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(共61张PPT)
第1讲　导数的概念与运算
第四章　一元函数的导数及其应用
慧学教材
一　导数的概念
2. 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：


3. 几何意义
切线的斜率　
y－f（x0）＝f'（x0）（x－
x0）　
二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝0
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝αxα－1
f（x）＝ sin x f'（x）＝ cos x
f（x）＝ cos x f'（x）＝－ sin x
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a
f（x）＝ex f'（x）＝ex
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f'（x）±g'（x）　
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
四　复合函数的定义及其导数
（1）一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））.
【教材排查】　判断下列结论是否正确.
y'u·u'x　




A. （e5x－1）'＝5e5x－1
ABC
【教材改编】
2e　
题型研讨
题型 　对导数概念的理解
典例1　设f（x）＝x2－x，则
3　
－3　
3　
【解题感悟】　导数概念的探究
导数的概念中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子、分母中变化量统一为一种.
A. 0 B. 2 cos x C. cos 2x D. 2 cos 2x
B
A. －5 B. －4 C. －1 D. 0
A
题型 　基本的导数运算
A. [（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2 B. （x3ln x）'＝3x2ln x＋x2
D. （2x＋ cos x）'＝2xln 2－ sin x
ABD
A. 1 B. －9 C. －6 D. 4
解析：因为f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，所以f'（x）＝3x2＋2xf'（1）＋2，把x＝1代入f'（x），得f'（1）＝3×12＋2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－5，所以f'（x）＝3x2－10x＋2，所以f'（2）＝－6.故选C.
C
【解题感悟】　函数求导的具体方法
连乘形式函数求导
·先展开为多项式形式，再求导；
·直接利用导数的乘法运算法则求导.
根式形式函数求导
·先化为分数指数幂的形式，再求导.
分式形式函数求导
·利用导数的除法运算法则求导；
·对于分式中分子、分母次数相等的函数，先通过裂项化为和或差的形式，再求导.
对数形式函数求导
·对于真数是多项式乘积或分式的对数型函数，先化为和或差的形式，再求导（注意定义域）.
三角形式函数求导
·对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使三角函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.
复合函数求导
·先将函数分解成基本初等函数的复合形式，再运用复合函数求导公式由外向内逐层求导（选择合适的中间变量是复合函数求导的关键）.
分段函数求导
·先确定分段函数的关系式，再对每一段函数分别求导.求导结束后，需要验证函数在分段点处是否可导.
注意：函数求导的基本原则是先化简，再求导.
B. （e2x）'＝e2x
AC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：因为函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝1，所以f（1）＋g（1）＝12－1＝0，则g（1）＝－1.
对f（x）＋xg（x）＝x2－1两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，所以f'（1）＋g（1）＋g'（1）＝2.
因此f'（1）＋g'（1）＝3.故选C.
C
题型 　导数的几何意义
一、求曲线的切线方程
A
【解题感悟】　求曲线的切线方程
在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程.在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
求曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线方程的步骤：
第一步，设出切点坐标P'（x1，f（x1））；
第二步，写出过P'（x1，f（x1））的切线方程为y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；
第三步，将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1），可得过点P（x0，y0）的切线方程.
4　
二、求切点坐标及参数值
A. 0 B. 1 C. e D. 2e
【解题感悟】　求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程（组）求解，求出切点坐标是解题的关键.
C
ln 2　
（－∞，－4）∪（0，＋∞）　
[教材拓展]　两条曲线的公切线问题
拓展　1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2. 公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
A. －3 B. 1 C. 3 D. 5
D
A. －30 B. －25 C. 26 D. 28
C
D
若函数y＝f（x）与y＝g（x）的公切线的切点不同，先假设y＝f（x）上的切点A（x1，f（x1）），得到切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；y＝g（x）上的切点B（x2，g（x2）），得到切线方程y－g（x2）＝g'（x2）（x－x2），因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'（x1）＝g'（x2），f（x1）－x1f'（x1）＝g（x2）－x2g'（x2）.
1　
且g（0）＝0，所以当x＜0时，g（x）＜0，f'（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且当x→－∞时，f（x）→0，f（0）＝－5，x→＋∞时，f（x）→＋∞，又－1－4a＜－1，结合函数图象（图略）可知，要使f（x）＝－1－4a有一解，则－1－4a＝－5，a＝1.
对点练3　（2022·全国甲卷，文）已知函数f（x）＝x3－x，g（x）＝x2＋a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线.
（1）若x1＝－1，求a；
（1）由题意可知，f（－1）＝－1－（－1）＝0.
因为f'（x）＝3x2－1，所以f'（－1）＝3－1＝2，所以曲线y＝f（x）在点（－1，0）处的切线方程为y＝2（x＋1），即y＝2x＋2.
因为g'（x）＝2x，所以g'（x2）＝2x2＝2，解得x2＝1，则g（1）＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.
解：设该切线与曲线y＝g（x）相切于点（x2，g（x2））.
（2）求a的取值范围.
x 0 （0，1） 1 （1，
＋∞）
h'（x） － 0 ＋ 0 － 0 ＋
h（x） ↘ ↗ ↘ －1 ↗
易知当x→＋∞时，h（x）→＋∞，所以h（x）的值域为[－1，＋∞），即a的取值范围为[－1，＋∞）.
限时跟踪检测（十七）　导数的概念与运算
A. －4 B. 4 C. 2 D. －2
D
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A. －e B. e C. －2 D. 2
D
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A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1
C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1
解析：∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B.
B
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B
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A. 1 D. 2
C
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A. 1 B. 2
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A. －3 B. 3 C. －3或1 D. 3或1
C
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C
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A. f（x）＝－x3＋3x＋4 B. f（x）＝ln x＋2x
C. f（x）＝ sin x＋ cos x D. f（x）＝xex
ABC
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4 048　
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（－∞，0）　
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四、解答题
12. 已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.
（1）求切点P0的坐标；
解：（1）由y＝x3＋x－2，得y'＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（－1，－4）.
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（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
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A. f（3） B. 3f'（3）
C. f（－14） D. f'（8）
A
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