差数列，设其公差为，则，代入上式：，
对任意成立，说明为常数（），故，即为常数列.因此.
综上，是的充分必要条件.
二、多选题
7．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列命题说法错误的是（ ）
A．
B．
C．的充要条件是
D．若，且，则中至少有一个大于1
【答案】ABC
【详解】对于A：根据指数函数的性质可知恒成立，故A错误；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：当时，无意义，所以必要性不成立，故C错误；
对于D：假设，则与矛盾，所以假设不成立，故D正确.
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（ ）
A． B．的图象关于原点对称
C．，使得 D．
【答案】ABD
【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误；
即，化简得对恒成立，
所以，即，
反之，当时，，
当是偶数时，为奇函数，
当是奇数时，为奇函数，
所以为奇函数，A正确；
奇函数的图像关于原点对称，B正确；
因为，所以为奇函数，
若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确.
三、填空题
9．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；
当时，对任意恒成立，需满足：
，解得，
综上可得．
10．（25-26高二下·天津南开·期中）“，”是假命题，则实数的最大值为_______．
【答案】6
【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值.
【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题，
分离参数可得：
令，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6.
四、解答题
11．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】（1）已知，或，若，
则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ，
解得，即m的取值范围为；
（2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B，
因此有两种情况： ① ，此时，解得；
② ，此时，解得，
综上，m的取值范围是或.
12．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解不等式，得．
当时，，故．
因此．
（2）“”是“”的必要不充分条件．
由题意得：，列不等式组：，解得，
所以实数m的取值范围为．
（3）由，解得或，
命题p为真或，
即或得：或．专题1.4 基本不等式
【考点1：由基本不等式比较大小】 2
【考点2：由基本不等式证明不等关系】 4
【考点3：基本不等式求积的最大值】 6
【考点4：基本不等式求和的最小值】 8
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 10
【考点6：基本不等式的恒成立问题】 12
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 15
【考点8：基本不等式的实际应用】 18
【考点1：由基本不等式比较大小】
1．（25-26高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当且，即且时，取等号．
故选：A．
2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（ ）
A．2ab B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断.
【详解】因为，，且，，，
，由条件可知，，则，
所以，即，所以四个数中最小的是.
故选：A
3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解.
【详解】因为，且，
所以，
又，所以，
故最大的是d.
故选：D
4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】因为，，所以，解得，同理可得，
由，可得，又，可得，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
【考点2：由基本不等式证明不等关系】
1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确；
因为，
若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确；
因为，若，则，故C正确；
因为，若，
不一定大于1，例如，故D不正确．
2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确.
选项B.对平方得，由A知，
因此， 因为，开方得，
当且仅当时等号成立，B正确.
选项C.，由，所以，即，C错误.
选项D.，因此，所以，D错误.
3．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用作差法可判断AD；利用基本不等式可判断C；举反例可判断B.
【详解】选项A：，
因为，所以，
又因为，所以，
即.因此，A为真命题；
选项B：取，，满足，
计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题；
选项C：由基本不等式，得：（），
两边取倒数得，再乘以得，
由于，等号不成立，故.因此，C为真命题；
选项D：由，得且，
，即.
因此，D为真命题.
4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可.
【详解】设，则，，，
因为，故选项A正确．
因为，，所以，即，故选项B不正确．
因为，故选项C正确．
因为，故选项D正确．
故选：ACD.
5．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.
【详解】证明：因为，，
所以，，
令，，
则
当且仅当，即时等号成立；
所以，当且仅当时，等号成立.
【考点3：基本不等式求积的最大值】
1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）设是满足的正数，则的最大值为______．
【答案】
【分析】凑配用基本不等式求最值即可.
【详解】由基本不等式得，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________．
【答案】4
【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立；
正实数满足，得，代入上述不等式可得：，
令，由得，不等式转化为：，整理得，即，
因为，所以，因此，即，故，
得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4.
3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________．
【答案】0.5/.
【分析】利用基本不等式计算即可得解.
【详解】因为为正实数，，
已知，则，所以.
当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件.
所以的最大值为.
故答案为：.
4．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______.
【答案】12
【详解】由，得，
所以，当且仅当，时等号成立.
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________.
【答案】/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线与曲线相切，
设切点为，由，且切线的斜率为，
所以，
代入曲线方程中得：，
所以切点为，代入直线方程中得：，
因为，所以.
当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为.
【考点4：基本不等式求和的最小值】
1．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意得，，
所以，
当且仅当，，即时，等号成立．
2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得.
【详解】已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为．
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得，
所以的最小值是.
4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，当，时，原式取得最小值.
5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可.
【详解】对于A，由，得，
又，，所以，所以，即，A错误.
对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即的最小值为，B正确.
对于C，，当且仅当时等号成立，C正确.
对于D，因为，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，D错误.
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】
1．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最小值为.
2．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的最小值．
【答案】9
【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.
【详解】，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最小值为.
3．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】令，则，因为，可得，
可得，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
5．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，利用等号成立的条件可得出、的值，即可得出的值.
【详解】因为、都为正实数，且，故，
由题意可得，，
由不等式的性质可得，
，故，可得，
当且仅当时，即当时，
此时且时，取最大值，
此时.
【考点6：基本不等式的恒成立问题】
1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得.
【详解】由，则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故，即，解得，
即实数的取值范围是.
2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】由题意，根据基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．
【详解】因为两个正实数满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
不等式恒成立等价于，
即，解得.
故选：D
3．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C．
4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解．
【详解】由两个正实数满足，
即，，
所以，
当且仅当时等号成立，
又恒成立，
所以，解得．
故选：C．
5．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解.
【详解】因为，，且，
所以
，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得，
所以整数可取、，共个.
故选：A
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】
1．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解.
【详解】已知，，，得，
由基本不等式，得，
当且仅当，即时取等号，
此时满足条件，因此的最小值为.
2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______.
【答案】/
【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解.
【详解】
由是边上靠近的三等分点，可得，，
又，，所以，
又因为三点共线，所以.
所以.
因为，所以，当且仅当时取等号，
即时取等号，
所以的最小值为.
3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为，
圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为4.
4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）若，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】B
【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值.
【详解】对原等式移项整理得（1），
令，由于在上单调递增，在上单调递减，
故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数，
（1）式即，由单调性得，
即，整理得，
所以
当且仅当时取等号，又，即时等号成立.
即的最小值为.
5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
【答案】B
【详解】因为，所以
得，即
构造函数 ， 恒成立，所以单调递增，
因为 ,
因此原等式可写为
由单调递增可知 ，故 即，
即
因为，，所以 ,
所以
当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为.
【考点8：基本不等式的实际应用】
1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
等号成立时，
故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元.
故答案为：；
2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

【答案】
【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.
【详解】设，，则，所以，
所以
，
，即，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.
故答案为：.
3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元．
(1)求出与的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小 最小费用是多少
【答案】(1)，.
(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.
【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案；
（2）利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题意设，，其中，
当时，，解得，，解得，
所以，.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.
4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），
则屋子前面新建墙体长为，
所以
即，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；
（2）由题意可知，当对任意的恒成立，
即，所以，即，
因为，
当且仅当，，即时，的最小值为12，
即，所以的取值范围是.
5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
【答案】(1)10米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为元，
依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，
则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.
（2）由题意可知，，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
当且仅当，即时，取最小值36.
所以，即的取值范围是.
一、单选题
1．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（ ）
A．16 B．18 C．20 D．不能确定
【答案】B
【分析】利用均值不等式，即可得到结果.
【详解】解：直角三角形的两直角边为、，面积为，
则，
当且仅当时，等号成立，
直角三角形面积．
故选：．
2．（25-26高一上·广东·月考）已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
【答案】D
【分析】将展开，利用基本不等式求最值即可.
【详解】，，故（当且仅当时取“=”），即的最小值为18.
故选：D
3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知且，则下列不等式中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】举反例可得ABC错误；由不等式的性质可得D正确；
【详解】令，则，故A错误；
令，则，故B错误；
令，则，故C错误；
因为，，所以，故D正确；
故选：D.
4．（25-26高一·全国·单元测试）设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质求得的范围，利用基本不等式求得的范围，由此比较出两者的大小关系.
【详解】∵，
∴.
又∵，，
∴.
若，则，或，不符合.
∴.
∴.
∴.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.
5．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．函数的最小值为3
【答案】C
【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误.
【详解】对于A，若，则恒成立，错；
对于B，若，则恒成立，若，则，错；
对于D，函数，，
令，则且，
因为在上为增函数，故，
对于C，因为，
而，，故成立.
故选：C．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求.
6．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
在中，，
又，所以，
在中，，故，
得到，
所以，
所以，即，
故选：D.
二、多选题
7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最小值为 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】由基本不等式结合已知条件逐一判断即可
【详解】对于A：，
当且仅当，即时取等，所以的最大值为，故A错误；
对于B：，
当且仅当，即时取等，的最小值为3，故B正确；
对于C：由公式得，，所以，
当且仅当，即时取等，的最小值为，故C正确；
对于D：由得，
，
令，
则当时，，，
即当时，的最小值为，故D正确；
故选：BCD
8．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】A.若，满足，此时，不满足结论，故A错误；
B.，，
当，且，得时等号成立，所以的最小值为4，故B正确；
C.，，
当，且，得，时，等号成立，故C正确；
D.，，
，
当，即时等号成立，且，即时等号成立，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
9．（2025·福建·一模）若正数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【详解】试题分析：，所以原式变形为：，所以最小值是3．
考点：基本不等式求最值
10．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）若，则的最小值为__________.
【答案】4
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由完全平方公式可知：，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当时取等号.
故答案为：4.
四、解答题
11．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式．
(1)若，求上述关于的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案；
（2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案.
【详解】（1）原不等式等价于 或，
又， 或，
则不等式解集为： ；
（2）由题设可得恒成立，即，
注意到
，当且仅当时取等号，从而.
12．（25-26高一下·上海浦东新·期末）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．
(1)求观赏通道的长；
(2)若，求折线段通道的最大值（即最大）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的性质，利用正弦定理计算求解；
（2）根据三角形的性质，利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求最大值．
【详解】（1）在中，已知，，，
由正弦定理：，代入数据：，
因为，，则，解得．
（2）在中，，，设，，
由余弦定理：，即，
变形可得：，由基本不等式（当且仅当时取等号），代入得：即，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此折线段通道的最大值为．专题2.1 函数定义域
【考点1：具体函数的定义域】 2
【考点2：抽象函数的定义域】 4
【考点3：复合函数的定义域】 5
【考点4：已知函数的定义域求参数】 8
【考点5：实际问题中的定义域】 11
【考点1：具体函数的定义域】
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D.
【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误；
对B，，由知其定义域为，故B错误；
对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误；
对D，，显然其定义域为，故D正确.
2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】的定义域满足，解得或，
则定义域为．
3．（26-27高一·全国·初升高衔接）函数中自变量的取值范围是__________．
【答案】且
【详解】由题意得且，解得且．
4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数，则的定义域为__________.用区间表示
【答案】
【详解】要使函数有意义，
需使，解得，
故的定义域为.
5．（26-27高一·全国·暑假作业）求函数的定义域．
【答案】
【详解】要使函数有意义，需使，解得，
则函数的定义域是．
6．（26-27高一·全国·暑假作业）求下列函数的定义域：
(1)
(2)；
(3)
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可.
（2）根据分式有意义求解即可.
（3）根据分式及二次根式有意义求解即可.
（4）根据分式及零指数幂有意义求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，
所以原函数的定义域为．
（2）要使函数式有意义，则，解得，
所以原函数的定义域为．
（3）要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为．
（4）要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域是.
【考点2：抽象函数的定义域】
1．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C．[1，3] D．(1，3]
【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，
所以的定义域需满足：
，解得.
3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.
【详解】设，则可化为.
因为定义域为，即，则中的，
即，解得.
所以的定义域为.
4．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为；
若函数有意义，则，解得．
则函数的定义域为.
5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．
【答案】
【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可.
【详解】由题意得，则，即的定义域为.
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得．
【考点3：复合函数的定义域】
1．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件．
2．（2026高一上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（ ）
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16]
【答案】D
【分析】根据复合函数的性质，即可求解.
【详解】由于的定义域为[1,2]，故，则，
令，则，故，故，
故的定义域为,
故选：D
3．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数的定义域为，
所以函数要有意义则：，解得：，
所以函数的定义域为：.
4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的定义域为，再由求解即可．
【详解】因为函数的定义域为，
所以，所以的定义域为，
则函数有意义，
有，得，得，
则函数的定义域为：，
故选：D
5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】由的范围求出的范围，从而得到函数的定义域，由的定义域得到的范围，解出中的的范围，从而得到函数的定义域.
【详解】由，得，则函数的定义域为，
由，得，则函数的定义域为.
故答案为：.
6．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解；
（2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集．
【详解】（1）由，得，把当作整体t，作的图象如下：
在内，满足，得，
．
在上满足，，
即，，
定义域为．
（2）根据函数表达式可得，
在数轴上表示如下：
由图示可得，函数定义域为．
【考点4：已知函数的定义域求参数】
1．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.
【详解】由题意得恒成立，，
当时，由二次函数的性质可得且，解得，
当时，一次函数不恒成立，
综上， .
2．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）（多选）若函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的定义域为
【答案】ACD
【分析】利用函数的定义域可求出的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项.
【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为，
可得，，故A正确，B错误；
由，得，所以的定义域为，故C正确；
由，得，所以的定义域为，故D正确.
故选：ACD.
3．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立，
所以，解得，
故选：A
4．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________．
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，定义域为R，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意.
故
5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可.
【详解】要使有意义，则有，
因为函数的定义域为，故在上恒成立，
当时，，恒成立；
当时，则有，解得；
综上，实数的取值范围为.
6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.
(1)若定义域为，求实数的取值范围；
(2)若定义域为，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解；
（2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解；
【详解】（1）若定义域为，则恒成立，
则，或，
解得：；
（2）若定义域为，
则-6，2是一元二次方程的两根，
由韦达定理得，解得：；
【考点5：实际问题中的定义域】
1．（25-26高一上·安徽六安·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积.
(1)求关于的函数；
(2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
【答案】(1)
(2)小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求
【分析】（1）根据题意得到，再结合求得的范围即可；
（2）根据基本不等式求的最小值即可得答案.
【详解】（1）解：由题意可知，，
所以，所以，
又，，所以，
因为，所以，即，解得，
所以.
（2）解：法一：由，得，
解得（或，舍去），
所以，当且仅当，时，取得等号.
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
法二：，
当且仅当，即时等号成立，此时，
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．

(1)设m，试用x表示AP，并求x的取值范围；
(2)当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？
【答案】(1)，
(2)m时，S取得最小值，最小值为2400m2
【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可；
（2）依题列出S的表达式，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）依题意可得，则有，
即，可得，因此．
又要求AP的长不小于50m且不大于100m，即，
解得，即，；
（2）由图易知，
所以
由基本不等式可得；
当且仅当时，即时，等号成立，此时S取得最小值2400，
因此当m时，S取得最小值，最小值为2400．
3．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）某人准备在一块占地面积为1200平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中
(1)试用表示，并标明的取值范围；
(2)求的最大值，并求出取最大值时的值.
【答案】(1)（）
(2)的最大值为，此时.
【分析】（1）结合图形，明确的关系，可以表示大棚的面积.
（2）利用基本（均值）不等式，可求大棚面积的最大值.
【详解】（1）由题意：，，，，.
所以，，，.
所以（）
（2）因为（当且仅当即时取“”）.
所以的最大值为，此时.
4．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围：
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)的值为20，最大面积是
【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围；
（2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值.
【详解】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为，
，即，
，，即，
又，，
；
（2）
，
当且仅当，即时，等号成立，
当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是.
5．（25-26高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
6．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）一日，龟兔约定赛跑．已知赛程为米，它们从同一起点同时出发，乌龟速度为米/秒，兔子速度为2米/秒．太阳当头照，秒后，骄傲的兔子回头，不见乌龟的影子，擦了把汗，倚着大树做起了美梦．乌龟依旧前行，又过了分钟，刚睡醒的兔子还是没见乌龟的影子，跑到了终点，却发现乌龟已在那儿……
(1)试建立乌龟所经路程（米）与时间（秒）的函数关系式，并写出定义域；
(2)当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，兔子已经睡了多少秒？
(3)兔子到终点时总用时多少秒？
【答案】(1)，
(2)（秒）
(3)（秒）
【分析】分析乌龟的运动过程建立函数关系式，再结合路程、速度、时间的关系求解具体问题.
【详解】（1）依题意得函数关系式为：，
乌龟到达终点的时间为（秒），故定义域为.
（2）兔子前秒跑的路程为（米），
当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，设此时时间为，则，解得（秒），
兔子睡觉的时间为总时间减去前秒，即（秒）.
（3）兔子前（秒）跑，然后睡觉分钟（秒），最后跑剩余路程的时间为（秒），
因此，兔子到终点的总用时为（秒）.
一、单选题
1．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合，
由，解得且，所以，
所以.
2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
由，解得，所以，
所以.
3．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则，即，
因为是增函数，解得；
另外，由分母不为零得，解得.
综上，定义域为
4．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得，解得，
所以函数的定义域是.
5．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
6．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.
【详解】由题意得恒成立，，
当时，由二次函数的性质可得且，解得，
当时，一次函数不恒成立，
综上， .
二、多选题
7．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的定义域为
【答案】ACD
【分析】利用函数的定义域可求出的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项.
【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为，
可得，，故A正确，B错误；
由，得，所以的定义域为，故C正确；
由，得，所以的定义域为，故D正确.
故选：ACD.
8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）给出下列结论，其中正确的结论有（ ）
A．函数的定义域为
B．若函数，不存在实数，使的定义域为
C．若的定义域为，则的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，考察函数定义域的求法；对于B，根据对数型复合函数的单调性求解即可；对于C，根据抽象函数的定义域和对数运算计算即可；对于D，根据已知条件列出不等式，结合二次函数的性质计算即可.
【详解】对于A：不符合正切函数定义域，A错误；
对于B:函数的定义域为时，
对恒成立，所以，无解，正确；
对于C:因为的定义域为，所以，所以，
所以的定义域为，要求的定义域，则，解得，所以的定义域为，C错误；
对于D:因为函数的值域为，所以内函数的值域必须包含，当时，的值域为，符合题意.
当时，为开口向上的抛物线，其值域为，若要包含，则其最小值需满足，解得.
当时，为开口向下的抛物线，值域不包含，不合题意.综上所述，实数的取值范围是，D正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（24-25高一上·天津·期末）函数的定义域为___________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域.
【详解】由函数，得，即，
由的定义域为 ，
函数在每个区间内单调递增，且当时，解得.
故可解得.
故答案为：.
10．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】将问题转化为在上恒成立，分、讨论，并结合一元二次函数的性质求解.
【详解】由题意可知， 在上恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
11．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解；
（2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集．
【详解】（1）由，得，把当作整体t，作的图象如下：
在内，满足，得，
．
在上满足，，
即，，
定义域为．
（2）根据函数表达式可得，
在数轴上表示如下：
由图示可得，函数定义域为．
12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.
(1)若定义域为，求实数的取值范围；
(2)若定义域为，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解；
（2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解；
【详解】（1）若定义域为，则恒成立，
则，或，
解得：；
（2）若定义域为，
则-6，2是一元二次方程的两根，
由韦达定理得，解得：；

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