资源简介

目录
第1章数列 3
1.1数列的概念 3
1.2等差数列 4
1.2.1等差数列及其通项公式 4
1.2.2等差数列与一次函数 6
1.2.3等差数列的前项和 8
1.3等比数列 9
1.3.1等比数列及其通项公式 9
1.3.2等比数列与指数函数 11
1.3.3等比数列的前项和 12
*1.4数学归纳法 14
1.5数列求和 16
*1.6递推数列 18
1.7数列综合问题 20
单元测试 22
第2章平面解析几何初步 26
2.1直线的斜率 26
2.2直线的方程 28
2.2.1直线的点斜式方程 28
2.2.2直线的两点式方程 30
2.2.3直线的一般式方程 32
2.2.4直线的方向向量与法向量 34
2.3两条直线的位置关系 36
2.3.1两条直线平行与垂直的判定 36
2.3.2两条直线的交点坐标 38
2.4点到直线的距离 40
2.5圆的两种方程 42
2.6直线与圆、圆与圆的位置关系 44
2.6.1直线与圆的位置关系 44
2.6.2圆与圆的位置关系 45
2.7用坐标方法解决几何问题 47
单元测试 49
第3章圆锥曲线与方程 53
3.1椭圆 53
3.1.1椭圆的标准方程(1) 53
3.1.2椭圆的标准方程(2) 55
3.1.3椭圆的简单几何性质(1) 58
3.1.4椭圆的简单几何性质(2) 61
3.2双曲线 63
3.2.1双曲线的标准方程 63
3.2.2双曲线的简单几何性质(1) 65
3.2.3双曲线的简单几何性质(2) 67
3.3抛物线 69
3.3.1抛物线的标准方程 69
3.3.2抛物线的简单几何性质 72
3.4曲线与方程 74
3.5圆雉曲线的应用 76
3.6圆锥曲线中的定点定值问题 83
3.7圆雉曲线中的取值范围问题 84
单元测试 85
第4章计数原理 90
4.1两个计数原理 90
4.3组合 95
4.4二项式定理 97
单元测试 98
第1章数列
1.1数列的概念
A组
1.数列的前几项为,则此数列的通项公式可能是( ).
A.
B.
C.
D.
2.若数列的前项和,则等于（ ）.
A.8
B.16
C.32
D.64
3.(多选题)已知数列的通项公式为,则下列结论正确的是（ ）.
A.这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C.数列中的各项都在区间内
D.数列是单调递减数列
4.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（ ）
(2)不能构成一个数列.（ ）
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.（ ）
(4)如果数列的前项和为,则对任意,都有.( )
5.设数列的前项和为,且,若,则________
6.已知数列的通项公式为.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗 若是,是第几项 若不是,请说明理由.
7.已知,则数列中有没有最大项 如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
B组
8.已知数列满足且是递增数列,则实数的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
9.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引人“兔子数列”:,即,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除的余数构成一个新数列,则数列的前2022项的和为( ).
A.674
B.673
C.1348
D.2020
10.已知数列中,,且.
(1)若,求数列中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围.
C组
11.已知数列满足,则数列的通项公式________
12.(多选题)对于数列,若存在数列满足),则称数列是的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是( ).
A.若数列是单增数列,则其“倒差数列”不一定是单增数列
B.若,则其“倒差数列”有最大值
C.若,则其“倒差数列”有最小值
D.若,则其“倒差数列”有最大值
1.2等差数列
1.2.1等差数列及其通项公式
A组
1.等差数列中,,则公差（ ）
A.
B.
C.2
D.
2.在等差数列中,,则此数列中一定为0的是( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)数列的通项公式如下,则能判断数列为等差数列的是( ).
A.
B.
C.
D.
4.判断正误(正确的打“ ”,错误的打“×”).
(1)若一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.（ ）
(2)已知数列的通项公式是(其中为常数),则数列一定是等差数列.（ ）
(3)数列为等差数列的充要条件是对任意的,都有.（ ）
(4)等差数列的单调性是由公差决定的.（ ）
5.首项为30的等差数列,从第8项开始为负数,则公差的取值范围是________
6.已知数列满足,设数列.
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列的通项公式.
7.已知数列的前项和满足.
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列的通项公式.
B组
8.已知等差数列是递增数列,且,则的取值范围为________
9.记为数列的前项和.已知,且数列是等差数列,证明：是等差数列.
10.已知数列满足:.
(1)求及通项公式;
(2)设为数列的前项和,则数列中哪一项最小
C组
11.已知数列中,,则（ ）
A.3
B.
C.
D.
12.已知数列满足
(1)记,写出,并求数列的通项公式;
(2)求的通项公式.
1.2.2等差数列与一次函数
A组
1.已知是等差数列,,则过点的直线的斜率为（ ）
A.4
B.
C.-4
D.
2.已知数列满足,则等于( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
3.(多选题)已知等差数列的前项和为,则下列选项正确的是( ).
A.
B.
C.
D.当且仅当时,取得最大值
4.若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列,则的值是________
5.在等差数列中,若,则,________
6.在等差数列中,已知,求数列的公差及通项公式.
7.某公司2016年经销一种数码产品,获利200万元,从2017年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不研发新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损
B组
8.在等差数列中,.记,则数列（ ）
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
9.已知等差数列的前项和为,若,则（ ）
A.
B.
C.
D.
10.(多选题)下面是关于公差的等差数列的四个命题,其中真命题为( ).
A.数列是递增数列
B.数列是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列是递增数列
C组
11.将数列与的公共项从小到大排列,得到数列,则的通项公式为________
12.无穷数列满足:,且.
(1)求证:为等差数列;
(2)若为数列中的最小项,求的取值范围.
1.2.3等差数列的前项和
A组
1.已知等差数列中,为其前项和,,则等于( ).
A.13
B.14
C.15
D.16
2.已知等差数列中,,前5项和,则数列的公差为( ).
A.-1
B.
C.-2
D.-4
3.(多选题)等差数列的公差为,前项和为,当首项和变化时,是一个定值,则下列各数也为定值的有( ).
A.
B.
C.
D.
4.已知是等差数列,其前项和为,若,且,则________
5.已知是公差不为零的等差数列,且,则________
6.在数列中,,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求.
7.已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面(1)(2)(3)中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
(1)数列是等差数列;(2)数列是等差数列;(3).
(注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分)
B组
8.等差数列的前项和分别为,若对任意正整数都有,则的值为________
9.已知是等差数列的前项和,若,则等于( ).
A.2023
B.-2023
C.4046
D.-4046
10.已知等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为( ).
A.28
B.29
C.30
D.31
C组
11.设函数,则数列的前项和________
12.在等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如.
1.3等比数列
1.3.1等比数列及其通项公式
A组
1.已知是等比数列,,则公比等于( ).
A.
B.-2
C.2
D.
2.若等比数列满足,则等于( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)设等比数列的公比为,则下列结论正确的是( ).
A.数列是公比为的等比数列
B.数列是公比为的等比数列
C.数列是公比为的等比数列
D.数列是公比为的等比数列
4.已知数列为等比数列,,则________
5.已知三个数成等比数列,若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为________
6.已知数列的前项和,求证:是等比数列,并求出通项公式.
7.已知数列满足.设,
(1)求;
(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(3)求的通项公式.
B组
8.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( ).
A.只
B.只
C.只
D.只
9.(多选题)在数列中,,若(为常数),则称为“等差比数列”,下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ).
A.不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
10.已知数列中,
求证:数列是等比数列.
C组
11.已知数列为等差数列,数列为等比数列,满足,其中,则的值为________
12.在数列的每相邻两项之间插人此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”,将数列1,4进行“扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列;第次得到数列,并记,其中,,则的通项________
1.3.2等比数列与指数函数
A组
1.设是等比数列,且,则
A.12
B.24
C.30
D.32
2.在等比数列中,是方程的两根,则的值为( ).
A.
B.
C.
D.或
3.(多选题)已知数列为等比数列,首项,公比,则下列叙述正确的是( ).
A.数列的最大项为
B.数列的最小项为
C.数列为递增数列
D.数列为递增数列
4.等比数列的各项均为正数,且,则________
5.设等比数列满足,则的最大值为________
6.已知等比数列共有项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,求该数列的公比.
7.已知等比数列共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,求该数列的公比.
B组
8.已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为（ ）
A.25
B.20
C.15
D.10
9.设数列的前项和为,且,记为数列中能使成立的最小项,则数列的前99项之和为________
10.两个等比数列,满足.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
C组
11.已知无穷等比数列的各项均为正整数,且,则满足条件的不同数列的个数为________
12.1979年春,美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士在访问中国科技大学时,向学校少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题:有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子来了,它左等右等,见别的猴子还没来,便自作主张把桃子分成相等的五份,分完后还剩一个,它便把剩下的那个顺手扔到海里,自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了,它不知道刚才发生的事,也把桃子分成相等的五份,还是多一个,它也扔掉一个,自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形,也全都照此办理.问:原来至少有多少个桃子 最后至少有多少个桃子
1.3.3等比数列的前项和
A组
1.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑完了,此时乌龟便领先他,当阿基里斯跑完下一个时,乌龟领先他,当阿基里斯跑完下一个时,乌龟领先他...所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,当阿基里斯和乌龟的距离恰好为时,乌龟爬行的总距离为( ).
A.
B.
C.
D.
2.设,数列的前项和,则( ).
A.是等比数列
B.是等差数列
C.当时,是等比数列
D.当时,是等比数列
3.(多选题)下列关于等比数列的论述正确的是( ).
A.在数列中,若对任意的,则数列是公比为2的等比数列
B.存在等比数列,使得时,成立
C.在等比数列中,为其前项和,则对给定正整数,总有,成等比数列
D.若等比数列单调递增,则的公比一定为正数
4.已知等比数列的前项和为,若,则________
5.如图1-1所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为________
图1-1
6.等比数列中,,
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和.若,求.
7.已知等差数列的公差为2,其前项和,
(1)求实数的值及数列的通项公式;
(2)在等比数列中,,若的前项和为,求证:数列为等比数列.
B组
8.已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( ).
A.
B.2
C.
D.
9.记数列的前项和为,已知.设,
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设为数列的前项和.求.
10.设首项为正数的等比数列,它的前项和为80,前项和为6560,且前项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比.
C组
11.已知公差为正数的等差数列与的等差中项为8,且.
(1)求的通项公式;
(2)从中依次取出第1项、第3项、第9项、、第项,按照原来的顺序组成一个新数列,求数列的前项和.
12.已知数列满足
(1)令,求及的通项公式;
(2)求数列的前项和.
*1.4数学归纳法
A组
1.用数学归纳法证明下列等式:.要验证当时等式成立,其左边的式子应为（ ）
A.-1
B.
C.
D.
2.设平面内有条直线,其中任意两条不平行,任意三条不共点,设条直线的交点个数为,则与的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)意大利数学家斐波那契是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,该数列满足:.若将数列的每一项按照图1-2的方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是( ).
图1-2
A.
B.
C.
D.
4.已知,用数学归纳法证明:当时,比多了________项.
5.用数学归纳法证明:若不等式成立,则起始值至少应取________
6.用数学归纳法证明:.
7.已知数列的前项和,
(1)计算；
(2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
B组
8.用数学归纳法证明:能被整除.
9.观察下列两个数列，
数列;
数列.
猜想从第几项起,小于,并证明你的结论.
10.平面上有个点,其中任意三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线,这样的直线共有多少条 证明你的结论.
C组
11.一本旧教材上有一个关于正整数的恒等式
其中问号处由于年代久远,只能看出它是关于的二次三项式,具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式,并用数学归纳法证明.
12.设等差数列的前项和为.数列满足:对每个,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,证明:.
1.5数列求和
A组
1.等差数列中,已知公差,且,则等于（ ）
A.50
B.75
C.100
D.125
2.已知等比数列,且对一切正整数成立,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知数列满足,且对任意的都有,则下列说法中正确的是( ).
A.
B.数列的前2020项的和为
C.数列的前2020项的和为
D.数列的第50项为2550
4.已知数列的前项和为,且,则使得的最小正整数的值为________
5.已知数列的前项和为,则数列的前项和________
6.已知公差不为0的等差数列的前项和为是的等比中项,数列满足对任意的.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项的和.
7.在等差数列中,已知公差是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,记,求.
B组
8.已知数列满足.
(1)证明:为等比数列,并求的通项公式;
(2)求.
9.已知数列的前项和为.
(1)计算的值,求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
10.下面是一个由个正数组成的数表,用表示第行第个数.已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等..
(1)求和;
(2)设,求数列的前项和.
C组
11.设是等差数列,是等比数列.已知.
(1)求和的通项公式;
(2)设数列满足其中.
(1)求数列的通项公式;(2)求.
12.设各项均为正数的数列的前项和为,满足.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有.
*1.6递推数列
A组
1.已知数列满足,则
A.510
B.512
C.1022
D.1024
2.数列满足,且,则此数列的第5项是( ).
A.15
B.255
C.16
D.63
3.(多选题)已知数列满足,则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.是等比数列
D.不可能是等比数列
4.已知数列中,,则的取值范围是________
5.一牧羊人赶着一群羊通过4个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还一只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下3只羊,则牧羊人在过第1个关口前有________只羊.
6.在数列中,.
(1)令,证明:是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求满足的所有的值.
7.已知数列满足:.
(1)证明:；
(2)证明:.
B组
8.在数列中,,则.
A.
B.
C.
D.
9.已知数列的前项和为,则
A.
B.
C.
D.
10.数列满足,则的前64项和为( ).
A.4290
B.4160
C.2145
D.2080
C组
11.设数列满足,且对任意正整数,总有成立,则数列的前2019项的乘积为( ).
A.
B.1
C.2
D.3
12.已知,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数.
1.7数列综合问题
A组
1.若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则
A.17
B.18
C.19
D.20
2.数列是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,则有（ ）
A.
B.
C.
D.与的大小不确定
3.(多选题)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图1-3所示,有一列曲线已知是边长为1的等边三角形,是对进行如下操作而得到的:将的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉.记的周长为,面积为.对于,下列结论不正确的是( ).
A.为等差数列
B.为等比数列
C.,使
D.,使
4.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,这四个数依次是________
5.已知公比大于1的等比数列满足.记为在区间(0,中的项的个数,则;数列的前100项和________
6.已知数列为等差数列,公差的部分项组成的数列:恰为等比数列,其中,求.
7.已知数列和满足.
(1)证明:是等比数列,是等差数列;
(2)求和的通项公式.
B组
8.已知集合.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为________
9.已知等差数列和等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列,记数列的前项和为,求.
10.定义:若数列对任意的正整数,都有(为常数),则称为“绝对和数列”,叫作“绝对公和”.已知“绝对和数列”中,,绝对公和为3,则其前2023项的和的最小值为( ).
A.-2023
B.-3010
C.-3031
D.-3027
C组
11.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________;如果对折次,那么.
12.给出下面的数表序列:
其中表有行,第1行的个数是,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成的等比数列,并将结论推广到表(不要求证明);
(2)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列,记此数列为.求和:.
单元测试
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求)
1.已知数列的前4项依次为,则数列的通项公式可能是( ).
A.
B.
C.
D.
2.从集合中任选3个不同的元素构成等差数列,这样的等差数列共有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.在等差数列中,已知,则
A.40
B.42
C.43
D.45
4.已知在等比数列中,,则
A.-4
B.4
C.或2
D.-4或4
5.在等比数列中,是方程的两根,则
A.1
B.\pm1
C.
D.
6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍魏塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问底座几蓋灯 ”意思是:一座7层塔共挂了381或灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的最底层共有( )步灯.
A.24
B.48
C.96
D.192
7.在公差不为零的等差数列中,,且成等比数列,则
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知等差数列的前项和分别为和,且,则
A.
B.
C.
D.
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要
求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9.记为等差数列的前项和.若,则以下结论一定正确的是( ).
A.
B.的最大值为
C.
D.
10.设等比数列的前项和为,且.若,则( ).
A.
B.
C.
D.
11.已知数列是公比为的等比数列,,若数列有连续四项在集合中,则公比的值可以是( ).
A.
B.
C.
D.
12.已知数列满足,则下列命题正确的有( ).
A.当时,数列为递减数列
B.当时,数列一定有最大项
C.当时,数列为递减数列
D.当为正整数时,数列必有两项相等的最大项
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知等差数列的前三项依次是,等比数列的前三项依次是,则________
14.请写出一个符合下列要求的数列的通项公式:(1)为无穷数列;(2)为单调递增数列;(3).这个数列的通项公式可以是________
15.一个小朋友按如图1-4所示的规则练习数数,数到2019时对应的手指是________.(各手指的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)
16.如图1-5所示,是一块半径为的半圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径),得图形,记第块纸板的面积为,则________;如果对恒成立,那么的取值范围是________
四、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知数列中,分别是表1-1第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数都不在表1-1的同一列.
(1)如果数列是等比数列,求其通项公式;
(2)如果数列是等差数列,求其通项公式.
18.已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式;
(2)若成等比数列,求数列的前项和.
19.(1)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;
(2)设是公比不相等的两个等比数列,,证明:数列不是等比数列.
20.已知数列满足,对任意,都有,求实数的取值范围.
21.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第1天付4元,从第2天起,每一天比前一天都多付4元;第三种,第1天付0.4元,以后每一天比前一天翻一番(即增加1倍).问:他选择哪种方式领取报酬更划算
22.给定正整数,按下列方式构成倒立的三角形数表:第一行依次写上数,在上一行的每两个相邻数的下方正中间写上这两个数的和,得到下一行.依此类推.
例如,时的数表如图1-6所示.
(1)填空:当时,该数表共有________行,最后一行的数是________,倒数第二行的数是________(若有多个,请用逗号隔开);(不需证明)
(2)填空:当时,第15行的数从左至右构成等________（差、比）数列,公(差、比)为________;(不需证明)
(3)当时,求第100行的数;
(4)当时,该数表中有多少个数是2004的倍数
(说明:以上结果均可以用指数表示)
第2章平面解析几何初步
2.1直线的斜率
A组
1.一条直线与轴相交,其向上的方向与轴的负方向所成的角为,则的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.或
2.已知在直角坐标系中,等边中与原点重合,若的斜率为,则的斜率可能为（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)直线过点且斜率为,若直线与线段有公共点,则可以取( ).
A.-8
B.-5
C.3
D.4
4.经过点作直线,若直线与连接两点的线段总有公共点,则的倾斜角的取值范围是;的斜率的取值范围是________
5.若点在函数的图像上,则当时,的取值范围是________
6.已知交于点的四条直线的倾斜角之比为,又知过点,求这四条直线的倾斜角.
7.已知直线经过两点,求直线的倾斜角的取值范围.
B组
8.设直线的斜率分别为,倾斜角分别为,若,则________
9.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若为无理数,则在过点的所有直线中( ).
A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点
B.恰有条直线,每条直线上至少存在两个有理点
C.有且仅有一条直线至少过两个有理点
D.每条直线至多过一个有理点
10.已知四点构成的四边形是平行四边形,求点的坐标.
C组
11.已知点为抛物线上一动点,,则的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数若存在唯一的整数,使得成立,则所有满足条件的整数的取值集合为( ).
A.
B.
C.
D.
2.2直线的方程
2.2.1直线的点斜式方程
组
1.方程表示的直线的图像可能是( ).
2.已知从点发出的一束光线,经轴反射后,反射光线恰好经过点,则反射光线所在的直线方程为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)直线的方程分别为,它们在坐标系中的位置如图2-1所示,则下列结论中正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
图2-1
4.已知直线不经过第一象限,则的取值范围为________
5.在直线方程中,当时,恰好,则此直线方程为________
6.设直线的方程为.
(1)若直线不经过第三象限,求的取值范围;
(2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点,当面积取得最小值时,求的周长.
7.如图2-2所示,直线过定点,求过点且与直线所夹的角为的直线的方程.
图2-2
B组
8.过点作曲线的两条切线,切点分别为,则直线的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
9.直线交轴于两点,试在直线上求一点,使最小,则点的坐标是________
10.在平面直角坐标系中,已知点,点在轴上,且.
(1)求直线的斜率;
(2)求直线的方程.
C组
11.(多选题)已知定点不在直线上,则0表示一条( ).
A.过点的直线
B.不过点的直线
C.垂直于的直线
D.平行于的直线
12.已知点为直线上一动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,点在直线上的射影分别为,若四边形的面积为32,则点的横坐标为________
2.2.2直线的两点式方程
A组
1.下列四个命题:
(1)经过定点的直线都可以用方程表示;
(2)经过定点的直线都可以用方程表示;
(3)不经过原点的直线都可以用方程表示;
(4)经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示.
其中真命题的个数为( ).
A.0
B.1
C.2
D.3
2.经过点作直线分别交轴、轴的正半轴于两点,为坐标原点,则面积的最小值为( ).
A.3
B.
C.4
D.8
3.(多选题)已知直线在轴和轴上的截距相等,则的值可能是( ).
A.1
B.-1
C.2
D.-2
4.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为,则其“欧拉线”的方程为________
5.已知,点在直线上,若使取最小值,则点的坐标是________
6.已知的三个顶点分别为.
(1)求的三边所在直线的方程;
(2)求的三条中线所在直线的方程.
7.已知的三个顶点分别为,求:
(1)边所在直线的方程;
(2)边上的中线所在直线的方程;
(3)边的垂直平分线所在直线的方程.
B组
8.在(1)它的倾斜角比直线的倾斜角小,(2)与直线垂直,(3)在轴上的截距为-1,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:已知直线过点,且,求直线的方程.
9.已知点,点满足,则直线的斜率的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
10.直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2,两截距之差为3,求直线的方程.
C组
11.已知数列的通项公式为,其前项和,则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为________
12.已知点,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
2.2.3直线的一般式方程
A组
1.不论为何实数,直线恒过一个定点,这个定点的坐标是( ).
A.
B.
C.
D.
2.如果且,那么直线不经过( )象限.
A.第一
B.第二
C.第三
D.第四
3.(多选题)下列说法中,正确的有( ).
A.过点且在轴截距相等的直线方程为
B.直线在轴上的截距为-2
C.直线的倾斜角为
D.过点并且倾斜角为的直线方程为
4.已知直线经过和三个点,且均为正整数,则此直线的一般式方程为________.(只要求写出符合条件的一条直线方程)
5.直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是________
6.已知直线.若直线在轴上的截距是其在轴上截距的2倍,求直线的方程.
7.直线相交于点,其中.
(1)求证:分别过定点,并求点的坐标;
(2)当为何值时,的面积取得最大值,并求出最大值.
B组
8.在平面直角坐标系内,设为不同的两点,直线的方程为,下面四个命题中,假命题为( ).
A.存在唯一的实数,使点在直线上
B.若,则过两点的直线与直线平行
C.若,则直线经过线段的中点
D.若,则点在直线的同侧,且直线与线段的延长线相交
9.过点作直线的垂线,垂足为,已知点,,则当变化时,的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
10.已知直线,且与坐标轴形成的三角形面积为.
(1)不论为何实数,直线过定点,试求出此点的坐标;
(2)分别求和时所对应的直线条数.
C组
11.已知函数,给出下列四个命题,其中真命题有________.(写出所有真命题的序号)
(1)存在实数,使得方程恰有一个根;
(2)存在实数,使得方程恰有三个根;
(3)对任意实数,存在不相等的实数,使得;
(4)对任意实数,存在不相等的实数,使得.
12.如图2-3所示,平面直角坐标系内,为坐标原点,点在轴正半轴上,点在第一象限内,.
图2-3
(1)若过点,当的面积取最小值时,求直线的斜率;
(2)若,求面积的最大值;
(3)设,若,求证:直线过一定点,并求出此定点坐标.
2.2.4直线的方向向量与法向量
A组
1.已知直线,下列结论正确的是( ).
A.直线的倾斜角为
B.直线的法向量为
C.直线的方向向量为
D.直线的斜率为
2.过两点的直线的一个方向向量为,则.
A.-2
B.2
C.-1
D.1
3.(多选题)都是直线的方向向量,则下列说法中不正确的是( ).
A.
B.
C.与同向
D.与反向
4.已知直线的方程为,直线的方程为,则直线与的夹角的余弦值为________
5.已知直线的一个方向向量为,倾斜角为,则________
6.已知直线经过点与,求直线的一个方向向量、斜率与倾斜角.
7.已知是直线上一点,且是直线的一个法向量,根据下列条件分别求直线的方程:
(1);
(2).
B组
8.设是直线的一个方向向量,是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为,则为( ).
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)已知直线经过点,且直线的一个方向向量为,则下列结论中正确的是( ).
A.在轴上的截距为-1
B.的倾斜角等于
C.与直线垂直
D.向量为直线的一个法向量
10.设直线的方向向量是,直线的法向量是,若与平行,则________
C组
11.已知点,若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则实数的值为________,直线的一个方向向量为________
12.如图2-4所示,射线所在直线的方向向量分别为,点在内,于于.已知为常数,的中点为,且,当变化时,求的取值范围.
图2-4
2.3两条直线的位置关系
2.3.1两条直线平行与垂直的判定
A组
1.若直线与直线平行,则
A.-1或0
B.-1
C.1或0
D.1
2.“是“直线与直线垂直”的( ).
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(多选题)已知两条直线,则下列结论正确的是( ).
A.当时,
B.若,则或
C.当时,与相交于点
D.直线过定点
4.三条直线构成一个三角形,则的取值范围是________
5.已知集合,且,则实数的值为________
6.已知直线.
(1)若直线与直线垂直,求实数的值;
(2)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍,求直线的方程.
7.已知集合,是否存在实数,使 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
B组
8.已知直线与关于直线对称,与垂直,则.
A.
B.
C.-2
D.2
9.已知为等腰直角三角形,为直角顶点,中点为,斜边上中线所在直线的方程为,且点的纵坐标大于点的纵坐标,则所在直线的方程为________
10.已知在平面直角坐标系中,,其中数列都是递增数列.
(1)若,判断直线与是否平行;
(2)若数列都是正项等差数列,它们的公差分别为,设四边形的面积为,求证:也是等差数列.
C组
11.如图2-5所示,直线过点,与轴、轴的正半轴分别交于两点,的面积为24.点为线段上一动点,且交于点.
(1)求直线的斜率;
(2)若,请你确定点在上的位置,并求出线段的长;
(3)在轴上是否存在点,使为等腰直角三角形,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
图2-5
2.3.2两条直线的交点坐标
A组
1.直线与直线互相垂直,且两直线交点位于第三象限,则实数的值为( ).
A.1
B.3
C.-1
D.-3
2.已知平面上三点坐标为,小明在点处休息,一只小狗沿所在直线来回跑动,则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知直线,直线,以下结论正确的是( ).
A.不论为何值,与都互相垂直
B.当变化时,与分别经过定点和
C.不论为何值,与都关于直线对称
D.设为坐标原点,如果与交于点,则的最大值是
4.若,直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是________
5.若三条直线不能构成三角形,则实数的取值集合是________
6.如图2-6所示,射线与轴正半轴的夹角分别为和,过点的直线分别交于点.
(1)当线段的中点为时,求的方程;
(2)当线段的中点在直线上时,求的方程.
图2-6
7.任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线.在中,已知,若其欧拉线的方程为.求:
(1)外心的坐标;
(2)重心的坐标;
(3)垂心的坐标.
B组
8.已知直线,直线,直线垂直于,且垂足分别为,若,则的最小值为( ).
A.
B.
C.
D.8
9.(多选题)设直线系,则下面四个命题正确的是( ).
A.点到中的所有直线的距离恒为定值
B.存在定点不在中的任意一条直线上
C.对于任意整数,存在正边形,其所有边均在中的直线上
D.中的直线所能围成的三角形面积都相等
10.已知是抛物线上的两个动点,过的两条切线交于点,若,则点的纵坐标为________
C组
11.已知点,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为边分别在轴,轴的正半轴上,点与坐标原点重合,如图2-7所示.将矩形折叠,使点落在线段上.
(1)若折痕所在直线的斜率为,试求折痕所在直线的方程;
(2)在(1)的条件下,若,求折痕长的取值范围.
图2-7
2.4点到直线的距离
A组
1.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为( ).
A.1
B.
C.
D.2
2.已知直线和互相平行,则它们之间的距离是( ).
A.4
B.
C.
D.
3.(多选题)下列四个命题中真命题有( ).
A.直线在轴上的截距为-2
B.经过定点的直线都可以用方程表示
C.直线必过定点
D.已知直线与直线平行,则平行线间的距离是1
4.直线关于直线的对称直线的方程为
5.在直角坐标系中,若,则的最小值是________
6.设直线,直线,其中实数满足.
(1)证明:直线与相交;
(2)试用解析几何的方法证明:直线与的交点到原点的距离为定值;
(3)设原点到直线与的距离分别为和,求的最大值.
7.在平面直角坐标系内,已知点及线段是线段上的任意一点,线段长度的最小值称为“点到线段的距离”,记为.
(1)设点,线段,求;
(2)设,线段,线段,若点是上的动点,请将表示成的函数.
B组
8.在中,是边上的点,关于直线的对称点分别为,则面积的最大值为( ).
A.
B.
C.
D.
9.已知向量是单位向量,若,且,则的取值范围是________
10.已知点是轴上的任意一点,,则的最小值为________
C组
11.已知正方形的边长为,两个不同的点都在的同侧(但与在的异侧),点关于直线对称,若,则点到直线的距离的取值范围是________
12.已知点,直线(其中),点在直线上.
(1)若是常数列,求的最小值;
(2)若是等差数列,且,求的最大值;
(3)若是等比数列,且,求的取值范围.
2.5圆的两种方程
A组
1.已知直线过圆的圆心,则的最小值为( ).
A.
B.1
C.
D.2
2.经过三个点的圆的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知圆的方程为,则下列说法正确的是( ).
A.圆的圆心为
B.圆的半径为5
C.点在圆外
D.圆被轴截得的弦长为4
4.已知圆和点,若圆上存在两点,使得,则实数的取值范围是________
5.已知点是圆外一点,则的取值范围为________
6.在复平面内,复数对应的点为对应的点为.
(1)求;
(2)若复数满足,则复数在复平面内对应的点的集合是什么图形 并判断点与该图形的位置关系.
7.已知圆的圆心坐标为,且该圆经过点,如图2-8所示.
(1)求圆的标准方程;
(2)直线交圆于两点(点异于点),若直线的斜率之积为2,求证:直线过一个定点,并求出该定点坐标.
图2-8
B组
8.已知与为单位向量,且,向量满足,则的可能取值为（ ）.
A.6
B.5
C.4
D.3
9.已知点在圆上,为的中点,则的最大值为________
10.已知圆.
(1)若直线,证明:无论为何值,直线都与圆相交;
(2)若过点的直线与圆相交于两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.
C组
11.已知是曲线上两个不同的点,,则的取值范围是________
12.平面直角坐标系中,点,动点在的内切圆上,则的最小值为________
2.6直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1直线与圆的位置关系
A组
1.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.若方程有两个不等的实根,则实数的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)在平面直角坐标系中,,点满足,设点的轨迹为,则（ ） .
A.的周长为
B.不重合时平分
C.面积的最大值为6
D.当时,直线与轨迹相切
4.已知圆,点是直线上的动点,过点作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为________
5.直线分别与轴,轴相交于两点,点在圆上运动,则面积的最小值为________
6.求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程.
7.在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为,.当变化时,解答下列问题.
(1)以为直径的圆能否经过点 说明理由;
(2)过三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
B组
8.已知在某滨海城市附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市的东偏南方向,距城市的海面点处,并以的速度向西偏北方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为,则城市受台风影响的时间为( ).
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)已知点在圆上,点,则( ).
A.点到直线距离的最大值为
B.满足的点有3个
C.过点作圆的两切线,切点分别为,则直线的方程为
D.的最小值是
10.已知圆的圆心在直线上,且过和两点.
(1)求圆的标准方程;
(2)过点的直线与圆交于两点:
(1)求弦中点的轨迹方程;
(2)求证:为定值.
C组
11.若不等式的解集为,且,则________
12.(多选题)已知圆,直线,点,则( ).
A.当时,直线与圆相切
B.若直线平分圆的周长,则
C.若直线上存在点,使得,则的最大值为
D.当时,为直线上的一个动点,则的最小值为
2.6.2圆与圆的位置关系
A组
1.已知圆与圆,若圆与圆有且仅有一个公共点,则实数等于( ).
A.14
B.34
C.14或45
D.34或14
2.已知圆,圆,则同时与圆和圆相切的直线有（ ）.
A.4条
B.2条
C.1条
D.0条
3.(多选题)设有一组圆,则下列命题正确的是（ ）
A.不论如何变化,圆心始终在一条直线上
B.存在圆经过点
C.存在定直线始终与圆相切
D.若圆上总存在两点到原点的距离为1,则
4.若点到直线的距离分别为1和4,则这样的直线共有________条.
5.写出与圆和圆都相切的一条切线方程________
6.已知圆与圆.
(1)求证:圆与圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线上的圆的方程.
7.已知圆,其中.
(1)已知圆与圆外切,求的值;
(2)如果直线与圆相交所得的弦长为,求的值.
B组
8.已知过点的动直线与圆交于两点,过分别作圆的切线,两切线交于点.若动点,则的最小值为( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
9.(多选题)已知为坐标原点,圆,则下列结论正确的是( ).
A.圆与圆内切
B.直线与圆相离
C.圆上到直线的距离等于1的点最多有两个
D.过直线上任一点作圆的切线,切点为,则四边形面积的最小值为
10.已知直线,圆.
(1)证明:直线与圆相交;
(2)设直线与圆的两个交点分别为,弦的中点为,求点的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,设圆在点处的切线为,在点处的切线为与的交点为.试探究:当变化时,点是否恒在一条定直线上 若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.
C组
11.若过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线必过定点( ).
A.
B.
C.
D.
12.已知圆.
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2,求直线的方程;
(3)已知圆的圆心在直线上,与轴相切,且与圆相外切,求圆的标准方程.
2.7用坐标方法解决几何问题
A组
1.自圆外一点引该圆的一条切线,切点为的长度等于点到原点的距离,则点的轨迹方程为( ).
A.
B.
C.
D.
2.阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则面积的最大值是( ).
A.
B.2
C.
D.4
3.(多选题)已知在平面直角坐标系中,.点满足,设点所构成的曲线为,下列结论正确的是( ).
A.曲线的方程为
B.在曲线上存在点,使得到点的距离为10
C.在曲线上存在点,使得
D.曲线上的点到直线的最大距离为9
4.若是的两个顶点,与交于点,则,的坐标分别为________
5.用平面截棱长为1的正方体,所得截面的周长记为,则当平面经过正方体的某条体对角线时,的最小值为( ).
A.
B.
C.
D.
6.用坐标法证明:菱形的对角线互相垂直.
7.已知的三边长满足分别为边上的中线,用坐标法证明:.
B组
8.已知是平面内的两点,且,用坐标法判断平面内满足下列条件的动点是否存在.如果存在,求出轨迹方程;如果不存在,说明理由.
(1);
(2).
9.如图2-9所示,在中,,点为的中点,,则的长度为( ).
A.2
B.
C.
D.
图2-9
10.如图2-10所示,在四边形中,,且.
(1)用表示;
(2)用向量坐标法求的值.
图2-10
C组
11.已知动点与两个定点的距离之比为,若的边的中点为,求动点的轨迹方程.
12.用坐标法证明:
(1)在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等;
(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等,则该边所对的角是直角.
单元测试
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求)
1.若圆:与圆关于直线对称,则圆的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
2.过点,在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ).
A.
B.或
C.
D.或
3.过两点的直线的倾斜角是( ).
A.
B.
C.
D.
4.下列方程中,圆与圆的公切线方程是( ).
A.
B.
C.
D.
5.“”是“圆与圆相切”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知圆经过点,且与直线相切,则其圆心到直线距离的最小值为( ).
A.3
B.2
C.
D.
7.直线的斜率的取值范围为( ))
A.
B.
C.
D.
8.在等边中,为的中点,为三角形内一动点,且满足,则的最小值为（ ）.
A.1
B.
C.
D.
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要
求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9.已知圆,则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ）.
A.过原点的任意直线
B.
C.
D.以为圆心且半径超过3的圆
10.已知直线,圆,则下列说法正确的是( ).
A.直线与圆一定有公共点
B.当时,直线被圆截得的弦最长
C.当直线与圆相切时,
D.圆心到直线的距离的最大值为
11.已知直线与直线,则直线与直线的位置关系可能是( ).
A.相交
B.重合
C.平行
D.垂直
12.已知直线与圆相交于两点,为坐标原点,下列说法正确的是( ).
A.的最小值为
B.若圆关于直线对称,则
C.若,则或
D.若四点共圆,则
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知圆与圆,若圆与圆有且仅有一个公共点,则实数的值为________
14.已知都是平面直角坐标系轴上的点,,则点的坐标为________
15.过点与圆相切的两条直线的夹角为,则________
16.若直线不经过第二象限,则实数的取值范围为________
四、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知两直线和的交点为.求:
(1)过点与的直线方程;
(2)过点且与直线平行的直线方程.
18.已知的三个顶点是.
(1)求边上的中线所在直线的方程;
(2)求的重心的坐标.
19.已知圆.
(1)若圆截轴所得弦的弦长等于半径的一半,求的值;
(2)当时,若圆的切线在轴和轴上的截距相等,求此切线的方程.
20.已知以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点,,其中为坐标原点.
(1)试写出圆的标准方程;
(2)求证:的面积为定值;
(3)设直线与圆交于两点,若,求圆的标准方程.
21.已知定点,动点满足,设动点的轨迹为曲线,直线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若是直线上的动点,过作曲线的两条切线,切点分别为,判断直线是否过定点.若过定点,写出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
22.已知圆的圆心坐标为,且该圆经过点,如图2-11所示.
(1)求圆的标准方程;
(2)直线交圆于两点,若直线的斜率之积为2,求证:直线过一个定点,并求出该定点坐标;
(3)直线交圆于两点,若直线的斜率之和为0,求证:直线的斜率是定值,并求出该定值.
图2-11
第3章圆锥曲线与方程
3.1椭圆
3.1.1椭圆的标准方程(1)
A组
1.已知椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长为( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
2.若椭圆的一个焦点为,则的值为( ).
A.4
B.3
C.2
D.1
3.(多选题)下列命题不正确的是( ).
A.椭圆的焦点坐标为
B.椭圆的焦点坐标为
C.椭圆与的焦点坐标相同
D.已知中,成等差数列,则顶点的轨迹方程为
4.已知是椭圆上一动点,分别是圆与圆上一动点,则的最大值为,最小值为________
5.已知点的周长是36,则的顶点的轨迹方程为________
6.若动点的坐标满足方程,试判断动点的轨迹,并写出其标准方程.
7.如图3-1所示,焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线与轴的正半轴交于点,若的内切圆在边上的切点为,且,求.
图3-1
B组
8.设是椭圆的两焦点,与分别是该椭圆的右顶点与上顶点,是该椭圆上的一个动点,是坐标原点,记,则动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中,的大小变化情况为( ).
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大
9.在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则
A.
B.
C.
D.
10.已知点,动点满足,且,则点的轨迹方程为
C组
11.如图3-2所示,已知是两定点,且.动点到点的距离是4,线段的垂直平分线交于点,求当变化时,动点的轨迹方程.
图3-2
12.(多选题)已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于两点,轴,垂足为与椭圆的另一个交点为,则( ).
A.的最小值为2
B.面积的最大值为
C.直线的斜率为
D.为钝角
3.1.2椭圆的标准方程(2)
A组
1.已知椭圆上一动点到两个焦点的距离之积为,则取最大值时,的面积为( ).
A.1
B.
C.2
D.
2.直线的方程过椭圆左焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上存在点,使得,则下列( )可以是椭圆短轴长的取值.
A.1.0
B.1
C.2
D.
4.已知是椭圆的两个焦点,分别为该椭圆的左顶点、上顶点,点在线段上,则的取值范围是________
5.已如椭圆的两个焦点分别为和,直线过点,点关于的对称点在上,且,则椭圆的方程为________
6.如图3-3所示,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切,与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程.
图3-3
7.已知椭圆的左、右顶点分别为,右焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)为椭圆上不与重合的任意一点,直线分别与直线相交于点,求证:.
B组
8.设点为椭圆上一点,分别为的左、右焦点,且,则的面积为________
9.若椭圆上的点到直线的距离为,过点的直线与交于两点,且,则的斜率为（ ）.
A.
B.
C.
D.
10.已知点是椭圆上异于顶点的动点,为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,若是平分线上的一点,且,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
C组
11.(多选题)已知分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是( ).
A.的周长为10
B.面积的最大值为
C.当时,的面积为
D.存在点,使得
12.已知椭圆的长轴是短轴的3倍,左、右焦点分别为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点,是否在轴正半轴存在点,使得直线与的斜率之积为定值 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
3.1.3椭圆的简单几何性质(1)
A组
1.已知为椭圆的左,右焦点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( ).
A.
B.
C.或
D.或
2.已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点是上一点(不在坐标轴上),点是的中点,若平分,则椭圆的离心率的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知是3与12的等比中项,则曲线的离心率是( ).
A.2
B.
C.
D.
4.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上的动点到焦点的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为________
5.设为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,,,则椭圆的离心率________
6.已知椭圆的两焦点,点在椭圆上.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率.
7.已知椭圆的方程为,点的坐标为,求过点且与椭圆相切的直线方程.
B组
8.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点,为左焦点,分别为右顶点和上顶点,则
A.
B.
C.
D.
9.画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔-蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该粗圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为,椭圆的离心率为为蒙日圆上一个动点,过点作椭圆的两条切线,与蒙日圆分别交于两点,则面积的最大值为( ).
A.
B.
C.
D.
10.设分别为椭圆的左、右焦点,若在直线为半焦距)上存在点,使的长度恰好为椭圆的焦距,则椭圆离心率的取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
C组
11.(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为,长轴长为4,点在椭圆内部,点在椭圆上,则以下说法正确的是（ ）
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时,的最大值为
C.存在点使得
D.的最小值为1
12.2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆(如图3-4所示)的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意,沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”,就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹,冰上划痕成丝带,其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型,富有动感,体现了冰上运动的速度和激情.这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体,其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等.对几何图形面积、体积计算方法的研究,在中国数学史上有着辉煌的成就,如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式,但由于不能计算牟合方盖的体积,没有得出球的体积计算公式.直到200年以后,数学家祖冲之、祖晅父子在《缀术》中提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式.祖晅原理的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.
图3-4
(1)利用祖晅原理推导半径为的球的体积公式时,可以构造如图3-5所示的几何体,几何体的底面半径和高都为,其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面,请证明:这两个截面的面积相等;
(2)现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球(如图3-6所示),类比(1)中的方法,探究椭球的体积公式,并写出椭球的体积之比.
3.1.4椭圆的简单几何性质(2)
A组
1.椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点,则下列说法正确的是( ).
A.过点的直线与椭圆交于两点,则的周长为4
B.椭圆上不存在点,使得
C.粗圆的离心率为
D.为椭圆上一点,为圆上一点,则点的最大距离为3
2.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于,两点.若的中点坐标为,则椭圆的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,短轴长等于,离心率为,过焦点作轴的垂线交椭圆于两点,则下列说法正确的是( ).
A.椭圆的方程为
B.椭圆的方程为
C.
D.的周长为
4.以原点为对称中心的椭圆的焦点分别在轴,轴,离心率分别为,直线交所得的弦中点分别为,若,则直线的斜率为________
5.已知点是椭圆上异于顶点的动点,分别为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,为的中点,的平分线与直线交于点,则四边形面积的最大值为________
6.已知椭圆,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点,求的取值范围.
7.已知圆,圆,动圆与圆内切,与圆外切,为坐标原点.
(1)求圆心的轨迹的方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求面积的最大值,以及取得最大值时直线的方程.
B组
8.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于,两点.若的中点坐标为,则的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
9.已知椭圆的两个焦点为,过的直线与椭圆交于两点.若,则椭圆的离心率为( ).
A.
B.
C.
D.
10.设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为0.
(1)求椭圆的方程;
(2)设定点,已知过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点,且,求的取值范围.
C组
11.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若,则的面积为( ).
A.8
B.
C.16
D.
12.已知椭圆经过点,且离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆交于两点,为椭圆上顶点,直线交直线于两点,已知两点纵坐标之和为.求证:直线过定点,并求此定点坐标.
3.2双曲线
3.2.1双曲线的标准方程
A组
1.已知平面内两定点,下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知双曲线的两个焦点分别为,双曲线上一点与的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)方程表示的曲线可能为( ).
A.两条直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
4.已知方程表示双曲线,则实数的取值范围为________
5.若双曲线的一个焦点坐标为,则________
6.求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距.
(1);
(2);
(3).
7.已知,方程表示双曲线.
(1)若是真命题,求的取值范围;
(2)若是的充分但不必要条件,求的取值范围.
B组
8.连接双曲线与的四个顶点的四边形面积为,连接四个焦点的四边形面积为,则的最大值是( ).
A.2
B.4
C.
D.
9.已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点,顶点在双曲线上,则的值等于________
10.已知,方程表示焦点在轴上的椭圆;方程表示双曲线.若是的充分但不必要条件,求实数的取 范围.
C组
11.祖鲳原理也称祖氏原理,是我国数学家祖冲之、祖咺父子提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,如在等高处截面积相等,则体积相等.满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,则满足以下（ ）关系式.
A.
B.
C.
D.
12.已知双曲线的两个焦点为为双曲线上一点,,的内切圆的圆心为,则.
A.
B.
C.
D.
3.2.2双曲线的简单几何性质(1)
A组
1.若双曲线与双曲线有相同的渐近线,且过点,则双曲线的标准方程为( ).
A.
B.
C.或
D.或
2.已知双曲线的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）.
A.5
B.4
C.3
D.2
3.(多选)关于双曲线与双曲线,下列说法正确的是( ).
A.它们有相同的渐近线
B.它们有相同的顶点
C.它们的离心率不相等
D.它们的焦距相等
4.若椭圆与双曲线有相同的焦点,则实数的值为________
5.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点,点为双曲线中第一象限上的一点,的平分线与轴交于,若,则双曲线的离心率取值范围为( ).
A.
B.
C.
D.
6.已知点到等轴双曲线上的点的最短距离为,求此双曲线的标准方程.
7.已知双曲线的焦距为4,且过点.
(1)求双曲线方程;
(2)若直线与双曲线有且只有一个公共点,求实数的值.
B组
8.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上关于原点对称的两点,,四边形的面积为2,则该双曲线的离心率为( ).
A.
B.
C.2
D.
9.直线与双曲线的交点坐标为________
10.已知双曲线的右焦点为,过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为.若直线与双曲线的另一条渐近线交于点,且满足(为坐标原点),则双曲线的离心率为________
C组
11.设同时为椭圆与双曲线的左、右焦点,设椭圆与双曲线在第一象限内交于点,椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点.若,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
12.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”(如图3-7所示),利用了双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点,从发出的光线射在双曲线右支上一点,经点反射后,反射光线的反向延长线过;当异于双曲线顶点时,双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为,则下列结论不正确的是( ).
A.射线所在直线的斜率为,则
B.当时,
C.当过点时,光由到再到所经过的路程为13
D.若,直线与相切,则
图3-7
3.2.3双曲线的简单几何性质(2)
A组
1.下列直线中,与双曲线有两个不同交点的是( ).
A.
B.
C.
D.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为,过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点,是的中点,为坐标原点,若直线的斜率为,则的值是( ).
A.2
B.
C.
D.
3.(多选)已知双曲线,过点的直线与双曲线有唯一公共点,则直线的方程为（ ）.
A.
B.
C.
D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别是,过右焦点且不与轴垂直的直线交的右支于两点,若,且,则的离心率为________
5.过点作直线交双曲线于两点,而恰为弦的中点,则直线的斜率为________
6.设分别为双曲线的左、右焦点,且的坐标为,,若点是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线相交于两点,求.
7.已知的右焦点为,点到的一条渐近线的距离为,过点的直线与相交于两点.当轴时,.
(1)求的方程;
(2)若是直线上一点,当三点共线时,判断直线的斜率是否为定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.
B组
8.如图3-8所示,是双曲线的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于两点.若,则双曲线的离心率为( ).
A.2
B.
C.
D.
9.已知双曲线的焦点在轴上,中心为坐标原点,为的右焦点,过点作直线与的左、右两支分别交于两点,过点作直线与的右支交于两点,若点恰为的重心,且为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为________
10.设双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且不与双曲线的顶点重合,则下列命题中正确的是( ).
A.双曲线的两条渐近线的方程是
B.双曲线的离心率等于
C.若,则的面积等于4
D.若,则
C组
11.(多选题)已知动点是双曲线上的点,点是双曲线的左、右焦点,是双曲线的左、右顶点,则下列结论正确的是( ).
A.双曲线的离心率为
B.点在双曲线的左支时,的最大值为
C.点到两渐近线的距离之积为定值
D.若是的面积,则为定值
12.已知双曲线的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线的实轴长为2,焦距为,且点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点,交双曲线的两条渐近线于点(在轴左侧).记和的面积分别为,求的取值范围.
3.3抛物线
3.3.1抛物线的标准方程
A组
1.已知为抛物线上一点,点到的焦点的距离为12,到轴的距离为9,则
A.4
B.6
C.8
D.10
2.顶点在原点,且过点的抛物线的标准方程是
A.
B.
C.或
D.或
3.已知抛物线的焦点到准线的距离为2,若点在抛物线上,且点到的距离为,点在圆上,则
A.的最小值为
B.的最大值为
C.
D.
4.已知动点的坐标满足,则动点的轨迹方程为________
5.抛物线上任意一点都满足,则抛物线的焦点到准线的距离为________
6.求焦点在直线上的抛物线的标准方程.
7.已知点在抛物线上,点到抛物线的焦点的距离为4.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求的最小值.
B组
8.如图3-9是抛物线拱形桥,当水面在时,拱顶高于水面,水面宽为,当水面宽为时,水位下降了.
A.
B.
C.
D.
图3-9
9.已知是抛物线上一动点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为________
10.点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且,则称点为“友善点”,那么下列结论中正确的是( ).
A.直线上的所有点都是“友善点”
B.直线上仅有有限个点是“友善点”
C.直线上的所有点都不是“友善点”
D.直线上有无穷多个点(不是所有的点)是“友善点”
C组
11.我们知道:用平行于圆雉母线的平面(不过顶点)截圆雉,则平面与圆雉侧面的交线是抛物线一部分,如图3-10所示,在底面半径和高均为2的圆雉中,是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过和的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分,则该圆雉曲线的焦点到其准线的距离等于________
图3-10
12.已知在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)是抛物线上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率之和为2,证明:直线过定点.
3.3.2抛物线的简单几何性质
A组
1.已知抛物线,过点与抛物线有且只有一个交点的直线有)（ ）条.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知三个顶点在抛物线上,且为抛物线的焦点,,则
A.6
B.8
C.10
D.12
3.(多选题)已知抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作垂线,垂足为,则下列说法正确的是( ).
A.准线的方程为
B.若过焦点的直线交抛物线于两点,且,则
C.若,则的最小值为3
D.延长交抛物线于点,若,则
4.直线与抛物线有且只有一个公共点,则
5.设为抛物线的焦点,过且倾斜角为的直线交于两点,在轴上方,则
A.
B.
C.8
D.
6.已知曲线的方程为,直线过定点,斜率为.
(1)若曲线与直线只有一个公共点,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求直线的方程.
7.在平面直角坐标系中,已知动点到定点的距离比到轴的距离大1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作斜率为的直线分别交曲线于不同于的两点,且.证明:直线恒过定点.
B组
8.以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点,交轴于点,若,则________
9.已知抛物线(的焦点为为该抛物线上一点,若以为圆心的圆与的准线相切于点,过且与轴垂直的直线与交于两点,为的准线上的一点,则的面积为( ).
A.1
B.2
C.4
D.9
10.已知焦点为的抛物线经过圆的圆心,点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点,且.
(1)分别求与的值;
(2)点与点关于原点对称,点是异于点的抛物线上的两点,且三点共线,直线分别与轴交于点,问:是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.
C组
11.(多选题)已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,以线段为直径的圆交轴于两点,设线段的中点为,则下列说法正确的是( ).
A.若抛物线上的点到点的距离为4,则抛物线的方程为
B.以为直径的圆与准线相切
C.线段长度的最小值是
D.的取值范围为
12.已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为4.
(1)求;
(2)若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值.
3.4曲线与方程
A组
1.一个动圆与定圆相外切,且与定直线相切,则此动圆的圆心的轨迹方程是________
2.当点在圆上变动时,它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图3-11所示)的正视图可以近似看成双纽线.在平面直角坐标系中,把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点,则下列说法正确的是
A.若,则的面积为
B.
C.双纽线关于原点对称
D.双纽线上满足的点有三个
4.已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹的方程为________
5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图3-12所示),给出下列三个结论:
(1)曲线恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
(2)曲线上任意一点到原点的距离都不超过;
(3)曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是________
6.已知曲线和直线,若与有两个交点和,求线段中点的轨迹方程.
7.已知抛物线经过点为抛物线的焦点,且.
(1)求的值;
(2)点为抛物线上一动点,点为线段的中点,试求点的轨迹方程.
B组
8.已知是椭圆中垂直于长轴的动弦,是椭圆长轴的两个端点,则直线和的交点的轨迹方程为________
9.抛物线的焦点为,其准线与轴交于点,如果在直线上存在点,使得,则实数的取值范围是________
10.在直角坐标系中,,不在轴上的动点满足,于点为的中点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,斜率为的直线交于两点,记直线,的斜率分别为,试问是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
C组
11.已知两定点的坐标分别为,动点满足条件,则动点的轨迹方程为________
12.如图3-13所示,分别在轴、轴上运动,,点满足,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线交于两点,在曲线上,,求四边形面积的最大值.
图3-13
3.5圆雉曲线的应用
A组
1.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品.若将如图3-14所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,焦距为,则该双曲线的渐近线方程为( ).
A.
B.
C.
D.
图3-14
2.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京和张家口举行,北京冬奥会会徽设计以汉字“冬”为灵感来源,运用中国书法的艺术形态,将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体,呈现出新时代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型,下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且富有韵律,代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带,下部为奥运五环,不仅象征五大洲的团结,而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的精神进行比赛.其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图3-15所示):若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距离为11,设五个圆的圆心分别为,若双曲线以为焦点、以直线为一条渐近线,则的离心率为
A.
B.
C.
D.
图3-15
3.(多选题)图3-16为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,巧夺天工,是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,双曲线的左、右顶点为,则( ).
A.双曲线的方程为
B.双曲线与双曲线有相同的渐近线
C.存在一点,使过该点的任意直线与双曲线有两个交点
D.双曲线上存在无数个点,使它与两点的连线的斜率之积为3
图3-16
4.(多选题)17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明,方程表示椭圆.若从椭圆上任意一点(异于两点)向长轴引垂线,垂足为,记,则下列说法正确的是( ).
A.的值与点在椭圆上的位置有关
B.的值与点在椭圆上的位置无关
C.的值越大,椭圆的离心率越大
D.的值越大,椭圆的离心率越小
5.历史上第一个研究圆雉曲线的人是梅纳库莫斯(公元375-前325年),大约100年后,阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆雉曲线,并且他还进一步研究了这些圆雉曲线的光学性质:如图3-17(a)所示,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.如图3-17(b)所示,椭圆的中心在坐标原点,焦点为,由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为.利用椭圆的光学性质解决以下问题.
(1)椭圆的离心率为________
(2)点是椭圆上除顶点外的任意一点,椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上,则椭圆的方程为________
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆雉曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆,他发现如果把椭圆焦点一侧做成镜面,并在处放置光源,那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点.设椭圆方程为其左、右焦点,若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后,满足,如图3-18所示,则该椭圆的离心率为________
图3-18
7.如图3-19所示,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周所形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质:由椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即:焦点为的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知,.以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.求截口所在椭圆的方程.
图3-19
B组
8.(多选题)某房地产建筑公司在挖掘地基时,出土了一件宋代小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图3-20所示)由半椭圆:与半椭圆组成,其中0,设点是相应椭圆的焦点,和是轴截面与轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线为边界,在宝珠珠面上,为等边三角形,则以下命题中正确的是( ).
A.椭圆的离心率是
B.椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C.椭圆的焦点在轴上
D.椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
9.(多选题)“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术,更是中国传统戏曲文化的重要载体,如图3-21所示,“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线,其方程为则下列说法正确的是( ).
A.曲线包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B.曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C.若是曲线下半部分中半椭圆上的一个动点,则的最小值为
D.画法几何的创始人加斯帕尔-蒙日发现:椭圆中任意两条互相垂直的切线,其交点都在与椭圆同中心的圆上,称该圆为椭圆的蒙日圆.那么曲线中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆后,椭圆的蒙日圆方程为
10.2021年是“十四五”开局之年,也是中国共产党成立100周年,上海市政府与国家发展和改革委员会、科技部等主办的2021世界人工智能大会是一场AI领域的国际盛会,聚集上千位来自国内外的“最强大脑”,展开近百场高端论坛头脑风暴。某高校学生受大会展示项目启发,决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图3-22所示,两个信号源相距是的中点,过的直线与直线的夹角为,机器猫在直线上运动,机器鼠的位置始终满足:两点同时发出信号,机器鼠接收到点的信号比接收到点的信号晚(注:信号每秒
传播).在时刻,测得机器鼠与点的距离为.
(1)以为原点,直线为轴建立如图3-35所示的直角坐标系,求时刻机器鼠所在点的坐标;
(2)游戏设定:当机器鼠在距离直线不超过的区域内运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险
图3-22
C组
11.(多选题)嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月,我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”,如图3-23所示,飞行器在环月椭圆轨道近月点制动(俗称“踩刹车”)后,以的速度进人距离月球表面的环月圆形轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点),环绕周期为,已知远月点到月球表面的最近距离为,则( ).
A.圆形轨道的周长为
B.月球半径为
C.近月点与远月点的距离为
D.椭圆轨道的离心率为
图3-23
12.(多选题)阿基米德(公元前287-前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家,享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法,得出一个著名的阿基米德定理,抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”,如图3-24所示,在抛物线上有两个不同的点,坐标分别为,以为切点的切线相交于点,给出以下结论,其中正确的为( ).
A.点的坐标是
B.的边所在的直线方程为
C.的面积为
D.的边上的中线平行(或重合)于轴
图3-24
3.6圆锥曲线中的定点定值问题
1.已知抛物线的焦点为,以抛物线上一动点为圆心的圆经过点,若圆面积的最小值为.
(1)求的值;
(2)当点的横坐标为1且位于第一象限时,过作抛物线的两条弦,且满足.证明:直线的斜率为定值.
2.已知椭圆的离心率为,若与圆相交于两点,且圆在内的弧长为.
(1)求的值;
(2)过栯圆的上焦点作两条相互垂直的直线,分别交椭圆于,求证:为定值.
3.已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为,且点,3)为上一点.
(1)求的标准方程;
(2)设为在第一象限的任一点,过的直线与恰有一个公共点,且分别与的两条渐近线交于点,设为坐标原点,证明:的面积为定值.
4.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与双曲线交于,两点,与轴交于点,且.
(1)当点在第一象限且时,求直线的方程;
(2)求证:为定值.
3.7圆雉曲线中的取值范围问题
1.已知双曲线过点,渐近线方程为,直线是双曲线右支的一条切线,且与的渐近线交于两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)设的中点为,求点到轴距离的最小值.
2.已知抛物线的焦点为,过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为16.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点为抛物线上的任意一点,以为圆心的圆过点,且与直线相交于两点,求的取值范围.
3.已知椭圆的短轴长为,离心率为,双曲线的渐近线方程为,离心率为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左焦点为,过点且不与坐标轴平行的直线与椭圆相交于两点,线段的中垂线分别交轴、轴于两点,求的取值范围.
4.已知椭圆.圆的圆心在椭圆上.点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于两点,且为的中点,如图3-25所示,求面积的取值范围.
图3-25
单元测试
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求)
1.双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为( ).
A.
B.
C.
D.
2.若将一个椭圆绕其中心旋转,所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,则这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中“对偶椭圆”是( ).
A.
B.
C.
D.
3.在抛物线上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ).
A.
B.
C.
D.
4.已知抛物线的焦点为,定点,点为抛物线上一点,则的最小值为( ).
A.8
B.
C.6
D.
5.双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点到轴的距离为( ).
A.
B.
C.4
D.
6.已知椭圆与双曲线有公共焦点,且两条曲线在第一象限的交点为.若是以为底边的等腰三角形,曲线的离心率分别为和,则
A.1
B.2
C.3
D.4
7.过抛物线的焦点的直线与其交于两点,,如果,那么
A.
B.
C.
D.
8.已知抛物线为抛物线的焦点,是过焦点的动弦,是
两点在准线上的投影,如图3-26所示,则下列论断正确的个数为( ).
(1)以为直径的圆与准线一定相切;
(2)以为直径的圆与直线一定相切;
(3)以为直径的圆与轴一定相切;
(4)以为直径的圆与轴有可能相切.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9.已知曲线,则下列结论正确的是( ).
A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
B.若,则是双曲线,其焦点在轴上
C.若,则是圆
D.若,则是两条直线
10.若动点到定点的距离与到直线的距离相等,则点的轨迹不可能是
A.抛物线
B.线段
C.直线
D.射线
11.已知抛物线过点,过点的直线交抛物线于,两点,点在点右侧,若为焦点,直线分别交抛物线于两点,则( ).
A.
B.
C.三点共线
D.
12.已知分别是双曲线的左、右焦点,过且倾斜角为的直线交双曲线的右支于两点,为的内心,为坐标原点,则下列结论成立的是( ).
A.若的离心率,则的取值范围是
B.若且,则的离心率
C.若的离心率,则
D.过作,垂足为,若的横坐标为,则
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积为________
14.写出一个离心率为,渐近线方程为的双曲线方程________
15.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时,发现当篮球放在地面上时,篮球斜上方的灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但他自己还不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点.他在家里做了一个探究实验:如图3-27所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一个灯泡(当成质点),灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面的点为,影子椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率________
16.如图3-28所示,过原点的直线交椭圆于两点,过点分别作轴、的垂线分别交椭圆于点,连接交于一点,若,则椭圆的离心率是________
四、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知点,动点到点的距离和等于4.
(1)试判断点的轨迹的形状,并写出其方程;
(2)若曲线与直线相交于两点,求弦的长.
18.如图3-29所示,一隧道内设双行线公路,其截面为长方形和抛物线组合,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少,已知行车道总宽度,那么车辆通过隧道的限高制度是多少米
图3-29
19.已知抛物线(的焦点到准线的距离为2.
(1)求的方程;
(2)已知为坐标原点,点在上,点满足,求直线斜率的最大值.
20.已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)为坐标原点,过焦点的直线交椭圆于两点,求面积的最大值.
21.已知点在双曲线上,直线交于两点,直线的斜率之和为0.
(1)求的斜率;
(2)若,求的面积.
22.已知圆与抛物线相交于点,且在四边形中,,如图3-30所示.
(1)若,求实数的值;
(2)设与相交于点与组成蝶形的面积为,求点的坐标及的最大值.
图3-30
第4章计数原理
4.1两个计数原理
A组
1.如图4-1所示,5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形,将其中两个圆盘染上红色,三个圆盘染上蓝色.并规定:若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致,则认为这两者是同一种染色方法,则不同的染色方法共有( ).
图4-1
A.2种
B.3种
C.6种
D.10种
2.从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有( ).
A.105种
B.225种
C.315种
D.420种
3.(多选题)已知数字,由它们组成四位数,下列说法正确的有( ).
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
D.组成百位是奇数的四位偶数有28个
4.如图4-2所示,一个正方形花圑被分成5份.若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色的花,则有________种不同的种植方法.
5.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去莲花山公园、荔枝公园、人民公园三个地方游览,每人只能去一个地方,人民公园一定要有人去,则不同游览方案的种数为________
6.对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数
7.用这七个数字,完成下面三个小题.
(1)用以上七个数字能组成多少个三位偶数(允许有重复数字)
(2)用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数
(3)已知椭圆方程,其中,则满足焦距不小于8的不同椭圆方程有多少个
B组
8.已知,且,则所有满足条件的数对的个数为( ).
A.12
B.13
C.20
D.24
9.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:1次传球之后,共有________种可能的传球方法;(2)次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有________种。
10.实际上,哈希算法是一种加密技术.已知-hashing是最简单的哈希算法之一,它把一个较大数的每一位改成它除以质数所得到的余数.如:对544213进行2-hashing,我们得到的哈希值为100011,那么对它进行3-hashing,将得到________.同时,我们容易发现2-hashing后得到哈希值为100011的正整数共有________个(可以不写出具体数,用类似于!的表达式表示).
C组
11.在如图4-3所示的5个区域内种植花卉,每个区域种植1种花卉,且相邻区域种植的花卉不同,若有6种不同的花卉可供选择,则不同的种植方法种数是( ).
图4-3
A.1440
B.720
C.1920
D.960
12.数列满足,称为数列的指数和.
(1)若,求所有可能的取值;
(2)求证:的充分必要条件是;
(3)若,求的所有可能取值之和.
4.2排列
A组
1.甲、乙、丙三位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加,则他们参加的校本课程各不相同的概率为( ).
A.
B.
C.
D.
2.将五个字母排成一排,且均不排在两端,则不同的排法共有
A.108种
B.72种
C.36种
D.18种
3.(多选题)下列等式中,成立的有( ).
A.
B.
C.
D.
4.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻的不同排法的种数为________
5.从这五个数中,每次取出两个不同的数,分别为,共可得到的不同值的个数是________
6.五人站成一排.
(1)两人相邻的不同排法有多少种
(2)两两不相邻的排法有多少种
(3)都与相邻的不同排法有多少种
(4)顺序一定的排法有多少种
7.(1)计算:;
(2)解关于的方程.
B组
8.某校高二年级开展数、理、化、生、政、地六科素养能力提升讲座,每周安排一次,共讲六次.讲座次序要求“化”不在第一次,“数”和“生”不相邻,则六科讲座不同的次序共有( ).
A.408种
B.240种
C.1092种
D.120种
9.(多选题)将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水瀚传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排,则( ).
A.戏曲书在正中间位置的不同放法有种
B.诗集相邻的不同放法有种
C.四大名著互不相邻的不同放法有种
D.四大名著不放在两端的不同放法有种
10.有5对夫妇和共12人参加一场婚宴,他们被安排在一张有12个座位的圆桌就餐(旋转之后一样算相同坐法).
(1)5对夫妇都相邻而坐,相邻而坐,共有多少种坐法
(2)5对夫妇都相邻而坐,其中甲、乙两人的太太是围蜜要相邻而坐,不相邻,共有多少种坐法
C组
11.将六个数按任意次序排成一行,拼成一个八位数,则产生的不同八位数的个数是( ).
A.498
B.516
C.534
D.546
12.(多选题)用组成无重复数字的四位数和五位数,则( ).
A.可组成360个四位数
B.可组成216个是5的倍数的五位数
C.可组成270个比1325大的四位数
D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列,则第85个数为2310
4.3组合
A组
1.4本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,不同分法的种数为( ).
A.24
B.36
C.42
D.64
2.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教,每个学校至少去1人,则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为( ).
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩,有着可爱的外表和丰富的寓意,现有5个不同造型的“冰墩墩”,则下面表述正确的是( ).
A.把这5个“冰墩墩”装人3个不同的盒内,共有129种不同的装法
B.从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者,每人1个,共有60种不同的选法
C.从这5个“冰墩墩”中随机取出3个,共有10种不同的取法
D.把这5个“冰墩墩”装人3个不同的盒内,每盒至少装一个,共有150种不同的装法
4.用组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的三位数,这样的三位数一共有________个.(用数值作答)
5.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.早在南宋时期,数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就出现这一规律,而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.如图4-4所示,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第11行中从左至右第5与第6个数的比值为________
6.已知有6本不同的书.
(1)分成三堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法
(2)分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法
7.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,求:
(1)物理和化学至少选一门的选法种数;
(2)物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选的选法种数.
B组
8.(多选题)下列各式正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
9.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
10.(1)求值:;
(2)解关于的方程.
C组
11.设整数数列满足,且,,则这样的数列的个数为________
12.(1)求证:;
(2)求证:.
4.4二项式定理
A组
1.的展开式中共有7项,下列说法中正确的是( ).
A.展开式中二项式系数之和为32
B.展开式中各项系数之和为1
C.展开式中二项式系数最大的项为第3项
D.展开式中系数最大的项为第4项
2.若,则的值为
A.
B.
C.
D.
3.(多选题)已知,则( ).
A.
B.
C.
D.
4.除以7的余数为________
5.在的展开式中,的系数为________
6.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.
条件(1):第3项与第7项的二项式系数相等;
条件(2):只有第5项的二项式系数最大;
条件(3):所有项的二项式系数的和为256.
问题:在展开式中,________
(1)求的值与展开式中各项系数之和;
(2)这个展开式中是否存在有理项 若存在,将其一一列出;若不存在,请说明理由.
7.已知二项式的展开式,________,给出下列条件:
(1)第二项与第三项的二项式系数之比是;
(2)所有偶数项的二项式系数之和为256;
(3)展开式中第4项为常数项.
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并完成下列问题:
(1)求展开式中的系数;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
B组
8.若,则
A.244
B.243
C.242
D.241
9.(多选题)若,则( ).
A.
B.
C.
D.
10.已知.
(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大,求展开式中的系数;
(2)若,且,求.
C组
11.已知,则
(1)被3除的余数是________
(2)________
12.已知为正整数,,其中的系数为10,则的系数的最大可能值与最小可能值之和为________
单元测试
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
要求)
1.已知均为常数)的展开式中第4项的系数与含项的系数分别为-80与80,则
A.3
B.2
C.-2
D.-3
2.5名学生、1名教师站成前后两排照相,要求

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