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分课时学案
课题 21.2.2 配方法解一元二次方程 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 数学运算：熟练掌握配方法六步解题流程，精准完成移项、系数化1、配方、开方、求解等运算，规避配方过程中符号、常数、等式不等变形等错误，提升代数运算的规范性与准确性。 2. 逻辑推理：经历配方规律的探究过程，推理归纳“配完全平方需要添加的常数项”的通用规律，理解等式恒等变形的依据，明晰降次转化的数学逻辑，培养严谨的代数推理思维。 3. 模型观念：建立“普通一元二次方程→配方变形→完全平方标准型→开平求解”的通用解题模型，能识别不同结构方程的配方方式，形成系统化解方程思维。
重点 1. 理解配方法的原理与本质；2. 掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤；3. 熟练运用配方法解常规一元二次方程。
难点 1.理解配方的核心规律：两边加一次项系数一半的平方； 2.掌握二次项系数不为1的方程的配方流程，规范先化系数为1再配方。
教学过程
导入新课 【思考】 1.完全平方公式是什么？ 2.什么样的方程可以用直接开平方法求解 观察方程x2-6x+5=0，该方程既不能直接开平方，也不易分解，我们应该怎样解这个方程呢？
新知讲解 【例】解方程：x2+2x=5. 【思考】要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为（ )2=a的形式，那么，怎么实现呢 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边变成一个含有未知数的完全平方式(右边是一个常数).那么，本题中，要把x2+2x=5的左边配成完全平方式，这个“适当的数”是什么呢 现在你会解这个方程了吗？ 总结归纳： 上面的解方程，是通过将方程简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 【做一做】添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式 x2+2x+___=(____)2 x2-2x+___=(____)2 x2+4x+___=(____)2 x2-4x+___=(____)2 x2+6x+___=(____)2 x2-6x+___=(____)2 x2+10x+___=(___)2 x2-10x+___=(_____)2 【思考】在用配方法解二次项系数是1的一元二次方程时，添上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？ 【例5】用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0. （2）4x2-12x-1=0 配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤： (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义,方程两边开平方; (4)求解：解一元一次方程; (5)定解：写出原方程的解. 二次项系数不是1怎么办？ 第2个方程的二次项系数不是1，但只要在方程的两边同除以二次项系数，就划归为我们已能求解的一元二次方程类型。 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤： 1.化1：把二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）； 2.移项：把常数项移到方程的右边； 3.配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4.变形：化成(x+m)2=a的形式 5.开平方，求解 【思考】小题(2)中，注意到42=(2x)2，方程移项后可以写成(2x)2-2·2x·3=1，此时可以怎样配方？试一试，并完成解答.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.填空 (1)x2－4x＋___＝(x－___)2； (2)x2＋7x＋ ＝(x＋________)2； (3)x2－ x＋________＝(x－____)2； (4)x2＋bx＋_____＝(x＋________)2. 2.把代数式2x2－4x－1化成a(x＋m)2＋k的形式为 ． A.2(x－2)2－3　 B.2(x－2)2－4 C.2(x－1)2－3 D.2(x－1)2－4 3. 用配方法解方程：x2＋6x＋4＝0. 解：将常数项移到方程右边， 得x2＋6x＝_____， 配方，得x2＋6x＋______＝－4＋______， 即(x＋______)2＝______， 由此得x1＝___，x2＝____． 4. 用配方法解方程x2－10x＋7＝0，配方后得到的方程为(　　) A．(x－5)2＝-7 B．(x＋5)2＝18 C．(x－5)2＝18 D．(x－5)2＝25 【知识技能类作业】选做题： 5. 用配方法解方程x2－8x－1＝0，若配方后结果为(x＋m)2＝17，则m的值为(　　) A．±4 B．4 C．-4 D．8 6. 用配方法解下列方程： (1)x2－4x＝3；(2)x2－x－4＝0. 【综合拓展类作业】 7. 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（　　） A．（x+2）2=3 B．（x+2）2=5 C．（x-2）2=3 D．（x-2）2=5 2. 用配方法解下列方程： (2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 【知识技能类作业】选做题： 3.在解方程3x2＋12x－7＝0时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，下列说法正确的是(　　). A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确 4. 若方程x2＋6x＋2＝0能配方成(x＋p)2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过的象限是(　　). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【综合拓展类作业】 5.李老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值，要求同学们运用所学知识进行解答，同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1. ∵(x+2)2>0，∴(x+2)2+1≥1. ∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 即x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. (1)直接写出(x-1)2+3的最小值为_______. (2)求代数式x2+10x+32的最小值.
答案：
引新
【思考】
1.完全平方公式是什么？
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2
2.什么样的方程可以用直接开平方法求解
形如x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)的方程，即方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数可以用直接开平方法求解.
观察方程x2-6x+5=0，该方程既不能直接开平方，也不易分解，我们应该怎样解这个方程呢？
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.填空
(1)x2－4x＋__4_＝(x－_2__)2；
(2)x2＋7x＋ ＝(x＋________)2；
(3)x2－ x＋________＝(x－____)2；
(4)x2＋bx＋_____＝(x＋________)2.
2.把代数式2x2－4x－1化成a(x＋m)2＋k的形式为 C ．
A.2(x－2)2－3　
B.2(x－2)2－4
C.2(x－1)2－3
D.2(x－1)2－4
3. 用配方法解方程：x2＋6x＋4＝0.
解：将常数项移到方程右边，
得x2＋6x＝__-4___，
配方，得x2＋6x＋___9___＝－4＋___9___，
即(x＋__3____)2＝___5___，
由此得x1＝___，x2＝____．
4. 用配方法解方程x2－10x＋7＝0，配方后得到的方程为(　C　)
A．(x－5)2＝-7
B．(x＋5)2＝18
C．(x－5)2＝18
D．(x－5)2＝25
【知识技能类作业】选做题：
5. 用配方法解方程x2－8x－1＝0，若配方后结果为(x＋m)2＝17，则m的值为(　C　)
A．±4 B．4 C．-4 D．8
6. 用配方法解下列方程：
(1)x2－4x＝3；(2)x2－x－4＝0.
解：（1）配方，得x2－4x＋4＝3＋4，
即(x－2)2＝7，
开平方，得x－2＝±，
解得x1＝2＋，x2＝2－.
解：（2）二次项系数化为1，得x2－4x－16＝0，
移项，得x2－4x＝16，
配方，得x2－4x＋4＝16＋4，即(x－2)2＝20，
解得x1＝2＋2，x2＝2－2.
【综合拓展类作业】
7. 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（　D　）
A．（x+2）2=3
B．（x+2）2=5
C．（x-2）2=3
D．（x-2）2=5
2. 用配方法解下列方程：
(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解：去括号，得4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，
移项、合并同类项，得x2－6x＝－8，
配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1，
开平方，得x－3＝±1，所以x1＝2，x2＝4.
【知识技能类作业】选做题：
3.在解方程3x2＋12x－7＝0时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，下列说法正确的是(　A　).
A．两人都正确
B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确
D．两人都不正确
4. 若方程x2＋6x＋2＝0能配方成(x＋p)2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过的象限是(　B　).
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【综合拓展类作业】
5.李老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值，要求同学们运用所学知识进行解答，同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1.
∵(x+2)2>0，∴(x+2)2+1≥1.
∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1.
即x2+4x+5的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题.
(1)直接写出(x-1)2+3的最小值为___3____.
(2)求代数式x2+10x+32的最小值.
解：x2+10x+32=x2+10x+52-52+32=(x+5)2+7，
∵(x+5)2≥0，∴(x+5)2+7≥7.
∴当(x+5)2=0时，(x+5)2+7的值最小，最小值为7，
即x2+10x+32的最小值为7.
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