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分课时学案
课题 21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 数学运算：熟练掌握一元二次方程移项、合并、系数化1、整体整理等变形技巧，规范完成复杂方程的变形与求解全过程，精准规避变形运算错误，提升代数运算的熟练度规范性。 2. 逻辑推理：经历“观察方程结构—选择变形方法—转化标准模型—降次求解”的完整过程，推理分析不同方程的最优变形思路，明晰方程变形的数学依据，培养严谨、有序的推理思维。 3. 模型观念：建立“复杂方程→变形化简→标准可解模型”的转化思维模型，能精准识别可开平、可分解的方程特征，形成系统化的一元二次方程求解模型。
重点 1. 掌握非标准一元二次方程的常用变形技巧：移项、合并同类项、系数化为1、整体整理； 2. 能通过合理变形，将复杂方程转化为可直接开平方法、可因式分解法求解的标准形式；
难点 1. 根据方程结构特征，精准判断变形方向，选择最优的变形与解题方法； 2. 规避方程变形过程中的符号、系数、运算错误，保证变形规范性；
教学过程
导入新课 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？
新知讲解 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 这个题目能用因式分解法吗？ 你觉得哪种方法更简单？ 总结归纳 解一元二次方程时观察方程结构，合理选择变形方式与解题方法： ①含整体平方、无复杂一次项，优先变形用直接开平方法； ②可整理为整式乘积型、含一次项，优先变形用因式分解法。 观察结构→判断变形方向→规范变形→选择方法→降次求解。 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 【你知道吗？】 小明和小亮一起解方程：x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x - 6)=0. 所以 3x+2=0 或 x-6=0， 得x1= ，x2=6. 小亮的解法是这样的: 移项，得x(3x + 2)=6(3x + 2). 方程两边都除以3x+2，得x=6. 小亮说:“我的方法多简便!” 可另一个根x=哪里去了 小亮的解法对吗 你能解开这个谜吗
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.方程2x=x(x-1)的解是( ). A. x=2 B. x=3 C. x1= 0， x2=2 D. x1= 0， x2=3 2. 用直接开方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( ) A.x=3+2 B.x1=3+2,x2=3-2 C.x=3-2 D.x1=3+2,x2=3-2 3. 关于x的一元二次方程(2x-1)(x+m)=0有两个相等的实数根，则m的值为( ). A. 2 B. 1 C. -1 D.- 4. 解方程：(1)x2-2x=8；(2)(x+4)2=5(x+4); 【知识技能类作业】选做题： 5. 一元二次方程x2-25=0的解为( ）. A.x1=x2=5 B.x1=5，x2=-5 C.x1=x2=-5 D.x1=x2=25 6. 若方程(x-4)2=a有实数解，则a的取值范围是( ). A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定 7.阅读材料：为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，将原方程化为y2-3y=0①，解得y1=0，y2=3. 当y=0时，x2-1=0，x2=1，∴x=±1;
当y=3时，x2-1=3，x2=4，∴x=±2. 故原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.
解答问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 法达到降次的目的，体现了　 　的数学思想. (2)利用上述材料中的方法解方程:(x2+3)2-4(x2+3)=0.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝-4，则这个方程为(　 　) A.(x－3)(x＋4)＝0 B.(x＋3)(x－4)＝0 C.(x＋3)(x＋4)＝0 D.(x－3)(x－4)＝0 【知识技能类作业】必做题： 2. 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　 　). A. x＝-1 B. x＝0 C. x＝2 D. x＝-1或x＝2 【知识技能类作业】选做题： 3.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为(　　). A．6 B．8 C．6或8 D．8或9 【知识技能类作业】选做题： 4. 解方程：（1）2x2－4＝7x； （2）(x－3)2＝(3x－1)2. 【综合拓展类作业】 5.甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得x(x-4)=x-4，······① 两边同除以(x-4)，得x=1. ······② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答.
答案：
引新
【思考】
直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？
直接开平方法
基本形式：x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)。
适用条件：方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数。若p<0，则方程无实数根。
因式分解法
基本形式：方程右边为0，左边为两个一次因式的乘积，即ax2+bx+c=0且左边能成功因式分解(如提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等)为(px+q)(mx+n)=0的形式。
适用条件：方程必须整理为一般式，且右边必须化为0，左边易于分解。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.方程2x=x(x-1)的解是( D ).
A. x=2
B. x=3
C. x1= 0， x2=2
D. x1= 0， x2=3
2. 用直接开方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( D )
A.x=3+2
B.x1=3+2,x2=3-2
C.x=3-2
D.x1=3+2,x2=3-2
3. 关于x的一元二次方程(2x-1)(x+m)=0有两个相等的实数根，则m的值为( D ).
A. 2 B. 1 C. -1 D.-
4. 解方程：(1)x2-2x=8；(2)(x+4)2=5(x+4);
解：(1)x2-2x=8
x2-2x+1=8+1
（x-1）2=9
∴x-1=±3，
∴x1= 4， x2=-2
解：(2)(x+4)2=5(x+4)
(x+4)2-5(x+4)=0
(x+4)(x+4-5)=0
(x+4)(x-1)=0
∴x+4=0或x-1=0
∴x1= -4， x2=1
【知识技能类作业】选做题：
5. 一元二次方程x2-25=0的解为( B ）.
A.x1=x2=5
B.x1=5，x2=-5
C.x1=x2=-5
D.x1=x2=25
6. 若方程(x-4)2=a有实数解，则a的取值范围是( B ).
A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定
7.阅读材料：为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，将原方程化为y2-3y=0①，解得y1=0，y2=3.
当y=0时，x2-1=0，x2=1，∴x=±1;
当y=3时，x2-1=3，x2=4，∴x=±2.
故原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.
解答问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用
　 换元 法达到降次的目的，体现了　 转化 　的数学思想.
(2)利用上述材料中的方法解方程:(x2+3)2-4(x2+3)=0.
解：设x2+3=y，将原方程化为y2-4y=0①，
解得y1=0，y2=4.
当y=0时，x2+3=0，x2=-3，∴方程无解;
当y=4时，x2+3=4，x2=1，∴x=±1.
故原方程的解为x1=1，x2=-1.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝-4，则这个方程为(　A 　)
A.(x－3)(x＋4)＝0 B.(x＋3)(x－4)＝0
C.(x＋3)(x＋4)＝0 D.(x－3)(x－4)＝0
【知识技能类作业】必做题：
2. 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　 D　).
A. x＝-1 B. x＝0 C. x＝2 D. x＝-1或x＝2
【知识技能类作业】选做题：
3.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为(　B　).
A．6 B．8 C．6或8 D．8或9
【知识技能类作业】选做题：
4. 解方程：（1）2x2－4＝7x； （2）(x－3)2＝(3x－1)2.
解：(1)2x2－4＝7x，
2x2－7x－4＝0，
(2x＋1)(x－4)＝0，
2x＋1＝0或x－4＝0，
解得x1＝－0.5，x2＝4；
（2）移项，得(x－3)2－(3x－1)2＝0，
因式分解，得(x-3-3x＋1)(x-3+3x-1)＝0，
即(－2x－2)(4x－4)＝0，
故－2x－2＝0或4x－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝1.
【综合拓展类作业】
5.甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下：
解：移项，得x(x-4)=x-4，······①
两边同除以(x-4)，得x=1. ······②
请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答.
解：甲同学的解法错误的原因：
甲同学未考虑x-4=0的情况，等式两边不能同时除以0，
正确解答：x(x-4)+4=x，
x(x-4)-(x-4)=0，
(x-4)(x-1)=0，
x-4=0或x-1=0，
解得x1＝1，x2＝4.
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