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分课时学案
课题 21.2.1.1 直接开平方法和因式分解法（1） 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.数学运算：熟练掌握直接开平方法、因式分解法的解题步骤，规范解方程书写格式，精准求解简单一元二次方程，规避漏根、错解等运算错误，提升代数运算的准确性与规范性。 2. 逻辑推理：经历两种解法的原理推导过程，理解平方根性质、零乘积原理的解题依据，明晰“降次转化”的数学逻辑，培养严谨的推理思维。 3. 数学抽象与转化思想：抽象归纳两类方程的结构特征与对应解法，掌握“将二次方程转化为一次方程”的降次思想，建立方程转化的数学模型。
重点 1. 掌握直接开平方法的适用方程形式与完整解题步骤，能准确求解方程； 2. 掌握因式分解法解一元二次方程的原理、步骤，熟练运用提公因式、公式法解方程；
难点 1. 理解直接开平方法中有实数根的情况，避免漏写负根、错判无根情况； 2. 掌握因式分解法“先化右边为0、再分解因式、最后降次求解”的规范流程。
教学过程
导入新课 【思考】 1.平方根的定义是什么？一个正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 2.因式分解的常用方法有哪些？
新知讲解 解方程：(1) x2=4 一般地，对于形如x2=a (a>0)的方程，根据平方根的定义，可解得，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 【想一想】方程x2-1=0能否用直接开平方法来解 要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式 总结归纳 开平方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程变形成x2=a (a>0) （2）解得 探究：因式分解法解一元二次方程 解方程：x2-1=0 【想一想】方程x2=4能否用因式分解法来解 因式分解法解方程的基本步骤： 1.若方程的右边不是0，先移项，使方程的右边为0； 2.将方程的左边分解因式； 3.根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 【做一做】 试用两种方法解方程：x2-900=0. 【例1】解下列方程： (1)x2-2=0； (2) 16x2 -25 =0. 【例2】解下列方程: (1)3x2 + 2x =0; (2)5x(x -3) - 10(x -3)=0. 【思考】试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1=2，x2=3.符合条件的方程只有一个吗 【思考】如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程4x2－16＝0的根是（ ）. A. x=2 B. x=4 C. x1＝2，x2＝－2 D. x1＝4，x2＝－4 2. 3x2＋27＝0的根是(　　) A．x1＝3，x2＝－3 B．x＝3 C．无实数根 D．以上均不正确 3. 方程(x＋5)(x－1)＝0的根是(　　) A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1 C．x1＝x2＝－5 D．x1＝x2＝1 4. 用因式分解法解下列方程，正确的是(　　) A．x(x＋1)＝0，所以x＋1＝0 B．(x＋1)(x－2)＝1，所以x＋1＝1或x－2＝1 C．(x－1)(x－2)＝2×3，所以x－1＝2或x－2＝3 D．(x－2)(3x－4)＝0，所以x－2＝0或3x－4＝0 【知识技能类作业】选做题： 5. 如果二次三项式x2＋px＋q能因式分解成(x＋3)(x＋2)，那么方程x2＋px＋q＝0的两个根为(　　) A．x1＝－3，x2＝－2 B．x1＝－3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 【知识技能类作业】选做题： 6. 解方程：(1)(2x－3)2＝121； (2)x(x－6)＝6－x； 【综合拓展类作业】 7. 小李与小王两位同学解方程2(x－2)＝(x－2)2的过程如下： 他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.老师出示问题：解方程x2-4=0.四名同学给出了以下答案: 甲：x=2；乙：x1=x2=2；丙：x1=x2=-2；丁：x1=2，x2=-2. 下列判断正确的是( ). A.甲正确 B .乙正确 C.丙正确 D.丁正确 【知识技能类作业】必做题： 2. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ). A.(2x-3)(3x-4)=0化为2x-3=0或3x-4=0 B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0为x+2=0 【知识技能类作业】选做题： 3.若一元二次方程3x2=27的两根为x1，x2(x1答案：
引新
【思考】
1.平方根的定义是什么？一个正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
若x2=a (a≥0)，则x叫做a的平方根；
一个正数有两个互为相反数的平方根；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
2.因式分解的常用方法有哪些？
①提公因式法；
②公式法：
平方差公式：a2- b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一元二次方程4x2－16＝0的根是（ C ）.
A. x=2
B. x=4
C. x1＝2，x2＝－2
D. x1＝4，x2＝－4
2. 3x2＋27＝0的根是(　C　)
A．x1＝3，x2＝－3
B．x＝3
C．无实数根
D．以上均不正确
3. 方程(x＋5)(x－1)＝0的根是(　B　)
A．x1＝5，x2＝－1
B．x1＝－5，x2＝1
C．x1＝x2＝－5
D．x1＝x2＝1
4. 用因式分解法解下列方程，正确的是(　D　)
A．x(x＋1)＝0，所以x＋1＝0
B．(x＋1)(x－2)＝1，所以x＋1＝1或x－2＝1
C．(x－1)(x－2)＝2×3，所以x－1＝2或x－2＝3
D．(x－2)(3x－4)＝0，所以x－2＝0或3x－4＝0
【知识技能类作业】选做题：
5. 如果二次三项式x2＋px＋q能因式分解成(x＋3)(x＋2)，那么方程x2＋px＋q＝0的两个根为(　A　)
A．x1＝－3，x2＝－2
B．x1＝－3，x2＝2
C．x1＝3，x2＝2
D．x1＝3，x2＝－2
【知识技能类作业】选做题：
6. 解方程：(1)(2x－3)2＝121；
(2)x(x－6)＝6－x；
解：（1）直接开平方，得
2x－3＝±11，
所以2x－3＝11或2x－3＝－11，
解得x1＝7，x2＝－4.
（2）解：原方程可变形为x(x－6)＋(x－6)＝0，
方程左边因式分解，得(x－6)(x＋1)＝0，
所以x－6＝0或x＋1＝0，
所以x1＝6，x2＝－1.
【综合拓展类作业】
7. 小李与小王两位同学解方程2(x－2)＝(x－2)2的过程如下：
他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
解：小李：×；小王：×.
正确的解答过程：移项，得2(x－2)－(x－2)2＝0，
提取公因式，得(x－2)[2－(x－2)]＝0，
即(x－2)(4－x)＝0，所以x－2＝0或4－x＝0，
解得x1＝2，x2＝4.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.老师出示问题：解方程x2-4=0.四名同学给出了以下答案:
甲：x=2；乙：x1=x2=2；丙：x1=x2=-2；丁：x1=2，x2=-2.
下列判断正确的是( D ).
A.甲正确 B .乙正确
C.丙正确 D.丁正确
【知识技能类作业】必做题：
2. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A ).
A.(2x-3)(3x-4)=0化为2x-3=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=1或x-1=1
C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3
D.x(x+2)=0为x+2=0
【知识技能类作业】选做题：
3.若一元二次方程3x2=27的两根为x1，x2(x1A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4. 已知某一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=-4，则这个方程可能为( A ).
A.(x-3)(x+4)=0
C.(x+3)(x+4)=0
B.(x+ 3)(x-4)=0
D.(x-3)(x-4)=0
【综合拓展类作业】
5.如果x=5是关于x的一元二次方程(x-m)(x-4+m)=n的一个根，那么关于x的一元二次方程(x+m-1)(x+3-m)=n的解为多少？
解：∵x=5是关于x的方程(x-m)(x-4+m)=n的一个根
∴(5-m)(5-4+m)=n，∴(5-m)(1+m)=(-5+m)(-1-m)=n.
∵(x+m-1)(x+3-m)=n， ∴x+3=5，x-1= 1或x-1=-5，x+3=-1，
解得x=2或x=-4.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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