资源简介

小学教育资源及组卷应用平台
第十讲方程与函数（专题精讲+压轴真题全解含答案）初中数学培优与竞赛
方程与函数是初中代数的终极核心、竞赛压轴天花板，也是衔接初等数学与高中变量数学的关键枢纽.
中考层面仅考查：解方程、求函数解析式、读图求值、简单最值；而培优、自招、初中联赛全部围绕「方程与函数的双向转化」命题：含参讨论、零点分布、恒成立、动态最值、构造方程、数形结合、变中寻定.
本专题构建完整竞赛级知识体系，打通方程与函数的壁垒，实现从“静态计算”到“动态建模”的思维跃迁，配套母题、易错纠错、秒杀口诀、高阶压轴真题，可直接用于竞赛冲刺与自招拔高.
一、核心思想：方程与函数双向转化（竞赛唯一底层逻辑）
方程与函数本质是同一代数结构的两种视角，竞赛所有难题均源于双向互化：
函数视角：动态整体、变化规律、图像趋势、最值范围
方程视角：静态定点、零点交点、等量约束、存在判定
竞赛核心八字真言：以函观方、以方定函
函数零点 对应方程的实数根
函数交点 联立方程组的公共解
函数最值 方程有解的参数约束
恒成立问题 方程恒有解、判别式、边界锁定
思维本质：中考算“结果”，竞赛研“关系”；中考解方程，竞赛造方程、控参数、控范围.
二、体系对比：中考基础体系 VS 培优竞赛体系
1. 中考体系（静态、固定、唯一）
方程：系数固定、求解唯一、无参数、无讨论
函数：求解析式、读图、求值、简单增减性
综合：函数图像与方程简单对应，无动态分析
思维：常量计算、结果唯一、无需建模
2. 竞赛体系（动态、参数、多解、建模）
方程：含参方程、整数根、存在性、无解/多解分类讨论
函数：含参动函数、动态零点、区间最值、定点定值
综合：方程构造、韦达整体代换、函数约束方程、恒成立问题
思维：变量建模、数形互化、变中找不变、参数锁范围
三、四大思维转型考点（从中考到竞赛的满分跃迁）
转型1：从“被动解方程”到“主动构造方程”
中考只考给定方程求解；竞赛考无方程造方程：对称式、同构式、双变量约束，构造一元二次方程，用韦达、判别式秒杀最值与范围.
转型2：从“固定函数”到“含参动态函数”
竞赛函数全部带参数，参数变动带动图像平移、旋转、伸缩，衍生零点个数、交点位置、区间最值、恒成立压轴题型.
转型3：从“单一求解”到“数形双向约束”
不再单独算方程、读函数，而是代数约束几何、几何限制代数：图像位置锁定参数范围、方程根的分布锁定函数趋势.
转型4：从“求最值”到“恒成立+存在性高阶判定”
中考只求具体最值；竞赛重点区分：存在性问题、恒成立问题，是联赛、自招高频压轴难点.
四、竞赛四大必考模型（全覆盖方程函数压轴）
模型一：零点方程模型（最基础、最高频）
模型口诀：函数零点即方程根，图像穿轴即实数解.
核心结论： 的零点 的实数根.
竞赛考法：含参函数零点个数、根的正负、整数根、根的区间分布.
模型二：构造韦达模型（联赛核心）
模型特征：双变量对称结构、和积结构、高次代数式.
解题套路：设和设积、构造二次方程、韦达整体代换、判别式锁范围，不解单值、只求关系.
模型三：参数判别式模型（含参压轴通用）
模型特征：含参方程、动函数、存在实数根、有交点.
解题套路：将函数问题回归方程，用 判定有无实根，锁定参数取值范围.
模型四：区间最值与恒成立模型（自招压轴）
模型特征：自变量有范围、函数带参数、恒大于/恒小于、存在最值.
解题套路：定区间、判单调性、找边界最值、转化为不等式恒成立求解参数.
五、培优经典例题（模型示范+满分解析）
例题1（零点方程模型）
已知一次函数 ，求其零点，并说明与方程的关系.
解析：令，即解方程 ，得 .
函数零点为 ，对应直线与x轴交点横坐标，完美体现函数与方程互通关系.
答案：零点为3
例题2（构造韦达模型）
已知实数 满足 ，求 .
解析：完全平方结构转化：.
代入得：.
答案：6
思维点拨：对称结构优先和积转化，无需单独求 .
例题3（判别式参数模型）
已知函数 与x轴有交点，求 的取值范围.
解析：函数与x轴有交点 方程 有实根.
.
例题4（恒成立进阶模型）
求证：对任意实数 ，代数式 恒大于0.
解析：配方得：.
由平方非负：，故原式 ，恒成立.
结论：恒大于0
六、培优进阶经典例题（梯度拔高·竞赛必考）
在原有基础例题之上，补充中考压轴、自招、联赛高频经典例题，涵盖方程构造、整数根问题、参数最值、数形约束、存在性问题等核心难点，每题配套标准解析、易错提醒、竞赛思维点拨，层层递进适配培优竞赛拔高需求.
例题5（含参整数根·自招高频）
题目：已知关于的一元二次方程的根为整数，求整数的所有取值.
解析：对原方程因式分解得：，解得方程两根.
题目要求方程根为整数，已知为整数，只需保证参数为整数即可满足条件.
答案：所有整数均符合条件
易错提醒：竞赛中整数根问题切勿盲目用判别式计算，优先因式分解简化求解，避免复杂运算出错.
思维点拨：含参整根核心思路：能分解则分解，利用根的表达式直接约束参数，是联赛基础高频题型.
例题6（同构构造方程·联赛核心）
题目：已知实数，且满足，求与的值.
解析：观察结构可得：是一元二次方程的两个不相等实数根.
根据韦达定理直接得：.
答案：
易错提醒：切勿分别解方程求出具体值再计算，繁琐且易计算失误，违背竞赛整体思维.
思维点拨：同构等式优先构造公共方程，利用韦达定理整体代换，是方程与函数综合的核心解题套路.
例题7（二次函数区间最值·培优压轴）
题目：求二次函数在范围内的最大值与最小值.
解析：先配方整理函数：，抛物线开口向下，对称轴为直线，且对称轴在区间内.
顶点处取最大值：当时，；
比较区间端点数值：时，；时，.
因此区间最小值为.
答案：最大值3，最小值-1
易错提醒：开口向下的函数，区间最值不能只看顶点，必须对比区间两端点数值，极易漏判最小值.
思维点拨：区间最值通用步骤：定开口、找对称轴、判轴位、比端点、定最值.
例题8（参数存在性·自招拔高）
题目：已知函数，若函数图像与x轴有两个不同交点，求实数的取值范围.
解析：函数与x轴有两个不同交点，等价于对应一元二次方程有两个不相等的实数根.
故判别式，计算得：
化简：，因式分解得
解得：或.
答案：或
易错提醒：两个不同交点必须严格满足，不可取等号，避免混淆“两个交点”与“至少一个交点”.
思维点拨：函数图像交点个数问题，全部转化为方程根的个数问题，用判别式秒杀，数形互化是核心.
例题9（恒成立综合·竞赛难点）
题目：求证：无论取何实数，代数式恒为正数.
解析：配方法变形：
由平方非负性可知：，则，
故，原式恒正.
结论：代数式恒为正数
易错提醒：含系数二次式配方时，切勿遗漏二次系数，导致配方错误、恒成立判定失误.
思维点拨：整式恒正/恒负问题，优先配方法，无需判别式即可快速判定，简洁且不易出错.
易错1：混淆函数零点与交点坐标
错误表现：将零点写成点坐标 ，零点本质是横坐标数值.
错因：数形概念混淆，不会严格区分“数”与“形”.
解决方法：零点是方程的根（数值），交点是几何位置（坐标）.
易错2：含参方程不分类讨论
错误表现：看到含参方程直接除系数，忽略系数为0的特殊情况，漏解、错解.
典型错题：解方程 ，直接得 .
正解： 唯一解； 无解.
解决方法：含参必先讨论系数是否为0.
易错3：函数最值忽略自变量区间
错误表现：二次函数直接取顶点最值，忽略题目给定 范围，求出虚假最值.
解决方法：区间最值先看对称轴是否在区间内，再判定最值位置.
易错4：恒成立与存在性概念混淆
错误表现：“恒成立”只求局部最值，“存在性”盲目锁全范围.
核心区分：恒成立→全程满足；存在性→至少一点满足.
易错5：韦达定理乱用（忽略判别式）
错误表现：直接用韦达求值，不验证 ，出现无实数解的虚假答案.
解决方法：韦达必先判有根， 是前提.
八、考场秒杀口诀（方程函数专属）
函数零点方程根，图像交点公共解；
含参必先分类论，韦达优先判判别；
区间最值看轴位，恒成立题锁边界；
对称结构造方程，数形互化破压轴.
九、竞赛压轴真题特训（6道联赛难度·全解析）
真题1（含参方程分类·自招必考）
已知关于 的方程 ，讨论方程解的情况.
解析：整理得 .
① 当 时，方程有唯一解 ；
② 当 时，左边为0、右边为-2，等式不成立，方程无解.
时无解.
真题2（零点个数判别·联赛基础）
求证：函数 无零点.
解析：零点即 .
，方程无实数根，故函数无零点.
答案：无零点
真题3（构造方程·对称拔高）
已知实数 满足 ，且 ，求 .
解析： 是方程 的两个不等实根.
由韦达定理：.
答案：-1
真题4（区间最值·培优压轴）
求二次函数 在 上的最大值与最小值.
解析：对称轴 ，在区间内.
顶点最小值：；
区间端点比较：.
故最大值为0，最小值为-4.
答案：最大值0，最小值-4
真题5（参数范围·恒成立压轴）
若对任意实数 ， 恒成立，求 的取值范围.
解析：分类讨论：
① 时原式=1 ，恒成立；
② ：需开口向上且无实根：，得 .
综上：
答案：
真题6（方程函数综合·联赛决赛难度）
已知二次函数 ，若函数图像与x轴两个交点的横坐标之差为2，求 .
解析：对应方程 ，因式分解 .
两根为 ，由题意 .
解得 或 .
十、全文终极总结
方程是静态约束，函数是动态规律，二者双向转化是初中代数竞赛的终极思维.
中考只考单向计算，竞赛考双向建模：构造方程、参数讨论、数形约束、恒成立与存在性、区间最值.掌握四大核心模型，跳出固定求值思维，用「判别式、韦达、区间边界、数形互化」破解所有方程函数压轴难题，实现自招、联赛该模块满分突破.
【例题求解】
【例1】 若关于的方程有解，则实数m的取值范围 ．
思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．
【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根， ，且<1<，那么取值范围是( )
A． B． C． D．
思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值，注意判别式的隐含制约．
【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(，0)，B(，0)( ≠)．
(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值．
思路点拨 、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．
【例4】 抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．
思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．
【例5】 已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<．
思路点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．
注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．
(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数（）的图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C．
①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=．
②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=
学力训练
1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是 ．
2．已知抛物线与轴交于A (，0)，B(，0)两点，且，则 ．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2，时，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．
4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11
5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是( )
A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．
8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 <)，且．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标．
9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
10．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则= .
11．函数的图象与函数的图象的交点个数是 ．
12．已知、为抛物线与轴交点的横坐标，，则的值为 ．
13．是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间 如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线的图象与轴只有一个交点．
(1)求的值；
(2)求的值．
15．已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根，求的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
17．设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）．
(1)求证：；
(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值．
(
【例题求解答案】
例1.作出函数 与 图象，原方程有解,即两图象有交点，由图象知 或
例2.选 记 则这个微物线开口向上，因 故当
即 .解得
例3. (1)由 及 得 且
而
必同为负数.即点 都在原点的左侧.
(2)由 得 即 解得
例4. (1)设 是 轴正半轴上的点，则 即 又
由 得
由根与系数关系可得
对应的抛物线的解析式为
(2)当 时， 当 与 不相似.
例5. (1) 则 有 即抛物线与 输交于两点.
代人 有 故
【学力训练答案】
1. 2. 2 3. ① ③④ 4.C 5.D 6.C
7.( 或
(2)设 则 由 得
(
8. (1)
(2) 设由
即 解得 故 或
(3) 若存在满足条件的抛物线, 则 即 即 与 矛盾，故不存在满足条件的抛物线.
9. (2)存在这样的 点其横坐为 使 为锐角， 为直角三角形，过 三点作 则 为 的直径, 点关于直线 对称点 是 与抛物线的另一交点，
10.由题意，得 11. 4
12. a+b 当x=c时y=c<0,则a13. 这样的 值不存在，理由如下；
设 ：并作出如图所示图象，则
这个不等式组无解.
14.(1)由 得
(2)由(1)知， 反复利用此式可得 又 即 1.故原式
的值为1和0
16，设二次函数解析式为 且
(1)由 得 即 有
即 得 或 （舍去），从而 当 时，有 即 得 （舍去） （舍去），从而
17.
解得 又当 时满足题意,故 的最大值是
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑