资源简介

(共32张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程根的判别式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
熟练准确计算一元二次方程根的判别式，规范运算步骤，规避符号、平方、加减运算错误，提升代数运算的准确性与熟练度。
01
经历根的判别式规律的探究过程，理解判别式三种取值与根的数量的对应逻辑，掌握正向判断、反向推理的思维方法，培养严谨的分类讨论推理能力。
02
建立“系数→判别式→根的情况”的固定数学模型，能快速套用模型判断任意一元二次方程的根，形成系统化解题思维。
03
02
新知导入
【思考】根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何根据方程的特点选用的？
解一元二次方程主要有四种解法：
①直接开平方法；② 因式分解法；③配方法；④ 公式法
解方程时，优先观察方程形式，能直接开方或因式分解的优先使用（速度最快）；若无法快速分解或开方，则考虑配方法（适合系数简单的方程）或直接套用公式法（适合复杂或通用情况）。
02
新知导入
现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽.
x(x + 10) = 900，
x2+10x-900=0,
它们都是所列方程的根，但负数根x，不符合题意，应舍去.
取
x + 10 ≈35.4，符合题意.
因此绿地的长约为35.4m，
宽约为25.4m.
03
新知探究
探究
一元二次方程根的判别式
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得
03
新知探究
探究
一元二次方程根的判别式
【想一想】如果b2-4ac<0会怎么样？
当b2-4ac<0时， 无意义，
所以方程没有实数根.
也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
03
新知探究
(1)当b2-4ac>0时，方程 的右边是一个正数，
它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根
(2)当b2-4ac=0时，方程 的右边是0，
因此方程有两个相等的实数根：
03
新知探究
(3)当b2-4ac<0时，方程 的右边是是一个负数，
而对于任何实数x，方程左边 ，
因此方程没有实数根.
总结归纳
概括：
这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况:
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;
当Δ<0时，方程没有实数根.
03
新知探究
【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0.
解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0.
因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0，
所以方程有两个不相等的实数根.
计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.
03
新知探究
【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0.
解：(2)因为Δ=(-2)2- 4×4× =0，
所以方程有两个相等的实数根.
03
新知探究
【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0.
解：(3)因为Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0，
所以方程没有实数根.
03
新知探究
【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根
解：由题意可得Δ=[-(3+4k)]2 - 8(2k2+k)>0，
整理得16k+9>0，解得
03
新知探究
【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根
(3)当k取何值时，方程没有实数根
由题意得Δ=16k+9=0，解得
由题意得Δ=16k+9<0，解得
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 一元二次方程x2－5x＋2＝0的根的判别式的值是(　　).
A．33
B．23
C．17
D. 27
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 已知一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的判别式的值为 ，它 0(填“＞”“＜”或“＝”)，故这个方程根的情况为 ．
-3
<
没有实数根
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 一元二次方程x2＋4x＋5＝0的根的情况是(　　).
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A．x2－6x＝0
B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0
D．x2－6x＋9＝0
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0没有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　).
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　).
A．m≤4
B．m≥4
C．m≥－4且m≠2
D．m≤4且m≠2
D
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 已知关于x的方程(a－x)2－4(b－x)·(c－x)＝0.
(1)求证：此方程必有实数根；
证明：整理方程(a－x)2－4(b－x)(c－x)＝0，
得3x2－(4b＋4c－2a)x＋4bc－a2＝0.
Δ＝[－(4b＋4c－2a)]2－12(4bc－a2)＝16b2＋16c2＋16a2－16ab－16bc－16ac＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．
因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，　
所以Δ≥0.所以原方程必有实数根．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. (2)若a，b，c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形．
证明：因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，
即a＝b＝c.易知a，b，c均不为0，
所以△ABC为等边三角形．
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c时，b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况:
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;
当Δ<0时，方程没有实数根.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.关于x的方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a<0，b＋c>0，a＋c<0时， 方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根；
③当a>0，a＋b＋c<0时，方程一定没有实数根；
④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是________．
②
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.已知关于x的一元二次方程x2 -mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m -2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ).
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 已知关于x的一元二次方程c(1-x2)-2bx=a(1+x2)，其中a，b，c
分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
解：原方程可以化为(a+c)x2+2bx+a-c=0，∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(2b)2- 4(a+c)(a-c)=0，∴a2=b2+c2，
∴△ABC为直角三角形.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
证明：因为Δ＝(－m)2－4×1×(m－1)
＝m2－4m＋4
＝(m－2)2≥0，
所以无论m取何值，方程总有两个实数根．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0.
(2)若□ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，□ABCD是菱形？求出此时菱形的边长．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，即关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ ＝(m－2)2＝0，所以m＝2，所以原方程变为x2－2x＋1＝0，所以x1＝x2＝1，所以此时菱形的边长为1.
Thanks!
https://www. 21cnjy. com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑