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(共24张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第23章　解直角三角形
23．4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形及其简单应用
情景导入
①测量金字塔高度(泰勒斯)的故事图片；
②工程图纸中的斜面设计．
这些古老而现代的问题，我们能否用刚学的锐角三角函数来解决？
知识模块一　解直角三角形
自学互研
三边之间关系
锐角之间关系
边角之间关系 (以锐角A为例)
a2+b2=c2(勾股定理)
∠A+∠B=90
直角三角形的有关性质及边角关系.
回忆
＝ ,
＝ ,
＝ .
例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12 m处，
问：大树在折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为
＝13，
13+5=18(m).
答：大树在折断之前高18m.
本题是已知两
直角边，求斜边.
1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形 ；
3、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。
2、在解决实际问题时，应“先画图，再求解”；
总结归纳
合
探
作
究
范例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，求这个三角形的其他元素．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，
∴tan A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∴AB＝2AC＝4，即∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝4.
仿例：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为a，b，c，
且a＝，b＝，
求c，∠A，∠B的大小．
解：在Rt△ABC中，∠C为直角，a＝，b＝，
∴c＝ ＝2.
∴sin A＝＝.
∴∠A＝60°，∠B＝30°.
变例：在△ABC中，∠C＝90°，b＋c＝24，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．
解：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠A－∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°.
∴c＝2b.
∵b＋c＝24，
∴3b＝24.
∴b＝8.
∴c＝16.
∴a＝8.
知识模块二　解直角三角形的简单应用
自学互研
例2 如图，在相距2000 m的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与A、B两炮台的距离.(精确到1 m).
解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=90°－∠DAC=50°，
＝，
∴BC = AB×tan∠CAB
=2000×tan50°≈2384(m).
∴AC＝ ＝
∵ ＝ ,
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111 m和2384 m.
本题是已知一边、一锐角，求其他两边。
A
B
C
合
探
作
究
范例：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝，求AC的长．
D
解：过点B作BD⊥AC于D，
∵∠C＝45°，BD⊥CD，
∴tan C＝＝1，
∴BD＝CD.
又∵BD2＋CD2＝BC2＝()2，
∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°，
∴AD＝＝＝，
∴AC＝AD＋CD＝＋1.
A
B
C
D
仿例：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求tan C的值．
A
B
C
D
解：过点A作AD⊥BC于D.
∵BC＝14，S△ABC＝84，
∴AD＝12.
∴BD＝＝9.
∴CD＝5.
∴tan C＝＝.
变例：如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400 m，∠D＝30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一条直线上？(≈1.732，结果精确到1 m)
解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠AED＝120°－30°＝90°.
在Rt△BDE中，BD＝400 m，∠D＝30°，
∴BE＝BD＝200 m.
∴DE＝＝200≈346(m).
答：另一边开挖点E离D 346 m，正好使A，C，E三点在一条直线上．
解直角三形，只有下面两种情况：
(1)已知两条边；
(2)已知一条边和一个锐角.
根据三角形全等的判定，由于已知一个角是直角，所以在以上两种情况下，对应的直角三角形唯一确定.因此，可以求出其他元素.
总结归纳
课堂小结
1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.
2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.
3.解直角三角形的方法.
随堂练习
1.在电线杆离地面8 m高处向地面拉一条缆绳，缆绳和地面成53°7′角，求该缆绳的长及缆绳地面固定点到电线杆底部的距离.(精确到0.1米)
解：由题意可得右图直角三角形
8m
53°7′
A
C
B
∴AC＝＝＝(m)，
∴A＝＝＝(m)，
即缆绳长10.0m，缆绳地面固定点到电线杆底部的距离为6.0m.
2.海船以32.6 kn 的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，画出相应的图形，并计算灯塔Q到B处的距离(精确到0.1n mile).
解：由题意得Rt△ABQ如右图
A
Q
B
30°
AB=32.6×0.5=16.3(n mile)
设BQ为x n mile，则AQ=2x n mile.
x2+16.32=(2x)2
解得x ≈ 9.4
即灯塔Q到B的距离为9.4 n mile.

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