资源简介

目录
第1章集合与逻辑 7
1.1集合 8
一、内容提要 8
二.释疑解惑 9
三、典型例题 9
1.2子集和补集 14
一、内容提要 14
二、释疑解惑 15
三、典型例题 16
1.3集合的交与并 19
一、内容提要 19
二、释疑解惑 20
三、典型例题 23
1.4命题、充分条件和必要条件 29
一、内容提要 29
二、释疑解惑 30
三、典型例题 31
1.5全称量词和存在量词 35
一、内容提要 35
二释疑解惑 37
三、典型例题 39
第2章一元二次函数、方程和不等式 44
2.1相等关系与不等关系 45
一、内容提要 45
二、释疑解惑 46
三、典型例题 48
2.2基本不等式 51
一、内容提要 51
二、释疑解惑 52
三、典型例题 53
2.3基本不等式的应用 60
一、内容提要 60
二、释疑解惑 61
三、典型例题 62
2.4二次函数与一元二次方程、不等式 67
一、内容提要 67
二、释疑解惑 68
三、典型例题 70
2.5一元二次不等式的应用 75
一、内容提要 75
二、释疑解惑 77
三、典型例题 77
第3章函数的概念与性质 84
3.1函数的概念 85
一、内容提要 85
二、释疑解惑 85
3.2函数的表示 90
一、内容提要 90
二、释疑解惑 90
三、典型例题 91
3.3函数的单调性与最值(1) 97
一、内容提要 97
二.释疑解惑 97
三、典型例题 98
3.4函数的单调性与最值 103
一、内容提要 103
二、释疑解惑 103
三、典型例题 104
3.5函数的奇偶性 109
一、内容提要 109
二、释疑解惑 109
三、典型例题 110
第4章幂函数、指数函数和对数函数 114
4.1实数指数幂 115
一、内容提要 115
二、释疑解惑 116
三、典型例题 116
4.2 幂函数 120
一、内容提要 120
二、释疑解惑 121
三、典型例题 121
4.3 指数函数的图像与性质 (1) 127
一、内容提要 127
二、释疑解惑 127
三、典型例题 129
4. 4 指数函数的图像与性质 (2) 134
一、内容提要 134
二、释疑解惑 134
三、典型例题 135
4. 5 对数的概念及其运算 139
一、内容提要 139
二、释疑解惑 140
三典型例题 141
4. 6 对数函数的图像与性质 (1) 145
一、内容提要 145
二、 释疑解惑 145
三、典型例题 146
4. 7 对数函数的图像与性质 (2) 149
一、内容提要 149
二. 释疑解惑 150
三、典型例题 152
4.8 函数的零点与二分法 158
一、内容提要 158
二、释疑解惑 158
三、典型例题 161
4.9 函数图像的变换 166
一、内容提要 166
三、典型例题 168
4. 10 函数模型及其应用 176
一、内容提要 176
二、释疑解惑 177
三、典型例题 181
第5章三角函数 187
5.1任意角及弧度制 187
一、内容提要 187
二.释疑解惑 188
三、典型例题 188
5.2任意角三角函数定义与同角三角函数关系式 191
一、内容提要 191
二、释疑解惑 193
三、典型例题 194
5.3诱导公式 198
一、内容提要 198
二.释疑解惑 198
三、典型例题 200
5.4三角函数的图像与性质 202
一、内容提要 202
二、释疑解惑 203
三、典型例题 205
5.5函数的图像与性质 209
一、内容提要 209
二、释疑解惑 210
三、典型例题 213
5.6三角函数模型的简单应用 217
一、内容提要 217
二、释疑解惑 218
三、典型例题 219
5.7函数周期性与特殊对称性关系 229
一、内容提要 229
二.释疑解惑 230
三、典型例题 230
第6章统计学初步 234
6.1获取数据的途径及统计概念 235
一、内容提要 235
二.释疑解惑 236
三、典型例题 236
6.2统计图表 238
一、内容提要 238
二、释疑解惑 239
三、典型例题 239
6.3用样本估计总体 252
一、内容提要 252
二、释疑解惑 253
三、典型例题 253
第1章集合与逻辑
本章主要介绍集合和常用逻辑用语.具体包括元素与集合的含义,元素与集合的关系,集合的表示方法;集合与集合的关系;集合的基本运算;命题的条件与结论;三个常用逻辑用语,即充分条件、必要条件和充要条件;全称量词和存在量词的概念,含有量词的命题及否定.
本章知识结构框图如下:
1.1集合
一、内容提要
1.元素与集合的含义
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集.集合中研究的每一个对象,都叫作这个集合的一个元素.
集合的元素未必有共性,如奶瓶和书桌,虽然它们没有什么共同特征,但在研究某些问题时可以把这些对象放在一起组成集合.集合本身也可以是研究对象,如由集合的元素组成的所有集合可以构成一个集合,这个集合的元素就是三个集合.
2.元素与集合的关系
集合中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系.元素与集合的关系是“属于”或“不属于”,对应的符号是“或“
3.集合中元素的性质
集合的元素具有互异性、确定性、无序性.具体地,同一集合中的元素是互不相同的;集合中的元素是确定的,亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的;集合中的元素没有顺序.
4.集合的表示方法
把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法.把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这种方法叫作描述法.
描述法主要用符号语言描述,但也可以用自然语言描述,如我校高一的学生}.在使用符号语言描述时,要严格遵循格式要求,其基本格式是元素(的代表符号)|元素的性质。不能交换竖线前后的内容.
在一些情况下,同一个集合既可以用列举法表示,也可以用描述法表示。例如,与是同一个集合.面对具体集合时,根据情况选择更合适的方法进行表示.
5.集合的分类
集合的分类方式不唯一,如果按照研究对象分类,常见的有数集和点集;按照元素的个数分类,可以分为有限集(包括空集)和无限集.
要记住常用数集符号,例如,表示自然数集(nature),Z表示整数集(“整数”的拼音首字母:),表示有理数集(quotient,商),表示实数集(real),这为后续学习提供了简洁的符号表示.
6.区间
数学里最常用的一类集合是区间,用这种简化的符号表示实数集中某一连续范围的集合.
根据左端点、右端点的情况可分为开区间、闭区间、左闭右开区间,等等。“”是一个符号,不是数.所以“”或”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
注意,要充分熟悉区间的形式,同时能把区间在数轴上表示出来,体会数形结合的思想.
不是任何数集都能用区间表示.例如,集合就不能用区间表示,根据区间的定义,区间的隐含条件是,不能是,或.
二.释疑解惑
【问题1-1】举例说明,初中接触的“集合”有哪些 今天学习集合的概念之后有哪些新的认识
答:初中接触的“集合”有不等式的解集,例如,不等式的解集为;在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.集合是一个原始的、不定义的概念,教科书采用了描述式的定义方式.集合是一种语言,借助集合的语言可以更简洁、准确地表达数学的研究对象,例如,数集、不等式(组)的解集,函数的定义域和值域,立体几何中的点、线、面之间的关系,平面解析几何中的曲线与方程,等等.
高中要求更规范地表示集合,不等式的解集应写为.以后,变量的取值范围都要写成集合的形式.例如,使关于的方程有负实数解的的取值范围是.
【问题1-2】如何选用列举法、描述法 利用描述法表示集合有哪些需要注意的地方
答:要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无限时,就不宜采用列举法,例如,看到,我们只能猜想这是100以内的正奇数的集合,但如果用描述法,且就清楚多了;描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共有属性的集合,当元素共有属性不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法,例如,用描述法表示就没有必要.
利用描述法表示集合应该注意以下三点:
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合不能写成.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内,例如,,这种表达方式就不符合要求,应将也写进大括号内,即.
(3)不能出现未被说明的字母.例如,,在这里,是实数还是整数区别很大.
【问题1-3】将所有不是自身元素的集合构成一个集合,即.请问:是否属于
答:根据的定义,不属于;反之,如果不属于,同样根据定义,就属于.所以这个问题无法回答,这就是著名的罗素悖论(俗称“理发师悖论”).
传说理发师的广告词是“我只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子”,那么他能不能给自己刮胡子呢 “理发师悖论”引发了第3次数学危机.
三、典型例题
【例1-1】已知集合,若,求实数的值.
【分析】本题要求根据元素与集合的关系,确定参数的值.因为元素的无序性,所以4可能是其中两个元素中的任意一个.求出的值后要检验,确保集合中有三个不同的元素.
【解析】根据条件,(1)若,则或,
当时,集合中的元素依次为,与“互异性”矛盾,故舍去;
当时,,满足条件.
(2)若,则,此时,满足条件.
综上所述,或.
【点评】集合是由元素唯一确定的,这也是集合的本质,不可忽视元素的三个特性(互异性、确定性、无序性).
【练习1-1】已知集合,且,求的值.
【练习1-2】设,集合中含有三个元素.
(1)求元素应满足的条件;
(2)若,求实数.
【例1-2】用列举法写出以下集合.
(1);
(2).
【分析】本题要求将描述法表示的集合用列举法改写.描述法中坚线左边是集合的元素,所以集合中的元素是,且;集合中的元素是,且.
【解析】(1)因为是自然数,也是自然数,所以是12的正约数.于是可以为,得的值为,所以.
(2)由(1)知,的值可以为,故.
【点评】例1-2帮助我们理解集合的两种不同的表示方法,注意,用描述法表示集合时,形式要规范,尤其注意坚线两边的含义不同,不能随意交换,否则就会导致对象与性质发生变化,得到不同的集合.
【练习1-3】用列举法写出以下集合.
(1)___________
(2)___________
【练习1-4】下面四个集合:
.
它们各自的含义是什么 哪些集合是相同的集合
【例1-3】已知集合,在下列条件下分别求实数的取值范围。
(1);
(2)恰有一个元素.
【分析】集合是方程的解集,要注意,只有在时该方程才是一元二次方程,才有判别式.
【解析】(1)若,则关于的方程没有实数解,则,且,所以,实数的取值范围是;
(2)若恰有一个元素,则关于的方程恰有一个实数解,
(1)当时,,满足题意;
(2)当时,,所以.
综上所述,的取值范围为.
【点评】例1-3以初中知识为载体,讨论形如的方程的根的情况,体会集合语言,以及分类讨论思想.
【练习1-5】已知集合.
（1）若是空集,求的取值范围;
（2）若中只有一个元素,求的值,并求集合;
(3)若中至少有一个元素,求的取值范围.
【练习1-6】已知,若集合与是同一集合,求的值.
【例1-4】设,求证：
(1)一切奇数属于;
(2)偶数不属于;
（3）属于的两个整数,其积仍属于.
【分析】要证明某元素属于,就要将该元素构造为集合元素所需要的形式.
(1)就是证明一切奇数都可以表示为两个整数的平方差,采取待定系数法分析,令,注意到与奇偶性一致,试着令,则,这就把确定下来了;
(2)只是偶数中的一种,现在要证明这种形式的偶数不可能表示为两个整数的平方差,可以尝试反证法;
（3）要证明“若两个整数分别可以表示为的形式,那么它们的积也可以表示为的形式”,即证明可表示为的形式,问题转化为整式的恒等变形。
证明：（1）设为任意奇数,则,
因为,且均为整数,所以.
由的任意性知,一切奇数属于.
（2）假设,则存在,使得,
即.所以与必有一个是偶数.
又与具有相同的奇偶性,所以与同为偶数.
所以必定能被4整除,但表示不能被4整除的偶数,矛盾.
综上所述,偶数不属于.
(3)设,则存在,使得.
因为
而,
所以.
【点评】例1-4利用整式的运算来研究集合的元素,需要较高的变形技巧.第(3)问的难点是将化为的形式,想到了分成两组,前一组化为,后一组化为.
【练习1-7】(多选题)设,则对任意整数,形如的数中,集合中的元素为().
A.
B.
C.
D.
【练习1-8】设是满足下列两个条件的实数所构成的非空集合:(1),(2)若,则,请解答下列问题.
(1)若,则中必有另外两个数,求出这两个数;
(2)求证:若,则;
(3)求证:集合中至少有三个不同的元素.
1.2子集和补集
一、内容提要
1.子集关系
如果集合的每个元素都是集合的元素,就说包含于,或者说包含,记作(或),读作“包含于”(或“包含”).若包含于,则称是的一个子集.如果并且,就说两个集合相等,记作.如果但,就说集合是集合的真子集,记作,读作“真包含于”.
子集的性质:(1)任何一个集合都是它本身的子集,即.空集是任意集合的子集.(2)包含关系的传递性,若,则有;若,则有.
子集关系是集合与集合之间的整体关系,这种关系是通过元素与集合的关系进行定义的.例如,若是非空集合,且,从元素的角度看,任意,都有,并且存在,有.
区别接连符号“与“连接的是元素与集合,表示元素与集合之间的关系;而“连接的是集合与集合,表示集合与集合之间的关系.
通过归纳,我们知道元集合的子集个数为;非空子集个数为;非空真子集个数为.
2.全集与补集
如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合的元素和子集,就可以约定把集合叫作全集(或基本集).若是全集的子集,中不属于的元素组成的子集叫作的补集,记作,且.
不论是否是的子集,都可用表示中不属于的元素组成的子集,即,且,叫作与的差集.显然,补集是差集的特殊情形,.
补集的性质:;若,则;若,则.
补集不仅体现集合间的关系,也是一种集合基本运算.有些数学问题,当正向解决比较困难时,可以考虑先解决其对立情形,反过来便可解决原问题,即“正难则反”,可以认为这种想法就是补集思想.
3.韦恩图
在数学中,用平面上封闭曲线的内部表示集合间关系(或集合)的示意图叫作韦恩图(即Venn图),如图1-1所示.
韦恩图可以形象直观地表示集合之间的关系.对于本节的子集与补集,不仅要会用自然语言、符号语言来描述,还要学会用图形语言(韦恩图)来表示.
图1-1
二、释疑解惑
【问题1-4】(1)根据子集的定义,“是的子集”等价于“对于任何,有”,请说出“不是的子集”的等价条件;
（2）空集是任何集合的子集.已知集合,那么“是的子集”等价于“,且”,对吗
答:(1)“不是的子集”的等价条件是“存在,使.
(2)不对.以上说法忽视了(是空集)时,并不要求属于.例如,当,时,,有.因此,“是的子集”等价于“,或者”,其中包括但又不限于这种情形.
【问题1-5】一个含有个元素的集合有多少个子集 你是如何得到这个结论的
答:一元集合的子集为:,共个;二元集合的子集为:,,共个;三元集合的子集为:,共个.......我们发现:如果在原有集合中增加一个元素，那么将原有的每一个子集添加这个新元素,恰好得到所有新增加的子集,所以子集数正好增加一倍.因此,猜想元集合的子集个数为;非空子集个数为;非空真子集个数为.由特例归纳得到的一般结论需要论证,在学习计数原理之后,我们知道,要形成集合的一个子集,共有(个2相乘)种方法,所以它有个子集。
【问题1-6】(1)集合的补集是,对吗
(2)若,则,对吗 请说明理由.
答:(1)不对.研究一个集合的补集要有两个前提条件:一是确定全集,二是.不能脱离这两个条件研究补集.对任意与,有且只有一个成立,但全集不同,补集也会不同.本问中,设,如果全集,那么,但如果全集,那么或.数学研究中,明确在什么范围内讨论问题非常重要,否则易出逻辑上的错误.
(2)对.集合与逻辑关系密切.对任意,则.因为,所以,所以,所以.
三、典型例题
【例1-5】用符号“”“填空.
(1)2______________________N.
(2)___________
【分析】先区分空格两边是元素与集合,还是集合与集合,从而决定是用“属于”符号还是“包含于”符号.
【答案】(1.
【点评】“”与“容易混淆,要理解它们的区别.研究对象的理解不同,答案也可能不同,例如,(1)中与,如果将看作集合,那么;如果将看作元素,那么中并没有这个元素,于是,所以答案并不唯一.(2)中是空集,它没有元素,相当于{}与都不是空集,前者有一个元素,后者有一个元素0.
【练习1-9】(多选题)下列各式中正确的是().
A.
B.
C.
D.
【练习1-10】(多选题)设全集,集合,则的子集为.
A.
B.
C.
D.
【例1-6】(1)满足条件的集合的个数是________
(2)设,若,则的取值范围是________
【分析】(1)集合形如,省略号的位置至少有一个元素,并且来自集合,于是问题转化为求集合的非空子集数.
(2)将集合在数轴上表示出来,注意边界情况.
【答案】(1)7;(2.
【点评】(1)问将问题等价于求集合的子集(真子集)的个数问题,体现了数学中的“同构”思想.(2)问探究集合的包含关系,渗透数形结合思想,提升直观想象素养.
【练习1-11】集合满足,则集合的个数为________个.
【练习1-12】已知.若,求实数的取值范围.
【例1-7】若关于的方程中至少有一个方程有实根,试求实数的取值范围.
【分析】“三个方程至少有一个方程有实根”,从正面考虑有七种情形，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”.因此,先求得使同时成立的的取值范围,再求其补集。
【解析】若三.个方程均无实根,则有
解得.
于是三个方程中至少有一个方程有实根的实数的取值范围是或.
【点评】例1-7从正面解决有困难,所以反向思考,这是数学思维方式一正难则反,利用了逻辑上的对立关系与补集关系之间的关联性.可以看出,补集不仅是集合之间的关系,补集思想也是一种重要的思维方式.
【练习1-13】已知三个集合:,求使三个集合中至少有一个集合为非空集合的实数的取值范围。
【练习1-14】已知,若不包含于,求实数的取值范围。
【例1-8】设集合,若,把的所有元素的乘积称为的容量(若中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若的容量为奇(偶)数,则称为的奇(偶)子集.
(1)记的所有子集的容量之和为,试探索与的关系;
（2）若,求的所有偶子集的容量之和.
【分析】表示的所有子集的容量之和,不妨列出的所有子集及对应的容量,得到,同样,得到,在这一过程中要注意与的子集的关系,从而发现容量之间的联系。(1)问提醒我们,与之间有关系,因此,由依次可得到,而是两个数的和:偶子集的容量之和+奇子集的容量之和,想想这两个数哪个容易得到.
【解析】(1)集合共有8个子集,分别为:,,这些子集的容量分別记为:,其中;
集合的子集包括了的8个子集,在这些子集内各添加4,又得到8个不同的子集,所以共有16个子集,显然这些子集的容量分别为:,
其中,
所以,
所以.
(2)同理可得:.
因为,所以.
因为的奇子集只有3个:,它们的容量之和显然为7,
所以所有偶子集的容量之和为.
【点评】例1-8是基于“对应”设计的数学问题.(1)问是要找到递推关系,这也是等价转化思想的具体应用;(2)问将“偶子集的容量之和”,转化为“奇子集的容量之和”,是“正难则反”思维的又一次尝试。
【练习1-15】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空子集与,这两个子集没有公共元素,所有元素又组成.例如,.若中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立的是
(1)没有最大元素,有一个最小元素;
(2)没有最大元素,也没有最小元素;
(3)有一个最大元素,有一个最小元素;
(4)有一个最大元素,没有最小元素.
【练习1-16】已知集合为非空数集,定义:.
(1)若集合,求证:,并直接写出集合;
(2)若集合,且,求证:;
(3)若集合与无公共元素,记为集合中元素的个数,求的最大值.
1.3集合的交与并
一、内容提要
1.交集
在数学里,把所有既属于又属于的元素组成的集合,称为与的交集,记作,读作“交”,即且.如图1-2所示.
图1-2
注意定义中“所有”一词,是由中全部的公共元素组成.若,,那么,而不是.
交集有如下运算性质:(交换律);;若,则;若,则.
2.并集
把集合中的元素放在一起组成的集合,称为与的并集,记作,读作“并”,即或.
注意定义中的“或”与生活用语中的“或”的含义有所不同,生活用语中的“或”,常常是两者中只取其一,并不兼顾;但并集中的“或”则两者可兼有,即“或”包含三种情形:(1),但;(2),但;(3),且.在并集中,两个集合的公共元素只能出现一次,这是因为集合元素满足互异性,因此并集中任何一个元素只会是(1)(2)(3)中的一种情况.如图1-3所示.
图1-3
并集有如下运算性质:(交换律);;;若,则;若,则.
3.(拓展)集合中元素的个数
在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,可用韦恩图表示两集合的
交、并、补.如果用表示有限集合元素的个数,即表示有限集的元素个数,则有如下结论：
(1);
(2).
这一结论,在计数上称为容斥原理.如图1-4所示.
图1-4
二、释疑解惑
【问题1-7】类比实数的运算性质,集合的交与并除了满足交换律之外,是否还满足其他运算性质？请用韦恩图验证下列结论是否成立,并尝试从理论上证明.
结合律:
(1);
(2).
分配律:
(3);
(4).
答:选择(3)来研究,先画出等式两边的韦恩图,如图1-5所示.
图1-5
图1-5中三个图,左图水平纹路的阴影表示,坚直纹路的阴影表示,于是网络纹路的阴影表示;右图水平纹路的阴影表示,坚直纹路的阴影表示,于是两种阴影合起来表示.对比发现,(中图).同样的方法可以验证其他等式成立.但要注意这并不是理论证明.
我们从理论上证明(3):(1)任取),则,且.若,则;若,则.总之,有,或,所以,所以.(2)任取,则,或,必有.又或,所以,所以,所以.综合(1)(2),有.
【问题1-8】要想认识更复杂的运算性质,先论证一些简单的运算性质,你能证明下列两条性质吗
(1);
(2)若,则.
答:选(2)来研究.若,则对于任意的,有,于是,所以.
【问题1-9】利用韦恩图可以直观地表示集合运算的结果,如图1-6所示,全集为,试用集合与的运算表示阴影部分对应的集合.说说你的理由.
(a)
(b)
(c)
图1-6
答:集合是由元素唯一确定的,因此,弄清阴影部分中元素的特征是关键.
从图1-6(a)的阴影部分任取一个元素,则,且,从而,且,所以组成的集合是,且,即.
从图1-6(b)的阴影部分任取一个元素,则,且,从而,且,所以组成的集合是,且,即.此外,还可以是.
从图1-6(c)的阴影部分任取一个元素,则,且,且,所以组成的集合是且且.此外,还可以是.
以上的做法是从阴影部分中任取一个元素,并研究的所有属性,进而实现用集合运算表示阴影部分.
三、典型例题
【例1-9】已知全集,集合,求.
【分析】根据所求目标式,先求,再进一步运算,得到最终结果.
【解析】在数轴上表示出集合,如图1-7所示.
图1-7
易知或或.
所以,或,
,
或.
【点评】关于“交、并、补”的混合运算,要注意运算的顺序,分级完成,一般先运算括号内的部分.在求交集、并集时,注意边界元素取还是不取,求补集时要先确定全集.
【练习1-17】《西游记》《三国演义》《水游传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为().
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
【练习1-18】已知全集,集合.
（1）如图1-8(a)所示,阴影部分表示集合,求;
（2）如图1-8(b)所示,阴影部分表示集合,求.
(a)
(b)
图1-8
【例1-10】对于集合,定义,且.设,则________
【分析】根据定义,依次求出与,再求并集。
【答案】或.
【解析】,且,且,
所以,或.
【点评】例1-10通过新定义考查集合的运算.现在我们将新定义还原为“交、并、补”的基本运算.就是由中不属于的元素组成的集合,也就是在中去掉,所以,这里的全集就是R.如图1-9(a)所示,粗线对应的部分就是.同理,,如图1-9(b)所示.因此,利用数轴可以直观地看到,用韦恩图表示为图1-9(c).我们感觉到,就是在中去掉,即.于是,请研究这一等式是否普遍适用。
【练习1-19】若全集为和均为二次函数,,则不等式组的解集可用表示为________.
【练习1-20】(多选题)定义,且叫作集合的对称差,若集合,则以下说法正确的是().
A.
B.
C.
D.
【例1-11】已知集合.
(1)当时,求;
(2)若中含有四个自然数,试求的取值范围.
分析对于两个不等式的解集或两个区间,求交集时,一般借助数轴，两个集合的交集对应两个集合在数轴上所覆盖部分的公共区域.移动含参数的端点,直至满足条件为止.
【解析】(1)当时,.
(2)当时,.如图1-10所示,观察.
图1-10
公共区域分为两部分,左部分有自然数0,因此右部分必须有,
所以,
所以的取值范围是.
【点评】要关注的取值范围的端点是否能取到.例1-11能很好地帮助学生形成分类讨论思想,培养学生严谨的数学思维习惯。通过数轴展示两个集合的交集或并集更具直观性.
【练习1-21】已知集合,若有三个元素,则实数的取值范围是().
A.
B.
C.
D.
【练习1-22】已知全集,集合.若,求实数的取值范围.
【例1-12】已知集合,同时满足(1),(2).求的值.
【分析】集合的方程的系数顺序相反,说明两个方程的根有关系.条件(1)说明集合有相同的元素,条件(2)说明但.
【解析】设,则有,显然,两端同除以,得,即,则知,故集合中元素互为倒数.
由条件(1)(2)知,集合都有两个元素,即若,则.由,若,则,从而,与题意不符.
不妨设,解得.
又,则,所以或.
由此得或.
由根与系数的关系,有或
解得或
【点评】这是一个综合性较强的问题,以二次方程为载体,考查综合分析集合运算的能力.
【练习1-23】设集合中至少有两个元素,且满足:(1)对于任意,若,都有;(2)对于任意,若,则.下列命题正确的是
A.若有4个元素,则有7个元素
B.若有4个元素,则有6个元素
C.若有3个元素,则有5个元素
D.若有3个元素,则有4个元素
【练习1-24】已知集合,y),则
（1）当取何值时,是一个二元集
（2）当取何值时，是一个三元集
1.4命题、充分条件和必要条件
一、内容提要
1.命题
可以判断为可能成立,也可能不成立,两者必居其一且仅居其一的陈述可叫作命题.如果一个语句不是陈述句,而是疑问句、祈使句、感叹句等,那么它就不是命题.对于像这样的含有变量的语句称为开语句,由于未将研究对象局限在特定的集合上,故不是命题.
成立的命题叫作真命题,不成立的命题叫作假命题.判断一个命题为真命题要进行严谨的推理、论证.我们学过的公理、基本事实、定理都是真命题,而要判断一个命题是假命题,则只需举出一个反例.
命题只有“真”“假”两种判断,没有第三种选择.数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想.好的猜想对数学的发展能起到很大的推动作用.如费马定理“当整数时,方程没有整数解”,相当长一段时间内都是作为猜想而存在的.
如果是一个命题,则“不成立”也是一个命题,叫作的否定,记作,读作“非”,显.然,也是的否定,在和两者之中,一定有一个为真,有一个为假.正是因为命题和的真假相反,所以当的真假不易判断时,可通过判断的真假来判断的真假.
命题的一般形式为“若,则”.其中叫作命题的条件,叫作命题的结论.当命题“若,则”为真,则记作,读作“推出”;当命题“若,则”为假,则记作,读作“推不Hq”。
2.(拓展)命题的四种形式
命题有四种不同的形式,设原命题为“若,则”的形式,则逆命题为“若,则”;否命题为“若,则”;逆否命题为“若,则”.原命题与逆命题的真假没有必然联系.原命题与逆否命题同真同假,即“若,则”为真(假),则“若,则”亦为真(假).
3.充分条件与必要条件
当“若,则”成立,即时,把叫作的充分条件,叫作的必要条件.如果是的充分条件,那么命题“若,则”是真命题.若.则不是的充分条件,也不是的必要条件.
如果既有,又有,就记作,即既是的充分条件,又是的必要条件,此时我们称是的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时也是的充要条件.换句话说,如果一个命题和它的逆命题都成立,则此命题的条件和结论互为充分必要条件.
条件与结论的关系如下：
(1)若,但,则是的充分不必要条件;
（2）若.但,则是的必要不充分条件;
(3)若且,即,则与互为充要条件;
(4)若,且,则是的既不充分也不必要条件.
以上均包含两个方面.例如要证明是的充分不必要条件,对于命题“若,则”,既要证明原命题是真命题,又要证明逆命题是假命题,两个方面都不可少.
因此,要理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理、充要条件与数学定义的关系,体会逻辑在数学中的重要地位.
二、释疑解惑
【问题1-10】当时,把叫作的充分条件,叫作的必要条件.如何理解这里的“必要”
答:当时,,也就是说,若不成立,则必不成立,所以说对于的成立是必要的.比如“心脏是人的一个必要器官”,没有心脏,人不可活,所以“必要”体现的就是“没它不行”的含义.表示没有就没有,因此是必要的.
【问题1-11】当时,对于,它的充分条件唯一吗 对于条件,它的必要条件唯一吗 举例说明充分条件、必要条件、充要条件和判定定理、性质定理、数学定义之间的关系.
答:设:四边形的两组对角分别相等,:四边形是平行四边形.对于,它的充分条件不唯一,例如,:四边形的两组对边分别相等,等等.条件分别与构成的命题就是平行四边形的判定定理.一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
设:四边形为平行四边形,:四边形的两组对角分别相等.对于,它的必要条件不唯一,例如,:四边形的两组对边分别相等,等等.条件分别与构成的命题就是平行四边形的性质定理.一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.由此我们给出平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.因为“四边形是平行四边形”的充要条件并不唯一,所以还可以给出平行四边形的其他形式的定义.一般地,数学定义就是给出相应数学概念成立的一个充要条件.
以上内容的具体关系如图1-11所示.
图1-11
【问题1-12】如何用集合间的关系判断充分、必要条件
答:集合如果满足,可得到,且,所以
是的充分不必要条件.可见,用集合间的包含关系能够判断充分与必要条件.
设语句中变量的取值范围为集合,语句中变量的取值范围为集合,即就是说满足,则必满足,所以.类似地,与等价,与等价.如表1-1所示.
表1-1
记法
关系 H
图示 结论 是的充分 是的必要 互为
当所研究的含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集、与集合有关或所描述的对象可以用集合表示的问题时,可以借助集合间的包含关系,利用韦恩图或数轴解题的技巧.
用集合的观点也可以轻松理解充分条件与必要条件的“传递性”:(1)若是的充分条件,是的充分条件,即,则有,即是的充分条件;(2)若是的必要条件,是的必要条件,即,则有,即是的必要条件;(3)若是的充要条件,是的充要条件,即,则有,即是的充要条件.
三、典型例题
【例1-13】将下列命题改首成“若,则”的形式,并写出其逆命题、否命题、逆否命题.
(1)负数的立方是负数;
(2)对顶角相等.
分逝辰先明确命题的条件和结论,再改写成“若,则”的形式.交换原命题的条件和结论就得到逆命题;同时否定原命题的条件和结论就得到否命题;同时否定原命题的条件和结论后,再交换就得到逆否命题。
【解析】(1)原命题:若一个数是负数,则这个数的立方是负数;
逆命题:若一个数的立方是负数,则这个数是负数;
否命题:若一个数不是负数,则这个数的立方不是伫数;
逆否价题:若一个数的立方不是负数.则这个数不是负数.
(2)原命题:若两个角是对顶角,则这两个角相等;
逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角;
否命题:若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;
逆否命题:若两个角不相等。则这两个角不是对顶角.
点速离将命题写成“若.则”的形式时,要注意语言的简洁性、准确性、完整性.改写后的命题可以清楚地看出其条件和结论,为进一步研究作铺垫.高中阶段对于命题的四种形式中的否命题和逆否命题不作要求,了解即可.
【练习1-25】将下列命题改写成“若,则”的形式,并判断其真假.
(1)末位数字是0或5的整数,能被5整除;
(2)方程有两个实数根.
【练习1-26】将下列命题改写成“若,则”的形式,并判断其真假.
(1)正边形的个内角全相等;
（2）已知为实数,当时,或.
【例1-14】(多选题)的一个充分不必要条件是().
A.
B.
C.
D.
【分析】本题要找出一个选项，使得这个选项能推出,但推不出这个选项。可以先找到的充要条件再调整.
【答案】B,D.
【解析】因为或.所以(或是的一个充分不必要条件.
【点评】例1-14告诉我们,的充分不必要条件不唯一.此外,要注意“是的充分不必要条仵”“的充分不必要条件是”的区别,前者表示“,且,后者表示“,且.
【练习1-27】已知是实数,则是的().
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【练习1-28】(多选题)给出四个条件：
(1);(2);(3);(4).
其中能成为的充分条件的有().
A.(1)
B.(2)
C.(3)
D.(4)
【例1-15】设.求证:是的充要条件.
【分析】设.要证明是的充要条件,先证明充分性,即是的充分条件,再证明必要性,即是的必要条件.
证明:(1)充分性:如果,则有和两种情况.
当时,有或.
若,则,等式成立;若,同理有等式成立.
所以当时,等式成立.
当时,有或.
若,则,所以等式成立;
若,则,所以等式成立.
总之,当时,成立.
(2)必要性:如果,则,
即,所以,所以.
综合(1)(2)可知,是成立的充要条件.
【点评】证明充要条件需要从两方面进行,既要证明充分性,又要证明必要性,注意不可将充分性与必要性混淆.
【练习1-29】设,且,求证:成立的充要条件是.
【练习1-30】求证:关于的方程至少有一个负根的充要条件是.
【例1-16】已知,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【分析】先化简中的不等式,再将与的关系转换为与之间的关系,以此确定参数的取值范围。
【解析】由题意得.
设,
因为是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件，所以.
当,即时,为空集,符合题意;
当,即时,(等号不能同时成立).
由不等式组解得;等号同时成立的条件是且,舍去.
义,所以.
综上所述,.
【点评】根据与的关系确定参数的范围,转换为由集合与的包含关系求参数的范围。
【练习1-31】已知或或,其中.若是的充分不必要条件。求的取值范围。
【练习1-32】已知关于的方程.求：
(1)方程有两个正根的充要条件;
(2)方程至少有一个正根的充要条件.
1.5全称量词和存在量词
一、内容提要
1.全称量词与存在量词
短语“任意”“所有”“每一个”等叫作全称量词,数学上用符号“”表示,常用的全称量词还有“一切”“任给”等.短语“存在某个”“至少有一个”等叫作存在量词,数学上用符号“””表示,常用的存在量词还有“有些”“对某个”“有的”等,它们都表示个体和局部的含义.
2.全称命题与特称命题
开语句不是命题,但如果添加的范围就能使之变成命题.将含有变量的陈述句用表示,将语句中变量的取值范围用集合表示,则语句“对的任一个元素,有成立”叫作全称命题.用符号简单地表示为,.语句“存在的某个元素,使成立”叫作特称命题.用符号简单地表示为.将文字语言表述的命题转换成用符号语言表达的含量词命题,使之更准.确,更简洁.
3.判断含量词命题的真假
在判断全称命题为真时,要对限定集合内的每个元素验证性质成立.在判断特称命题为假时,要证明限定集合内的所有元素都不具有.也就是说,判定全称命题为真或特称命题为假时,需要进行推理证明;而判定全称命题为假或特称命题为真时,只需举例说明即可.
4.含量词命题的否定
对一个命题进行否定,得到一个新的命题,称其为原命题的否定.一般地,命题,的否定是;命题的否定是.
要正确地对全称命题或特称命题进行否定,一方面要充分理解全称量词与存在量词的含义,对原命题否定时,改量词、否结论,但范闱不变;另一方面要充分利用原命题与它的否定在形式上只能一个为真、一个为假来加以判断.
注意“命题的否定”与“否命题”见1.4节抔展)的区别.原命题“若,则”,其否命题是“若.则”.原命题..5否命题的真假并无必然联系,例如,原命题为“若,则”,否命题为“若.则”,两个命题均为真.命题与命题的食定必然是一真一假,在高中阶段只需要掌握“全称量闹命题与存在量词仰题的否定”.
5.(拓展)逻辑联结词“非”“且”“或”
已经学习了联结词“非”,知道的否定,记作,读作“非”.下面谈“月,”“或”.
用联结词“且”把命题和命题联结起来.就得到一个新命题.记作.读作“且”.一般地.当都是真价题时,是真命题;当两个命题中有一个命题是假命题时是假命题.例如.:平行四边形对角线互相平分,:平行叫边形对角线相等,:平行四边
形对角线互相平分且相等,由于是真命题,是假命题,所以是假命题.
用联结词“或”把命题和命题联结起来,就得到一个新命题,记作,读作“或”.一般地,当两个命题中有一个命题是真命题时,是真命题.例如,:集合是的子集,:集合是的子集,:集合是的子集或集合是的子集,由于是假命题,是真命题,所以是真命题.表示“,或”,所以也是真命题.
如图1-12(a)所示,我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义.若开关的闭合与断开分别对应命题的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题的真与假.
如图1-12(b)所示,我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义.若开关的闭合与断开分别对应命题的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题的真与假.
(a)
(b)
图1-12
总之,“非命题”的真假特点是“一真一假”;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”;“或命题”的真假特点是“一真即真”.
二释疑解惑
【问题1-13】全称命题与特称命题一定含有量词吗
答:有很多情形下,全称量词常常被省略,即没有量词的命题往往是全称命题.而存在量词则不能省略,它常用“有”字来表述.例如，“平行四边形的对角线互相平分”是全称命题,但省略了全称量词，它的否定是“有的平行四边形的对角线不互相平分”,则不能省去“有的”.
【问题1-14】含量词命题的否定要注意否定词语的使用,请列举一些正面叙述词语和它的否定词语.
答:常用的正面叙述词语和它的否定如表1-2所示.
表1-2
原词语 否定词语 原词语 否定词语
等于 不等于 至多一个 至少两个
大于 不大于 至多一个 至少两个
(续表)
原词语 否定词语 原词语 否定词语
小于 不小于(大于或等于,)
至多个 至少个
是 不是 所有的 某些
都是 不都是 任意的 某个
【问题1-15】(1)从集合的观点,谈谈你对逻辑联结词“非”“且”“或”的理解.
(2)德 摩根定律是关于命题逻辑规律的一对法则,它在集合论中的表达式为
.
请从逻辑的角度阐述该定律的表达形式.
答:(1)逻辑联结词“日”“或”“非”与集合中的“交”“并”“补”密切相关.
(1)“且”与“交”的关系:若都是真命题,则是真命题;若中至少有一个是假命题,则是假命题.对于集合的“交”有:若,则;若或,则.把命题分别对应于集合,“真”“假”“”分别对应于“””,那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性.具体地说,就是“是真命题”对应于是真命题”对应于是真命题”对应于,“是假命题”对应于.
(2)“或”“并”的关系:若都是假命题,则是假命题;若中至少有一个是真命题,则是真命题.对于集合的“并”有:若,则;若或,则.
(3)“非”与“补”的关系:若是真命题,则是假命题;若是假命题,则是真命题.设为全集,若.则;若,则.
(2)直观地看,如图1-13(a)所示,就是指“交之补”等于“补之并”;如图1-13(b)所示,就是指“并之补”等于“补之交”.
(a)
(b)
图1-13
从逻辑的角度来训.例如,“且的否定就是“或或”的否定就是“且.
三、典型例题
【例1-17】将下列命题用符号语言表达,指出它是全称命题还是特称命题,并判断真假.
(1)每个有理数都是实数;
(2)有一个实数,使得;
(3)对任意正整数,都有.
【分析】关注每个命题中的量词，(1)中有全称量词“每个”，(2)中有存在量词“有一个”,（3）中有全称量词“任意”,据此可用符号语言表述为全称命题与特称命题并判断其真假.
【解析】(1)用符号语言表达为,它是全称命题,是真命题.
（2）用符号语言表达为,它是特称命题.
因为方程的判别式,
所以该方程无解,所以不存在,使.
所以该命题为假命题.
(3)用符号语言表达为,它是全称命题.
当时,,所以该命题为假命题.
点评判断一个命题的类型,关键是看量词,全称命题有时会省去全称量词,这时把全称量词补充出来看是否讲得通.全称命题如果是真命题,需要严格证明命题对指定范围内的所有元素都成立;如果是假命题,只要举出一个反例即可.特称命题如果是真命题,只需要找到指定范围内的某个变量满足即可;如果是假命题,需要严格地证明命题对指定范围内所有元素都不成立.(3)中的反例并不止一个,还有的情形,但并不需要举出所有反例。(2)还可以采用配方说明,,因此使的不存在,所以该命题为假命题。
【练习1-33】(多选题)下列命题是的表述方法的有().
A.有一个,使得成立
B.对有些,使得成立
C.任选一个,都有成立
.至少有一个,使得成立
【练习1-34】将下列命题用符号语言表达,指出它是全称命题还是特称命题,并判断真假.
(1)任一个实数乘以-1都小于它本身;
(2)存在一个实数对,使成立;
(3)有些整数既能被2整除,又能被5整除;
(4)某个四边形不是平行四边形.
【例1-18】写虫下列命题的否定,并判断它们的真假.
（1）:对于任意正整数,使能被2整除;
(2):某些三角形是等边三角形;
(3):有的偶数的立方不是偶数.
分析注意关键词“任意”“某些”“有的”,确定所叙述对象的特征,并进行否定.
【解析】(1)不能被2整除.为真命题.
(2):所有三角形都不是等边三角形.为假命题.
(3):所有偶数的立方都是偶数.为真命题.
【点评】书写全称命题与特称命题的否定的步骤是:(1)确定原命题的类型,注意有些命题省略的量词要补上;(2)改换量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词;(3)否定结论.当判断的真假有困难时,可转而判断的真假.
【练习1-35】写出下列命题的否定,并判断它们的真假.
(1):所有能被5整除的整数都是奇数;
(2):每一个四边形的四个顶点共圆;
(3)对任意的个位数字不等于8.
【练习1-36】写出下列命题的否定,并判断它们的真假.
(1);
(2):有的四边形是矩形;
(3):有一个素数含三个正因数.
【例1-19】已知命题,命题.若两个命题都是真命题,则实数的取值范围为.
A.或
B.或
C.
D.
【分析】命题为真,则在上恒成立;命题为真,则方程有实数解.由此分别得到参数的取值范围,又两个命题都为真,则求出两个取值范围的交集即可.
【答案】A.
【解析】由命题为真,得;由命题为真命题,得成立,即,所以,得或.因为两个命题都是真命题,所以或.
【点评】已知含量词的命题真假,求参数的取值范围,一般题目中会出现“恒成立”“存在”等量词.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转换为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
【练习1-37】已知,那么的取值范围分别是().
A.
B.
C.
D.
【练习1-38】和是方程的两个实根,命题;命题.若命题是真命题,命题是假命题,求的取值范围.
【例1-20】命题;命题.若为真,为假,求的取值范围.
【分析】先分别求得为真时参数的范围。是恒成立问题,不等式两边同除以,不等号方向不变,左式是,右式是,于是转换为求左式的最小值;是存在性问题,直接求左式的最小值.由为真,为假,可知与一真一假.
【解析】若为真,则与至少有一个为真;若为假,则与至少有一个为假.所以与一真一假.
不等式两边同除以,得.
设函数,则随的增大而减小,
所以当时,有最小值,
所以当命题为真时,.
设函数,当时,有最小值.
所以当命题为真时,.
当真假时,;当假真时,.
所以的取值范围是或.
【点评】(1)不等式恒成立问题,可用特殊值先得到必要条件,将代入不等式,得,这就是为真命题的必要条件.然后证明当时,不等式恒成立.因为,所以,又同,所以,所以,所以,这就证明了是为真命题的充分条件.
（2）与一真一假包括”真假”和“假真”两种情况,在数轴上画出与0的示意图,然后在并集中去掉公共部分,即可得到或.
(3)命题且或,非的真假判断如表1-3所示(称为真值表).
表1-3
且 或 非
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
反过来,若为真,则与均为真;若为假,则与至少有一个为假;若为真,则与至少有一个为真;若为假,则与均为假.
【练习1-39】已知.若命题,命题至少有一个为真命题(即是真命题),则实数的取值范围为
【练习1-40】已知命题不等式的解集中的整数有且仅有.命题:集合且.
(1)若为真,为假,求实数的取值范围;
(2)设为真时,的取值范围为集合,,若全集,求实数的取值范围.
第2章一元二次函数、方程和不等式
本章共分为三部分:相等关系与不等关系,从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式.第一部分包括用不等式表示不等关系,比较实数大小的基本事实,不等式的基本性质及其证明,基本不等式及其应用;第二部分包括二次函数零点的含义,一元二次方程的根与相应的二次函数零点的关系;第三部分包括借助函数图像分析二次函数与相应一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系,一元二次不等式的解法及其应用。
本章知识结构框图如下：
2.1相等关系与不等关系
一、内容提要
1.不等关系与不等式
现实世界中,既有大量的相等关系,又存在大量的不等关系,常用不等式或不等式组来表示不等关系.在分析不等关系时,注意“不少于”“不多于”“至少”“至多”等词,要将其翻译成大于或小于的关系.建立不等式模型刻画实际问题中的数量关系时,需要设出变量,并且要根据每个变量的实际意义、隐含条件确定变量的取值范围.
2.两个实数大小关系的基本事实
关于实数与的大小关系,有以下基本事实:
(1);
(2);
(3).
基本事实中的既可以是实数,也可以是代数式.这个基本事实把两个实数(代数式)的大小关系转换为它们的差与0的大小关系,从而使实数(代数式)的运算能够参与到实数(代数式)大小的比较中,为不等式的论证提供了运算工.具,至此,“作差法”作为证明不等式最基本的方法隆重登场.
除此之外,还有关于实数的其他基本事实,例如:
(1)正数负数;
(2)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数;
(3)正数+正数正数,负数+负数负数;
(4)正数正数正数,负数负数正数,正数负数负数.
以上基本事实是推导不等式性质的基础.
3.不等式的基本性质
等式有如下性质。
(1)对称性:;
（2）传递性:;
(3)可加性:如果,则;
(4)可乘性:如果,那么.
类似地,我们有不等式的六条性质.
(1)对称性:;
（2）传递性:不闪逆);
(3)可加性:;
（4）可乘性:;
(5)可开方性:;
(6)倒数性质:.
此外,有四条推论.
(1)移项法则:;
(2)同向可加:;
(3)同向皆正可乘:;
(4)可乘方性:.
要能严格地证明这些性质与结论.
应用性质时要注意使用条件,例如,性质4,要注意的符号.要注意不等式的单向性和双向性,也就是说每条性质是否具有可逆性,例如,性质均是不可逆的.还要弄清它们成立的前提条件,例如,推论2要求两个不等式为同向不等式,且是相加而不是相减;推论3要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正,且不能是相除;推论4要求不等式两边同为正数且.
二、释疑解惑
【问题2-1】请总结比较实数大小的方法及其理论根据.
答:(1)作差法,依据是实数大小关系的基本事实.
(2)作商法,依据是不等式性质4(可乘性).作商法的适用范围较小,且限制条件较多,尤其要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论,通常只对两个正数使用此法,即若,则.
（3）介值比较法,依据是不等式的性质2(传递性),即若,则,其中是与的中介值.
(4)特殊值比较法,例如,已知,试比较与的大小,不妨取,或,猜想.设题中未知量为特殊值,从而通过简单的运算得出答案,此处的关键是,无论两个变量的值是多少,对最终的结果都没有影响,体现了从一般到特殊的思想,但此法不能用于证明.
【问题2-2】利用不等式的性质可以求代数式的取值范围,现提出问题:已知,求的取值范围.
下列做法是否正确 说明理由.
因为,所以,即.
又,所以,即.
所以.
答:当取最大值时,,于是,这与条件中的范围矛盾,因此,与并不能同时成立,这种做法导致的范围扩大了.
应把与看作两个整体,它们分别取与内的任意值,而使三者联系起来.由已知有,所以,即.当取最大值时,,符合已知条件.
【问题2-3】糖水中含有糖,若再添加糖溶解在其中,则糖水变得更甜,根据这个生活常识,我们提炼出一个不等式:,其中0.还可以表述为“一个小于1的正分数,分子、分母加同一个正数后,分数值变大”.研究下列两个类似的问题:
（1）一个大于1的分数,分子、分母加同一个正数后,分数值变大还是变小
（2）如果两个分数满足均为正数),由它们“生成”如下分数:,你能给这些分数排个队(比较大小)吗
答:(1)经过作差比较,可以得到,其中.可表述为“一个大于1的分数,分子、分母加同一个正数后,分数值变小”.如果将这里的换成自变量,得到函数,则随的增大而减小;
（2）构造分数是非负整数),作差,因为,所以,所以,同理可得,于是.进一步研究可知,如果不变,增大(可代人的值比较),则靠近;如果不变,增大,则靠近.于是这些分数由小到大排序为:
上面调整,如同滑动天平的砝码来改变的大小.实际上,我国古代进行天文历法近似计算时就有这样一种插值方法，称为“调日法”,相传为刘宋时代天文学家何承天所创,这个方法原本是用来推算历法中的朔望月常数的.
三、典型例题
【例2-1】已知,求证:.
【分析】要证明,因为,所以先证明,利用分母为正和不等式性质6,只需要证明,即证明.
证明:因为,所以,又,所以,所以,所以,所以,又e,所以.
【点评】证明题要找到条件与结论之间的联系,而从结论出发分析思路的过程就是寻找结论成立的充分条件的过程.书写时不宜用分析过程,而是从条件出发,演绎推理.
【练习2-1】实数满足下列三个条件:(1);(2);(3).请将按照从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
【练习2-2】若.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)在(2)的不等式中,能否找到一个代数式,满足所求式 若能,请直接写出该代数式;若不能,请说明理由.
【例2-2】已知正实数,试比较与的大小.
【分析】可以看作,因此这两个代数式的形式相似,在作差时要重新搭配,使差式合理变形为能够判断正负的结果.同样,也可以作商变形.
【解析】方法1(作差法):
因为为正实数,所以,
所以,所以.
方法2(作商法)：
因为,所以.
【点评】代数式比较大小最经典的方法是作差法,如果两个数为正数,也可以作商比较.至于采用何种形式,关键是看哪一种运算量更小.作差法的步骤为:第一步,作差并变形,变形有两种情形.(1)将差式进行因式分解,转化为几个因式相乘;(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和.第二步,判断差值与零的大小关系.第三步,得出结论.
【练习2-3】(1)比较与的大小,其中.
(2)设,比较与的大小.
【练习2-4】已知,比较与的大小.
【例2-3】已知,且,设,求的取值范围.
【分析】在“释疑解惑”中已提到,这类问题常见错误是:先求出的范围再得到的范围,导致的范围扩大.正确解法应先建立目标式与两个已知式)的等量关系(可用待定系数法),然后根据与的范围,结合不等式的性质求出的取值范围。
【解析】设,即,所以解得所以.
因为,且,所以,所以,即,所以的取值范围是.
【点评】例2-3利用不等式性质求范围,借助了不等式同向相加的性质,注意目标式与已知式之间的等量关系;注意条件的整体性,不可随意拆分所给的已知条件.
【练习2-5】(1)已知,求的取值范围;
(2)已知,求的取值范围;
（3）已知,求的取值范围.
【练习2-6】设为实数,满足,求的最大值.
【例2-4】已知,且,试讨论与的大小.
【分析】与作差,化为,接下来要讨论该分式的正负,分别令分子、分母为0,有,对的讨论分界点就出来了.
【解析】,又,且,所以
(1)当时,,所以;
(2)当时,,所以;
(3)当且时,,所以.
综上可知,当时,;当时,;当且时,.
【练习2-7】已知且,试比较与的大小.
【练习2-8】对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若,那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
（2）已知点是点的“上位点”,判断点是否既是点的“上位点”,又是点的“下位点”,证明你的结论;
(3)设正整数满足以下条件:对集合内的任意元素,总存在正整数,使得点既是点的“上位点”,又是点的“下位点”,求正整数的最小值.
2.2基本不等式
一、内容提要
1.基本不等式及其证明
利用完全平方公式得到一类重要不等式.
定理:对任意,有,当且仅当时,等号成立.
特别地,如果,用分别代替定理中的可得如下推论.
推论:对任意,必有,当且仅当时,等号成立.
上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.了解基本不等式的结构和证明,能给出基本不等式的几何解释，对掌握和运用基本不等式有指导作用.下面是用“分析法”证明基本不等式的过程:
要证,
只要证,
只要证,
只要证,
显然该式成立,当且仅当时,等号成立.
只要把上述过程倒过来,就能直接推出基本不等式了.
分析法是一种“执果索因”的证明方法,即从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等).注意分析法的格式，从出发，逐步利用不等式的性质找到使它成立的充分条件,直至找到这个显然成立的事实,其思路就是.
配方法也是经典方法:因为,所以.注意配出差的平方,使等号可以取到.另一种配方,虽然该式成立,但等号无法取到.
2.基本不等式的文字描述
一般地,对于正数,我们把称为的算术平均数(或等差中项),称为的几何平均数(或等比中项).因此,基本不等式还可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它
们的等比中项,或者说,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式的变形和推广
基本不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式,结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数以及其他变形结构.这些变形的推广都可以由公式和得到.常见的结论有:
(1)都是正数,当且仅当时,等号成立);
(2),当且仅当时,等号成立);
(3),当且仅当时,等号成立;
(4),当且仅当时,等号成立),
或,当且仅当时,等号成立).
上述结论表明两两之间可以建立不等关系.除了(1),其他不等式并不要求“都是正数”.
此外,还有两个常见结论:
（1）当时,(当且仅当时,等号成立)；
（2）当时,(当且仅当时,等号成立).
利用基本不等式求最值时,一定要检验等号能否取到.
二、释疑解惑
【问题2-4】给出不等式的几何解释,其中有何意义
答:其几何意义如图2-1所示.
叫作的平方平均数,叫作的调和平均数.调和平均数又称倒数平均数,调和平均数的倒数就是的倒数的算术平均数.调和平均数有实际意义,例如,一段路程长为,前半段时速为,后半段时速为,则其平均速度就是,的调和平均数.再例如,一杯糖水的浓度为,加水后浓度为,再加水后浓度为,则是与的调和平均数,即.
【问题2-5】(1)当时,的最小值是2吗 说明理由.
（2）当时,的最大值是多少 说明理由.
答:(1)求的最小值,就是要求一个常数,使,都有.很明显不是2,因为不存在,使且.我们猜想2时,有最小值,现在证明:,因为,所以,即,当且仅当时取等号,所以的最小值为.
(2)将负数转化为正数,再利用基本不等式求最值.当时,,由基本不等式有,当且仅当,即时取等号.所以,即,所以的最大值是-2.
【问题2-6】已知,求的最小值,下列做法是否正确
因为,所以,所以的最小值为8.
答:等号成立的条件是且,即,矛盾,因此不能说“的最小值为8,可见多次使用基本不等式会有风险.试试先化简再用基本不等式:
,当即时取等号,所以的最小值为9.
多次用基本不等式也有行得通的情况,例如,由,得到的最小值为4,原因是两个等号成立的条件都是,不矛盾.
三、典型例题
【例2-5】(1)若,求证:,说明等号成立的条件;
(2)若,求证:,说明等号成立的条件.
【分析】本题是比较大小的证明题,可以用作差法证明,这里我们尝试用基本不等式解决.
（1）联想到模型,不同的是与的积并不是定值,因此左式调整为
（2）当时,为负数,给它配上,比照“当时,求的最大值”来解决.
证明:(1),当且仅当,即时,等号成立.
(2)当时,,当且仅当,即时,等号成立.
所以.
【点评】通过代数式恒等变形配凑出基本不等式的模型,并确保“积为定值”.当时,可以将正数和代入基本不等式,再利用不等式的性质得到满足的不等式.(1)还可以这样处理:,今后可以直接使用“基本不等式”的模型，而不必如此配方.
以上证明也实现了求在时的最小值(或时的最大值),其中等号能否取到是关键.例如,“函数的最小值为2”是错误的,原因是虽然,但满足的并不存在(实际在时,有最小值).也就是说,利用基本不等式求最小值时,要注意到不等式中,为正数,右式为定值,等号可以取到,即遵循“一正二定三相等”的原则.
【练习2-9】(1)若,求证:;
(2)若,求证:.
【练习2-10】(1)若,求证:;
(2)若,求证:.
【例2-6】(1)证明:;
（2）已知均为正数,求证:.
【分析】(1)左式为“和”,右式为“积”,使两项为一组,分别使用基本不等式,会得到,把这两项相加，再次使用基本不等式,会得到.
(2)将右边展开,对比两边,发现要证明(还有的相关不等式),而出现在展开式中,因此尝试b).
证明:(1)因为,
所以,
又,
所以.
(2)因为,又,所以.
不等式两边展开得,
整理得.
同理,.
将以上三式相加得,
所以
所以.
【点评】观察欲证不等式两边的结构,多次使用基本不等式将和式结构变成积式结构.证明具有轮换对称性的不等式,常用累加的方法.
【练习2-11】(1)若,证明:;
(2)证明:.
【练习2-12】若,证明:.
【例2-7】已知,求证:
(1);
(2);
(3).
【分析】这三个不等式均在的条件下才能成立,先利用这个条件将代数式化简.由条件,有,如果代数式化为只含的式子,则可视为一元变量去观察.有时不能用基本不等式,例如,等号取不到.
【解析】因为,所以,当且仅当时取等号.所以.
(1)因为,而,所以.
(2)方法1:
,
因为,所以,
所以.
方法2:因为,
所以,
又,
所以,即.
(3)方法1:,
因为,所以,
所以,即,
所以,当且仅当时取等号,
又,当且仅当时取等号,
所以,
所以.
方法2:.
思路1:ab+,
因为,所以,
所以,整理得,
所以,即.
思路2:,
因为,所以,所以,所以,
所以,所以.
方法3:因为,所以,而,因为,所以,所以,
所以,所以.
【点评】在一定的条件下才能成立的不等式通常称为条件不等式,在化简时尽量用到条件中的等量关系。运用基本不等式时,注意等号能否取到,否则就要换成其他方法.
【练习2-13】已知,求证:
(1);
(2).
【练习2-14】设,且,求证:
(1);
(2)与不可能同时成立.
【例2-8】已知,
(1)求证:;
(2)求证:,并指出等号成立的条件.
【分析】(1)如果将中视为二元对象,则直接利用基本不等式求的最大值,如果看作,则化为,可看作一元函数,从而利用函数的性质求最大值.
(2)解答经典错误是“由得到,于是”,由于等号成立的条件无法满足,转而将(是常数)与相乘并化简,这样只需用到一次基本不等式.
【证明】(1)方法因为,所以,又,所以,所以.
方法2:因为,所以.
或者.
(2)方法1:因为,又,所以.当且仅当时,等号成立,解得.
方法,因为,所以,
当且仅当时,等号成立,解得.
方法3:因为,所以,所以,令,则,所以
因为,所以,所以,所以,所以,于是由(1)有
因为,当且仅当,即时取等号,所以,由(2)结合知,所以,即.
【点评】例2-8(2)的条件与待证式之间有形式上的联系,即与为变量,为常数),最为常见的思路是将两者相乘,化为,这时与的积为定值,从而得到的最小值.此时,若为定值,则有最小值;若为定值,则有最小值.这种问题也可以用二维形式的柯西不等式来解决,感兴趣的同学可以了解一下.
【练习2-15】已知是正实数,且,证明下列不等式,并指出等号成立的条件.
(1);
(2).
【练习2-16】已知正数满足,
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
2.3基本不等式的应用
一、内容提要
1.基本不等式的应用模型
已知都是正数,则
(1)如果积是定值,那么当且仅当时,和有最小值;
(2)如果和是定值,那么当且仅当时,积有最大值.
生活中较为常见的两个实例:等面积的矩形中,正方形的周长最短;等周长的矩形中,正方形的面积最大.
不等式成立的三个限制条件,通常称为“一正、二定、三相等”.
利用基本不等式可以求得两类函数的最大(小)值:
（1）对于函数(为正常数),因为,当且仅当时,等号成立,所以函数的最小值为.
(2)对于函数为正常数),因为,当且仅当时,等号成立,所以函数的最大值为,事实上也成立.
利用基本不等式处理这些最值问题时对运算结构的要求较高,而且存在一定的局限性,例如,它只能得到函数一个边界值,不能得到函数完整的值域(的取值范围).
2.运用基本不等式解决实际问题
运用基本不等式解决实际问题,首先需要将实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型.在这一过程中,应注意假设变量的简洁性,意在用尽量少的变量去表示目标函数,通过寻找变量满足的某个等量关系(定值),运用基本不等式求出目标函数的最值.解题的大致步骤如下:
(1)理解题意,判断数量关系是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题.设变量,将要求最值的变量定为函数值.
(2)建立相应的函数关系(可能是二元函数),注意自变量的取值范围.
（3）运用基本不等式,求函数的最值.
(4)检验等号成立的条件.
3.(拓展)三个正数的算术一几何平均不等式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.
常见变形形式有,当且仅当时,等号成立.
二、释疑解惑
【问题2-7】下面是求两个函数最小值的解答过程,请判断是否正确.
(1)求函数的最小值;
(2)求函数的最小值.
【解析】(1)因为,当且仅当,即时,等号成立,所以当时,有最小值2.
(2)因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以有最小值.
答:(1的解法是错误的.直观地看,不等式表示抛物线在直线的上方,当时,它们有一个公共点.取任意值时,不等式恒成立,但不表示函数在它们的公共点处取得最小值.求函数的最小值,就要找一条水平线,使抛物线的顶点在水平线上,也就是说常数满足,且存在,使时,为最小值.因为,当且仅当0时取等号,所以函数的最小值为1.
（2）的解法是正确的,还可以写成,再用基本不等式求最小值.
【问题2-8】证明“三个正数的算术一几何平均不等式”(见内容提要).
所以,当且仅当时,等号成立.
所以,即,当且仅当时,等号成立.
【问题2-9】柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家,1789年8月21日出生于巴黎.他在纯数学和应用数学方面的功底相当深厚,很多数学定理、公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中二维形式的柯西不等式是:
,当且仅当时取等号.
请用多种方法证明。
答:方法1:,当且仅当时取等号.
方法2:当均为0时,不等式显然成立.当不全为0时,构造二次函数,整理得,易知恒成立,当时取等号.所以判别式,即,所以,当且仅当时取等号.
三、典型例题
【例2-9】((1)求函数的最小值;
(2)求函数的最大值.
分析层变形是关键,将化为的形式(积式为定值),将化为的形式[和式为定值,问题即可解决.
【解析】(1)令,当且仅当,即时,等号成立.
故函数的最小值为8.
(2)因为,所以,则,当且仅当,即时,等号成立.
故函数的最大值为.
【点评】以上两个函数解析式虽然是由一个自变量确定的,但实际又把它们看作两个变量的关系式,例如,(1)的函数含有和,(2)的函数含有和,这都是二元对象,前者两元之积为定值,后者两元之和为定值,因此应用基本不等式.后者还可以用二次函数解决.
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.对于分式函数,当分子的次数不低于分母次数时,先进行整式分离(裂项),形成整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.当分式中分子的“次数”小于分母的“次数”时,可以用分母除以分子(可先将分子换元).求整式函数的最大值的关键是凑出和为定值,需要配以恰当的系数.此外,含有根式、绝对值等的函数,可以先平方,使之符合基本不等式的条件.
【练习2-17】(1)求函数的最小值;
(2)求函数的最大值;
(3)求函数的值域(的取值范围).
【练习2-18】(1)求函数的最大值;
(2)求函数的最大值.
【例2-10】已知且满足,则的取值范围为
分 条件变形为,代入不等式,即可消去,得到的最小值.接下来求的最大值,即要得到形式的不等式,或者形式的不等式,联想到,即在该不等式中消去即可.
【答案】.
【解析】因为,且,所以,整理得,且,所以.
【点评】例2-10是通过消元并利用基本不等式求最值.当含有两个变量和时,用其中一个变量表示另一个变量,再代入另一个变量满足的不等式,得到只保留前一个变量的不等式,解得该变量的范围或最值.本题用到的不等式为,在这里用消去.
【练习2-19】已知且满足,则的取值范围为
【练习2-20】若,则的最小值为
【例2-11】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系:为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小 并求最小值.
枌析后先根据已知条件确定的关系式中的常数,进而得到的关系式,并对其进行变形,化为具备使用基本不等式的形式.
【解析】(1)由于,当时,(万元).
所以,所以.
所以.
(2)由(1)得,设,
则,当且仅当,即时,等号成立.这时,因此的最小值为70,即隔热层修建厚时,总费用有最小值70万元.
【点评】求实际问题中的最值,应读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.利用基本不等式时要注意等号成立的条件,当条件不具备时,再考虑其他方法,最后要给出实际问题的正确答案.
【练习2-21】某单位用木料制作如图2-2所示的框架,框架的下部是长、宽分别为(单位:的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为,问:分别是多少时用料最省 (参考数据:)
【练习2-22】有一五边形的地块(如图2-3所示),其中为围墙.其余各边界是不能动的一些体育设施,现准备在此五边形内建一栋科技楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向要留有宽的空地.
(1)请设计科技楼的长和宽,使科技楼的底面面积最大;
（2）若这一块地皮价值为400万，现用来建造每层为的楼房，楼房每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时,每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),问:应把楼房建成几层
图2-2
图2-3
【例2-12】甲、乙两地相距,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成:可变成本与速度的平方成正比,比例系数为;固定成本为(元).
（1）把全程运输成本（元）表示为速度的函数,指出定义域(的范围);
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
【分析】得到关于的函数关系式,并注意的取值范围,以及能否利用基本不等式求最值,必要时进行分类讨论.
【解析】(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为,所以.
(2)依题意知,都为正数,故有,当目.仅当,即时,上式等号成立.
若,则当时,全程运输成本最小;
若,则当时,有.
因为,所以.
所以,当且仅当时,上式等号成立,即当时,全程运输成本最小.
综上所述,为使全程运输成本最小,当时,行驶速度应为;当时,行驶速度应为.
【点评】在求含参数的函数的最小值时,一般先考虑基本不等式,但有时条件并不具备,例如,指定自变量,且,则无法取到,这时我们尝试证明当时有最小值,今后可利用求导确定取最值的位置.
【练习2-23】已知,讨论函数的最小值.
【练习2-24】如图2-4所示,某街道拟设立一占地面积为的常态化信息采样点,场地形状为矩形.根据要求,采样点周围通道设计规格为:长边外通道宽,短边外通道宽,采样点长边不小于,至多长.
(1)设采样点长边为,采样点及周围通道的总占地面积为,试建立关于的函数关系式,并指明定义域;
（2）当时,试求的最小值,并指出取到最小值时的取值.
图2-4
2.4二次函数与一元二次方程、不等式
一、内容提要
1.二次函数的零点
一般地,我们把使得一元二次方程成立的实数叫作一元二次函数的零点.注意零点不是点,而是一个数,并不是所有的二次函数都有零点.
2.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的实数根就是二次函数的零点,也就是函数的图像与轴交点的横坐标.二次函数与一元二次方程的关系如图2-5所示.
图2-5
求二次方程的实根即求对应二次函数的零点.二次函数零点的个数决定了相应方程实数根的个数,但说法有所不同,例如,函数有一个零点,其图像与轴有一个交点,方程有两个相等的实根.
3.一元二次不等式
我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.使得某个一元二次不等式成立的的值叫作这个一元二次不等式的解.使得某个一元二次不等式成立的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.例如,2是一元二次不等式的一个解,该不等式的解集为或.
4.一元二次不等式的解法
最常见的解法是借助二次函数的图像直观求解,即通过分析二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系(常简称为三个“二次”关系),从而获得一元二次不等式的解集.具体地:(1)根据二次项系数的符号,判定函数图像的开口方向;(2)通过一元二次方程0的判别式的符号,判断函数图像与轴的位置关系,进而画出函数图像的草图;(3)结合函数图像,写出不等式的解集.具体地,我们可用表2-1予以说明.
表
二次函数
一元二次方程 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实根
一元二次不等式
或 H
一元二次不等式
直观求解过程是数形结合思想的运用.要注意与时如何求不等式的解集,注意“解集为”“解集为”“在上恒成立”等情形的区别和联系.
还有一种解法是代数方法,即对二次三项式进行因式分解,得到,把一元二次不等式转化为一元一次不等式组,再通过求解该不等式组得到一元二次不等式的解集.当时,若,则或;若,则,口诀为“大于取两边,小于取中间”.常用“十字相乘法”分解因式(见“释疑解惑”),当时,无法分解因式,此时代数解法不适用.
深刻理解以上两种解法,为后面分类讨论求解含参数的一元二次不等式打下基础.
5.分式不等式的解法
分式不等式通常化归为整式不等式求解,其化归原理是:两实数的商与它们的积同号,即,此处表示关于的表达式.注意到因为解不等式的过程是通过等价的变形(保持同解)得到未知数取值范围的过程,若忽略了,则是的充分而不必要条件,可能导致解集扩大.同样地,求解形如的不等式时,不能随意将分母乘到不等号的另一边,可以讨论分母的正负,或者转化为,即,要体会解不等式与解方程的区别和联系.
二、释疑解惑
【问题2-10】关于的一元二次方程,当时,方程的解为,则,这一结论常称为韦达定理.有些关于的对称式(如能用,表示,请列出来.
答:(1);
(2)或;
(3)
(4);
(5);
(6);
(7)当同号时,;当异号时,.
【问题2-11】如何用十字相乘法解方程 并用此方法对下列含参数的二次三项式分解因式:
(1);
(2);
(3).
答:十字相乘法是对二次三项式因式分解的一种方法.大致过程如下.
先分别把二次项系数和常数项分解因数,分别得到和,尝试不同的组合,使得.这样就可以把分解成两个一次因式的积,即.
算式体现如图2-6所示.
图2-6
应用十字相乘法对以上三个整式分解因式的结果如下：
(1);
(2);
(3).
【问题2-12】关于的不等式或的系数满足什么条件时,其解集为或
答:的解集是当时,;当时,
的解集是当时,;当时,
的解集是当时,;当时,
的解集是当时,;当时,
三、典型例题
【例2-13】函数有两个零点,
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得 若存在,求出这样的值;若不存在,说明理由.
【分析】(1)对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,只需要满足判别式即可.
(2)判断或讨论的正负,去掉等式中的绝对值,再利用根与系数的关系(韦达定理)来处理.
【解析】(1根据题意,,解得,所以的取值范围为.
(2)由根与系数的关系可知:.
由(1)知,所以.所以,所以.
所以,
即,解得,满足.
所以.
【点评】将函数零点问题转换为方程解的问题,要注意判别式满足的条件.由两根的关系式得到参数的值之后,要检验.
【练习2-25】函数有两个零点,
(1)求的取值范围;
(2)若,求的值.
【练习2-26】已知函数的图像与轴的两个不同交点的横坐标为,
(1)求的取值范围;
(2)求的取值范围.
【例2-14】解不等式.
【分析】将-1移项,再通分,最后转化为整式不等式,要注意分母不为0.
【解析】,且,解得或.
所以原不等式的解集为或.
【点评】例2-14还可以两边同乘,化为或解分式不等式较为常见的方法还是移项,通分化为,或的标准形式,再转化为整式不等式.
【练习2-27】解不等式.
【练习2-28】解不等式.
【例2-15】(1)已知关于的不等式的解集为,求的取值范围.
(2)已知一元二次不等式的解集为,且,求不等式的解集.
【分析】(1)当二次项系数时,该不等式是一元二次不等式,要使解集为,则对应的二次函数图像是开口向上的抛物线,且与轴无公共点;当二次项系数为0时,该不等式是一个不含参数的不等式,可直接根据其解集作出判断.
（2）两个不等式的系数正好顺序相反,它们对应的方程的根之间有关系,这个关系既可以通过韦达定理找到,也可以通过方程的结构特点找到.
【解析】(1)当时,即;
当时,不等式可化为,满足题意.
综上所述,的取值范围是.
(2)方法1:由题意可得,且为方程的两根,
由根与系数的关系得
由,得.
将(1)(2)代人上式,得,即.
因为,所以,所以解得或,
所以不等式的解集为或.
方法2:由题意可得,且为方程的两根,
该方程可化为,
于是方程的两根为,且.
又,所以.
所以的解集为或.
【点评】由含参数的二次不等式的解集确定参数满足的条件,首先根据解集的形式确定二次项系数的符号,再把解集的端点值转化为相应的二次方程的根,利用根与系数之间的关系求解。如果不等式恒成立,则直接应用判别式.注意第(1)问的条件还等价于“函数的值恒大于零”或“不等式的解集为”,因此可从多角度解决。
【练习2-29】已知关于的不等式的解集,求实数的取值范围.
(1)的解集为;
(2)的解集为.
【练习2-30】(1)已知不等式的解集是,分别求不等式及的解集;
（2）已知的解集是,求不等式的解集.
【例2-16】分别求下列关于的不等式的解集.
(1);
(2).
【分析】当二次项系数不为0时,将不等式化为的形式,讨论时兼顾的正负与两根的大小,画出对应抛物线,从而得到解集.当二次三项式分解因式有困难时,不妨直接从判别式入手.
【解析】(1)不等式可化为.
当时,不等式可化为,解得;
当时,不等式可化为,将两根作差,;
当时,,由不等式解得或;
当时,,由不等式解得;
当时,不等式可化为,无解;
当时,,由不等式解得.
综上所述,当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.
(2),
当,即时,原不等式对应的方程无实根.
又二次函数的图像开口向上,所以原不等式的解集为.
当,即时,原不等式对应的方程有两个相等实根；
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
当,即或时,原不等式对应的方程有两个不等实根,分别为,且,所以原不等式的解集为.
综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当或时,原不等式的解集为.
【点评】在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论应从如下三个方面进行考虑.(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数,.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根根,无根.(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:.
【练习2-31】解关于的不等式:.
【练习2-32】求不等式组的解集.
2.5一元二次不等式的应用
一、内容提要
1.运用一元二次不等式解决实际问题
运用一元二次不等式解决实际问题的过程实质是数学建模(如图2-7所示),其一般步骤为:
图2-7
（1）理解题意,引人未知数分析量与量之间的关系;
(2)将实际问题翻译成数学语言,建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
(3)解不等式;
(4)回归实际问题并检验实际意义,得到实际问题的解答.
2.高次不等式的解法
最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.如果高次不等式可化为一端为0,另一端为若干个一次因式乘积的形式:),则能仿照二次不等式的方法求解.以(或为例,先画出的图像,如图2-8(a)所示.
图像依次通过点.函数值的正负如表2-2所示.
表2-2
的范围
的正负 + - + - +
于是,不等式的解集为或或;不等式的解集为或.
类似地,函数的图像也有这样的规律:当时,;当时,既然如此,我们不必精密地绘制函数的图像,只需在数轴上标出从右上方出发依次通过这些点,“穿针引线”地画出曲线,如图2-8(b)所示.
观察图像可以得到不等式或的解集,这种方法称为数轴标根法.
3.一元二次不等式恒成立问题
“不等式对于任意的恒成立”这类问题由二次函数的系数及判别式的正负即可确定.
但是,如果限定的范围,情况会有所不同.例如，“不等式对于任意的恒成立”是“不等式对于任意的恒成立”的必要不充分条件,要解决前一个恒成立,可以分两种情况:当时,在上恒成立,自然也在上恒成立;当时,在上不恒成立,此时抛物线的对称轴不能在内,记,如果,那么,如果,那么.
现将这类问题的等价转换总结如下:
(1)若在上恒成立,则,或
(2)若在上恒成立,则或
(3)若在上恒成立,则或
(4)若在上恒成立,则
二、释疑解惑
【问题2-13】不是所有的高次不等式都能写成的形式,例如,有的不等式含有相同的一次式,遇到这种情况如何转化 以为例说明.
答:不等式中可换成,因为,不妨去掉,但要补上,于是不等式可化为且.还有一个方法,画出函数与轴相交的示意图,如图2-9所示,观察图像可得到解集.
图2-9
【问题2-14】(1)讨论不等式和的解集;
(2)将等价转换为不含绝对值的不等式;
(3)将和等价转换为不含根号的不等式.
答:(1)当时,的解集为的解集为或;当时,的解集为的解集为;当时,的解集为的解集为.
(2)对等情况进行讨论,可得到如下等价转换:或.
(3)或
三、典型例题
【例2-17】解下列不等式.
(1);
(2);
(3).
【分析】(1)在数轴上标出三个根,再从右上方出发“穿线”,观察图像得到解集.
（2）的根为,与其他两个根标在数轴上,当时,1)的值为负数,所以从右下方出发“穿线”,一般是将不等式化为,回到常规做法.
(3)将不等式中换成,将去掉,并补上;也可以直接画示意图来观察.
【解析】(1)将方程的根标在数轴上,如图2-10所示.
图2-10
所以不等式的解集为或.
(2)不等式可化为,将方程的根标在数轴上,如图2-11所示.
图2-11
所以不等式的解集为或.
(3)方法1:不等式可化为且,所以不等式的解集为或或.
方法2:不等式可化为,画出示意图,如图2-12所示.
图2-12
所以不等式的解集为或或.
【点评】当高次不等式可化为(或的形式时,其解法与二次不等式的解法类似。但不是所有不等式都具有这种形式,此时就要注意等价转化,例如,从(3)可知,奇次式相当于一次式,偶次式可以直接去掉(但要注意零点是否可取),如果用画图的方法，“穿线”时应注意奇次对应的零点要穿过，偶次对应的零点不要穿过(这是为了确保该零点的左右符号一致).
【练习2-33】解不等式。
(1);
(2).
【练习2-34】解不等式.
(1);
(2).
【例2-18】(1)不等式对于任意恒成立,求实数的取值范围;
(2)不等式对于任意恒成立,求实数的取值范围.
【分析】(1)“不等式在恒成立”是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件,前者包括多种情况,因此分类处理;也可以转化为求函数在的最小值;或将不等式化为,再采取分离参变量的方法,转而求关于的代数式的最值.
(2)设,若将视为变量,视为参数,则与(1)同样是“恒成立”问题.
【解析】(1)方法1:抛物线的对称轴为,
判别式,
因为不等式在上恒成立,所以
所以,或,或.
所以的取值范围是.
方法2:设函数,利用该函数在的最小值求解.
(1)当,即时,,
由,知,
所以.
(2)当,即时,,由,知,
所以.
(3)当,即时,,由,知,此时无解.
综上所述,的取值范围是.
方法3:不等式可化为,
(1)当时,不等式成立.
(2)当时,不等式可化为,其中
,
当且仅当,即时取等号,这与矛盾.转而研究在时的值是否为最小值.
作差:,当且仅当时取等号,所以的最小值为5,所以,所以.
(3)当时,不等式可化为,其中
当且仅当,即时取等号,
所以的最大值为,所以,所以.
综上所述,的取值范围是.
(2)不等式可化为,设,是以为自变量的函数,其图像是直线,由题意知时该直线段在轴的下方,所以,且,
即,(1),且.
由(1)得;由(2)得或.
所以,的取值范围是或.
【点评】解恒成立问题的关键是分清楚谁是变量,一般来讲,已知范围的视作变量,所求的视作参数.因为恒成立问题在解决时往往视为函数的值域问题,在已知定义域的前提下求值域往往更简单,所以常将已知范围的量视作变量.解决不等式在的给定区间上恒成立有多种方法,方法当时,不等式在上恒成立;当时,要分和两类处理;方法2:转化为求的最小值;方法3:分离参变量(如(1)中方法3,将与放在不等式两边).
【练习2-35】(1)当时,不等式恒成立,求的取值范围;
（2）当时,不等式恒成立,求的取值范围.
【练习2-36】已知不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围.
【例2-19】某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.每辆车的月租金每增加50元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车
（2）要使租赁公司的月收益不低于307000元,月租金的范围是多少
【分析】(2)中每辆车的月租金为未知数,用它表示租贷公司的月收益,并建立不等式,解得月租金的范围.
【解析】(1)租金增加了600元,所以未租出的车辆数为,所以一共租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金定为元,租赁公司的月收益为元,
则,
整理得.
令,得,整理得,
即,解得,即.
所以月租金的范围是.
【点评】生活中成本与收入(利润)之间并非简单的线性关系.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为,用来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系来列不等式.还要注意变量的范围应满足实际意义。
【练习2-37】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品,按规定,农户向国家纳税方式为:每收入100元,纳税8元(称作税率为8个百分点,即).为了减轻农民负担,应制定积极的收购政策。根据市场规律,税率降低个百分点,收购量能增加个百分点,试确定的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的.
【练习2-38】考虑到高速公路行车安全需要,一般要求高速公路的车速控制在.已知汽车以的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为,其中为常数,不同型号的汽车值不同,且满足.
(1)当某型号的汽车以的速度行驶时,每小时的油耗为,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过,求车速的取值范围;
(2)求不同型号的汽车行驶的油耗的最小值.
【例2-20】如图2-13所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求点在上,点在上,且对角线过点.已知.要使扩建后的花坛面积不小于,则的长度应在什么范围内
分析引入变量表示,再利用相似形建立比例关系得到,并表示出花坛面积,根据要求建立不等式。
【解析】设的长度为,
因为,所以,
所以.
由,得.
图2-13
因为,所以,即,即,所以或,
所以长度的取值范围为.
【点评】解决与图形有关的实际应用题,需要根据图形的特点,综合平面几何的相关知识,有时需要添加辅助线或利用三角函数方面的知识.
【练习2-39】在如图2-14所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于的内接矩形花园(阴影部分),求其边长(单位:)的取值范围.
图2-14
【练习2-40】设矩形的周长为,把它沿对角线对折后,设交于点,此时点记作,如图2-15所示,设,求面积的最大值.
图2-15
第3章函数的概念与性质
函数在数学中有极其重要的地位.它刻画了变量之间的一种特殊对应关系,无论是在数学本身的发展,还是在生产生活中都有极其重要的作用。
本章内容突出了数形结合、特殊到一般的数学思想方法.在函数的概念与性质的学习中,还贯穿了化归思想、函数与方程及分类讨论的方法.在学习过程中,从现实生活中的现象抽象出函数的单调性、最值,此知识模块能很好地发展学生的数学抽象素养与数学建模素养.
函数是高中数学的核心内容,渗透到各个章节,是研究其他数学问题的“工具”,高考考查的重中之重.在高考题中对很多知识的考查都隐性考查了函数知识,对函数概念与性质的考查往往与导数结合,显性考查基本各种题型都会涉及(选择题、

展开更多......

收起↑