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分课时学案
课题 21.2.3 公式法解一元二次方程 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 逻辑推理：经历求根公式的严谨推导过程，理解每一步字母变形的数学依据，感受从特殊到一般的推理过程，提升代数推理的严谨性与逻辑性。 2. 数学运算：熟练掌握“判式—代入—计算—化简”的公式法解题流程，精准确定带符号的a、b、c，规范公式运算与根式化简，全面提升复杂代数运算能力。 3. 模型观念：建立一元二次方程通用求解模型，理解判别式与根的对应关系，能通过模型快速判断根的情况、求解方程，形成系统化解题思维。
重点 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2. 掌握根的判别式的意义，能准确判断方程根的情况； 3. 熟练运用公式法解一元二次方程，掌握标准化解题步骤。
难点 1. 含字母一般形式一元二次方程的配方与公式推导； 2. 理解判别式与根的数量关系，规范“先判根、后解题”的解题逻辑。
教学过程
导入新课 【思考】怎样用配方法解一元二次方程？ 【思考】用配方法解关于x的方程: x2+px +q=0 (p2-4q≥0).
新知讲解 【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx +c=0 (a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 因为a≠0，所以4a2>0. 当b2-4ac≥0时，直接开平方，得 由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 将一元二次方程的系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 想一想：当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？ 当b2-4ac<0时，无意义， 所以方程没有实数根. 【例6】解下列方程： (1)2x2 +x -6=0；(2) x2 + 4x =2; (3) 5x2 -4x -12=0；(4)4x2+4x+10=1-8x. 总结归纳 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　). A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q>0 D．p2－4q<0 2. 当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　) A．-1 B．-3 C．2 D．17 3. 方程3x2－x＝4化为一般形式后，a，b，c的值分别为(　　) A．3，1，4 B．3，－1，－4 C．3，－4，－1 D．－1，3，－4 4. 用公式法解方程3x2＋2x＝1. 解：将方程化为一般形式，得 ， 因为a＝________，b＝______，c＝______， 所以b2－4ac＝________， 所以x＝＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 【知识技能类作业】选做题： 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； (2)3x2＋10x＋5＝0； 6.王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为 ． 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0. (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； (2)若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.解下列方程：①2x2- 18= 0；②2x2-12x-782= 0； ③3x2+10x+1=0；④2(5x-1)2=2(5x-1). 用较简便的方法依次是( ) A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 2. 方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是( ) A. a=-1，b=3，c=-1 B. a=-1，b=3，c=1 C. a=-1，b=-3，c=-1 D. a=1，b=-3，c=-1 【知识技能类作业】选做题： 3.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是( ) A.16 B.12 C.14 D.12或16 4. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程a2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立; 其中正确的( ）. A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 【综合拓展类作业】 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-3x)放入其中，得到一个新数为5，则x的值为多少？
答案：
引新
【思考】怎样用配方法解一元二次方程？
1.把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
2.把常数项移到方程的右边;
3.把方程的左边配成一个完全平方式;
4.利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；
5.解一元一次方程，求出方程的两个解。
【思考】用配方法解关于x的方程:
x2+px +q=0 (p2-4q≥0).
解：原方程可化为 x2+px=-q，
配方，得x2+px+ =-q+，即
∵ p2-4q≥0，∴
所以x1=，x2= .
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　A　).
A．p2－4q≥0
B．p2－4q≤0
C．p2－4q>0
D．p2－4q<0
2. 当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　D　)
A．-1 B．-3 C．2 D．17
3. 方程3x2－x＝4化为一般形式后，a，b，c的值分别为(　B　)
A．3，1，4 B．3，－1，－4
C．3，－4，－1 D．－1，3，－4
4. 用公式法解方程3x2＋2x＝1.
解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－1＝0，
因为a＝____3____，b＝__2____，c＝___1___，
所以b2－4ac＝___16_____，
所以x＝＝＝，
即x1＝________，x2＝_____-1___．
【知识技能类作业】选做题：
5. 用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－3＝0； (2)3x2＋10x＋5＝0；
解：(1)因为a＝1，b＝－3，c＝－3，
所以b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21>0，
所以x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝.
解：(2)因为a＝3，b＝10，c＝5，
所以b2－4ac＝102－4×3×5＝40>0，
所以x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝.
6.王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为x1＝-1，x2＝4．
【综合拓展类作业】
7. 已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0.
(1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
证明：由题意得，a＝1，b＝-(4m+1)，c＝3m2+m，
∴b2-4ac=[-(4m+1)]2-4(3m2+m)=4m2+4m+1=(2m+1)2
∵(2m+1)2≥0,
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.
(2)若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围.
解：解方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0得x1＝3m+1，x2＝m，
由题意得3m+1＞2,m<7 或3m+1＞7,m<2
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.解下列方程：①2x2- 18= 0；②2x2-12x-782= 0；
③3x2+10x+1=0；④2(5x-1)2=2(5x-1).
用较简便的方法依次是( A )
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法
D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
2. 方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是( A )
A. a=-1，b=3，c=-1
B. a=-1，b=3，c=1
C. a=-1，b=-3，c=-1
D. a=1，b=-3，c=-1
【知识技能类作业】选做题：
3.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是( A )
A.16 B.12 C.14 D.12或16
4. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程a2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立;
其中正确的( B ）.
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
【综合拓展类作业】
5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-3x)放入其中，得到一个新数为5，则x的值为多少？
解：根据题意，得 x2+6x+3=5，
即x2+6x-2=0，
∴a=1，b=6，c=-2，
∴b2－4ac=36-4×1×(-2)=44>0,
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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