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第十一讲抛物线（专题精讲+压轴真题全解含答案）
初中数学培优与竞赛
抛物线（二次函数图像）是初中几何代数综合的终极压轴载体，也是中考满分、重点高中自招、初中数学联赛的核心重难点。
中考仅侧重：解析式求解、基础性质、简单最值、静态面积计算；而培优竞赛体系主打动态建模、参数讨论、定点定值、几何模型嵌套、存在性探究、最值范围锁定，是区分普通学生与竞赛优生的核心分水岭。
一、核心思想：数形合一，动中寻定（抛物线竞赛底层逻辑）
抛物线的竞赛核心思想可概括为一图两性、数形互化、变中抓定，打通代数参数与几何形态的双向关联：
代数视角：抛物线是二次函数 的图像，所有系数 决定图像形态、位置、开口、对称轴与顶点。
几何视角：抛物线是定点、定距的轨迹图形，具备对称、最值、定点、定弦、定角等固有几何性质。
竞赛核心九字真言：参数控形态，几何锁参数
系数 开口方向、开口大小、增减快慢
系数 左右平移、对称轴位置
系数 上下平移、纵截距位置
几何特征（交点、对称、垂直、面积） 约束参数范围、求解定值
思维本质：中考看“图像长什么样”，竞赛算“图像动起来满足什么约束”。
二、体系对比：中考基础体系 VS 培优竞赛体系
1. 中考体系（静态、固定、单一）
解析式：三点式求固定解析式，无参数、无多解
性质：判断开口、对称轴、顶点、简单增减性、静态最值
综合：固定抛物线求交点、求面积、简单动点最值
思维：静态识图、代数计算、结果唯一、无需建模
2. 培优竞赛体系（动态、参数、综合、建模）
解析式：含参抛物线、多形式互化（一般式、顶点式、交点式）、参数约束求解
性质：动态对称轴、动顶点轨迹、含参最值、区间最值、增减性分类讨论
综合：定点定值、定角定弦、平行四边形/直角三角形/等腰三角形存在性、面积最值、线段最值、抛物线与直线几何嵌套
思维：参数建模、数形约束、分类讨论、变中寻不变、临界锁定范围
三、四大思维转型考点（中考到竞赛满分跃迁）
转型1：从“固定抛物线”到“含参动态抛物线”
中考只研究固定系数的静态抛物线；竞赛核心为含参动抛物线，参数变化带动整体平移、伸缩、对称、旋转，衍生顶点轨迹、恒过定点、参数范围等高阶题型，是所有压轴题的基础。
转型2：从“单一性质”到“三式互化精准建模”
中考仅熟练一般式；竞赛要求一般式、顶点式、交点式灵活互化，根据题型择优选用：最值用顶点式、交点用交点式、通用求解用一般式，实现一题最简解法。
转型3：从“静态面积”到“几何存在性动态探究”
中考只求固定图形面积；竞赛重点考查：抛物线上动点构成等腰、直角、平行四边形、矩形的存在性问题，多解分类、临界讨论、参数锁定，是自招高频难点。
转型4：从“顶点最值”到“区间最值+定点定值高阶”
中考只考全域顶点最值；竞赛重点突破闭区间最值、含参最值、定点定值、定角轨迹，打破固定最值思维，建立“区间定边界、参数定趋势、恒成立定定值”的竞赛思维。
四、竞赛四大必考核心模型（全覆盖抛物线压轴）
模型一：三式互化模型（解题万能基础）
模型口诀：最值找顶点，零点找交点，通用用一般。
三大核心解析式：
一般式：（通用求解、参数讨论）
顶点式：（最值、顶点、平移变换专用）
交点式：（零点、交点、围面积专用）
竞赛考法：根据条件择优列式、快速化简、规避多余运算。
模型二：含参定点定值模型（联赛必考）
模型特征：抛物线含参数，无论参数如何变化，图像恒过定点、线段长度/面积/角度恒为定值。
解题套路：参数分离→分组恒成立→令参数系数为0→求解定点/定值，变中抓不变。
模型三：区间最值临界模型（培优压轴核心）
模型特征：给定自变量区间、抛物线含参、对称轴动态移动，求最值或锁定参数范围。
解题套路：定开口、移对称轴、判轴与区间位置（左、中、右）、比端点、定最值，分类不重不漏。
模型四：动点几何存在性模型（中考压轴+自招顶配）
模型特征：抛物线上一动点/两动点，构成特殊几何图形，求点坐标或参数。
解题套路：设动点坐标→列几何等式（边长相等、垂直斜率、中点重合）→解方程分类取舍。
五、培优经典例题（模型示范+满分解析）
例题1（三式互化基础模型）
已知抛物线顶点为 ，且过点 ，求抛物线解析式。
解析：已知顶点优先设顶点式：。
代入点 ：，解得 。
展开整理：。
答案：
思维点拨：已知顶点、最值、平移，优先顶点式，大幅简化计算。
例题2（定点定值竞赛模型）
求证：抛物线 （）恒过定点，并求定点坐标。
解析：参数分离重组：。
令参数系数为0：，得 或 。
代入得：；。
答案：恒过定点 、
思维点拨：含参抛物线定点问题，核心是参数无关性，系数归零是通用套路。
例题3（区间最值培优模型）
求抛物线 在区间 上的最大值与最小值。
解析：配方得 ，开口向上，对称轴（在区间内）。
顶点最小值：，。
端点比对：；。
区间最大值为 。
答案：最大值1，最小值-3
例题4（存在性基础模型）
已知抛物线 ，判断是否存在点P，使 （）为等腰三角形。
解析：设 ，分 三类讨论，列距离公式求解即可，多解需逐一验证几何合理性。
思维点拨：存在性问题核心是分类建模、方程求解、取舍验证。
六、梯度培优进阶经典例题（含错解+错因+正解+思维点拨）
本节补充分层梯度例题，分为基础巩固、培优拔高、竞赛压轴三个层级，直击学生高频错题，通过「错解复盘+正解规范+思维升华」模式，彻底吃透抛物线核心考点，适配中考压轴、重点自招、联赛培优训练。
梯度一：基础巩固例题（解析式与性质易错专项）
例题5：已知抛物线 过点 、，求抛物线解析式。
【典型错解】：直接代入列方程，计算失误，化简出错，最终解析式系数错误；部分学生混淆一般式代入规则，漏代常数项。
【核心错因】：① 二元一次方程组计算粗心，符号出错；② 基础代入建模不规范，忽略常数项固定值；③ 无验证习惯，得出结果不回代检验。
【满分正解】
将两点代入一般式：
化简得：
两式相减得：，代入得 。
∴ 抛物线解析式：。
【思维点拨】：已知任意两点求含参抛物线，优先用一般式列方程组求解，结果必须回代题干点验证，杜绝计算低级失误，是所有抛物线题型的基础刚需能力。
梯度二：培优拔高例题（区间最值高频易错题）
例题6：求抛物线 在区间 上的最大值和最小值。
【典型错解】：配方得顶点 ，直接认定最大值3、最小值无，或随意取端点 数值作为最小值，遗漏区间右端点最值比对。
【核心错因】：固化“顶点即最值”思维，忽略区间边界约束；开口向下抛物线，区间最值必须对比左右端点，不能仅依赖顶点。
【满分正解】
配方：，开口向下，对称轴 （在区间 内）。
1. 最大值：对称轴在区间内，顶点取最大值 （）；
2. 最小值：比对区间两端点：
时，； 时，。
∴ 。
答案：最大值3，最小值-1。
【思维点拨】：区间最值万能流程：判开口→找对称轴→判轴是否在区间→顶点取极值→端点比对定最值，缺一不可，彻底规避区间最值漏解、错解。
梯度三：竞赛进阶例题（含参定点定值易错题）
例题7：求证：抛物线（）恒过定点，并求定点坐标。
【典型错解】：随意赋值 ，求出两个交点直接判定定点，无严谨证明；或参数分离错误，系数整理混乱，定点求解失误。
【核心错因】：① 赋值法只能验证特殊情况，无法证明“任意参数恒成立”，竞赛逻辑不严谨，直接扣分；② 参数分离能力薄弱，无法区分变量与参数。
【满分正解】
参数分离整理解析式，将含参数 项合并：
根据恒成立原理，令参数系数为0：，解得 或 。
代入求对应 ：
时，； 时，。
∴ 无论 取何非零实数，抛物线恒过定点 、。
【思维点拨】：竞赛定点问题严禁赋值猜测，唯一满分解法：参数分离+系数归零，利用“参数任意、式子恒成立”的代数逻辑，严谨求解定点，适配所有含参曲线题型。
梯度四：自招高频例题（含参零点范围易错题）
例题8：已知抛物线 与x轴有两个不同交点，求实数 的取值范围。
【典型错解】：计算判别式后不等式求解错误，符号颠倒；或忘记“两个不同交点需 ”，误用 ，范围出错。
【核心错因】：① 判别式公式记忆模糊，展开化简符号失误；② 混淆“两个不同交点”与“至少一个交点”的判别式边界；③ 二次不等式求解不熟练。
【满分正解】
抛物线与x轴有两个不同交点 对应一元二次方程 有两个不等实根。
由 得：，化简：。
因式分解：，解得： 或 。
答案： 或 。
【思维点拨】：函数交点个数问题，全程转化为方程根的个数问题，严格对应判别式边界：两个不同交点、一个交点、无交点，边界绝不混淆。
梯度五：压轴综合例题（动点存在性易错题）
例题9：已知抛物线 与x轴交于原点O和点A，抛物线上是否存在点P，使得 为直角三角形？若存在，求出P点坐标；不存在说明理由。
【典型错解】：仅讨论P为直角顶点一种情况，遗漏O、A为直角顶点的情况；求出解后不验证，保留三点共线无效解，多解漏解、错解并存。
【核心错因】：存在性问题分类思维缺失，未遵循“三个顶点分别为直角顶点”的全覆盖分类原则，几何合理性验证意识薄弱。
【满分正解】
由题意得：，，设 ，分三类全覆盖讨论：
1. 直角顶点为O：，OA在x轴上，故OP竖直，，此时P与O重合，舍去；
2. 直角顶点为A：，AP竖直，，此时P与A重合，舍去；
3. 直角顶点为P：由垂直性质得，代入坐标列方程求解，舍去重合、共线解。
最终求得有效动点坐标，验证几何图形合法。
【思维点拨】：直角三角形存在性三顶点全分类是竞赛满分标准，任何情况不得遗漏，求解后必须验证“三点不共线、不重合”，杜绝无效解扣分。
七、高频易错点+错因+解决方法（竞赛避坑专项）
易错1：三式混用，解析式设错丢分
错误表现：已知顶点硬设一般式、已知零点硬代三点，计算繁琐且易出错。
错因：不会择优建模，固化单一解题思维。
解决方法：顶点最值用顶点式、零点交点用交点式、任意三点用一般式，一题一型、择优求解。
易错2：区间最值直接套用顶点最值
错误表现：不管对称轴是否在区间内，直接取顶点最值，得出虚假答案。
错因：忽略区间边界约束，沿用全域最值思维。
解决方法：区间最值三步法：判开口、定轴位、比端点，轴在内取顶点，轴在外取边界。
易错3：含参抛物线不分类讨论
错误表现：默认 、默认对称轴位置，遗漏开口向下、对称轴左右偏移的情况，漏解严重。
解决方法：含参抛物线必先分类：开口方向、对称轴区间位置、参数正负，全覆盖讨论。
易错4：定点问题盲目代值验证
错误表现：随意代两个参数找点，只能验证特殊情况，无法证明“恒过”，竞赛逻辑不严谨扣分。
解决方法：统一用参数分离恒成立法，严谨求解定点，而非赋值猜测。
易错5：存在性问题漏分类、不取舍
错误表现：等腰、直角三角形存在性只算一种情况，不舍去共线、重合无效解。
解决方法：特殊图形存在性必须全分类，解方程后逐一验证几何有效性。
易错6：忽略二次项系数不为0
错误表现：含参二次函数解题结束后，未验证 ，出现一次函数无效解。
解决方法：所有抛物线题型，全程锁定 ，收尾必验系数。
八、考场秒杀口诀（抛物线竞赛专属）
顶点最值优先式，零点交点用交式；
动参分离找定点，区间最值比两极；
开口定势轴定位，存在分类不遗漏；
数形互化破压轴，变中抓定稳满分。
九、竞赛压轴真题特训（6道联赛难度·全解析）
真题1（定点定值·联赛基础）
求证：抛物线 （）恒过定点，求出定点坐标。
解析：参数分离整理：。
令 ，解得 或 。
代入得：；。
答案：恒过定点 、
真题2（区间最值·培优拔高）
已知抛物线 ，求在区间 内的最值。
解析：配方得 ，开口向下，对称轴 （在区间内）。
顶点最大值：。
端点比对：；。
最小值为 。
答案：最大值3，最小值-1
真题3（含参对称轴·自招高频）
已知抛物线 ，求证顶点在定直线上。
解析：配方得 ，顶点坐标 。
顶点纵坐标恒为 ，与参数 无关。
答案：顶点恒在定直线 上
真题4（零点参数·联赛核心）
已知抛物线 恒有两个实数零点，求 的取值范围。
解析：对应方程 。
。
对任意实数 ，判别式恒非负，方程恒有实根。
答案： 为任意实数
真题5（动态面积·压轴进阶）
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，求 的面积。
解析：求交点：。
底 ，高为 ，面积 。
答案：面积为6
真题6（几何存在性·联赛压轴）
已知抛物线 ，顶点为M，点P在抛物线上，若 为直角三角形，求点P坐标。
解析：配方得 ，顶点 ，原点。
设 ，分三类讨论直角顶点：O、M、P。
利用垂直斜率乘积为-1或勾股定理列方程，求解后舍去共线、重合无效解，最终得到全部有效点坐标。
答案：有效点 、 等（多解验证后取舍）
十、全文总结
一般地说来，我们称函数(、、为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1．、、的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值；
3．抛物线的解析式有下列三种形式：
①一般式：；
②顶点式：；
③交点式：，这里、是方程的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
抛物线的竞赛本质是参数动态数形建模。中考侧重静态计算，竞赛侧重参数约束、动态分析、变中寻定、几何嵌套。
掌握三式互化、定点定值、区间最值、存在性探究四大核心模型，熟练运用参数分离、分类讨论、数形互化、临界锁定四大竞赛技巧，规避区间最值、定点验证、漏分类高频易错点，即可全盘拿下抛物线中考压轴、自招、联赛所有题型，实现模块满分。
【例题求解】
【例1】 二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是 ．
思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．
【例2】 已知抛物线(<0)经过点(一1，0)，且满足．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定、、的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．
【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米
思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．
注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．
【例4】 二次函数的图象与轴交于A、两点(点A在点B左边)，与轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．
思路点拨 (1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．
注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．
已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．
思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因，，故函数的最小值只可能在取，，时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
学力训练
1．如图，若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是 ．
2．抛物线与轴的正半轴交于A，B两点，与轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为 ．
4．已知二次函数的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有、、三个字母的式子①，②，③，④，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知，点(，)，(，)，(，)都在函数的图象上，则( )
A． B． C． D．
6．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有( )
A．， B．， C．，c＝3 D．，
7．二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长(m)的函数图象大致是( )
9．阅读下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式 若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少
11．如图，抛物线和直线 ()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．
12．抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则 ．
13．如图，已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于 ．
14．已知二次函数，一次函数．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．
15．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是( )
A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．ac＝一1 D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A．过点(3，0) B．顶点是(2，一2)
C．在轴上截得的线段长为2 D．与轴的交点是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数 ()的图象上两 时，二次函数的值是( )
A． B． C． 2002 D．5
18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大 (毛利润＝销售额一费用)．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与轴交于点C，直线：x＝m(m>1)与轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m (m>1)上有一点P (点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形 如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
20．已知二次函数及实数，求
(1)函数在一2(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标：O中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在轴上截得的线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似 如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗 并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么 你能用数学语言将你的猜想表述出来吗 你的猜想能成立吗 若能成立请说明理由．
【例题求解答案】
例 1. - 3例 2. 选 A
例 3. 建立以边MN 所在的直线为x 轴 ，MN 的中垂线为y轴的直角坐标系，设抛物线顶点为 P, 则 M、N、P的坐标依次为M(-2,0),N(2,0),P(0,4), 抛物线解析式为y=-x +4, 设点A 的坐标为 (x,y),
则 AD=BC=2x,AB=CD=y. l=-2x +4x+8, 则函数l 的自变量的取值范围是-2< x<2, 且 x≠0, 若 l=8, 即—2x +4x+8=8, 解得 x=0或 x=2,矛盾，故I 不可能取8.
例4. (1)设A(x ,0), B(x ,0), 则 x x =-2( m-2),OA=-x ,OB=x , 又 C(0,m—2), 则 OC=m-2,由△AOC∽△COB, 得OC =OA·OB=-x x ,即(m-2) =2(m-2), 又 m-2>0, ∴m=4,得
(2)以下方案供参考：
①分别取BO、BC的中点O 、C , 作直线O C,△BO C 符 合 .B(4,0),O (2,0),C (2,1).
②在AB 上取 AB =AC=, 在 AC上取AO =AO=1,作直线O B ,△B O A符合，
例5. 其对称轴为
因为 为正整数, 故
因此, 函数的最小值只可能在 取 时达到，
(1)当 时， 此时， 使函数取得最小值，
(2)当 即 时，由于 是正整数，而 为小数，故 不能达到最小值，
当 时,
当 时，
又
(i)当 即 且 为整数时 ，取 使 为最小值；
(ii)当 即 时,有 此时 取2或3;
(iii)当 即 且为整数时 ，取 使 为最小值.
综上 为整数)
【学力训练答案】
1. 2. 3 3. 5.C 6. A 7.D 8. D
9.(1) 能求出题目中二次函数解析式, 解析式为
(2) 可补充的内容有(选其一即可)； ①或 或 轴的交点为 , ③与轴的交点坐标为 或 ④最值为-3；⑤顶点坐标为 等，
10.
(2)当 时， （米）, 球出手时.他距离地面是
11. 设 则 解得
12.
14. 由题意得
15. D 16. B 由对称性知与轴交点为
18. 由图1得费用 由图 2 得销售单价
故毛利润 11250.
所以, 当年产量为750吨时， 所获毛利润最大.
(2)①当 得 P(m,2m-2).②当 时，得
(3)m=4或
20.函数 的图象如图。
(1)当
(2)且 时，即 时，
当 即 时，
21. (2)
(3)由点 得 ①若以 为腰， 为顶角，使 则 )若以 为腰， 为顶角, 由对称性得另一点 )若以 为底, 为腰， 点在抛物线的对称轴上, 舍去.
22. (1)抛物线顶点坐标为 得其顶点在 上；
(2)当 时，顶点的横坐标 点不是抛物线的顶点；
(3)抛物线 的顶点坐标为 由题意得
把 点 在抛物线 上,同理.点 也在抛物线
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