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2025-2026学年高一数学第二学期期末调研试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数为3，方差为5 B. 平均数为4，方差为11
C. 平均数为4，方差为12 D. 平均数为3，方差为12
3. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正五边形内接于半径为2的圆，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列关于统计量的说法正确的有（ ）
A. 一组数据的众数唯一 B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第60百分位数唯一 D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B.
C. ，，使得 D. 的最大值为
11. 如图，正四棱台的上、下底面中心分别为 ，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 若为线段上的一动点，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知事件A，B相互独立，且，则_______．
13. 在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为_______．
14. 在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16. 如图，正方体中，．
（1）若点为棱的中点，求证：平面平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．
17. 某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）：
使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上
频率 0.1 a 0.3 b c
（1）求条形图中的频数m，n；
（2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；
（3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求的值；
（2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．
①若，求角的大小；
②求面积的最大值．
19. 如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用两角差正弦公式计算求解.
【详解】.
2. 若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数为3，方差为5 B. 平均数为4，方差为11
C. 平均数为4，方差为12 D. 平均数为3，方差为12
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义列式求解.
【详解】由一组数据的平均数为2，方差为3，得，
因此数据，，的平均数为，
方差为.
3. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，
已知，则，
在上单调递减，故，
即，
．
4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，
，
在方向上的投影向量为：．
5. 已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】应用线面平行判断A，应用线面垂直判断D，应用面面平行判定B，应用面面垂直判定定理判断C.
【详解】若，，则可能在内，A选项错误；
当，，不在内，不在内，满足，，但是不平行，B选项错误；
若，则存在，又因为，所以，，则，C选项正确；
若，不在内，不在内，满足，但是，D选项错误.
6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，利用正，余弦定理计算即可.
【详解】由题意知，，
在中，由余弦定理可知
，
所以.
又由正弦定理可知，即，
所以.
7. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解.
【详解】由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为，
令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，，
由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆，
由正弦定理，球的半径等于.
8. 已知正五边形内接于半径为2的圆，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积公式结合正五边形圆心角性质求解.
【详解】由题意可知，正五边形内接于圆，
圆心角，，
因为，
，
而，故，
令，即，同时除以，
即，因为代入上式得，
解得，因为，所以，故，
.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列关于统计量的说法正确的有（ ）
A. 一组数据的众数唯一 B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第60百分位数唯一 D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
【答案】BC
【解析】
【分析】根据众数、平均数、百分位数和方差的概念判断即可.
【详解】选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数据值，可能有多个，故A错误；
选项B：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，故只有一个，B正确；
选项C：一组数据的60百分位数是唯一的，当为整数时，
60百分位数是第项和第项数据的平均值，当不为整数时，
向上取整后的位置唯一，对应数据唯一，C正确；
选项D：方差是衡量数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大，D错误.
10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B.
C. ，，使得 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可.
【详解】已知，，，
由于，，
所以，
化简得，即，
对于A，若，则，，
由于，所以，解得，故A正确；
对于B，由前面的推导可知，故B正确；
对于C，假设存在，使得，代入等式，即，
由于，
所以，解得，由于，，矛盾，
因此不存在，使得，故C错误；
对于D，由于，所以，
由于，，所以，
根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号，
所以，即的最大值为，故D正确.
11. 如图，正四棱台的上、下底面中心分别为 ，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 若为线段上的一动点，则的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正四棱台的性质及面面垂直的判定和性质即可判断A；根据面面平行的判定及性质即可判断B；根据二面角平面角的定义即可判断C；根据正四棱台的性质，余弦定理即可判断D．
【详解】对于A，由正四棱台得，平面，底面为正方形，则，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
由正四棱台得，，则，
又，所以，
又点是中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，故B正确；
对于C，取中点，连接，则，，
过点作底面，垂足为，则，
二面角的平面角即为，
由题可知，，，
所以，
所以二面角的大小不为，故C错误；
对于D，，则，
在等腰梯形中，过点作，垂足为，则，
在中，，
在中，，
所以，
在等腰梯形中，过点作，垂足为，
已知，，，
，所以，
所以，
在中，，
则，
所以，
由题得，将展开在同一平面，则点关于对称，当点共线时，最小，如图所示，此时，，
在中，，
所以，
所以的最小值为，故D错误．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知事件A，B相互独立，且，则_______．
【答案】0.16
【解析】
【分析】根据对立事件及相互独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】因为事件A，B相互独立，所以事件也相互独立.
因为，所以
所以.
13. 在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【详解】由，可知E在线段上，且，
在平行四边形中，，
由，
结合已知，
得，故.
14. 在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理求解，先求解，再取倒数.
【详解】设，
由，故 ，
在由正弦定理得，在由正弦定理得，
，可得，
分别在 ，，由正弦定理得，所以，
同理可得，
所以
，
在中，由正弦定理，得
，
所以，
所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线建立方程，再根据三角恒等变换化简求值；
（2）结合同角三角函数基本关系式求解，，再根据两角差的正弦展开公式求解.
【小问1详解】
，，且，
，
即，整理得，
所以；
【小问2详解】
由，，可得，即，
则，解得，，
，，则，
，
．
16. 如图，正方体中，．
（1）若点为棱的中点，求证：平面平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．
【答案】（1）如图，连接，，．
正方体，
四边形为正方形，平面，平面，
且，平面，，
平面.
，平面，.
设正方体的棱长为2，则，，，
由勾股定理得，，，
，.
（方法一），平面，，平面，
平面平面平面.
（方法二）由得二面角的大小为，
所以平面平面.
（2）如图，连接，过点作交于，
则为平面与正方体上表面的交线．
正方体，
平面平面，且，
∴四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，
，
.
【解析】
【分析】（1）连接，，，根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理及勾股定理得，（方法一）利用线面垂直判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（方法二）利用二面角平面角为证明面面垂直．
（2）过点作交于，利用面面平行的性质定理证明即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
17. 某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）：
使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上
频率 0.1 a 0.3 b c
（1）求条形图中的频数m，n；
（2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；
（3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率计算频数即可；
（2）先利用分层抽样求得使用自行车1次的居民有人，使用2次的居民人，然后利用古典概型概率公式求解即可；
（3）根据分层方差公式求解即可.
【小问1详解】
由题意，总人数为50，0次频数：；
2次频数：；3次频数：；4次及以上频数：3；
所以1次频数：；
【小问2详解】
用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有人，记为，，
使用2次的居民有人，记为，，．
记“2人使用次数不同”为事件，
样本点表示“抽取的两人为，”，
则样本空间：
，共10种，
其中，共6种，
所以，；
【小问3详解】
记30名男性样本为，平均数为，方差为；
记20名女性样本为，平均数为，方差为；
所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为50．
（次），
则
.
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求的值；
（2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．
①若，求角的大小；
②求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1），先对已知边角关系式子变形，因为式子同时有边和角的余弦，所以用正弦定理将边转化为对应角的正弦，再利用三角恒等变换化简，结合三角形内角和定理，得到边的比例关系，求出的值；
（2）①由（1）得，结合为的中点，得，利用正弦定理推出，结合，求得，，设，，利用余弦定理即可求解；
②根据推出， ，可得，从而推出；继而求出的表达式，利用三角恒等变换以及基本不等式求出其最值，即可求得答案.
【小问1详解】
由，利用正弦定理得，
可得，
则，即，由正弦定理得，；
【小问2详解】
①由（1）得，由题意知为的中点，故，即，
，，
由于角的平分线交于，故，而，
可得，结合，可得，，
不妨设，，
在中，由余弦定理可得，，
即，
在中，,
即，和联立，得，
则,
在中，，，则；
②在中，不妨设，，，，
得到，
可得，即，
同理在中，，所以，
则，，
而，
即，，
故，
由于，，故，则，
故，即，
当且仅当取得等号，则最大值为．
19. 如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）延长交于，连接．
，，，
，，
∵点为等边的重心，，为的中点，
，平面，，
平面，即平面；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合线面垂直判定定理证明；
（2）把三棱锥的体积分割为两部分根据锥体的体积公式结合条件求解即得；
（3）先找到线面所成的角，再建立方程求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
∵正三角形中，，，，
，
，，，
，，
；
【小问3详解】
作于，连接．
平面，平面，，
，平面，，平面，
，，
，
与所成角的正弦值为，且，
，，
过点作交于，所以与所成角的正弦值为．
，，即．

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