资源简介

目录
第1章数列 3
1.1数列的概念 3
1.2等差数列 6
1.2.1等差数列及其通项公式 7
1.2.2等差数列与一次函数 10
1.2.3等差数列的前项和 14
1.3等比数列 18
1.3.1等比数列及其通项公式 18
1.3.2等比数列与指数函数 22
1.3.3等比数列的前项和 26
*1.4数学归纳法 29
1.5数列求和 33
*1.6递推数列 37
1.7数列综合问题 43
第2章平面解析几何初步 47
2.1直线的斜率 48
2.2直线的方程 52
2.2.1直线的点斜式方程与斜截式方程 52
2.2.2直线的两点式方程与截距式方程 55
2.2.3直线的一般式方程 59
2.2.4直线的方向向量与法向量 63
2.3两条直线的位置关系 66
2.3.1两条直线平行与垂直的判定 66
2.3.2两条直线的交点坐标 69
2.4点到直线的距离 72
2.5圆的两种方程 77
2.6直线与圆、圆与圆的位置关系 81
2.6.1直线与圆的位置关系 81
2.6.2圆与圆的位置关系 86
2.7用坐标法解决几何问题 90
第3章圆锥曲线与方程 94
3.1椭圆 95
3.1.1椭圆的标准方程(1) 95
3.1.2椭圆的标准方程(2) 101
3.1.3椭圆的简单几何性质(1) 106
3.1.4椭圆的简单几何性质(2) 111
3.2双曲线 116
3.2.1双曲线的标准方程 116
3.2.2双曲线的简单几何性质(1) 123
3.2.3双曲线的简单几何性质(2) 129
3.3抛物线 136
3.3.1抛物线的标准方程 136
3.3.2抛物线的简单几何性质 142
3.4曲线与方程 148
3.5圆锥曲线的应用 152
第4章计数原理 158
4.1两个计数原理 159
4.2排列 163
4.3组合 166
4.4二项式定理 170
第1章数列
数列与函数既有共性,又有差异.它是一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,在现实生活中有广泛的应用,能用来解决实际问题,发展数学运算和数学建模素养.
本章内容突出了数形结合思想、函数与方程思想、特殊到一般思想.在数列的学习中,还贯穿了类比思想、归纳方法.从实际问题中抽象出数列模型,有助于提升数学抽象素养.
数列是高中数学的主干内容,是高考重点考查内容之一.数列命题立意相对稳定,难度上多为中档题目,一般为一道大题,或者两道小题,分值约为10或12分.数列题考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力,考查内容侧重基本公式的应用和基础运算能力。
本章知识结构框图如下:
1.1数列的概念
一、内容提要
1.数列与函数的关系
按照确定的顺序排列的一列数叫数列.数列是一个特殊的离散函数,数列的第项与它的序号之间的关系用公式表示,这个公式叫作数列的通项公式.
2.数列的前项和
数列中,叫作数列的前项和.与的关系为
3.数列的表示方法
列表法、图像法、公式法.
4.数列的单调性
递增数列,;递减数列,.其中.
二、释疑解惑
【问题1-1】数列的单调性与函数的单调性的关系如何
答:以单调增为例.如果数列的通项公式所对应的函数是单调增函数,则数列必然是单调
增数列;反之不然.比如:是单调增数列,但是函数在上并不单调增.
【问题1-2】如何判断数列的单调性
答:可以用通项公式所对应的函数的单调性来判断,也可以通过考查数列的相邻项之间的大小关系来判断.比如:若对一切恒成立,则为递增数列;若对一切恒成立,则为递减数列.后一种方法是数列的特性,是判断数列单调性的常用方法.
【问题1-3】数列的项与其前项和的关系如何
答:若数列的前项和为,则如果时符合时的解析式,则最后作答时应该合并起来.否则,以分段函数的形式写出来.即:能合则合,不能合则分.
三、典型例题
【例1-1】已知数列满足,则其通项公式（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】观察-归纳-猜想.
【答案】C.
【解析】方法1:由已知,且,得到,.由此猜想出.
方法2:由,得.所以两式相减得.所以.因此该数列前几项为,猜想,故选C.
【点评】(1)观察前几项时要注意把握“变”与“不变”,变化的作变量,不变的作常数.(2)裂项、累加、累乘是常用变形手段.
【练习1-1】已知数列中,,
(1)写出数列的前5项;
(2)猜想数列的通项公式.
【练习1-2】一个数列的前5项分别为写出这个数列的一个可能的通项公式;再写出第6项和第8项,并判断420是不是你写出来的数列的项.
【例1-2】已知数列中,,且是递增数列,求实数的取值范围.
【分析】数列单调性问题可以通过考查函数单调性(解法1),也可以考查相邻项的大小关系(解法2).
【解析】解法1:注意到二次函数所在抛物线的对称轴是,因此,或解得.
解法2:由题意可知对一切自然数恒成立,即,得对一切自然数恒成立,所以.
【点评】解法1中要注意数列与函数的联系与区别;解法2中的不等式对一切自然数恒成立.
【练习1-3】求数列前30项中的最大项和最小项.
【练习1-4】已知数列的通项公式为.
(1)数列中有多少项是负数
(2)为何值时,有最小值 并求出最小值.
【例1-3】设数列满足,则________
【分析】对于求和问题,通过作差,产生数列的项.
【答案】
【解析】当时,.
因为,①
所以.②
由①-②,得,
所以.显然时不满足上式,所以
【点评】由前项和作差产生通项时,注意先分为和两种情形,作答时能合则合,不能合则分.
【练习1-5】已知数列的前项和为,满足,则________
【练习1-6】已知数列的前项和,则________
【例1-4】如图1-1所示,第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,,依此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为,则
________
【分析】注意从初始的基本情形中发现规律和相邻情形间的递推关系.
【答案】.
【解析】由图1-1可得,所以;
又,
所以.
【点评】(1)观察规律时,常常需要考虑相邻两种情况之间的关系,也就是考虑递推关系.
(2)分式的分母是两个连续自然数的乘积时,常用裂项法求和.
【练习1-7】在数列中,等于的个位数,则________
【练习1-8】数列满足若,则数列的第2011项为________
1.2等差数列
等差数列是数列的主体内容之一.本节主要学习等差数列的定义、通项公式、性质、前项和公式.学习中注意体会三大关系:等差数列的通项公式与一次函数的关系、前项和与二次函数的关系、通项公式与前项和公式的关系.要在公式的推导过程中体会其中所蕴含的数学思想,体验从特殊到一般的思考过程,体会归纳、猜想的作用.
本节知识结构框图如下:
1.2.1等差数列及其通项公式
一、内容提要
1.等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.用数学语言表示为.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列的公差为,首项为,则,这就是等差数列的通项公式.
3.等差中项
由三个数组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,叫作与的等差中项,且.反之,若,则构成等差数列.
二、释疑解惑
【问题1-4】等差数列的定义如何用数学式子来表达
答:有两种等价的表达式.(是常数),对一切恒成立,或者
(是常数),对一切,且恒成立.
【问题1-5】等差数列的基本量有几个
答:等差数列的基本量有两个:首项和公差.可以用这两个基本量来表达该等差数列的所有其他量,从而建立方程求解,这就是数列中常用的方程思想.
【问题1-6】如何证明一个数列是(不是)等差数列
答:(1)要证明一个数列是等差数列,常用的方法有三种.
方法1:(定义法)是常数,)或
是常数,,为等差数列.
方法2:(等差中项法)为等差数列.
方法3:(通项公式法)是常数,为等差数列.
(2)要判定一个数列不是等差数列,只需找出三项,使得这三项不满足
即可.
三、典型例题
【例1-5】已知在数列中,.若数列为等差数列,则
A.
B.
C.
D.
【分析】从为等差数列入手,先求,再求.
【答案】C.
【解析】因为数列为等差数列,,所以解得公差,所以,所以.
【点评】等差数列的基本量有两个:首项和公差,这两个量决定了这个等差数列.
【练习1-9】数列中,,且,则
A.-5
B.
C.5
D.
【练习1-10】已知数列的前项和满足,且,则________
【例1-6】已知在数列中,,记.
(1)判断是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列的通项公式.
【分析】由等差数列的定义,判断一个数列是否为等差数列的关键是看相邻两项的差是否为同一个常数.
【解析】(1)是等差数列,理由如下:
,
当时,,
所以是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,,所以,所以.
【点评】判断一个数列是等差数列,通常有三种方法:定义法,等差中项法,看通项公式是否是关于的一次函数.
【练习1-11】记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
【练习1-12】已知数列满足,且.
(1)求;
(2)证明:数列是等差数列,并求的通项公式.
【例1-7】设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则
A.
B.
C.
D.
【分析】考查数列的单调性,常考查其相邻项间的大小关系.
【答案】.
【解析】数列是公差为的等差数列,数列为递减数列,所以,,即,得.故选D.
【点评】例1-7还可以考虑等差数列的通项公式,由,得.
【练习1-13】首项为-21的等差数列从第8项开始为正数,则公差的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
【练习1-14】若公差为的等差数列,满足,则公差的取值范围是________
【例1-8】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为,则该数列的第8项为________
【分析】画图,表示出高阶等差数列的形成过程,以便观察有关项的关系。
【答案】155.
【解析】因为所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列.如图1-2所示.
由图1-2可得解得
【点评】对于创新题型,要紧扣所涉及的新概念的定义.
【练习1-15】在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作“等和数列”,这个数叫作数列的公和.已知等和数列中,,公和为5,则
A.2
B.-2
C.3
D.-3
【练习1-16】已知为等差数列,分别是表1-1第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数都不在表1-1的同一列.
请从(1),(2),(3)三个条件中选一个填入表1-1,使满足以上条件的数列存在;并在此存在的数列中,试求数列的通项公式.
1.2.2等差数列与一次函数
一、内容提要
1.等差数列与一次函数的关系
非常数列的等差数列的通项公式是关于项数的一次函数,但是只取正整数值.所以说,等差数列(非常数列)是一种特殊的一次函数.
2.等差数列的单调性
等差数列是单调增数列公差;等差数列是单调减数列公差.
3.等差数列的性质
(1)或.
(2)若为等差数列,且,则.
(3)若是公差为的等差数列,则是公差为的等差数列.
二、释疑解惑
【问题1-7】对等差数列而言,单调增是否等价于公差为正
答:对非常数列的等差数列而言,单调增公差;单调减公差.如果是常数数列,则公差.事实上,对非常数的等差数列而言,,是关于的一次函数,因此,一次项系数决定了数列的单调性.
【问题1-8】如何深刻、快速理解等差数列的性质
答:等差数列的各项可以理解为等距地分布在一条直线上的点,考查斜率,就有性质1;考查对称中心,就有性质2;考查等距的点,就有性质3.总之一句话:把握等差数列与一次函数的关系,即可理解等差数列的性质。
三、典型例题
【例1-9】在等差数列中,若,则的公差为( ).
A.-2
B.2
C.-3
D.3
【分析】运用等差数列的性质:.
【答案】.
【解析】设公差为,因为,所以,从而.
【点评】恰当运用等差数列的性质能减小运算量.
【练习1-17】已知数列满足,则
A.6
B.7
C.8
D.9
【练习1-18】已知等差数列满足,则的值为( ).
A.-3
B.3
C.-12
D.12
【例1-10】(多选题)两个等差数列和,其公差分别为和,其前项和分别为和,则下列命题中正确的是( ).
A.若为等差数列,则
B.若为等差数列,则
C.若为等差数列,则
D.若,则也为等差数列,且公差为
【分析】用等差数列的基本量来表达对象.
【答案】.
【解析】对于选项,因为为等差数列,所以,即,所以,平方得,再平方并化简得,所以,故选项A正确;
对于选项B,因为为等差数列,所以,所以,所以,故选项B正确;
对于选项,因为为等差数列,所以,所以,化简得,所以或,故选项C不正确;
对于选项D,因为,且,所以,所以,所以,所以也为等差数列,且公差为,故选项不正确.
【点评】对例1-10这类由原数列产生的新数列类问题,两个数列间的关系是着眼点.
【练习1-19】已知数列中各项均为非负数,,若数列为等差数列,则
A.169
B.144
C.12
D.13
【练习1-20】设数列的前项和为,已知,且对任意正整数都有,则________
【例1-11】已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的最小值.
【分析】先构造等差数列求出,再表示出.
【解析】(1)令,则,而,所以是首项为2,公差为4的等差数列,即,所以,又,所以.
(2)由(1)得,,所以.因为,所以,所以,即是单调递增数列.所以当时,取最小值,.
【点评】求数列的最大项、最小项,通常先考虑其单调性.
【练习1-21】已知数列是等差数列,是其前项和,且,则数列最大项与最小项的和是( ).
A.
B.-2
C.2
D.
【练习1-22】已知数列的前项和为,满足.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若,令,数列的前项和为,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【例1-12】把正奇数数列按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号一个数……依次循环的规律分为,(25),,则第50个括号内各数之和为( ).
A.98
B.197
C.390
D.392
【分析】两个规律:打开括号后构成等差数列,每三个括号内的数的个数依次为.
【答案】.
【解析】由题意可得,将三个括号作为一组,则由,第50个括号应为第17组的第二个括号,即50个括号中应有两个数,因为每组中有6个数,所以第48个括号的最后一个数为数列的第项,第50个括号的第一个数为数列的第98项,即,第二个数是,所以第50个括号内各数之和为,故选D.
【点评】对于数表类问题,关键是找出其中的规律和隐藏的特殊数列,如例1-12中的等差数列.
【练习1-23】把数列按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数……依次循环的规律分为,,则第60个括号内各数之和为( ).
A.1112
B.1168
C.1176
D.1192
【练习1-24】如图1-3所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数145在图中出现的次数为( ).
A.13
B.14
C.15
D.16
1.2.3等差数列的前项和
一、内容提要
1.等差数列前项和公式
等差数列前项和公式:.
2.倒序相加法
如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.例如:可以用倒序相加法推导.
3.等差数列前项和的性质
(1)非常数列的等差数列的前项和是关于的常数项为0的二次函数,即
(2)构成等差数列,即;
(3)等差数列的依次项和成等差数列,即成等差数列.
二释疑解惑
【问题1-9】“”与“是等差数列”是否等价
答:不等价.如果是常数数列,则它是等差数列,但是不是二次函数.反之,若,但是,则不是等差数列.对于非常数数列而言,“是等差数列”与“,且”等价.
【问题1-10】如何理解.
答:用倒序相加法可求得,表明等差数列的前项和由首项、末项和项数唯一确定.
注意到,代人可得,表明等差数列的前项和由首项、公差和项数唯一确定.这正好印证了这样一个事实:等差数列的决定量有两个,首项和公差,或者首项和末项.
【问题1-11】如何确定等差数列的前项和取最大(小)值的条件
答:有两种方法.
方法1:若,此时二次函数开口向下,对称轴在轴的右侧,有最大值,可由不等式组来确定;若,此时二次函数开口向上,对称轴在轴的右侧,有最小值,可由不等式组来确定.
方法2:由和,得.当时,达到最大或最小;而当时,取与最接近的正整数即可.当时,有最小值;当时,有最大值.
三、典型例题
【例1-13】(1)已知等差数列的前项和为,且满足,则下列结论中正确的是( ).
A.是中的最大值
B.是中的最小值
C.
D.
(2)北京天坛的圜丘yuán qiū坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层(如图1-4所示).上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ).
A.3699块
B.3474块
C.3402块
D.3339块
图1-4
【分析】根据条件,选择套用等差数列前项和的两个公式.
【答案】(1);(2)C.
【解析】(1)因为,所以0,故.
(2)设每一层有环,由题可知由天心石向外的每环的扇面形石板数构成公差的等差数列.由等差数列的性质知,成等差数列,且,则,得,则三.层共有扇面形石板数为
【点评】等差数列前项和的两个公式是等价的,应根据不同条件作出恰当选择.
【练习1-25】记为等差数列的前项和.已知,则( ).
A.
B.
C.
D.
【练习1-26】(多选题)已知等差数列的前项和为,若,则( ).
A.
B.
C.
D.
【例1-14】设是等差数列,,且.
(1)求的通项公式;
(2)记的前项和为,求的最小值.
【分析】要使前项和最小,要求使得
【解析】(1)设的公差为.因为,所以.
因为,所以.解得.
所以的通项公式为.
(2)由(1)知,,则当时,;当时,;当时,;
所以的最小值为.
【点评】求等差数列前项和的最值,一般有两种方法:一是考查数列的项的正负,二是考查关于自变量的函数的单调性.
【练习1-27】已知数列为等差数列,其前项和为,且.若有最大值,则满足的的最大值为________
【练习1-28】设公差为的等差数列的前项和为,若,则当取最大值时,的值为________
【例1-15】等差数列与的前项和分别为和,若,则等于________
【分析】先用等差数列的前项和表示,再运用等差数列的性质求解.
【答案】.
【解析】.
【点评】一般关系式为.
【练习1-29】两个等差数列和的前项和分别为,且满足,则使得为正整数的的个数是( ).
A.5
B.4
C.3
D.2
【练习1-30】已知数列均为等差数列,其前项和分别为,且,则使恒成立的实数的最大值为( ).
A.
B.
C.1
D.2
【例1-16】已知等差数列的前项和为,若,则使前项和取得最大值时的值为( ).
A.2022
B.2021
C.1012
D.1011
【分析】先求表达式,再结合等差数列的性质,得到数列的项的正负,从而得到的最值.
【答案】.
【解析】因为等差数列的前项和为,
所以
所以,所以,即等差数列的公差,
所以,当时,;当时,.所以,使前项和取得最大值时的值为1011.故选D.
【点评】求的最值,一般先考查数列项的正负转折处,也可以利用非常数的等差数列的前项和是常数项为0的二次函数,再数形结合,由对称性得到结果.
【练习1-31】已知等差数列的前项和为,且,则下面结论错误的是( ).
A.
B.
C.
D.与均为的最小值
【练习1-32】设等差数列的前项和为,若,则当取得最大值时,的值为( ).
A.7
B.8
C.9
D.8或9
1.3等比数列
等比数列也是数列的主体内容之一.本节主要研究等比数列的定义、通项公式、性质、前项和公式.学习中注意体会三大关系:等比数列的通项公式与指数函数的关系、前项和与指数函数的关系、通项公式与前项和公式的关系.要在公式的推导过程中体会其中所蕴含的数学思想,体验从特殊到一般的思考过程,体会类比、归纳、猜想的作用.
本节知识结构框图如下：
1.3.1等比数列及其通项公式
一、内容提要
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为:.
3.等比中项
由三个数组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.这时,叫作与的等比中项,且.只有同号的两数才存在等比中项,它们的等比中项有两个:.
二、释疑解惑
【问题1-12】等比数列的定义如何用数学式子来表达
答:有两种等价的表达式:(是常数),对一切恒成立,或者(是常数),对一切,且恒成立.
【问题1-13】等比数列的基本量有几个
答:等比数列的基本量有两个:首项和公比.可以用这两个基本量来表达该等比数列的所有其他量,从而建立方程求解,这就是数列中常用的方程思想.
【问题1-14】如何证明一个数列是(不是)等比数列
答:(1)要证明一个数列是等比数列,常用的方法有三种.
方法1:(定义法)是非0常数,),或(是非0常数,,为等比数列.
方法2:(等比中项法)为等比数列.
方法3:(通项公式法)是常数,为等比数列.
(2)要判定一个数列不是等比数列,只需找出三项,使得这三项不满足即可.
三、典型例题
【例1-17】已知是等比数列,,则公比等于( ).
A.
B.-2
C.2
D.
【分析】.套用等比数列的通项公式.
【答案】D.
【解析】因为是等比数列,,所以,所以,所以.
【点评】等比数列的基本量有两个:首项和公比.
【练习1-33】已知数列为等比数列,,则________
【练习1-34】已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为________
【例1-18】已知数列满足,设.
(1)求;
(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(3)求的通项公式.
【分析】用定义判断一个数列是否为等比数列.
【解析】(1)由条件可得.将代人,得,而,所以.将代人,得,所以.从而.
(2)是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得,即,又,所以是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得,所以.
【点评】判断一个数列是否为等比数列的方法有三个:定义法,等比中项法,通项公式法.
【练习1-35】已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)若,求的通项公式.
【练习1-36】已知数列的前项和为,其中为常数.
(1)证明:;
(2)是否存在实数,使得数列为等比数列 若存在,求出;若不存在,请说明理由.
【例1-19】(多选题)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并且满足条件,则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.的最大值为
D.的最大值为
【分析】与的关系是突破口.
【答案】.
【解析】因为,所以,所以,故选项A正确;,故选项B错误;因为,所以数列为各项为正的递减数列,所以无最大值,故选项C错误;又因为,所以是数列中的最大项,故选项D正确.故选A,D.
【点评】求等比数列的前项和与前项积的最值,一般都要考虑数列的项的大小.
【练习1-37】(多选题)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,且满足条件,下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.是数列中的最大值
D.数列无最大值
【练习1-38】设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,且满足条件,下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.数列存在最大值
D.是数列中的最大值
【例1-20】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】十三个单音的频率依次构成等比数列.
【答案】.
【解析】由题意知十三个单音的频率依次构成首项为,公比为的等比数列,设此数列为,则,即第八个单音的频率为.
【点评】解决新情景类数学问题的关键是从中抽象出数学模型.
【练习1-39】我国明代数学家、音乐理论家朱载 创立了“十二平均律”,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如表1-2所示,其中表示这些半音的频率,它们满足.若某一半音与的频率之比为,则该半音为
A.
B.
C.
D.
【练习1-40】北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界,传递了“人类命运共同体”的理念。“雪花曲线”也叫“科赫雪花”,它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的,是一种分形几何.图1-5(a)是长度为1的线段,将图1-5(a)中的线段三等分,以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，得到图1-5(b),这称为“一次分形”;用同样的方法把图1-5(b)中的每条线段重复上述操作，得到图1-5(c),这称为“二次分形”;依次进行“次分形”.规定:一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若要得到一个长度不小于40的分形图,则的最小值是( ).(参考数据
A.11
B.12
C.13
D.14
1.3.2等比数列与指数函数
一、内容提要
1.等比数列与指数函数的关系
非常数列的等比数列的通项公式是一个非零常数与指数函数的乘积,形如.但是只取正整数值.所以说,等比数列(非常数列)是一种特殊的指数函数.
2.等比数列的单调性
等比数列的单调性比等差数列复杂,可以借助函数来解释等比数列的单调性.
当或时,是递增数列;当或时,是递减数列;当时,是常数列.
3.等比数列的性质
(1),或为正偶数时),或为正奇数时);
(2)若为等比数列,且,则
(3)若是公比为的等比数列,则是公比为的等比数列;
(4)若(项数相同)是等比数列,则,仍是等比数列.
二、释疑解惑
【问题1-15】对等比数列而言,单调增是否等价于公比为正
答:不是.等比数列与指数函数有关系,非常数列的等比数列的通项公式是一个非零常数与指数函数的乘积,但是其单调性不只跟公比有关,还跟首项有关.当或,时,是递增数列;当或时,是递减数列;当时,是常数列.
【问题1-16】如何深刻、快速理解等比数列的性质
答:非常数列的等比数列的通项公式是一个非零常数与指数函数的乘积,形如.把握住这个关系,即可理解等比数列的各个性质.
三、典型例题
【例1-21】在等比数列中,若,则________
【分析】若为等比数列,则.
【答案】.
【解析】因为,由等比数列的性质知,所以.
【点评】恰当运用等比数列的性质常可以简化运算.
【练习1-41】在等比数列中,,且,则的值为
A.16
B.27
C.36
D.81
【练习1-42】在等比数列中,,则的值为( ).
A.2
B.4
C.8
D.16
【例1-22】若已知数列对任意都有,则.
A.
B.
C.
D.
【分析】先判断数列是等比数列,再利用其性质:若是公比为的等比数列,则是公比为的等比数列.
【答案】.
【解析】由,得,所以公比.可知数列是等比数列,公比为,首项,所以.
【点评】对于要求和的数列,一般要看它是否为等差、等比数列.
【练习1-43】在正项等比数列中,已知,则
A.12
B.13
C.14
D.15
【练习1-44】已知数列满足(为非零常数),,则
A.2
B.
C.1024
D.
【例1-23】(多选题)已知等比数列满足,公比,且,,则
A.
B.当时,最小
C.当时,最小
D.存在,使得
【分析】用等比数列的通项公式结合其性质来解题.
【答案】.
【解析】对于选项,因为,所以,又,所以,故选项A正确;
对于选项B,C,由等比数列的性质,,故,所以,因为,所以,所以,故当时,最小,故选项B错误,选项C正确;
对于选项D,当时,,故,故选项D错误.故选A,C.
【点评】等比数列前项的和与积的最值由数列的项的值决定.
【练习1-45】已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为( ).
A.25
B.20
C.15
D.10
【练习1-46】(多选题)设是各项为正数的等比数列,是其公比,是其前项的积,且,则下列选项中成立的是( ).
A.
B.
C.
D.与均为的最大值
【例1-24】等比数列中,分别是表1-3第一、二、三行中的某一个数,且,中的任何两个数不在表的同一列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,求数列的前项和.
【分析】关键是分析出,得出其通项公式.
【解析】(1)由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式为.
(2)因为,所以.
【点评】对数表类问题,关键是找出其中所包含的特殊数列(等差数列或等比数列).
【练习1-47】在表1-4中的行列空格内,第1行均已填上1,第1列依次填入首项为1,公比为的等比数列的前项,其他各空格均按照“任意一格内的数是它上面一格的数与它左面一格数之和”的规则填写.
(1)设第2行的数依次为,试用表示的值;
(2)是否存在,使得除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列 若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由;
(3)设第3列的数依次为,对于任意非零实数,求证:.
【练习1-48】在个实数组成的行列数表中,先将第一行的所有空格依次填上1,,再将首项为1,公比为的数列依次填入第一列的空格内,然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其他空格如表1-5所示.
(1)设第2行的数依次为.试用表示的值;
(2)设第3行的数依次为,记为数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)能否找到的值使数列的前项成等比数列 若能找到,试求出的值是多少;若不能找到,请说明理由.
1.3.3等比数列的前项和
一、内容提要
1.等比数列前项和公式
首项为,公比为的等比数列的前项和
2.错位相减法
由前项和定义知,
将上式两边同乘,得,
两式相减得,
当时,,显然此式对也成立;
当时,.
3.等比数列前项和的性质
(1)非常数列的等比数列的前项和,其中.
(2)公比为的等比数列,按项分组,每项之和组成一个新的等比数列,其公比为,即为等比数列,公比为.
(3)对于项数为的等比数列,有.
二、释疑解惑
【问题1-17】“”与“是等比数列”是否等价
答:不等价.非零常数列是等比数列,但,不是指数函数.反之,若,但是,则不是等比数列.对于非常数列而言,“是等比数列”与“”等价.
【问题1-18】如何理解非常数的等比数列中,
答:用错位相减法可求得,表明等比数列的前项和由首项、公比和项数唯一确定.注意到,可得,表明等比数列的前项和由首项、公比和末项唯一确定.这正好印证了这样一个事实:等比数列的决定量有两个,即首项和公比,或
者首项和末项.
三、典型例题
【例1-25】记为等比数列的前项和.若,则等于( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】先求出等比数列的两个基本量,再套用等比数列前项和公式.
【答案】.
【解析】方法1:设等比数列的公比为,则.由,得.所以,所以.
方法2:设等比数列的公比为,则
由得.
将代入(1),解得.所以,下同方法1.
【点评】求等比数列的两个基本量时,恰当运用其性质,可以减少运算量.
【练习1-49】记为等比数列的前项和.若,则________
【练习1-50】已知公比大于1的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【例1-26】等比数列的前项和为,则的值为( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】先由前项和求出通项,再结合等比数列的定义求.
【答案】.
【解析】由等比数列前项和的性质,知,所以.
【点评】非常数列的前项和为数列是等比数列.
【练习1-51】已知等比数列的前项和,则________
【练习1-52】等比数列的前项和,则实数________
【例1-27】设是公比不为1的等比数列,为的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若,求数列的前项和.
【分析】数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积构成的数列,其求和方法是错位相减法。
【解析】(1)设的公比为,由题设得,即.所以,解得(舍去)或.故的公比为-2.
(2)记为的前项和.由(1)及题设可得,
所以,.
所以.
所以.
【点评】错位相减法求和的结果形如,这可以用于快速检验结果的正确性。
【练习1-53】已知在数列中,.
(1)令,证明:数列是等比数列;
(2),证明:.
【练习1-54】已知正项数列的前项和,其中为常数.
(1)若,证明:数列是等比数列;
(2)若,求数列的前项和.
【例1-27】已知数列中,,则的前200项和________
【分析】先判定数列是等比数列.
【答案】.
【解析】由,得.
当时,,所以,即,所以的奇数项是以1为首项,2为公比的等比数列;
其偶数项是以2为首项,2为公比的等比数列.
则.
【点评】对数列的奇、偶项问题,一般做法是分别把奇数项和偶数项作为两个新数列.
【练习1-55】已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为( ).
A.2
B.4
C.8
D.16
【练习1-56】已知数列满足
(1)令,求及的通项公式;
(2)求数列的前项和.
*1.4数学归纳法
一、内容提要
对于与自然数有关的命题的证明问题,可以考虑用数学归纳法.数学归纳法的本质实际上是一种完全归纳法.
1.数学归纳法的定义
对于某些与自然数有关的命题,常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当取第一个值时命题成立;然后假设当时命题成立,证明当命题也成立.这种证明方法就叫作数学归纳法.
2.数学归纳法的基本思想
数学归纳法是完全归纳法的一种,它是一种归纳一演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”:设表示关于自然数的命题,如果满足条件:(1)(1)正确;(2)假设成立,推断也成立,那么对一切自然数都成立.其中(1)是验证,它是证明的基础;(2)是以假设成立,通过演绎推理,推证出也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数,如果当时,命题成立,再假设当时,命题成立.(这时命题是否成立是不确定的),根据这个假设,如能推出当时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于的正整数,命题都成立.
3.用数学归纳法证明命题的步骤
第1步:奠基步骤.即证明当取第一个值时,结论正确.
第2步:假设推理步骤.假设当时结论正确,证明当时结论也正确.
第3步:得出结论.由步骤1,2可知,命题对于从开始的所有正整数都正确.
二、释疑解惑
【问题1-19】用数学归纳法证明命题的要点“两小一大”是指什么内容
答:用数学归纳法证明命题时,要有两个小结论、一个大结论.即:奠基步骤、假设推理步骤分别有一个小结论,在此基础上得到一个大结论.
【问题1-20】用数学归纳法证明命题的常见错误有哪些
答:奠基步骤的错误:关于的第一个取值,是指命题成立的第一个自然数,并不一定是自然数1;如果是证明对任意正奇数成立,则;如果是证明对任意正偶数成立,则;如果是证明对任意的数成立,则.
归纳步骤的错误:证明时没有用到的结论,时所要求证的式子错误,从时到时式子关系错误.
【问题1-21】数学归纳法用于解题的基本步骤是怎样的
答:数学用归纳法解题时的基本步骤是:归纳一猜想—证明.首先列举的若干初始特殊值,再从中归纳出规律,得出猜想,最后用数学归纳法证明.
三、典型例题
【例1-29】观察下列等式:
,
,
,
,
,
,
,
可以推测,当时,,________
【分析】从初始的情形中发现规律.
【答案】.
【解析】由观察可知,当时,每一个式子第三项的系数成等差数列,所以,第四项均为零,所以.
【点评】“观察一归纳—猜想”是这类找规律问题的一般方法.
【练习1-57】由归纳原理分别探求:
(1)凸边形的对角线条数________
(2)平面内个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,则该个圆分平面区域数________
【练习1-58】(多选题)已知正项数列满足,则下列可用数学归纳法证明的正确的猜想是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【例1-30】用数学归纳法证明时,第一步应验证不等式( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】的最小值是2,此时所要求证的式子左边为.
【答案】.
【解析】用数学归纳法证明时,第一步应验证当时,即是否成立.故选B.
【点评】用数学归纳法证明问题时,奠基步骤要注意正确确定的最小值,以及此时所要求证的式子.
【练习1-59】用数学归纳法证明:.在验证时,等式左端计算所得项为（ ）.
A.
B.
C.
D.
【练习1-60】观察下面两个数列.
数列;
数列.
猜想从第几项起小于,并证明你的结论.
【例1-31】用数学归纳法证明
时,由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】.
【分析】与解时,左边.
时,左边.
所以,左边应添加的式子是,故选B.
【点评】用数学归纳法证明问题时,推理步骤对时的情形一定要建立在时的情形的基础上，因此必须准确确定它们之间的关系。
【练习1-61】用数学归纳法证明为正偶数时某命题成立,若已假设(为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ).
A.时等式成立
B.时等式成立
C.时等式成立
D.时等式成立
【练习1-62】设,则
A.
B.
C.
D.
【例1-32】数列中,.
(1)求证:(1);(2);
(2)比较与的大小,并加以证明.
【分析】先列举的几个初始情形,再观察、归纳,最后作出猜想,并予以证明.
【解析】(1)证明:(1)因为,当且仅当2时,.因为,所以,即.
(2)因为,由(1)得(i)
下面证明:对于任意,有成立.
当时,由,显然结论成立.
假设结论在时成立,即,因为,且函数在时单调递增,所以,即当时,结论也成立.
于是,当时,有成立.(ii)
根据(i)(ii)得.
(2)由,可得,从而.
因为,所以,
所以.
由及,经计算可得.
所以当时,;
当时,;
当时,由,得.
【点评】“观察—归纳—猜想—证明”是这类问题的一般解决路线.
【练习1-63】已知数列满足,对于任意的,都有,且.又知数列满足:.
(1)求数列的通项及它的前项和;
(2)求数列的前项和;
(3)猜想和的大小关系,并说明理由.
【练习1-64】是否存在常数,使等式对一切自然数都成立,并证明你的结论.
1.5数列求和
一、内容提要
1.公式法
对于等差、等比数列求和问题,可直接套用等差、等比数列前项和公式.
2.分组求和
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.
3.裂项法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可以相互抵消,再求和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和即可用错位相减法.
5.倒序相加法
如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法.
二、释疑解惑
【问题1-22】用倒序相加法求和时如何避免错误
答:对通项是由一个等差数列与一个等比数列对应项之积构成的数列求和时,常用倒序相加法.这里,应用环境、求和方法都是明确的,但是结果不容易算对.常见的错误如:错位相减后首项未单独列出,尾项漏掉负号等.
设数列的首项和公差分别为,数列的首项和公比分别为,则
两式相减得
从而得
它形如,因此,既可以用这个形式检验正误,也可以用待定系数法直接求解.
【问题1-23】数列求和时可以用到的基本结论有哪些
答:常用结论如下.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11).
三、典型例题
【例1-33】已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【分析】把数列的前项分为两组求和.
【解析】(1)当时,;当时,也满足,故数列的通项公式为.
(2)由(1)知,故.记数列的前项和为,则
记,
则.故数列的前项和.
【点评】一般地,如果是等差数列,是等比数列,求数列或的前项和时,可采用分组求和法.如果,求的前项和时,可采用并项求和法求解.
【练习1-65】在等差数列中,已知公差是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,记,求.
【练习1-66】已知数列的首项,前项和为,满足.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
【例1-34】设是首项为1的等比数列,数列满足.已知成等差数列.
(1)求和的通项公式;
(2)记和分别为和的前项和,证明:.
【分析】数列中,是由等差数列和等比数列对应项之积构成的,用错位相减法求和.
【解析】(1)设的公比为,则.因为成等差数列,所以,解得,故.
(2)证明:由(1)知,
①
②
(1)-(2)得
即
整理得,则,故.
【点评】对由等差数列和等比数列对应项之积构成的数列,用错位相减法求和,此时要注意三点:
(1)要准确识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
(2)要准确写出错项对齐的表达式;
(3)若其中等比数列的公比为参数,应分公比和两种情况.
【练习1-67】设是公比不为1的等比数列,为的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若,求数列的前项和.
【练习1-68】已知数列的前项和为,且.
(1)证明:数列是等差数列,并求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【例1-35】数列的前项和为.现在给出三个条件:(1);(2);(3).从上述三个条件中,选一个填在下面问题的横线上,并解答后面的问题.
已知,若的前项和为.
(1)求;
(2)求证:数列的前项和.
【分析】求和式的通项.
【解析】若选(1),由知,数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以.
(1)所以.所以是首项为1,公差为1的等差数列.所以.
(2)证明:
所以.
若选(2),由得,当时,,所以.当时,,所以,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列.下与选(1)相同.
若选(3),由知,当时,.当时,.下与选(1)相同.
【点评】裂项相消法求和时,要注意考虑其通项,并将其裂项。裂项原则一般是前边裂几项,后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.消项规律一般是消项后前边剩几项，后边就剩几项;前边剩第几项,后边就剩倒数第几项;前边剩几个正(负)项,后边就剩几个负(正)项。
【练习1-69】已知数列满足,对任意,都有,求实数的取值范围.
【练习1-70】已知递增的等差数列的前项和为成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知,求数列的前项和.
【例1-36】求证:.
【分析】注意到数列不是特殊数列,因此应该通过放缩法,将它放缩为特殊数列求和,或者放缩为可以用裂项法等方法求和的数列.
【解析】一方面:因为,
所以.
另一方面:.
当时,;当时,;当时,.综上所述,.
【点评】放缩法的方向,要么是等差、等比数列,要么是可以用裂项法等方法求和的数列.放缩法难度大,常常存在放缩过头的问题,应注意积累、体会.
【练习1-71】已知.求证:.
【练习1-72】已知,求证:.
*1.6递推数列
一、内容提要
1.递推公式
给出了数列的两项或者两项以上的项之间关系的式子,叫作该数列的递推公式.如常见的斐波那契数列的递推公式为.
2.递推数列
给出了递推公式和初始条件的数列,叫作递推数列.如斐波那契数列:,.
二、释疑解惑
【问题1-24】递推数列的要素有几个 是哪些
答:递推数列由两个要素构成:初始条件和递推公式,二者缺一不可.
【问题1-25】如何掌握递推数列的解法
答:递推数列问题可解类型少、难度大,而且,类似于“特征根法”等专门方法是不宜作为高考要求的.因此,掌握高考中的递推数列问题,宜“一题一议”,从具体问题出发去理解解法.
三、典型例题
【例1-37】(形如)
在数列中,,且,则的通项为( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】构造等比数列.
【答案】A.
【解析】因为,所以,由,得,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以,即.
【点评】对形如的常系数二阶递推数列,用待定系数法构造等比数列.
【练习1-73】已知数列满足,且,则________
【练习1-74】已知数列满足,则满足不等式的为正整数)的值为( ).
A.3
B.4
C.5
D.6
【例1-38】(形如)在数列中,(1)若,则________
(2)若,则________
【分析】观察递推式特征:,类似等比数列,故可尝试化为等比数列求解,以(1)为例,可设,整理得,所以即转化成功.
【解析】(1)因为,所以,即,又,所以,所以是首项为1,公比为4的等比数列,所以.所以.
(2)解法1:因为,令,比较系数得.所以,即,又,所以,所以是首项为-2,公比为2的等比数列,所以,所以.
解法2:因为,所以,所以,又,所以是首项为-2,公比为的等比数列,所以,所以.
【点评】(1)形如为常数)的类型,可令,求出的值即可知为等比数列,进而可求.
(2)形如(为常数）的类型.当时,可令,求出的值即可知是等比数列,进而可求,当时,可化为,即(常数),知为等差数列,进而可求.
【练习1-75】在数列中,若,则________
【练习1-76】在数列中,若,则________
【例1-39】(形如
已知数列中,,则数列的通项公式为________
【分析】将已知式子倒置后得到等差数列.
【解析】因为,所以,所以,即,又,则,所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以,所以.
【点评】形如(为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【练习1-77】已知数列满足,则通项公式________
【练习1-78】已知数列满足,若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
【例1-40】(形如或
(1)已知数列满足,则________
(2)在数列中,,则数列的通项公式为
A.
B.
C.
D.
【分析】(1)用累加法,(2)用累乘法.
【解析】(1)由题意知,所以.
(2)解法1:由已知得,所以.故选A.
解法2:由题意得.又时,,所以数列是首项为1,公比为的等比数列.从而,即.故选A.
解法当时,选项为1,选项为1,选项为,选项为1,否定选项;当2时,由已知得,选项为,选项为,选项为,否定选项.故选A.
【点评】形如时,用累加法,;形如时,用累乘法,.
【练习1-79】若数列满足,且,则________
【练习1-80】已知数列满足,则
A.
B.
C.
D.
【例1-41】(形如)
已知数列的前项和为,则
A.
B.
C.
D.
【分析】构造等比数列.
【答案】A.
【解析】因为,所以,又,所以,所以是等比数列,公比为4,首项为3,则数列也是等比数列,公比为,首项为3.所以.
【点评】对形如的常系数三阶递推数列,用待定系数法构造等比数列.
【练习1-81】已知数列满足,且,则
A.
B.
C.
D.
【练习1-82】已知数列中的分别为直线在轴、轴上的截距,且,则数列的通项公式为________
【例1-42】(形如
在数列中,,则________
【分析】构造等比数列.
【答案】460.
【解析】因为,所以,
即,所以,则数列是以6为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,所以.故答案为460.
【点评】对形如的递推数列,利用同构函数构造等差、等比数列。
【练习1-83】已知数列的首项,且满足,则中最小的一项是( ).
A.
B.
C.
D.
【练习1-84】数列满足,且,若,则的最小值为
A.3
B.4
C.5
D.6
【例1-43】(带平方的递推数列)
已知数列,则
A.
B.
C.
D.
【分析】令,推导出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,进而可求得的值.
【答案】.
【解析】由,可得,因为,根据递推公式可得出,进而可知,对任意的,在等式两边取对数,可得,令,则,可得,则.所以数列是等比数列,且首项为,公比为2,所以,即.故选B.
【点评】带平方的递推数列,一般要配平方,然后取对数,构造等差、等比数列.
【练习1-85】已知数列的首项,则
A.7268
B.5068
C.6398
D.4028
【练习1-86】设数列满足,则________
【例1-44】(周期数列)
已知数列满足,则
A.0
B.
C.
D.
【分析】算出数列的前若干项为
【答案】A.
【解析】由上述可知,数列是每三项一循环的数列,则有,故选A.
【点评】写出数列的前若干项,发现周期性.
【练习1-87】在数列中,若,并有对且恒成立,则________
【练习1-88】设数列满足,且对任意正整数,总有成立,则数列的前2019项的乘积为( ).
A.
B.1
C.2
D.3
1.7数列综合问题
数列有广泛应用,因为其与函数有天然联系,常与函数、不等式等产生交汇,所以数列成为各种考试的热点问题.本节选取了数学文化中的数列问题,新情境下的数列问题,等差与等比数列综合问题,数列与函数、不等式交汇问题,数列应用题等五个方面的综合问题。
【例1-45】(数学文化中的数列问题)
某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________;如果对折次,那么.
【分析】先逐一考查初始的几种基本情形,从中得到猜想.
【答案】.
【解析】依题意得,;
当时,共可以得到四种规格的图形,且,所以;
当时,共可以得到,五种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且,所以；
所以归纳.
所以,
所以,
(1)-(2)得
所以.
【点评】数学建模是指对现实问题进行抽象,用数学语言表达和解决实际问题的过程.有关数列的应用问题,是让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表达数列问题,用数学的知识得到数列模型,用数列的方法得到结论,验证数学结论与实际问题的相符程度,最终得到符合实际规律的结果。
【练习1-89】我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢 ”上述问题中,两鼠在第( )天相逢
A.2
B.3
C.4
D.6
【练习1-90】古希腊时期,人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形,把这个比值称为黄金分割比例.图1-6为希腊一古建筑,图中的矩形,均为黄金矩形,若与之间的距离超过与之间的距离小于,则该古建筑中与之间的距离可能是
(参考数据:,
A.
B.
C.
D.
【例1-46】(新情境下的数列问题)
数列的前项和为,定义的“优值”为,现已知的“优值”,则________
【分析】的本质是一个数列的前项和.
【解析】由,得,①
当时,,②
(1)-(2)得,即,当时,也满足式子,所以数列的通项公式为,所以.
【点评】对新情境下的数列题应深入新情境,建立数列模型,再利用新定义,求解数列模型,将新定义和原有知识相联系,和数列的通项、求和相结合.
【练习1-91】定义:若数列对任意的正整数,都有(为常数),则称为“绝对和数列”,叫作“绝对公和”.已知“绝对和数列”中,,绝对公和为3,则其前2023项的和的最小值为( ).
A.-2023
B.-3010
C.-3031
D.-3027
【练习1-92】定义映射,其中.已知对所有的有序正整数对满足下述条件:(1);(2)若;(3),则的值是;的表达式为________(用含的代数式表示).
【例1-47】(等差与等比数列综合问题)
已知等差数列和等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列,记数列的前项和为,求.
【分析】考查两个数列,发现是数列中的第项.
【解析】(1)设等差数列的公差为,因为,所以,所以,
所以.又,即,所以,所以.
(2)由(1)得,即是数列中的第项.设数列的前项和为,数列的前项和为,因为,所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的,所以
【点评】对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和,例1-47是利用裂项相消法求数列的和.
【练习1-93】已知数列满足,.
(1)若为等比数列,公比,且,求的值及数列的通项公式;
(2)若为等差数列,公差,证明:.
【练习1-94】已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【例1-48】(数列与函数、不等式交汇问题)
已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当时,求数列的前项和;
(3)若,问是否存在实数,使得中的每一项恒小于它后面的项 若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
【分析】中的每一项恒小于它后面的项,即要使对一切成立.
【解析】(1)证明:由题意知,即,所以,
所以,因为常数且,所以为非零常数.
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,,
当时,.
所以,①
②
(2)-(1)得
所以.
(3)存在.由(1)知,,要使对一切成立,即对一切.成立.
(1)当时,对一切恒成立,故符合题意;
(2)当时,,要求对一切恒成立,只需,即,且,因此.
综上所述,存在实数满足条件.
【点评】将数列中的每一个恒小于它后面的项翻译成函数恒成立问题,将数列与函数交汇联系。
【练习1-95】已知数列中,,若对于任意的,
不等式恒成立,则实数的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
【练习1-96】在(1)数列为递增的等比数列,,且是和的等差中项;(2);(3)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
已知数列的前项和为,,,设数列的前项和为,是否存在实数,使得恒成立
【例】(数列应用题)
甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在两个喷雾器中分别配制成和的药水各,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为的药瓶,他们从两个喷雾器中分别取的药水,将中取得的药水倒入中,中取得的药水倒人中,这样操作进行了次后,喷雾器中药水的浓度为喷雾器中药水的浓度为.
(1)证明:是一个常数;
(2)求与的关系式;
(3)求的表达式.
【分析】考查“溶质”这个不变量,得到(1)的结果,然后代入得到数列的递推关系,从而求解递推数列.
【解析】(1)开始时,中含有农药,中含有农药,次操作后,中含有农药,中含有农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而有,所以(常数).
(2)第次操作后,中药水中农药的重量具有关系式:,由(1)知,代人化简得①
(3)令,利用待定系数法可求得,所以,可知数列是以为首项,为公比的等比数列,由(1)知,.
由等比数列的通项公式知,,
所以.
【点评】解数列应用题的关键,是从实际问题中抽象出数列模型,并抽象出该数列中的等量关系.
【练习1-97】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元.写出的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入
【练习1-98】环保刻不容缓.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除。已知旧城区的住房总面积为,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积,前四年每年以的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加.设第,且N）年新城区的住房总面积为，该地的住房总面积为.
(1)求的通项公式;
(2)若每年拆除,比较与的大小.
第2章平面解析几何初步
本章分为两个部分:直线与方程,圆与方程.
20世纪,我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”17世纪,法国数学家笛卡儿在数形结合方面做了开创性工作,将几何与代数相结合,创立了解析几何,它的诞生,是数学发展史上一件具有划时代意义的大事,因此笛卡儿被公认为解析几何之父。
直线与圆是平面上最简单的两个图形,本章按照确定直线(圆)的几何要素直线(圆)的方程一一运用方程研究与直线(圆)有关的几何性质(包括位置关系与度量关系)一一坐标法的应用,这样的一条线索展开,使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程,体会解析几何的基本理念.
本章重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.本章知识结构框图如下:
2.1直线的斜率
一、内容提要
本小节主要包括三方面内容:引人直线倾斜角刻画直线的倾斜程度;通过“坡度”引出直线的斜率;通过向量法,用直线上两点的坐标刻画直线的方向和斜率.
1.直线的倾斜角的定义
当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作直线的倾斜角;
当直线与轴平行或重合时,规定此时直线的倾斜角为0;
当直线与轴相交时,直线的倾斜角的范围是.
2.直线的斜率的定义
直线的倾斜角不等于时,其正切值叫作该直线的斜率,记作;
直线的倾斜角等于时,其斜率不存在.
3.直线的斜率公式
过两点的直线的斜率.
4.斜率与倾斜角的关系
时,不存在;
时,,其中.
5.线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为,线段的中点的坐标为,则.
6.的重心坐标公式
若点的坐标分别为的重心的坐标为,则.
7.向量的方向
已知倾斜角为的直线有两个不同点,从原点出发作有向线段,表示向量,则与直线平行或位于直线上,而且它们有相同的倾斜角.
二、释疑解惑
【问题2-1】生活中经常用的“坡度”就是斜率吗
答:走上坡模型时,道路倾斜角的正切等于坡度,而坡度等于上升高度除以水平距离,坡度为正;而走下坡模型时,道路倾斜角的正切依然等于坡度,而坡度等于下降高度(负实数)除以水平距离,坡度为负;当然,走在水平模型上时,坡度为0.坡度不用钝角的正切而用负角的正切,这一点与斜率有所不同.坡度与斜率既有联系又有区别,坡度是生活中的一种特例,而斜率是一种数学抽象,是更一般的情况.
【问题2-2】斜率与倾斜角一一对应吗 倾斜角为的直线的斜率是什么
答:除倾斜角为的直线外,斜率与倾斜角是一一对应的,如图2-1所示,倾斜角为0时,斜率为0;倾斜角是锐角时,斜率为正数,随着倾斜角的增大,斜率也在增大;倾斜角为钝角时,斜率为负数,随着倾斜角的增大,斜率依然在增大;当倾斜角为时,根据定义,可以发现没有意义,也就是说,此时斜率不存在.
【问题2-3】确定直线位置的几何要素有哪些
答:点、倾斜角,还有直线的方向向量.方向向量将在后面章节进一步阐述.
三、典例精讲
图2-1
【例2-1】(多选题)下列四个命题中,错误的有（ ）.
A.若直线的倾斜角为,则
B.直线的倾斜角的取值范围为
C.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为
D.若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【答案】.
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是,即,所以,故选项A错误,选项B正确;
当时,直线的斜率,故选项C错误;
若直线的斜率,则直线的倾斜角为,故选项D错误.
【点评】对直线的倾斜角的定义,当直线与轴平行或重合时,倾斜角为0的这样一个特殊规定要铭记于心.对直线的斜率定义也要精准把握,如倾斜角为时,斜率不存在这种特殊情况.
【练习2-1】下列命题中,错误的是.(填序号)
(1)若直线的倾斜角为,则;
(2)直线的倾斜角越大,直线的斜率就越大;
(3)若直线的倾斜角为,则直线的斜率为.
【练习2-2】若三点共线,则的值等于
【例2-2】已知直线的倾斜角为,斜率为,若,则的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】根据斜率的范围得到,然后结合正切函数的图像及直线倾斜角的取值范围即可求出直线的倾斜角的取值范围.
【答案】A.
【解析】因为,且,所以.
【点评】根据倾斜角的取值范围求斜率的取值范围相对容易,根据斜率的取值范围求倾斜角的取值范围相对困难,借助正切函数的单调性或其图像,便可以得到倾斜角的准确范围.
【练习2-3】已知两点,直线过点且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( ).
A.
B.或
C.
D.
【练习2-4】若点落在一次函数的图像上,则实数的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
【例2-3】若过点与点的直线的倾斜角为钝角,且,则实数的取值范围是
【分析】根据两点坐标表示出直线的斜率,求出的取值范围,进而得出实数的取值范围。
【答案】.
【解析】设直线的倾斜角为,斜率为,则.
又为钝角,所以,即,故.
因为关于的函数的对称轴为,
所以,即,
所以实数的取值范围是.
【点评】例2-3考查了直线的倾斜角与斜率.
【练习2-5】在中,的中点,重心,则边所在直线的斜率为
A.
B.
C.2
D.-2
【练习2-6】已知等边的顶点,顶点在第一象限,若点是内部及其边界上一点,则的最大值为( ).
A.
B.
C.
D.
【例2-4】已知等边的三个顶点均在二次函数的图像上,其中一条边所在直线的斜率为,则的三个顶点的横坐标之和为________
【分析】设点,则可得,不妨设,且直线的倾斜角为,可得,然后利用算出答案即可.
【答案】.
【解析】设点,
则.
不妨设,且直线的倾斜角为,
因为是等边三角形,所以,
所以
【点评】例2-4以二次函数图像为载体,考查了直线的斜率和三角函数的和差公式,属于较难题.
【练习2-7】已知直线经过两点,求直线的倾斜角的取值范围.
【练习2-8】已知三条直线的斜率分别为,且,倾斜角分别为,探索的大小关系.
2.2直线的方程
直线的方程是本章的核心之一,解析几何的核心就是通过建立几何对象的方程,借助方程来研究几何对象的性质.本节主要介绍直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程及点法式方程.
2.2.1直线的点斜式方程与斜截式方程
一、内容提要
1.直线的点斜式方程
方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定(斜率必须存在),把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
2.直线的斜截式方程
(1)把直线与轴的交点的纵坐标叫作直线在轴上的截距;
(2)把方程叫作直线的斜截式方程,简称斜截式(斜率必须存在).
二、释疑解惑
【问题2-4】建立直线的点斜式方程的步骤是什么 即如何得到点斜式方程
答:步骤如下:(1)设动点的坐标为;(2)分析动点的几何特征;(3)用坐标表示动点的几何特征,并进行必要的化简变形;(4)说明得到的坐标关系符合直线的方程的定义.用五个短语概括:建系设点找等量关系坐标化化简检验.这个步骤也是得到各种轨迹方程的一种通法.
【问题2-5】直线的方程与方程的直线之间有何关系
答:直线上的每个点的坐标都是方程的解,反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线上.这两方面都满足,才能说方程是直线的方程,直线是方程的直线,直线与方程就一一对应起来了.
【问题2-6】截距是距离的一种吗
答:斜截式方程,其中叫作直线在轴上的截距,其实就是直线与轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,距离则不能为负.故截距不是距离的一种.
三、典例精讲
【例2-5】(多选题)下列四个选项中正确的是( ).
A.方程与方程可表示同一直线
B.直线过点,倾斜角为,则其方程是
C.直线过点,斜率为0,则其方程是
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【分析】利用方程的意义可判断选项的正误;利用条件求得对应直线的方程,可判断选项B,C的正误;取直线的倾斜角为直角,可判断选项D的正误.
【答案】.
【解析】对于选项,方程表示直线被挖去点,故与方程表示的图形不相同,故选项A错误;
对于选项,直线过点,倾斜角为,该直线垂直于轴,斜率不存在,其方程为,故选项正确;
对于选项C,直线过点,斜率为0,则其方程为,即,故选项C正确;
对于选项,若直线垂直于轴,则直线的斜率不存在,该直线没有点斜式和斜截式方程,故选项D错误.
【点评】例2-5旨在帮助我们理解与熟悉直线的点斜式方程、斜截式方程的概念、形式及其适用范围,还有助于提升我们的推理与运算能力.
【练习2-9】已知直线的方程为,若设的斜率为,在轴上的截距为,则的值为( ).
A.
B.2
C.
D.0
【练习2-10】(多选题)下列说法正确的有( ).
A.若直线经过第一、二、四象限,则在第二象限
B.任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率
C.过点、斜率为的点斜式方程为
D.直线的斜率越大,倾斜角越大
【例2-6】过点引直线,使到它的距离相等,则这条直线的方程是( ).
A.
B.
C.或
D.或
【分析】设所求的直线为,则直线平行于或直线过线段的中点,分情况讨论即可求解.
【答案】.
【解析】设所求的直线为,则直线平行于或直线过线段的中点.
因为,所以,所以过点且与平行的直线为,即.
因为,所以线段的中点为,所以过点与线段的中点的直线的方程为,即.
所以这条直线的方程为或.
【点评】考虑问题应全面,各种情况都不能遗漏.数形结合是一种常用的解题思想,也是一种避免遗漏的有效手段.
【练习2-11】已知点和点到直线的距离相等,且过点,求直线的方程.
【练习2-12】直线过点,且与直线的夹角为,求直线的方程.
【例2-7】方程所表示的直线
A.恒过定点
B.恒过定点
C.恒过定点
D.都是平行直线
【分析】将方程化为,即可得到答案.
【答案】A.
【解析】方程可化为,
即,则恒过定点.
【点评】例2-7中直线的图像随唯一一个参数的变化而变化.根据直线的点斜式或斜截式方程分析参数对图像的影响,可以判断直线是否恒过定点.
【练习2-13】已知,则下列直线的方程不可能是的是
【练习2-14】直线不过第二象限,则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
【例2-8】若直线与两坐标轴相交,且被两坐标轴截得的线段中点是,求该直线的方程.
【分析】已知直线上一点,设含未知斜率的直线的点斜式方程,利用题目条件,得到关于的方程,求解该方程即可.
【解析】设直线的方程为,
令,得;令,得.
由题意可知,,可得,
故所求直线方程为.
【点评】例2-8旨在让学生掌握待定系数法,通过合理假设直线方程,再利用条件求出相关的系数.
【练习2-15】求适合下列条件的直线方程.
(1)经过点,倾斜角等于直线的倾斜角的2倍;
(2)已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍;
(3)经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【练习2-16】(多选题)在平面直角坐标系中,直线与坐标轴分别交于点,则下列选项中是真命题的有( ).
A.存在正实数使得面积为的直线恰有一条
B.存在正实数使得面积为的直线恰有两条
C.存在正实数使得面积为的直线恰有三条
D.存在正实数使得面积为的直线恰有四条
2.2.2直线的两点式方程与截距式方程
一、内容提要
1.直线的两点式方程
(1).这就是经过两点,的直线方程,把它叫作直线的两点式方程,简称两点式.
(2)在中,当时,直线垂直于轴,直线方程为,即;当时,直线垂直于轴,直线方程为,即.
2.直线的截距式方程
把直线与轴的交点的横坐标叫作直线在轴上的截距,此时直线在轴上的截距是.方程由直线在两个坐标轴上的截距与确定,我们把方程叫作直线的截距式方程,简称截距式.
二、释疑解惑
【问题2-7】方程和方程,哪一个作为两点式方程更好一些
答:方程表示的直线包含了所有情况,当直线垂直于轴时,,而,则方程简化为;当直线垂直于轴时,同理,方程简化为;当直线既不平行于轴也不平行于轴时,两点式方程可以写成.
第一个方程虽然不是特别对称,但是可以表示任意的直线;第二个方程虽然不能表示任意的直线,但是比较对称且容易记住.正因为它们各有优缺点,因此可以分别用来作为直线的两点式.
【问题2-8】两点式方程变形成,它左右两边各具有怎样的几何意义,该方程代表完整的一条直线吗
答:方程的右边表示由两点和确定的直线斜率,而方程的左边表示由两点和确定的直线斜率.等式成立,意味着这三点共线.用该方程表示直线,是有问题的,因为它是不包含点的不完整的一条直线.
【问题2-9】截距式方程的适用范围是什么
答:截距式方程表示的直线分别与轴、轴交于点,点的横坐标称为直线在轴的截距,点的纵坐标称为直线在轴上的截距,这里,否则无意义,即直线既不平行于轴也不平行于轴,还不能经过原点,否则,或与其中一个不存在.
三、典例精讲
【例2-9】下列说法中不正确的是( ).
A.点斜式适用于不垂直于轴的任何直线
B.斜截式适用于不垂直于轴的任何直线
C.两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线
D.截距式适用于不过原点的任何直线
【分析】由直线方程有意义,分析可得各种形式的适用条件,从而得出答案.
【答案】D.
【解析】点斜式中斜率必须存在,因此直线不垂直于轴,选项A正确;
斜截式中斜率必须存在,因此直线不垂直于轴,选项B正确;
两点式中分母不能为零,即两点的横坐标不能相等,纵坐标也不能相等,即直线不能垂直于或轴,选项C正确;
截距式中两截距必须存在且都不为0,因此直线必须不过原点,也不能与坐标轴平行,选项错误.
【点评】例2-9考查直线方程的四种形式的适用范围,解题时从各方程有意义的角度即可分析.
【练习2-17】入射光线从出发,经轴反射后,通过点,则入射光线所在直线的方程为________
【练习2-18】已知中,的坐标分别为的中点在轴上,的中点在轴上.
(1)求顶点的坐标;
(2)求直线的方程.
【例2-10】过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________
【分析】可分在坐标轴上截距为0和在坐标轴上截距不为0两种情况进行讨论.
【答案】或.
【解析】(1)当在坐标轴上截距为0时,所求直线方程为;
(2)当在坐标轴上截距不为0时,在坐标轴上截距互为相反数,所以直线方程可设为,将代人,得,
所以此时所求的直线方程为.
【点评】例2-10考查直线的截距式方程,当在坐标轴上截距为0时容易忽略,考查分类讨论思想.
【练习2-19】已知直线在两坐标轴上的截距相等,则实数
A.
B.1
C.或-1
D.-1
【练习2-20】(1)已知过点的直线在轴上的截距比在轴上的截距大,求此直线的方程;
(2)求过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
【例2-11】如图2-2所示,已知直线过点,且与轴,轴的正半轴分别交于两点,求面积最小时的方程.
【分析】本题可以先设点,再根据点设直线的截距式方程,也可以直接设直线的点斜式方程,然后求出点的坐标.通过判别式法或者函数思想可以解决此题.
【解析】方法1(判别式法):设,显然,,则直线的方程为.
因为在直线上,所以,于是,
图2-2
所以,整理得
因为此方程有解,所以,
又因为,所以,即的最小值为12.
将代人式(1),得,解得.
此时直线的方程为,即.
方法2(函数思想):依题意知直线的斜率存在,且,
则直线的方程为,
可得,
所以
当且仅当,即时,等号成立.
故的最小值为12,此时直线的方程为.
【点评】例2-11考查直线方程与几何图形之间的关系,要学会用直线的系数表示几何长度及面积等,根据方程的性质或函数的性质求最值,同时解题时要注意题目中条件的限制,注意参数的取值范围等情况。
【练习2-21】已知两点,动点在线段上运动,则的最大值为________
【练习2-22】已知直线的方程为.
(1)若直线的斜率是2,求的值;
(2)当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时,求此直线的方程.
【例2-12】已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
【分析】由题意首先确定的范围,然后逐一考查所给命题的真假即可.
【答案】.
【解析】直线经过第一、二、三象限,则直线在轴的截距,在轴的截距,由直线的斜率小于1可知,结合,可得.
逐一考查所给的选项:
由绝对值的性质,可知,故选项错误;
由幂函数的单调性,可知,故选项B正确;
,则由不等式性质,可知,故选项C错误;
,则,故选项D错误.
【点评】例2-12主要考查直线的截距式方程、不等式的性质及其应用等知识,旨在考查学生的化归转化思想和数学运算素养.
【练习2-23】已知的三个顶点分别为,过点作直线,它把的面积分成两部分,求直线的方程.
【练习2-24】已知一条动直线.
(1)求证:直线恒过定点,并求出定点的坐标;
(2)若直线与轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,是否存在直线同时满足下列条件:
(1)的周长为12;
(2)的面积为4.
若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
2.2.3直线的一般式方程
一、内容提要
1.直线的一般式方程的概念
我们把关于的二元一次方程(其中不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.
2.一般式与斜截式、截距式的互化
当时,方程可变形为,它表示过点,斜率为的直线;
当时,,方程可变形为,它表示过点,且垂直于轴的直线;
当时,方程可变形为,表示在轴上截距为,在轴上截距为的直线.
二、释疑解惑
【问题2-10】平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗
答:不管是点斜式方程,斜截式方程,两点式方程或,还是截距式方程,又或者是垂直于轴的方程,垂直于轴的方程,可分别表示成,这六个方程都可以认为是关于的二元一次方程不同时为0.因此,每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.
【问题2-11】每一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗
答:判断任意一个二元一次方程不同时为0是否表示一条直线,关键是看其能否转换成已学直线方程的一种形式.当时,方程变形为斜截式方程,它表示斜率为,截距为的一条直线;当时,方程变形为,
它表示垂直于轴的一条直线.因此,每一个关于的二元一次方程都表示一条直线.
【问题2-12】一般式方程和其他方程可以互相转换吗
答:我们把方程不同时为0称为直线的一般式方程,简称一般式.根据问题2-10,可知其他形式的方程都很容易转换成一般式方程,由问题2-11,可知一般式方程可以转换成斜截式和垂直于轴的方程中的一种.
一般式方程是否可以转换成点斜式方程呢 若对应的直线不垂直于轴,则其斜率为,只需任取不定方程的一组解,作为该直线上的点的坐标代人点斜式方程即可.
一般式方程是否可以转换成两点式呢 若对应的直线既不垂直于轴也不垂直于轴,则只需任取不定方程的两组解,作为该直线上两个点的坐标代人两点式方程即可.
一般式方程是否可以转换成截距式呢 若对应的直线既不垂直于轴也不垂直于轴,而且不经过直角坐标系原点,则只需把和代人一般式,分别求得和,即可得到截距式方程.
三、典型例题
【例2-13】设直线的方程为.
(1)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程;
(2)若不经过第二象限,求实数的取值范围.
【分析】(1)先求出直线在两坐标轴上的截距,再利用在两坐标轴上的截距相等建立方程,解方程求出的值,从而得到所求直线的方程.
(2)直线的方程可转换为,由题意得解不等式组求得的范围.
【解析】(1)令,得;令,得.
因为直线在两坐标轴上的截距相等,所以,解得或.
所求直线的方程为或.
(2)直线的方程可转换为.
因为直线不过第二象限,所以解得,
则的取值范围为.
【点评】例2-13考查直线在坐标轴上的截距的定义、用待定系数法求直线的方程及确定直线位置的几何要素.
【练习2-25】设直线的方程为.
(1)若直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,求直线的方程;
(2)若直线不经过第一象限,求实数的取值范围.
【练习2-26】已知直线不经过第二象限,求实数的取值范围.
【例2-14】一条直线经过点,并且分别满足下列条件,求直线的方程.
(1)它的倾斜角的正弦值为;
(2)与轴的正半轴交于两点,且的面积最小(为坐标原点).
【分析】(1)根据直线倾斜角的正弦值求正切值,即斜率;
(2)例2-14在上一节例2-11中出现过,还可以用均值不等式的方法进行求解:设直线的截距式方程,代入已知点的坐标,得到关于两个截距的关系式,利用均值不等式等号成立的条件,求得两个截距的值.
【解析】(1)设直线的倾斜角为,由,得,则,即,则直线方程为,即或.
(2)设直线在轴,轴上的截距为,可设直线方程为,由题意得,由均值不等式得,当且仅当,即,时取等号,,则.
因此,直线方程为,即.
【点评】通常求直线方程,最后要写成直线的一般式或斜截式,因为点斜式、两点式的写法无穷无尽,截距式是分式结构,不够简洁.
【练习2-27】求适合下列条件的直线方程.
(1)求经过点的直线方程;
(2)经过点,并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线的方程.
【练习2-28】已知直线过点,且与轴、轴的正方向分别交于两点,分别求满足下列条件的直线方程.
(1)当时,求直线的方程;
(2)当的面积最小时,求直线的方程.
【例2-15】已知点,求满足下列条件的直线的一般式方程.
(1)经过点,且在轴上的截距是轴上截距的4倍;
(2)经过点,且与坐标轴围成的三角形的面积为.
【分析】(1)根据题意,需按直线过坐标原点和直线不过坐标原点两种情况分类讨论,结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解;
(2)设直线的方程为,求得围成的三角形的面积为
列出方程,求得的值,即可求解.
【解析】(1)当直线过坐标原点,可得直线的斜率为,可得直线的方程为,即;
当直线不过坐标原点,设直线的方程为,代人点,可得,解得,可得直线的方程为,即.
所以所求直线的一般式方程为或.
(2)直线显然不过坐标原点,设直线的方程为,即.
直线与轴的交点坐标为,与轴的交点坐标为,
与坐标轴围成的三角形的面积为,解得或.
所以直线的方程为或,即直线的一般式方程为0或.
【点评】直线在坐标轴上的截距是可正、可负、可为0的,而图形面积只能为正值,因此在审题时要格外注意题目所给条件.
【练习2-29】求满足下列条件的直线的方程.
(1)直线过点且倾斜角为;
(2)直线过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍.
【练习2-30】根据下列条件,求直线的一般式方程.
(1)过点,斜率是直线的斜率的;
(2)过两点.
【例2-16】已知直线.求证:直线恒过定点,并求点的坐标.
【分析】整理原方程,利用直线系列出方程组,即可得到直线恒过定点的坐标.
【证明】原方程整理为,则有解得所以直线恒过定点,点坐标为.
【点评】直线恒过定点问题,可把直线转换成过两直线交点系方程,或转换成两点式,或转换成点斜式等.
【练习2-31】已知动直线的方程为,其中,则该直线
A.一个方向向量为
B.斜率为
C.过定点
D.在轴上的截距为
【练习2-32】已知三个数成等差数列,直线恒过定点,且在直线上,其中,则的最小值为( ).
A.
B.
C.2
D.4
2.2.4直线的方向向量与法向量
一、内容提要
1.直线的方向向量
把与直线平行的非零向量称为的方向向量.
2.直线的法向量
把与直线垂直的非零向量称为的法向量.
二、释疑解惑
【问题2-13】直线的斜率和直线的方向向量有何异同
答:斜率有唯一性,它是用一个实数刻画;直线的方向向量不具有唯一性,它是用一个有序实数对表示.但是它们的实质相同,都是用代数方法刻画直线的倾斜程度.
【问题2-14】直线的方向向量和法向量有何关系
答:直线的方向向量和法向量都是不唯一的,同一直线的任意方向向量垂直于其任意法向量.如对于直线,它的一个法向量就是,则它的一个方向向量是或.
【问题2-15】点法式方程如何应用
答:如已知两点坐标,可以先求出直线的方向向量,再由直线的方向向量与法向量的垂直关系,即两个向量的数量积等于0,得到一个不定方程,写出一组简单解,作为它的一个法向量,比如法向量为,可以直接用点法式得到方程,或者设一般式方程,利用待定系数法求出.
三、典例精讲
【例2-17】下列命题正确的是( ).
A.若直线的一个方向向量为,则直线的斜率为
B.若直线的斜率为,则直线的一个方向向量为
C.若直线的斜率为,则直线的一个方向向量为
D.若两条直线的法向量分别为,它们的夹角为,则
【分析】采用逐一验证法,根据直线方向向量与斜率的关系及直线夹角,用向量的计算公式进行判断即可.
【答案】.
【解析】对于选项,当时,斜率不存在,故错误;选项B正确;对于选项C,若,则方向向量为零向量,故不符合;对于选项,故错误.
【点评】直线的倾斜角、斜率是唯一的,而它的方向向量有无穷多个,斜率与方向向量之间的关系是常考题型之一,务必掌握.
【练习2-33】(多选题)下列说法正确的是( ).
A.若直线垂直于轴,则该直线的一个方向向量为,一个法向量为
B.若直线的一个方向向量为,则该直线的斜率为
C.若直线的法向量为,则能作为该直线的一个方向向量
D.任何直线一定存在法向量与方向向量,且两向量是相互垂直的
【练习2-34】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点且法向量为的直线(点法式的方程为,化简得,类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面(点法式)方程为________
【例2-18】已知直线经过点与,求直线的一个方向向量、斜率与倾斜角.
【分析】根据直线过的点,可求得一个方向向量,代入斜率公式,可求得斜率,根据倾斜角与斜率的关系,结合的范围,可得值,即可得答案.
【解析】因为直线经过点与,所以直线的一个方向向量,直线的斜率,又直线的倾斜角为,所以,因为,所以.
【点评】已知直线上任意两点的坐标,可以直接求得直线的方向向量和斜率.
【练习2-35】(1)如果直线过点,且直线的方向向量是,求直线的方程;
(2)如果直线过点,且直线的法向量是,求直线的方程.
【练习2-36】已知直线过点.
(1)若直线与平行,求直线的方程;
(2)若直线与垂直,求直线的方程.
【例2-19】已知直线.
(1)若直线过点,试写出直线的一个方向向量;
(2)若实数,求直线斜率的取值范围.
【分析】(1)将代入直线的方程求,写出直线方程即可得的方向向量;
(2)由直线方程得斜率,讨论并利用基本不等式求的范围.
【解析】(1)把代人直线的方程,得,解得,此时直线的方程为,故直线的一个方向向量为.
(2)因为,所以直线的斜率;
当时,,当且仅当时,等号成立;
当时,,当且仅当时,等号成立.
综上所述,.
【点评】直线的方向向量为或,倾斜角与斜率的关系为.
【练习2-37】已知直线.
(1)求过点且与直线平行的直线的方程;
(2)与直线垂直,试确定实数的值.
【练习2-38】已知实数满足,其中,且,以向量为方向向量的直线的倾斜角为,则的取值范围为________
【例2-20】我们把与直线垂直的向量称为直线的法向量.如图2-3(a)所示,设是直线的一个方向向量,那么就是直线的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.
如图2-3(b)所示,已知点是直线外一点,是直线的一个法向量,在直线上任取一点,那么在法向量上的投影向量为(为向量与的夹角),其模就是点到直线的距离,即.据此,请解决这个问题:已知点,,求点到直线的距离.
【分析】先由已知求,再由求直线的一个法向量,进而结合题设中点线距离公式,有,最后求点到直线的距离.
【解析】由题设,,则直线的一个法向量为,由距离公式,知.
【点评】已知直线上一点和该直线的法向量,就可以借助,求直线外一点到该直线的距离.
【练习2-39】设等差数列的前项和为.若,则经过点,的直线的一个方向向量的坐标可以是( ).
A.
B.
C.
D.
【练习2-40】在直线上任取不同的两点,称为直线的方向向量,与直线的方向向量垂直的非零向量称为的法向量.在平面直角坐标系中,已知直线是函数的图像,直线是函数的图像.
(1)求直线和直线所夹成的锐角的余弦值;
(2)已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标;
(3)已知点是直线与轴的交点,是该直线的法向量.求在上的投影向量的坐标.
2.3两条直线的位置关系
2.3.1两条直线平行与垂直的判定
一、内容提要
1.关于两条直线平行的判定
如果两条直线方程分别是,在两条直线的斜率都存在的条件下研究平行,得到结论:且;
如果直线的斜率都不存在,它们都与轴垂直但在轴上的截距不同,那么这时仍有.
2.关于两条直线垂直的判定
如果两条直线方程分别是,在两条直线的斜率都存在且不为零的条件下研究垂直,得到结论:;
如果两条直线中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,那么这时仍有.
3.用方向向量或法向量判定两条直线的位置关系
如果两直线的一般式方程分别是.
判定两直线平行:法向量平行为非零实数.
判定两直线垂直:法向量垂直.
这两种判定方法可用于所有情形的直线方程.
二、释疑解惑
【问题2-16】两条直线平行,它们的斜率相等吗
答:如果两条直线平行,且它们的斜率都存在,则它们的斜率相等;如果两条直线平行,且它们的斜率不存在,则斜率相等无从说起.
【问题2-17】如果两条直线中一条斜率不存在,那么这两条直线什么时候垂直
答:如果两条直线中一条斜率不存在,那么意味一条直线垂直于轴,当另一条直线垂直于轴,即它的斜率为零时,这两条直线才垂直.
【问题2-18】且和的适用范围是什么
答:且适用于两条直线的斜率都存在时.适用于两条直线的斜率都存在且不为0时.
三、典例精讲
【例2-21】已知直线和点.
(1)求经过点且与直线平行的直线的方程;
(2)求经过点且与直线垂直的直线的方程;
(3)求点关于直线对称的点的坐标.
【分析】(1)可设所求直线方程为,再利用待定系数法即可得解;
(2)可设所求直线方程为,再利用待定系数法即可得解;
(3)设点关于直线对称的点的坐标为,则有解之即可.
【解析】(1)设所求直线方程为,将点代人,得,解得,所以所求直线方程为.
(2)设所求直线方程为,将点代人,得,解得,所以所求直线方程为.
(3)设点关于直线对称的点的坐标为,则有
解得,
即所求点的坐标为.
【点评】不管先设直线方程,还是先设点的坐标,最终都要得到关于未知系数或坐标的方程,然后解方程或者方程组.
【练习2-41】已知三角形的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)求边上的高所在直线的方程;
(3)求边的中垂线所在直线的方程.
【练习2-42】已知直线与直线平行,直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12,求直线的方程.
【例2-22】已知直线和直线.
(1)当为何值时,直线和平行
(2)当为何值时,直线和重合
【分析】由直线平行与重合的公式列方程组求解.
【解析】(1)由题意得
即解得或.
当或时,直线和平行.
(2)由题意得
即解得.
当时,直线和重合.
【点评】因式分解是解方程(组)的基础之一,要熟练掌握如十字相乘法、主元法、待定系数法、因式定理等常用因式分解法。
【练习2-43】已知直线和.
(1)若,求的值;
(2)求过点且与直线平行的直线的方程;
(3)若,且直线与直线之间的距离为,求和的值.
【练习2-44】已知直线,若,则;若,则________
【例2-23】设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值为( ).
A.
B.
C.6
D.3
【分析】先求直线恒过的定点,判断两直线位置关系,进而找到与的关系,最后利用均值不等式求最值。
【答案】C.
【解析】直线可整理为,故恒过定点,即为点坐标;直线可整理为,故恒过定点,即为点坐标;又由两条直线垂直,可得,
即.
整理得,
解得,当且仅当时取得最大值.
【点评】例2-23考查直线恒过定点,直线位置关系的判断,以及利用均值不等式求解最值的问题.
【练习2-45】已知直线,且,则的最小值为( ).
A.
B.
C.
D.
【练习2-46】设动点,满足当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时,动点在与这条直线垂直且通过点的直线上移动,求直线的方程。
【例2-24】数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点,则其欧拉线方程为________
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标,即可求得欧拉线方程.
【答案】.
【解析】设的重心为,垂心为,
由重心坐标公式,得,所以,由题意可知,的边上的高线所在直线方程为,直线,所以的边上的高线所在直线方程为,所以,所以欧拉线的方程为,即.
【点评】例2-24是与著名的欧拉线有关的数学文化题,通过求两条高所在的直线,再求它们的交点,便可以得到垂心坐标,而重心坐标可以直接用三角形三个顶点坐标的平均值来求.
【练习2-47】从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点.设和上反射点分别为和,求直线的方程.
【练习2-48】直线的方程分别为和,过点作直线分别交于两点,当的中点恰好落在与直线垂直且过原点的直线上时,求直线的方程.
2.3.2两条直线的交点坐标
一、内容提要
方程组的解与两直线的位置关系如表2-1所示.
二、释疑解惑
【问题2-19】由表2-1可以体会到怎样

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