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华师版 九年级 数学（上）
第23章　解直角三角形
23．3.1　锐角三角函数
第1课时　锐角三角函数
情景导入
提出问题：
(1)如何量化描述一个斜坡的“陡峭程度”？是看角度还是看高度？还是两者都要看？
(2)在直角三角形中，给定一个锐角，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边之间，是否存在固定的数量关系？
知识模块　锐角三角函数
自学互研
直角三角形的认识
A
B
C
1、对∠A来说，c为斜边，a为对边，
b为邻边.
a
b
c
2、对∠B来说，c为斜边，a为邻边，
b为对边.
自
探
主
究
1．在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝30°，如图①，a∶c＝____，b∶c＝____，a∶b＝____，b∶a＝____.
当三角形的边变大或变小时，上述结论是否发生变化？
2．如图②，在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝45°，a∶c＝____，b∶c＝____，a∶b＝____，b∶a＝____．
当三角形的边发生变化时，上述比值是否发生变化？
1
1
一般情况下，Rt△ABC中，当锐角A取一固定值时，∠A的对边与邻边的比值会是一个固定值吗
A
B
C
思考
由上图可知Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
A
B3
C3
B2
C2
B1
C1
探索
所以 ＝＝
由上可知，Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定值，其对边与邻边的比值都唯一确定.
同理，其对边与斜边和邻边与斜边的比值也唯一确定.
A
B3
C3
B2
C2
B1
C1
结论
因此，这几个比值都是锐角A的函数，分别记作sinA、cosA、tanA，即
它们分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切,统称为锐角A的三角函数.
＝＝ ,
＝＝ ,
＝＝ ,
锐角三角函数定义的应用
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
根据三角函数的定义，我们还可以得出
0sin2A + cos2A = 1
例1 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.
A
B
C
解：AB＝＝ ＝ 17,
＝＝ ,
＝＝ ,
＝＝ .
合
探
作
究
仿例：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sin B，cos C，tan B的值．
解：过点A作AD⊥BC于D，
A
B
C
D
则∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝8，
A
B
C
D
∴sin B＝＝＝，
cos C＝＝＝，
tan B＝＝＝.
变例：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sin B＝，求菱形的周长．
解：∵AE⊥BC，sin B＝＝，
∴设AE＝5x，AB＝13x，
∴BE＝＝12x.
∵EC＝1，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，即12x＋1＝13x，
∴x＝1，
∴AB＝13，
∴菱形的周长为13×4＝52.
课堂小结
A
B
C
a
b
c
0sin2A + cos2A = 1
1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：
∠P的对边是____，∠P的邻边是____；
∠M的对边是____，∠M的邻边是____；
MN
P
N
M
PN
NP
MN
随堂练习
2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，ED=6.试求出∠D的三个三角函数值.
E
D
C
解：CE＝＝ ＝ 8，
sin ＝＝＝，
cos ＝＝＝，
tan ＝＝＝.
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值:
(1)a=3，b=4； (2)a=5，c=13.
A
B
C
a
b
c
解：(1) c ＝＝ ＝ 5，
sin ＝＝，
cos＝＝，
tan＝＝.
A
B
C
a
b
c
(2)b＝＝ ＝ 12，
sin ＝＝，
cos＝＝，
tan＝＝.
A
B
C
a
b
c

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