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华师版 九年级 数学（上）
第23章　解直角三角形
23．2　直角三角形的性质
情景导入
问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？
问题：2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为______．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝______，∠B＝______．
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有_______________，与∠A相等的角有________，与∠B相等的角有________．
38°
60°
30°
∠A，∠BCD
∠BCD
∠DCA
(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？
解：斜边的长为10.
回忆
归纳已经学过的直角三角形的性质.
(1)直角三角形的两个锐角互余.
(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与直角三角形有关的问题.
知识模块一　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
自学互研
例1 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
A
B
C
如图，作斜边AB上的中线CD，
则CD=AB=AD=BD.(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
A
B
C
D
证明
∴BC=BD= AB.
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD是等边三角形.
由此可知：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
自
探
主
究
画出Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.
A
B
C
D
发 现
CD恰好是AB的一半.
合
探
作
究
范例：已知△ABC中，BE，CF是高，M为BC的中点，连接EM，FM，求证：EM＝FM.
证明：∵BE，CF是高，M为BC的中点，
∴EM＝BC，FM＝BC.
∴EM＝FM.
仿例：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，E为AB的中点，连接DE，求证：BE＝DE.
证明：∵在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，
∴BD⊥AC.
又∵E是AB边的中点，
∴BE＝AB，DE＝AB.
∴BE＝DE.
例2 如图，折叠矩形的一边AD使点D落BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求CF、CE的长.
知识模块二　30°角所对的直角边等于斜边的一半
自学互研
A
B
C
D
E
F
解 由折叠可得:EF=DE，AF=AD=BC=10.
在Rt△ABF中，AB=8，AF=10， 则
BF= =6，
∴CF= 10－6 =4(cm).
设CE=x，则EF=DE=8－x.
解得x＝3.
∴CE=3cm.
A
B
C
D
E
F
∴在Rt△CEF中，(8－x)2=42+x2，
合
探
作
究
范例：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，若BD＝1，则AB的长为 ( )
A．2 B．4
C．5 D．6
B
仿例：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠C＝2∠B，AC＝5，则BC的长为 ____.
10
知识模块三　勾股定理及其逆定理
自学互研
动手操作：发给每位学生一张矩形纸片，让其折叠一次，观察重叠部分，思考折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有变？
不变：形状、大小(全等)、对应边、对应角．
变化：位置．
折叠即轴对称．折痕是对称轴，折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分．
利用勾股定理解决折叠问题的五个步骤：
(1)设：设所求线段长为未知数(如x)．
(2)标：在图形上标出所有已知线段长和用x表示的线段长．
(3)找：寻找一个包含x(或与x相关的线段)的直角三角
形．这通常是解题的关键．
(4)列：在这个直角三角形中，利用勾股定理列出方程．
(5)解：解方程，并检验结果的合理性(是否符合三角形三边关系、实际图形长度)．
合
探
作
究
范例：如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知该纸片宽AB＝6 cm，长AD＝10 cm，求EC的长．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴BC＝AD＝10 cm，CD＝AB＝6 cm，∠B＝∠C＝90°.
由折叠得AF＝AD＝10 cm，FE＝DE＝CD－CE＝6－EC.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF＝＝ ＝8(cm).
∴CF＝BC－BF＝10－8＝2(cm).
∵CF2＋EC2＝FE2，
∴22＋EC2＝(6－EC)2.
∴EC＝.
∴EC的长是 cm.
仿例：如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，现将△ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为 ( )
A．1 cm B．2 cm
C． cm D． cm
C
课堂小结
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线.
随堂练习
1.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和 cm.求斜边上中线的长.
解:设斜边长为x，则
x2=12+( )2
x2=4
解得x = 2
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，斜边上中线的长为1cm.
2.如图，在A岛周围20nmile水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30 nmile.该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗
解:在Rt△AOD中,∠AOD=30°，AO=30海里，
∴AD= AO=×30≈25.98(海里).
∵25.98>20,
∴该船如果不改变航向，没有触暗礁的危险.
3.如图是某商店自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6m.你能算出自动扶梯AB的长吗
解:在Rt△ABC中，∠BAC=30°， BC=6米，
∴AB=2BC=2×6=12(米).
答:自动扶梯AB的长为12米.
4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC＝6cm，BC=8cm,现将锐角B折叠，使点B与点A重合，DE是折痕，求CD的长.
A
B
C
D
E
解:由题意得DB=AD;
设CD=x cm,则AD=DB= (8-x) cm,
∵∠C=90°,
∴在Rt△ACD中，
根据勾股定理得:AD2－CD2=AC2，
即(8－x)2 －x2=36，
解得x =；
即CD = cm .
A
B
C
D
E

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