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(共24张PPT)
华师版 九年级 数学（上）
第23章　解直角三角形
23．4　解直角三角形
第3课时　与坡度、坡角有关的解直角三角形的应用
情景导入
问题：
1：这些“1∶12”“7%”“30°”的数字表示什么？
2：你觉得哪个更陡？为什么？
3：如何用数学语言精确描述“陡”的程度？
知识模块　坡比、坡角与解直角三角形
自学互研
如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比)，记作i，即i = .
坡度通常写成1:m的形式，如i=1:6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
有i==tanα.
坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
例4 如图，一段路基的横断面是梯形，高为
4.2 m ，上底的宽为12.51 m，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1 m)
32°
28°
12.51米
4.2米
A
B
C
D
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.
32°
28°
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
由题意可知DE=CF=4.2，EF=CD=12.51.
在Rt△ADE中，∵ ＝ ＝ ，
∴ AE＝ ≈6.72 .
32°
28°
12.51米
4.2米
A
B
C
D
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
BF＝ ≈7.90 .
∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(m).
答：路基下底的宽约为27.1 m.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
总结归纳
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
合
探
作
究
范例：如图，为消除淮河灾害，某市水利部门修建了横断面是梯形的淮河大坝，坝顶宽6 m，坝高BE＝CF＝20 m，斜坡AB的坡角∠A＝30°，斜坡CD的坡度i＝1∶3 (坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)．求坝底AD的宽．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：根据题意，得BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝6 m．
∵BE＝CF＝20 m，斜坡CD的坡度i为1∶3.
在Rt△CDF中， ∵＝，
∴DF＝60 m．
在Rt△ABE中，∠A＝30°，
∴tan A＝＝.
∴AE＝＝BE＝20 m．
∴AD＝AE＋EF＋DF＝20＋6＋60＝(66＋20)m≈101 m．
答：坝底AD的宽约为101 m．
仿例：如图，架在消防车上的云梯AB的坡比为1∶0.6.已知云梯AB的长为16 m，云梯底部离地面1.5 m(即BC＝1.5 m)，求云梯顶端离地面的距离AE.
解：设AD＝x m．
∵云梯AB的坡比为1∶0.6，
∴DB＝0.6 x m．
由勾股定理，得x2＋(0.6x)2＝162，解得
x＝，
∴AE＝AD＋DE＝＋.
答：云梯顶端离地面的距离AE为(＋)m.
变例：如图，斜坡AC的坡度为1∶，AC＝10 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14 m，试求旗杆BC的高度．
B
C
D
A
解：延长BC交AD于点E.
B
C
D
A
E
由题意知BE⊥AD，
在Rt△AEC中，tan ∠EAC＝1∶＝，
∴∠EAC＝30°，
∴CE＝AC＝×10＝5(m)，
∴AE＝ ＝5 m.
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
∴(5)2＋(BC＋5)2＝142，
∴BC＝6.
答：旗杆BC的高度是6 m．
B
C
D
A
E
课堂小结
= tanα
随堂练习
1.已知一坡面的坡度i=1∶，则坡角α为( )
A.15° B.20°
C.30° D.45°
C
2.彬彬沿坡度为1∶的坡面向上走50米，则他离地面的高度为( )
A.25米 B.50米
C.25米 D.50米
C
3.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽为6.2 m，坝高为23.5 m ，斜坡AB的坡度i1=1:3，斜坡CD的长度i2=1:2.5.求：
(1)斜坡AB与坝底AD的长度(精确到0.1 m)；
(2)斜坡CD的坡角α(精确到1°).
B
C
A
D
α
解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD.
则BE=CF=23.5 m.
E
F
B
C
A
D
α
∵i1=1:3=
∴AE=3BE=23.5×3=70.5 m.
∴AB=BE=23.5 ≈74.3 m.
同理FD=2.5CF=2.5×23.5=58.75 m.
∴AD=AE+EF+FD=70.5+58.75+6.2≈135.5 m.
E
F
B
C
A
D
α
(2)tanα=1:2.5=0.4
∴α = 22°

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