资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 有理数
1.1 正数和负数（第二课时）
学习目标与重难点
学习目标：
1.借助有理数分类例题建立数感与符号意识，抽象区分整数、分数、正负数，自主探究有理数不同分类方式，发展创新意识。
2.依托有理数定义辨析分类标准，对数字进行归类划分，在分类判断过程中形成基础推理意识。
3.理解有理数两种分类模型，能用标准数学语言区分各类数，结合习题练习提升知识应用意识。
学习重点：掌握有理数的两种分类标准，能够正确对有理数进行归类划分。
学习难点：辨析不同的分类依据，准确区分整数、分数与正负数，理解分类模型的本质。
预习自测
一、知识链接
1.上节课学习了相反意义的量，为了区分具有相反意义的量，引入了正数与负数；大于0的数是正数，在正数前面加“ ”的数是负数。
2.0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。
3.小学阶段学习过整数与分数，本节课将在正、负数的基础上，把整数、分数扩充到包含负整数、负分数，进而学习有理数。
自学自测
1.整数包括正整数、______和负整数。
2.整数和分数统称为________。
3.既不是正数，也不是负数的数是______。
教学过程
一、创设情境、导入新课
思考：
复习回顾
上节课：正负数表示相反意义的量，
找出例子中具有相反意义的量。
共同点
这些数中既有整数,也有分数。
想一想
整数和分数的统称是什么
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的概念与分类
教材第5页
有理数的概念：引入负数后，数的范围扩大了。我们把整数和分数统称为有理数。（注意：有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。）
整数包括：正整数、0、负整数 分数包括：正分数、负分数
有理数的分类：
分类一：按定义分类
例 把下列各数分别填入相应的框里：
- 16，0.04， ，- ，+ 32，0，- 3.6，- 4.5，+ 0.9
交流：你认为有理数还可以怎样分类？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各数，-2， ，0，，0.0123中，有理数的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2.下列说法，正确的个数是（ ）
① 0 既不是正数，也不是负数； ② 2.2是正有理数；
③可以写成分数的数就是有理数； ④-3.1415不是自然数，也不是有理数．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.下面关于 0 的说法，正确的个数是（ ）
① 0 既不是正数也不是负数；② 0 是最小的自然数；③ 0 是最小的正数；
④ 0 是最小的非负数；⑤ 0 既不是奇数也不是偶数．
A．4 B．3 C．2 D．1
【知识技能类作业】选做题：
1.下列说法正确的有（ ）
①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列各数中： ，-3，0，-1.2，900%，，2.3，0.2020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有_____个．
3.筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如表：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，“”表示的数是5672．“”表示的数是 2025，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“ ”、“ ”和两个空位，则这个四位数是______________．
【综合拓展类作业】
1.将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题.
（1）在 A 处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A，B，C，D 中的什么位置？
（3）第1000个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D 中的什么位置？
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.为了表示生活中具有相反意义的量，我们引入了负数，数的范围由此扩大，从小学学过的正数、0，扩充到有理数。
2.有理数核心定义：整数和分数统称为有理数，同时要分清哪些数属于有理数；整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数。
3.有理数分类与辨析：有理数有两种分类方法，可以按整数、分数划分，也可以按照正负性分为正有理数、0、负有理数；牢记 0 是整数，但既不是正数也不是负数。
4.学习意义与实际应用：学习有理数，可以用来描述现实生活相反意义的数量，同时掌握分类方法，能正确对给出的数进行归类判断，为后续有理数运算打好基础。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.小强在笔记上整理了以下结论,其中错误的是( )
A. 有理数可分为整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类
B. 一个有理数不是整数就是分数
C. 正有理数分为正整数和正分数
D. 负整数、负分数统称为负有理数
2.下列说法正确的是( )
A. 非负有理数就是正有理数 B. 零既属于正数又属于负数
C. 正整数和负整数统称为整数 D. 整数和分数统称为有理数
3.在0.6，-0.4，-0.25，0，2， ，- 当中：
整数有_______，
分数有___________________________.
4.下列说法：①有最小的正数；②有最小的自然数；③有最大的有理数；④无最大的负整数.其中正确的是_________.（填序号）
【知识技能类作业】选做题
1.将下列各数填入表示它所在集合的圈里．
5，-1，+2023，-101001，2 ，0，-1.7， ，98%
正数集：
非负整数集：
负数集：
分数集：
负数集和分数集的交集：
2.把下列各数分别填入相应的大括号内：3.5，，0， ，-3 ，10，-0.23，-2．
分数集合: {______________________…}；
非负整数集合: {___________________________…}；
非正数集合: {________________________…}；
正有理数集合：{___________________________…}．
【综合拓展类作业】
1.某中学用有理数记录学生一卡通账户变动：正数代表充值到账，负数代表刷卡消费。
某同学一周账户变动记录如下：+50，-13，0，+2.4， - ，12，-6.7，
(1) 将各数填入对应集合：
正有理数集合{ }
负分数集合{ }
非负整数集合{ }
不属于有理数的数：___
(2) 同学小丽看到记录中的数字 0，她说：“出现0就代表这张卡里一分钱都没有了。”请判断这句话是否正确，结合一卡通的情境说明理由。
(3) 选取其中一个负分数，说明它在一卡通这个情境中的实际含义。
2.果农记录果树的产量变化：正数表示相比去年增产，负数表示相比去年减产。
统计数据：+36，-19，0，-4.5，+ ，+8
(1) 使用两种分类标准对上面这组数进行分类
标准①：按整数、分数分类；标准②：按正负性分为正有理数、0、负有理数。
(2) 仿照果园增产减产的例子，请你自己创设一个生活场景，写出一组具有相反意义的量，写出1个正数、1个负数。
(3) 小强说：“所有分数都是有理数，那所有有理数也都是分数。”请判断对错，并说明理由。
答案
自学自测：1.0；2.有理数；3.0
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.B
2.C
3.B
【知识技能类作业】选做题
1.B
2.3
3.6200或6002
【综合拓展类作业】
1.(1) 正数(2) B、D(3) 正数，排在A位置
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】有理数有两套独立分类标准。
- 按定义分：分为整数、分数；
- 按正负性分：分为正有理数、0、负有理数。
A选项把两套分类混在一起，分类标准不统一，说法错误。
B：有理数只包含整数和分数，说法正确。
C：正有理数由正整数、正分数组成，说法正确。
D：负有理数包含负整数、负分数，说法正确。
【详解】A
2.【解析】A：非负有理数是正有理数和0，不是只有正有理数，错误。
B：0既不是正数，也不是负数，错误。
C：整数包括正整数、0、负整数，选项漏掉0，错误。
D：根据定义，整数和分数统称为有理数，说法正确。
【详解】D
3.【解析】整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数，有限小数、无限循环小数都属于分数。
【详解】整数：0，2
分数：0.6，-0.4，-0.25， ，-
4.【解析】①没有最小的正数，正数可以无限接近0，①错误；
②最小的自然数是0，②正确；
③没有最大的有理数，有理数可以无限大，③错误；
④没有最大的负整数，负整数可以无限小（ 1， 2， 3……），④正确。
【详解】②④
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】1.正数：大于0的数；
2.非负整数：正整数和0（不含分数、小数）；
3.负数：小于0的数；
4.分数：包含正分数、负分数，有限小数、百分数、带分数都属于分数。
【详解】正数集：5，+2023，2 ， ，98%
非负整数集：5，+2023，0
负数集：-1，-101001，-1.7
分数集：2 ， ，98%，-1.7
负数集和分数集的交集：-1.7
2.【解析】1.分数集合：包含正分数、负分数；有限小数、带分数都属于分数； 是无限不循环小数，不属于分数。
2.非负整数集合：即0和正整数（大于等于0的整数）。
3.非正数集合：小于或等于0的数，包含0、负数（负整数、负分数）。
4.正有理数集合：既是正数，又是有理数；包含正整数、正分数； 是正数但不是有理数，不能放入。
【详解】分数集合：3.5， ，-3 ，-0.23
非负整数集合：0，10
非正数集合：0，-3，-0.23，-2
正有理数集合：3.5，，10
【综合拓展类作业】
1.【解析】（1）1.正有理数：大于0的有理数，包括正整数、正分数；无理数不算。
2.负分数：小于0的分数，负的有限小数、负分数都属于负分数；负整数不是负分数。
3.非负整数：0 和正整数（只看整数，不含小数分数）。
4.无理数：无限不循环小数，是无理数，不属于有理数。
（2）1.这里的0是账户变动记录，表示这一周既没有充值，也没有刷卡消费，本周金额变化为0。
2.“变动为0”≠“余额为0”。一卡通卡内可以原本就有钱，只是这周没有发生消费或充值，余额维持原来的数额，并不是卡里没钱。
3.易错区分：
- 记录的数：变化量（这周增加/减少多少钱）
- 卡里实际有的钱：余额（原有钱±变化量）
（3）概念：负分数属于负数，题干规定负数代表刷卡消费，账户金额减少。
【详解】（1）正有理数集合：+50，+2.4，12
负分数集合- ，-6.7
非负整数集合：+50，0，12
不属于有理数的数：
（2）这句话错误
理由：题目里记录的数字0代表这一周账户既没有充值，也没有刷卡消费，本周的金额变化量为0，并不是卡里余额为0。卡内原本可以存有余额，只是这周没有发生收支变动。
（3）示例：-6.7，含义：学生一卡通刷卡消费，账户金额减少6.7元。
2.【解析】(1) 用两种分类标准对数组进行分类
标准① 按整数、分数分类：整数包含正整数、0、负整数，不带小数、分数形式。有限小数、分数都属于分数；-4.5是有限小数，可以化成分数，因此属于分数。
标准② 按正负性：正有理数、0、负有理数：大于0的有理数，正整数、正分数都是正有理数。0既不是正数，也不是负数。小于0的有理数，负整数、负分数都是负有理数。
(2) 示例（答案不唯一）：班级图书角，正数代表新购入图书，负数代表图书借出。购入20本记作+20，借出9本记作-9。（收入支出、水位升降等其他合理答案均可）
(3) 有理数包含整数和分数两部分。
所有分数都是有理数，但是有理数里面还有整数（例如+36、-19、0、+8），整数不属于分数。
所以“所有有理数也都是分数”说法不对。
【详解】（1）)①按整数、分数分类
整数：+36，-19，0，+8
分数：-4.5，+
②按正负性分类
正有理数：+36，+ ，+8
0
负有理数：-19，-4.5
（2）示例场景：班级图书角，正数代表新购入图书，负数代表图书借出。
购入20本记作+20，借出9本记作-9。
（收入支出、水位升降等其他合理答案均可）
(3) 说法错误
理由：根据定义，整数和分数统称为有理数。
所以分数一定属于有理数，但是有理数包含两部分：整数、分数。整数不属于分数，因此不是所有有理数都是分数。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑