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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十一章
课标要求 1. 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。 2. 理解配方法的数学思想，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能解数字系数的一元二次方程。 3. 掌握一元二次方程根的判别式，能利用判别式判断方程实数根的情况（有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根）。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单的求值应用。 5. 能从实际情境、几何情境中抽象数量关系，列出一元二次方程求解，能根据实际意义检验方程解的合理性，舍去不合理解。 6. 在解方程与建模过程中，体会转化、降次、数形结合、分类讨论等数学思想，发展运算能力、模型观念、推理意识与应用意识。
内容分析 《一元二次方程》是华师大版九年级上册第21章内容，是初中阶段最后一类整式方程，是对七年级一元一次方程、八年级分式方程的延伸与提升。本章以“二次、整式、一元”为核心特征，将方程次数从一次提升到二次，是学生代数运算能力与方程建模能力的重要进阶。 本单元不仅是初中数学计算板块的重点与难点，也是后续学习二次函数、反比例函数、高中一元二次不等式、导数、解析几何的基础，同时在增长率、面积、利润、运动几何等实际问题中具有广泛应用，是中考必考核心单元。
学情分析 九年级学生已经熟练掌握一元一次方程、整式运算、因式分解、完全平方公式、平方根等知识，具备解方程的基本经验和代数变形能力，为本章学习奠定基础。但学生对“二次降为一次”的转化思想理解较浅，配方的恒等变形容易出错。九年级学生抽象思维、逻辑推理能力显著提升，能够接受复杂代数运算和结构化解题步骤，但机械运算多、理解性思考少，容易出现公式记错、符号出错、漏项等典型问题。同时九年级学生普遍存在：①忽略二次项系数不为零；②配方时常数项变形错误；③公式法代入符号出错；④因式分解法漏解；⑤实际问题不检验解的合理性。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程，熟练将方程化为一般形式，准确识别各项系数。 2. 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，能根据方程特点选择最优解法，熟练求解一元二次方程。 3. 理解根的判别式的意义，能利用判别式判断根的情况，能解决简单含参数根的存在性问题。 4. 了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单代数式求值。 5. 能根据实际问题、几何问题建立一元二次方程模型，求解并检验解的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 一元二次方程的概念辨析与一般形式转化。 2. 四种解法的熟练运用，能根据方程结构选择最简解法。 3. 根的判别式的理解与应用。 4. 建立一元二次方程模型解决实际问题。 难点 1. 掌握配方法的原理与完整步骤，理解配方的恒等变形思想。 2. 含参数一元二次方程中的隐含条件辨析与分类讨论。 3. 从复杂实际情境中抽象等量关系、准确列方程。 4. 结合实际背景检验、取舍方程的解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数21.1 认识一元二次方程一元二次方程的概念和一般形式121.2 一元二次方程的解法直接开平方法和因式分解法；配方法；公式法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根与系数的关系521.3实践与探索一元二次方程解决实际问题问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1 认识一元二次方程理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为标准形式。通过学习，能识别标准一元二次方程，完成基础变形。能熟练整理一般形式，准确写出各项系数。任务一：了解一元二次方程的概念. 任务二：能判断是否为一元二次方程，能化为一般形式. 21.2 一元二次方程的解法1.掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的基本步骤； 2.会用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.1.能正确解基础题型。 2.方法选择合理，步骤规范，无漏解。 3.能灵活变形后再用两种方法解题，纠错能力强.能用两种方法快速解方程；理解降次思想；因式分解法不漏解。1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能. 2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.1.能规范完成任意数字系数配方，步骤完整。 2.能解释配方原理，能利用配方求代数式最值。任务一：掌握完整配方步骤；理解配方恒等变形； 任务二：能对二次项系数不为1的方程配方。1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.1.能套用公式解方程，能判断基础根的情况。 2.代入准确、步骤规范，能根据说明根的三种情况。 熟记求根公式；准确代入符号；能用判别式判断根的情况；简单含参数判别式分析。1.掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系2.由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数1.能直接套用公式求值。 2.能进行简单变形后整体代入。 3.能结合判别式综合求值，严谨审题。熟记两根和、两根积公式； 会整体代入求值； 注意方程有根前提。 21.3实践与探索会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.1.能完成基础建模与求解。 2.等量关系准确，列式正确，能检验合理性。能读懂题意、找准等量关系、正确列方程、规范求解、检验取舍解。
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21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十一章
课题 21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 课时 1课时
课标要求 1. 能对非标准形式的一元二次方程进行合理变形，将方程转化为可直接开平方法、可因式分解的标准形式，熟练掌握变形技巧； 2. 深化理解直接开平方法、因式分解法的适用条件，能根据方程结构灵活选择变形方式与解题方法； 3. 进一步巩固一元二次方程降次转化的核心思想，将复杂二次方程转化为一元一次方程求解；4. 能规范完成变形、解题、检验全流程，解决综合性基础题型，提升代数运算能力、逻辑推理能力与灵活解题的应用意识，发展数学核心素养。
教材分析 本节课是华师大版九年级上册21.2.1直接开平方法和因式分解法的第二课时，是第一课时基础解法的延伸、深化与提升。第一课时学生掌握了标准平方型、简单可分解型一元二次方程的解法，本节课非标准、需变形化简的一元二次方程，是基础解法向综合解题过渡的关键课时。 教材核心编排逻辑：通过移项、合并同类项、系数化1、整体变形等代数变形技巧，打破学生只会解标准方程的局限。本节课所学的方程变形技巧，是后续配方法、公式法求解复杂方程的前置基础，也是学生形成灵活解题思维的重要铺垫，在整章一元二次方程求解体系中起到承上启下、提质培优的核心作用，有效完善学生解方程的知识体系与解题套路。
学情 分析 学生经过第一课时学习，已经掌握标准形式下直接开平方法、因式分解法的解题原理与基础步骤，理解降次转化思想，能熟练求解简单一元二次方程，掌握整式移项、合并同类项、系数化简等代数变形技能，具备本节课学习的前置基础。学生具备基础的方程运算与简单归纳能力，但思维较为固化，只会套用标准题型解题，面对需要先变形、再解题的复杂方程，缺乏观察、分析、转化的思维，无法自主选择合适的变形方式。
核心素养目标 1. 数学运算：熟练掌握一元二次方程移项、合并、系数化1、整体整理等变形技巧，规范完成复杂方程的变形与求解全过程，精准规避变形运算错误，提升代数运算的熟练度规范性。 2. 逻辑推理：经历“观察方程结构—选择变形方法—转化标准模型—降次求解”的完整过程，推理分析不同方程的最优变形思路，明晰方程变形的数学依据，培养严谨、有序的推理思维。 3. 模型观念：建立“复杂方程→变形化简→标准可解模型”的转化思维模型，能精准识别可开平、可分解的方程特征，形成系统化的一元二次方程求解模型。
教学重点 1. 掌握非标准一元二次方程的常用变形技巧：移项、合并同类项、系数化为1、整体整理； 2. 能通过合理变形，将复杂方程转化为可直接开平方法、可因式分解法求解的标准形式；
教学难点 1. 根据方程结构特征，精准判断变形方向，选择最优的变形与解题方法； 2. 规避方程变形过程中的符号、系数、运算错误，保证变形规范性；
教学 准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？ 直接开平方法 基本形式：x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)。 适用条件：方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数。若p<0，则方程无实数根。 因式分解法 基本形式：方程右边为0，左边为两个一次因式的乘积，即ax2+bx+c=0且左边能成功因式分解(如提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等)为(px+q)(mx+n)=0的形式。 适用条件：方程必须整理为一般式，且右边必须化为0，左边易于分解。 快速回顾旧知，准确回答两种解法的适用形式。 通过新旧题型对比制造认知冲突，衔接第一课时基础内容，自然引出本节课核心——方程变形，让学生理解学习变形技巧的必要性，激发探究欲望。
二、探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 【分析】两个方程都可以通过简单的变形，化为（ )2=a (a≥0)的形式，用直接开平方法求解. 解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2=4. 直接开平方，得 x+1=±2. 所以x1=1， x2=-3. 方法二解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2-22=0. 方程左边分解因式，得 （x+1+2）（x+1-2）=0. （x+3）（x-1）=0 所以x1=1， x2=-3. 解：(2)原方程可以变形为 ( 2-x )2= . 直接开平方，得 2-x =±. 所以x1=， x2= . 这个题目能用因式分解法吗？ 解：(2)原方程可以变形为( 2-x )2 - =0 . 方程左边分解因式，得（2-x+ （2-x- =0. 所以x1=1，x2=-3. 你觉得哪种方法更简单？ 总结归纳 解一元二次方程时观察方程结构，合理选择变形方式与解题方法： ①含整体平方、无复杂一次项，优先变形用直接开平方法； ②可整理为整式乘积型、含一次项，优先变形用因式分解法。 观察结构→判断变形方向→规范变形→选择方法→降次求解。 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 解：(1)原方程可以变形为x2= . 直接开平方，得 x=± . 所以x1=， x2= - . 解：(2)方程左边分解因式，得 （y-1）2-2（1-y）=0 . （y-1）（y-1+2）=0 （y-1）（y+1）=0 所以y1=1， y2=-1 . 【你知道吗？】 小明和小亮一起解方程：x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x - 6)=0. 所以 3x+2=0 或 x-6=0， 得x1= ，x2=6. 小亮的解法是这样的: 移项，得x(3x + 2)=6(3x + 2). 方程两边都除以3x+2，得x=6. 小亮说:“我的方法多简便!” 可另一个根x=哪里去了 小亮的解法对吗 你能解开这个谜吗 小亮的解法不全面，因为等式的性质2规定：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若除以的数为0，该运算无意义，等式不成立。 小亮得到x(3x+2)=6(3x+2)后，直接对等式两边同时除以3x+2，未验证3x+2是否等于0。 当3x+2=0时，3x+2是0，不能作为除数，因此该操作丟失了3x+2=0对应的解。 观察方程结构，跟随教师梳理变形步骤，理解变形依据； 自主完成例题的完整求解，规范书写变形、开方、求根全过程. 跟随教师完成复杂方程的去括号、移项、合并、分解全流程 熟记因式分解法的变形顺序，规避丢根、符号错误 自主观察方程结构，判断变形方式与解题方法； 独立完成综合例题求解，对比优化解题步骤. 由浅入深探究开平方法的变形技巧，分步拆解难点，让学生掌握“先变形、后开方”的解题逻辑，突破非标准平方型方程的解题难点，规范运算流程。 让学生掌握复杂方程的化简变形逻辑，深化因式分解法的应用条件，培养严谨的逻辑推理能力。 通过题型对比，突破本节课难点，培养学生观察分析、择优变形、灵活解题的能力，打破机械解题的固化思维，提升综合应用能力。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.方程2x=x(x-1)的解是( D ). A. x=2 B. x=3 C. x1= 0， x2=2 D. x1= 0， x2=3 2. 用直接开方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( D ) A.x=3+2 B.x1=3+2,x2=3-2 C.x=3-2 D.x1=3+2,x2=3-2 3. 关于x的一元二次方程(2x-1)(x+m)=0有两个相等的实数根，则m的值为( D ). A. 2 B. 1 C. -1 D.- 4. 解方程：(1)x2-2x=8；(2)(x+4)2=5(x+4); 解：(1)x2-2x=8 x2-2x+1=8+1 （x-1）2=9 ∴x-1=±3， ∴x1= 4， x2=-2 解：(2)(x+4)2=5(x+4) (x+4)2-5(x+4)=0 (x+4)(x+4-5)=0 (x+4)(x-1)=0 ∴x+4=0或x-1=0 ∴x1= -4， x2=1 【知识技能类作业】选做题： 5. 一元二次方程x2-25=0的解为( B ）. A.x1=x2=5 B.x1=5，x2=-5 C.x1=x2=-5 D.x1=x2=25 6. 若方程(x-4)2=a有实数解，则a的取值范围是( B ). A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定 7.阅读材料：为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，将原方程化为y2-3y=0①，解得y1=0，y2=3. 当y=0时，x2-1=0，x2=1，∴x=±1;
当y=3时，x2-1=3，x2=4，∴x=±2. 故原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.
解答问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 换元 法达到降次的目的，体现了　 转化 　的数学思想. (2)利用上述材料中的方法解方程:(x2+3)2-4(x2+3)=0. 解：设x2+3=y，将原方程化为y2-4y=0①， 解得y1=0，y2=4.
当y=0时，x2+3=0，x2=-3，∴方程无解;
当y=4时，x2+3=4，x2=1，∴x=±1.
故原方程的解为x1=1，x2=-1. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 1.开平方法变形：移项、系数化1、整体整理； 2.因式分解法变形：移项化0、去括号、合并化简； 3.核心思想：变形化简、降次转化； 4.解题原则：观察结构、择优解题。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） ① 直接开平方法. ② 因式分解法. ③ 例题讲解. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝-4，则这个方程为(　A 　) A.(x－3)(x＋4)＝0 B.(x＋3)(x－4)＝0 C.(x＋3)(x＋4)＝0 D.(x－3)(x－4)＝0 【知识技能类作业】必做题： 2. 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　 D　). A. x＝-1 B. x＝0 C. x＝2 D. x＝-1或x＝2 【知识技能类作业】选做题： 3.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为(　B　). A．6 B．8 C．6或8 D．8或9 【知识技能类作业】选做题： 4. 解方程：（1）2x2－4＝7x； （2）(x－3)2＝(3x－1)2. 解：(1)2x2－4＝7x， 2x2－7x－4＝0， (2x＋1)(x－4)＝0，
2x＋1＝0或x－4＝0， 解得x1＝－0.5，x2＝4； （2）移项，得(x－3)2－(3x－1)2＝0，
因式分解，得(x-3-3x＋1)(x-3+3x-1)＝0，
即(－2x－2)(4x－4)＝0，
故－2x－2＝0或4x－4＝0， ∴x1＝－1，x2＝1. 【综合拓展类作业】 5.甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得x(x-4)=x-4，······① 两边同除以(x-4)，得x=1. ······② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答. 解：甲同学的解法错误的原因： 甲同学未考虑x-4=0的情况，等式两边不能同时除以0， 正确解答：x(x-4)+4=x， x(x-4)-(x-4)=0， (x-4)(x-1)=0， x-4=0或x-1=0， 解得x1＝1，x2＝4.
教学反思 本节课课时定位精准，严格区分第一课时基础解法，聚焦“变形化简”核心，针对性解决复杂一元二次方程的求解问题，教学重难点突出，贴合教材编排梯度。2. 教学逻辑层层递进，从简单变形到复杂化简，从单一方法到择优解题，符合学生认知规律，有效帮助学生突破固化解题思维。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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